ルーカスシーケンス

Certain constant-recursive integer sequences

数学において、ルーカス列とルーカス数列は、 再帰関係を満たす特定の定数再帰整数列である。 ${\displaystyle U_{n}(P,Q)}$ ${\displaystyle V_{n}(P,Q)}$

${\displaystyle x_{n}=P\cdot x_{n-1}-Q\cdot x_{n-2}}$

ここで、およびは固定の整数である。この再帰関係を満たす任意の数列は、ルーカス数列と ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle U_{n}(P,Q)}$ ${\displaystyle V_{n}(P,Q).}$

より一般的には、ルーカス数列と は整数係数を持つおよびの多項式の数列を表します。 ${\displaystyle U_{n}(P,Q)}$ ${\displaystyle V_{n}(P,Q)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

ルーカス数列の有名な例としては、フィボナッチ数、メルセンヌ数、ペル数、ルーカス数、ヤコブスター数、そしてフェルマー数の上位集合（下記参照）が挙げられます。ルーカス数列は、フランスの数学者エドゥアール・ルーカスにちなんで名付けられました。

再帰関係

2つの整数パラメータとが与えられた場合、第1種および第2種のルーカス列は再帰関係によって定義されます。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle U_{n}(P,Q)}$ ${\displaystyle V_{n}(P,Q)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}U_{0}(P,Q)&=0,\\U_{1}(P,Q)&=1,\\U_{n}(P,Q)&=P\cdot U_{n-1}(P,Q)-Q\cdot U_{n-2}(P,Q){\mbox{ for }}n>1,\end{aligned}}}$

そして

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{0}(P,Q)&=2,\\V_{1}(P,Q)&=P,\\V_{n}(P,Q)&=P\cdot V_{n-1}(P,Q)-Q\cdot V_{n-2}(P,Q){\mbox{ for }}n>1.\end{aligned}}}$

について、 ${\displaystyle n>0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}U_{n}(P,Q)&={\frac {P\cdot U_{n-1}(P,Q)+V_{n-1}(P,Q)}{2}},\\V_{n}(P,Q)&={\frac {(P^{2}-4Q)\cdot U_{n-1}(P,Q)+P\cdot V_{n-1}(P,Q)}{2}}.\end{aligned}}}$

上記の関係は、行列形式で次のように表すことができます。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}U_{n}(P,Q)\\U_{n+1}(P,Q)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\-Q&P\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}U_{n-1}(P,Q)\\U_{n}(P,Q)\end{bmatrix}},}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}V_{n}(P,Q)\\V_{n+1}(P,Q)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\-Q&P\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}V_{n-1}(P,Q)\\V_{n}(P,Q)\end{bmatrix}},}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}U_{n}(P,Q)\\V_{n}(P,Q)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}P/2&1/2\\(P^{2}-4Q)/2&P/2\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}U_{n-1}(P,Q)\\V_{n-1}(P,Q)\end{bmatrix}}.}$

例

ルーカス数列の初期項とは次の表に示すとおりです。 ${\displaystyle U_{n}(P,Q)}$ ${\displaystyle V_{n}(P,Q)}$

${\displaystyle {\begin{array}{r|l|l}n&U_{n}(P,Q)&V_{n}(P,Q)\\\hline 0&0&2\\1&1&P\\2&P&{P}^{2}-2Q\\3&{P}^{2}-Q&{P}^{3}-3PQ\\4&{P}^{3}-2PQ&{P}^{4}-4{P}^{2}Q+2{Q}^{2}\\5&{P}^{4}-3{P}^{2}Q+{Q}^{2}&{P}^{5}-5{P}^{3}Q+5P{Q}^{2}\\6&{P}^{5}-4{P}^{3}Q+3P{Q}^{2}&{P}^{6}-6{P}^{4}Q+9{P}^{2}{Q}^{2}-2{Q}^{3}\end{array}}}$

明示的な表現

ルーカス列との再帰関係の特性方程式は次のようになります。 ${\displaystyle U_{n}(P,Q)}$ ${\displaystyle V_{n}(P,Q)}$

${\displaystyle x^{2}-Px+Q=0\,}$

判別式 と語根は次のようになります。 ${\displaystyle D=P^{2}-4Q}$

${\displaystyle a={\frac {P+{\sqrt {D}}}{2}}\quad {\text{and}}\quad b={\frac {P-{\sqrt {D}}}{2}}.\,}$

したがって：

${\displaystyle a+b=P\,,}$

${\displaystyle ab={\frac {1}{4}}(P^{2}-D)=Q\,,}$

${\displaystyle a-b={\sqrt {D}}\,.}$

数列と数列も再帰関係を満たすことに注意してください。ただし、これらは整数数列ではない可能性があります。 ${\displaystyle a^{n}}$ ${\displaystyle b^{n}}$

明確なルーツ

のとき、aとbは異なるので、次のことがすぐに証明される。 ${\displaystyle D\neq 0}$

${\displaystyle a^{n}={\frac {V_{n}+U_{n}{\sqrt {D}}}{2}}}$

${\displaystyle b^{n}={\frac {V_{n}-U_{n}{\sqrt {D}}}{2}}.}$

したがって、ルーカス列の項はaとbを使って次のように 表すことができる。

${\displaystyle U_{n}={\frac {a^{n}-b^{n}}{a-b}}={\frac {a^{n}-b^{n}}{\sqrt {D}}}}$

${\displaystyle V_{n}=a^{n}+b^{n}\,}$

重複ルート

このケースは、ある整数Sに対して となるとき、まさに となる。この場合、 ${\displaystyle D=0}$ ${\displaystyle P=2S{\text{ and }}Q=S^{2}}$ ${\displaystyle a=b=S}$

${\displaystyle U_{n}(P,Q)=U_{n}(2S,S^{2})=nS^{n-1}\,}$

${\displaystyle V_{n}(P,Q)=V_{n}(2S,S^{2})=2S^{n}.\,}$

プロパティ

生成関数

通常の生成関数は

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}U_{n}(P,Q)z^{n}={\frac {z}{1-Pz+Qz^{2}}};}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}V_{n}(P,Q)z^{n}={\frac {2-Pz}{1-Pz+Qz^{2}}}.}$

ペル方程式

のとき、ルーカス列とは次のペル方程式を満たします。 ${\displaystyle Q=\pm 1}$ ