Partial differential equation used in physics
電磁波 方程式は、 媒質 中 または 真空中における 電磁波 の伝播を記述する 2階偏 微分方程式 です。これは 波動方程式の3次元形式 です。この方程式の 同次形式は、 電場 E または 磁場 B を用いて書かれ 、以下の形をとります。
( v p h 2 ∇ 2 − ∂ 2 ∂ t 2 ) E = 0 ( v p h 2 ∇ 2 − ∂ 2 ∂ t 2 ) B = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\left(v_{\mathrm {ph} }^{2}\nabla ^{2}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\mathbf {E} &=\mathbf {0} \\\left(v_{\mathrm {ph} }^{2}\nabla ^{2}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\mathbf {B} &=\mathbf {0} \end{aligned}}}
どこ
v p h = 1 μ ε {\displaystyle v_{\mathrm {ph} }={\frac {1}{\sqrt {\mu \varepsilon }}}}
は透磁率 μ 、 誘電率 ε の媒質における 光速 （すなわち 位相速度 ）であり 、 ∇ 2 はラプラス演算子 である 。真空中では、 v ph = c 0 = 299 792 458 m/s は 、基本的な 物理定数 です。 [1] 電磁波方程式は マクスウェル方程式 から導出されます。古い文献の多くでは、 B は磁束密度 または 磁気誘導 と呼ばれています 。以下の式は 、あらゆる電磁波が横波 であり 、電場 E と磁場 B がどちらも波の伝播方向に垂直であることを示しています。 ∇ ⋅ E = 0 ∇ ⋅ B = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &=0\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0\end{aligned}}}
電磁波方程式の起源 マクスウェルからピーター・テイト へのポストカード 。 ジェームズ・クラーク・マクスウェルは 、 1865年の論文『 電磁場の力学的理論 』において、 1861年の論文『 物理的な力線について』 の第3部で行ったアンペールの回路法則の修正を利用した 。 1864年の論文『 光の電磁気理論 』 [2]の 第6部 では、マクスウェルは変位電流を他の電磁気学の方程式と組み合わせ、光速に等しい速度を持つ波動方程式を導出した。彼は次のように述べている。
結果の一致は、光と磁気が同じ物質の作用であり、光は電磁気法則に従って場を伝播する電磁気的擾乱であることを示しているようだ。 [3]
マクスウェルの電磁波方程式の導出は、現代の物理学教育では、アンペールの回路法則の修正版と ファラデーの電磁誘導の法則 を組み合わせた、はるかに煩雑でない方法に置き換えられました。
現代的な方法を用いて真空中の電磁波方程式を得るには、 マクスウェル方程式の現代的な「ヘヴィサイド」形式 から始める。真空かつ電荷のない空間では、これらの方程式は以下のようになる。
∇ ⋅ E = 0 ∇ × E = − ∂ B ∂ t ∇ ⋅ B = 0 ∇ × B = μ 0 ε 0 ∂ E ∂ t {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &=0\\\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0\\\nabla \times \mathbf {B} &=\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\\\end{aligned}}}
これらは、電荷と電流がともにゼロの場合に特化した一般的なマクスウェル方程式です。 回転方程式の 回転をとると、次の式が得られます。
∇ × ( ∇ × E ) = ∇ × ( − ∂ B ∂ t ) = − ∂ ∂ t ( ∇ × B ) = − μ 0 ε 0 ∂ 2 E ∂ t 2 ∇ × ( ∇ × B ) = ∇ × ( μ 0 ε 0 ∂ E ∂ t ) = μ 0 ε 0 ∂ ∂ t ( ∇ × E ) = − μ 0 ε 0 ∂ 2 B ∂ t 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {E} \right)&=\nabla \times \left(-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\right)=-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times \mathbf {B} \right)=-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}\\\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {B} \right)&=\nabla \times \left(\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)=\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times \mathbf {E} \right)=-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}\end{aligned}}}
ベクトルの恒等式 を使うと
∇ × ( ∇ × V ) = ∇ ( ∇ ⋅ V ) − ∇ 2 V {\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {V} \right)=\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {V} \right)-\nabla ^{2}\mathbf {V} }
ここで V は空間の任意のベクトル関数である。そして
∇ 2 V = ∇ ⋅ ( ∇ V ) {\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {V} =\nabla \cdot \left(\nabla \mathbf {V} \right)}
ここで ∇ V は2 項演算子 であり、発散演算子 ∇ ⋅を 作用させるとベクトルとなる。
∇ ⋅ E = 0 ∇ ⋅ B = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &=0\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0\end{aligned}}}
すると、恒等式の右側の最初の項は消え、波動方程式が得られます。
1 c 0 2 ∂ 2 E ∂ t 2 − ∇ 2 E = 0 1 c 0 2 ∂ 2 B ∂ t 2 − ∇ 2 B = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{c_{0}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {E} &=\mathbf {0} \\{\frac {1}{c_{0}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {B} &=\mathbf {0} \end{aligned}}}
どこ
c 0 = 1 μ 0 ε 0 = 2.99792458 × 10 8 m/s {\displaystyle c_{0}={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}=2.99792458\times 10^{8}\;{\textrm {m/s}}}
自由空間における光の速度です。
横方向運動における時間の遅れ。あらゆる慣性系 において光速度が一定であるという要件は、 特殊相対性理論 につながる 。 これらの 相対論的方程式は 反 変形式 で次のように書ける。
◻ A μ = 0 {\displaystyle \Box A^{\mu }=0}
ここで、 電磁4元ポテンシャル は
A μ = ( ϕ c , A ) {\displaystyle A^{\mu }=\left({\frac {\phi }{c}},\mathbf {A} \right)}
ローレンツ ゲージ条件 ：
∂ μ A μ = 0 , {\displaystyle \partial _{\mu }A^{\mu }=0,}
そしてどこで
◻ = ∇ 2 − 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 {\displaystyle \Box =\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}}
はダランベール演算子 です 。
曲がった時空における同次波動方程式 電磁波方程式は 2 つの方法で修正され、導関数が 共変導関数 に置き換えられ、曲率に依存する新しい項が表示されます。
− A α ; β ; β + R α β A β = 0 {\displaystyle -{A^{\alpha ;\beta }}_{;\beta }+{R^{\alpha }}_{\beta }A^{\beta }=0}
ここで 、は リッチ曲率テンソル であり、セミコロンは共変微分を示します。 R α β {\displaystyle {R^{\alpha }}_{\beta }}
曲がった時空における ローレンツゲージ条件 の一般化が仮定される。
A μ ; μ = 0. {\displaystyle {A^{\mu }}_{;\mu }=0.}
不均質電磁波方程式 真空中では、局所的に時間変化する電荷密度と電流密度が電磁波の源として作用することがあります。マクスウェル方程式は、波源を含む波動方程式として表すことができます。波動方程式に波源を加えると、 偏微分方程式は 非同次になります。
同次電磁波方程式の解 電磁波方程式の一般解は、 次のような波の 線形重ね合わせである。
E ( r , t ) = g ( ϕ ( r , t ) ) = g ( ω t − k ⋅ r ) B ( r , t ) = g ( ϕ ( r , t ) ) = g ( ω t − k ⋅ r ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)&=g(\phi (\mathbf {r} ,t))=g(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )\\\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)&=g(\phi (\mathbf {r} ,t))=g(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )\end{aligned}}}
事実上、 無次元引数 φを持つ任意の 適切 な関数 g に対して適用されます。ここで、 ω は 角周波数 （ラジアン/秒）、 k = ( k x , k y , k z )は 波数ベクトル （ラジアン/メートル） です。
関数 gは単色 正弦波 となる場合もあり、多くの場合単色正弦波である が、必ずしも正弦波である必要はなく、周期的である必要もない。実際には、実在の電磁波は常に時間と空間において有限の広がりを持つため、 gは 無限の周期性を持つことはできない。結果として、 フーリエ分解 の理論に基づくと、実在の波は無限の正弦周波数の重ね合わせから構成されることになる。
さらに、有効な解を得るには、波数ベクトルと角周波数は独立ではなく、 分散関係 に従う必要があります。
