準同型環

アーベル群の準同型代数

数学において、アーベル群Xの自己準同型写像は環を形成する。この環はXの自己準同型環と呼ばれ、End( X ) と表記される。これは、 Xのそれ自身への準同型写像全体の集合である。自己準同型の加法は点ごとの方法で自然に行われ、乗法は自己準同型合成によって行われる。これらの演算を用いると、アーベル群の自己準同型写像の集合は（単位）環を形成し、零写像は 加法恒等写像、恒等写像は乗法恒等写像となる。^{[1] [2]} ${\textstyle 0:x\mapsto 0}$ ${\textstyle 1:x\mapsto x}$

関係する関数は、文脈において準同型として定義されているものに限定され、これは考察対象のオブジェクトの圏に依存する。自己準同型環は、したがって、オブジェクトのいくつかの内部特性を符号化する。自己準同型環はしばしば何らかの環R上の代数となるため、自己準同型環とも呼ばれる。

アーベル群は、環の圏における最初の対象である整数環上の加群と同じものである。同様に、R が任意の可換環である場合、 R加群の自己準同型は、同じ公理と導出によりR上の代数を形成する。特に、Rが体である場合、その加群Mはベクトル空間であり、それぞれの自己準同型環は体R上の代数である。

説明

( A , +)をアーベル群とし、AからAへの群準同型を考えます。このような 2 つの準同型の加算を点ごとに定義して、別の群準同型を生成できます。明示的には、このような 2 つの準同型fとgを考えると、 fとgの和は準同型f + g  : x ↦ f ( x ) + g ( x )です。この操作を行うと、 End( A ) はアーベル群になります。準同型の合成という追加の操作を行うと、 End( A ) は乗法単位元を持つ環になります。この合成は明示的にfg  : x ↦ f ( g ( x ))です。乗法単位元はA上の単位元準同型です。加法逆は点ごとの逆です。

集合Aがアーベル群を形成しない場合、2つの準同型写像の和が準同型写像である必要はないため、上記の構成は必ずしも明確に定義されない。^[3]しかし、上記の演算による自己準同型写像の閉包は、環ではない近似環の標準的な例である。

プロパティ

• 自己準同型環は常に加法恒等写像と乗法恒等写像、つまりそれぞれ零写像と恒等写像を持ちます。
• 自己準同型環は結合的ですが、通常は非可換です。
• 加群が単純であれば、その自己準同型環は除算環である（これはシュアーの補題と呼ばれることもある）。^[4]
• モジュールが分解不可能なのは、その自己準同型環に非自明な冪等元が含まれない場合に限ります。^[5]モジュールが入射モジュールである場合、分解不可能なのは自己準同型環が局所環であることと同値です。^[6]
• 半単純モジュールの場合、自己準同型環はフォン・ノイマン正則環です。
• 非零右ユニシリアル加群の自己準同型環は、1つまたは2つの極大右イデアルを持つ。加群がアルティン型、ノイザー型、射影型、または単射型である場合、自己準同型環は唯一の極大イデアルを持つため、局所環となる。
• アルティン一様加群の自己準同型環は局所環である。^[7]
• 有限の合成長を持つモジュールの自己準同型環は半主環である。
• 連続加群または離散加群の自己準同型環はクリーン環である。^[8]
• R加群が有限生成かつ射影的（つまり、原生成子）である場合、その加群の自己準同型環とRはすべての森田不変条件を共有する。森田理論の基本的な結果は、 Rに同値なすべての環が原生成子の自己準同型環として生じるということである。

例

• R加群のカテゴリでは、 R加群Mの自己準同型環はR加群準同型のみを使用し、これは通常、アーベル群準同型の適切な部分集合です。^[9] Mが有限生成 射影加群のとき、自己準同型環は加群カテゴリの森田同値の中心となります。
• 任意のアーベル群 に対して、の任意の行列は次のような自然な準同型構造を持つため、 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathrm {M} _{n}(\operatorname {End} (A))\cong \operatorname {End} (A^{n})}$ ${\displaystyle \mathrm {M} _{n}(\operatorname {End} (A))}$ ${\displaystyle A^{n}}$

  ${\displaystyle {\begin{pmatrix}\varphi _{11}&\cdots &\varphi _{1n}\\\vdots &&\vdots \\\varphi _{n1}&\cdots &\varphi _{nn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sum _{i=1}^{n}\varphi _{1i}(a_{i})\\\vdots \\\sum _{i=1}^{n}\varphi _{ni}(a_{i})\end{pmatrix}}.}$

この同型性を利用して、多くの非可換自己準同型環を構築することができます。例えば、 です。 ${\displaystyle \operatorname {End} (\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} )\cong \mathrm {M} _{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \operatorname {End} (\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} }$

また、が体のとき、標準同型 が存在するので、となる。つまり、 -ベクトル空間の自己準同型環は、を要素とするn行n列の行列の環と同一視される。^{[10]より一般には、}自由加群の自己準同型代数は、自然に、 を要素とする-行 - 列の行列の環となる。 ${\displaystyle R=K}$ ${\displaystyle \operatorname {End} (K)\cong K}$ ${\displaystyle \operatorname {End} (K^{n})\cong \mathrm {M} _{n}(K)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle M=R^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle R}$

• 最後の点の具体的な例として、単位元を持つ任意の環Rに対して、End( R _R ) = Rが成り立ちます。ここで、 Rの元は左乗算によってRに作用します。
• 一般に、自己準同型環は任意の前加法カテゴリのオブジェクトに対して定義できます。

注記

1. フレイリー 1976, 211ページ
2. パスマン 1991、4～5ページ
3. ダミット＆フット、347ページ
4. ジェイコブソン 2009、118ページ
5. ジェイコブソン 2009、p. 111、提案3.1
6. ウィスバウアー 1991, p. 163
7. ウィスバウアー 1991, p. 263
8. カミロ他 2006
9. アーベル群は整数環上の加群として見ることもできる。
10. ドロズドとキリチェンコ、1994 年、23–31 ページ

参考文献

• Camillo, VP; Khurana, D.; Lam, TY; Nicholson, WK; Zhou, Y. (2006)、「連続モジュールはクリーンである」、J. Algebra、304 (1): 94– 111、doi :10.1016/j.jalgebra.2006.06.032、ISSN  0021-8693、MR  2255822
• ドズド、ユウ。 A.; Kirichenko、VV (1994)、有限次元代数、ベルリン: Springer-Verlag、ISBN 3-540-53380-X
• ダミット、デイビッド；フット、リチャード、代数学
• フレイリー、ジョン・B.（1976年）、抽象代数学入門（第2版）、Addison-Wesley、ISBN 0-201-01984-1
• 「準同型環」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• ジェイコブソン、ネイサン（2009）、基礎代数学、第2巻（第2版）、ドーバー、ISBN 978-0-486-47187-7
• パスマン、ドナルド・S.（1991）『環論講座』パシフィック・グローブ：ワズワース＆ブルックス／コール、ISBN 0-534-13776-8
• ウィスバウアー、ロバート（1991）、モジュールと環理論の基礎、代数、論理、応用、第3巻（1988年ドイツ語版からの改訂・翻訳）、フィラデルフィア、ペンシルバニア州：ゴードン・アンド・ブリーチ・サイエンス・パブリッシャーズ、pp. xii+606、ISBN 2-88124-805-5、MR  1144522研究と学習のためのハンドブック

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