k = | k | = ω c = 2 π λ {\displaystyle k=|\mathbf {k} |={\omega \over c}={2\pi \over \lambda }}
ここで、 k は 波数 、 λは 波長 です 。変数 cは 、電磁波が真空中にある場合にのみこの式で使用できます。
単色、正弦波定常状態 波動方程式の最も単純な解は、分離可能な形式で単一周波数の正弦波形を仮定することによって得られます。
E ( r , t ) = ℜ { E ( r ) e i ω t } {\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=\Re \left\{\mathbf {E} (\mathbf {r} )e^{i\omega t}\right\}}
どこ
iは 虚数単位 であり 、 ω = 2 π f は ラジアン/秒単位 の 角周波数 、 f はヘルツ単位 の 周波数 であり 、 e i ω t = cos ( ω t ) + i sin ( ω t ) {\displaystyle e^{i\omega t}=\cos(\omega t)+i\sin(\omega t)} はオイラーの公式 です 。
平面波解 単位法線ベクトルで定義される平面を考える
n = k k . {\displaystyle \mathbf {n} ={\mathbf {k} \over k}.}
すると、波動方程式の平面進行波解は
E ( r ) = E 0 e − i k ⋅ r B ( r ) = B 0 e − i k ⋅ r {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} (\mathbf {r} )&=\mathbf {E} _{0}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\\\mathbf {B} (\mathbf {r} )&=\mathbf {B} _{0}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\end{aligned}}}
ここで、 r = ( x , y , z ) は位置ベクトル (メートル単位) です。
これらの解は、法線ベクトルn の方向に伝わる平面波を表しています 。z方向をnの方向、x方向をEの方向と定義すると 、 磁場 は y 方向 に あり 、 電場 と次の関係があります。
c 2 ∂ B ∂ z = ∂ E ∂ t . {\displaystyle c^{2}{\partial B \over \partial z}={\partial E \over \partial t}.}
電場と磁場の発散はゼロなので、伝播方向には場は存在しません。
この解は波動方程式の直線 偏光 解です。また、場が法線ベクトルを中心に回転する円偏光解も存在します。
スペクトル分解 真空中におけるマクスウェル方程式の線形性により、解は 正弦波の重ね合わせに分解できる。これは、微分方程式を解くための フーリエ変換 法の基礎となる 。電磁波方程式の正弦波解は、以下の形をとる。
E ( r , t ) = E 0 cos ( ω t − k ⋅ r + ϕ 0 ) B ( r , t ) = B 0 cos ( ω t − k ⋅ r + ϕ 0 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)&=\mathbf {E} _{0}\cos(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} +\phi _{0})\\\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)&=\mathbf {B} _{0}\cos(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} +\phi _{0})\end{aligned}}}
どこ
t は時間（秒）です。 ωは 角周波数 （ラジアン/秒） です。 k = ( k x , k y , k z ) は 波数ベクトル （ラジアン/メートル）であり、 ϕ 0 {\displaystyle \phi _{0}} 位相角 （ラジアン） です。 波数ベクトルは角周波数と次の関係がある。
k = | k | = ω c = 2 π λ {\displaystyle k=|\mathbf {k} |={\omega \over c}={2\pi \over \lambda }}
ここで、 k は 波数 、 λは 波長 です 。
電磁 スペクトル は、波長の関数として場の強度（またはエネルギー）をプロットしたものです。
多極展開 時間とともに変化する単色場を仮定し 、マクスウェル方程式を使って Bを 消去すると、電磁波方程式は E について ヘルムホルツ方程式 に簡約されます。 e − i ω t {\displaystyle e^{-i\omega t}}
( ∇ 2 + k 2 ) E = 0 , B = − i k ∇ × E , {\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {E} =0,\,\mathbf {B} =-{\frac {i}{k}}\nabla \times \mathbf {E} ,}
ここで、 k = ω / c は上記の通りである。あるいは、 E を消去して B を代入すると、以下の式が得られる。
( ∇ 2 + k 2 ) B = 0 , E = − i k ∇ × B . {\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {B} =0,\,\mathbf {E} =-{\frac {i}{k}}\nabla \times \mathbf {B} .}
周波数ω を持つ一般的な電磁場は、 これら2つの方程式の解の和として表すことができます。 ヘルムホルツ方程式の3次元解は、 球面ベッセル関数 に比例する係数を持つ 球面調和関数 の展開として表すことができます 。しかし、この展開を E または B の各ベクトル成分に適用すると、一般的に発散のない解（ ∇ ⋅ E = ∇ ⋅ B = 0 ）が得られないため、係数に追加の制約が必要になります。
多重極展開は、 E や B ではなく、 r ⋅ E または r ⋅ B を球面調和関数に展開することで、この困難を回避します。これらの展開でも、 発散のない場 F に対して ∇ 2 ( r ⋅ F ) = r ⋅ (∇ 2 F )となるため、 E と B に関する元のヘルムホルツ方程式を解くことができます。結果として得られる一般的な電磁場の式は以下のようになります。
E = e − i ω t ∑ l , m l ( l + 1 ) [ a E ( l , m ) E l , m ( E ) + a M ( l , m ) E l , m ( M ) ] B = e − i ω t ∑ l , m l ( l + 1 ) [ a E ( l , m ) B l , m ( E ) + a M ( l , m ) B l , m ( M ) ] , {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &=e^{-i\omega t}\sum _{l,m}{\sqrt {l(l+1)}}\left[a_{E}(l,m)\mathbf {E} _{l,m}^{(E)}+a_{M}(l,m)\mathbf {E} _{l,m}^{(M)}\right]\\\mathbf {B} &=e^{-i\omega t}\sum _{l,m}{\sqrt {l(l+1)}}\left[a_{E}(l,m)\mathbf {B} _{l,m}^{(E)}+a_{M}(l,m)\mathbf {B} _{l,m}^{(M)}\right]\,,\end{aligned}}}
ここで 、 およびは (l, m)次の電気多重極場 、 および は対応する 磁気多重極場 、 a E ( l , m ) および a M ( l , m ) は展開の係数である。多重極場は次のように与えられる。 E l , m ( E ) {\displaystyle \mathbf {E} _{l,m}^{(E)}} B l , m ( E ) {\displaystyle \mathbf {B} _{l,m}^{(E)}} E l , m ( M ) {\displaystyle \mathbf {E} _{l,m}^{(M)}} B l , m ( M ) {\displaystyle \mathbf {B} _{l,m}^{(M)}}
B l , m ( E ) = l ( l + 1 ) [ B l ( 1 ) h l ( 1 ) ( k r ) + B l ( 2 ) h l ( 2 ) ( k r ) ] Φ l , m E l , m ( E ) = i k ∇ × B l , m ( E ) E l , m ( M ) = l ( l + 1 ) [ E l ( 1 ) h l ( 1 ) ( k r ) + E l ( 2 ) h l ( 2 ) ( k r ) ] Φ l , m B l , m ( M ) = − i k ∇ × E l , m ( M ) , {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {B} _{l,m}^{(E)}&={\sqrt {l(l+1)}}\left[B_{l}^{(1)}h_{l}^{(1)}(kr)+B_{l}^{(2)}h_{l}^{(2)}(kr)\right]\mathbf {\Phi } _{l,m}\\\mathbf {E} _{l,m}^{(E)}&={\frac {i}{k}}\nabla \times \mathbf {B} _{l,m}^{(E)}\\\mathbf {E} _{l,m}^{(M)}&={\sqrt {l(l+1)}}\left[E_{l}^{(1)}h_{l}^{(1)}(kr)+E_{l}^{(2)}h_{l}^{(2)}(kr)\right]\mathbf {\Phi } _{l,m}\\\mathbf {B} _{l,m}^{(M)}&=-{\frac {i}{k}}\nabla \times \mathbf {E} _{l,m}^{(M)}\,,\end{aligned}}}
ここで、 h l (1,2) ( x ) は 球面ハンケル関数 、 E l (1,2) と B l (1,2) は境界条件によって決定され、
Φ l , m = 1 l ( l + 1 ) ( r × ∇ ) Y l , m {\displaystyle \mathbf {\Phi } _{l,m}={\frac {1}{\sqrt {l(l+1)}}}(\mathbf {r} \times \nabla )Y_{l,m}}
ベクトル球面調和関数 は 正規化されており、
∫ Φ l , m ∗ ⋅ Φ l ′ , m ′ d Ω = δ l , l ′ δ m , m ′ . {\displaystyle \int \mathbf {\Phi } _{l,m}^{*}\cdot \mathbf {\Phi } _{l',m'}d\Omega =\delta _{l,l'}\delta _{m,m'}.}
電磁場の多重極展開は、球対称性を伴う多くの問題、例えばアンテナの 放射パターン や原子核の ガンマ崩壊などに応用されている。これらの応用では、 遠方場 に放射される電力に関心が寄せられることが多い 。この領域では、 電界 と 磁界 は漸近的に
B ≈ e i ( k r − ω t ) k r ∑ l , m ( − i ) l + 1 [ a E ( l , m ) Φ l , m + a M ( l , m ) r ^ × Φ l , m ] E ≈ B × r ^ . {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {B} &\approx {\frac {e^{i(kr-\omega t)}}{kr}}\sum _{l,m}(-i)^{l+1}\left[a_{E}(l,m)\mathbf {\Phi } _{l,m}+a_{M}(l,m)\mathbf {\hat {r}} \times \mathbf {\Phi } _{l,m}\right]\\\mathbf {E} &\approx \mathbf {B} \times \mathbf {\hat {r}} .\end{aligned}}}
時間平均放射電力の角度分布は次のように表される。
d P d Ω ≈ 1 2 k 2 | ∑ l , m ( − i ) l + 1 [ a E ( l , m ) Φ l , m × r ^ + a M ( l , m ) Φ l , m ] | 2 . {\displaystyle {\frac {dP}{d\Omega }}\approx {\frac {1}{2k^{2}}}\left|\sum _{l,m}(-i)^{l+1}\left[a_{E}(l,m)\mathbf {\Phi } _{l,m}\times \mathbf {\hat {r}} +a_{M}(l,m)\mathbf {\Phi } _{l,m}\right]\right|^{2}.}
参照
理論と実験
現象と応用
伝記
注記 ^ ISO 31 に従い、真空中の光速を表すために現在では c 0 が用いられています 。1983年の最初の勧告では、この目的で記号 c が使用されていました。NIST Special Publication 330、付録2、45ページ参照。Wayback Machineで2016年6月3日にアーカイブ。 ^ マクスウェル 1864、497ページ。 ^ Maxwell 1864、499ページを参照。
さらに読む
電磁気
ジャーナル記事 マクスウェル、ジェームズ・クラーク、「 電磁場の動的理論 」、ロンドン王立協会哲学論文集、155、459-512 (1865)。（この論文は、1864年12月8日にマクスウェルが王立協会で行った発表に付随するものである。）
学部レベルの教科書
大学院レベルの教科書
ベクトル計算 PC Matthews ベクトル計算 、Springer 1998、 ISBN 3-540-76180-2 HM Schey, Div Grad Curl and all that: An informal text on vector calculus , 4th edition (WW Norton & Company, 2005) ISBN 0-393-92516-1 。
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &=e^{-i\omega t}\sum _{l,m}{\sqrt {l(l+1)}}\left[a_{E}(l,m)\mathbf {E} _{l,m}^{(E)}+a_{M}(l,m)\mathbf {E} _{l,m}^{(M)}\right]\\\mathbf {B} &=e^{-i\omega t}\sum _{l,m}{\sqrt {l(l+1)}}\left[a_{E}(l,m)\mathbf {B} _{l,m}^{(E)}+a_{M}(l,m)\mathbf {B} _{l,m}^{(M)}\right]\,,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9bd81bcc18094a00580fc693e40fb49125e668f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {B} _{l,m}^{(E)}&={\sqrt {l(l+1)}}\left[B_{l}^{(1)}h_{l}^{(1)}(kr)+B_{l}^{(2)}h_{l}^{(2)}(kr)\right]\mathbf {\Phi } _{l,m}\\\mathbf {E} _{l,m}^{(E)}&={\frac {i}{k}}\nabla \times \mathbf {B} _{l,m}^{(E)}\\\mathbf {E} _{l,m}^{(M)}&={\sqrt {l(l+1)}}\left[E_{l}^{(1)}h_{l}^{(1)}(kr)+E_{l}^{(2)}h_{l}^{(2)}(kr)\right]\mathbf {\Phi } _{l,m}\\\mathbf {B} _{l,m}^{(M)}&=-{\frac {i}{k}}\nabla \times \mathbf {E} _{l,m}^{(M)}\,,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d938769bfe8f5eb7ff3222338801c2fb4928bb8f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {B} &\approx {\frac {e^{i(kr-\omega t)}}{kr}}\sum _{l,m}(-i)^{l+1}\left[a_{E}(l,m)\mathbf {\Phi } _{l,m}+a_{M}(l,m)\mathbf {\hat {r}} \times \mathbf {\Phi } _{l,m}\right]\\\mathbf {E} &\approx \mathbf {B} \times \mathbf {\hat {r}} .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/830a465252ce6bd6118c1fc45adbb4836d93d7a3)
![{\displaystyle {\frac {dP}{d\Omega }}\approx {\frac {1}{2k^{2}}}\left|\sum _{l,m}(-i)^{l+1}\left[a_{E}(l,m)\mathbf {\Phi } _{l,m}\times \mathbf {\hat {r}} +a_{M}(l,m)\mathbf {\Phi } _{l,m}\right]\right|^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1ffd55668cb3d7afe8d6887c3d25d55e722f160)
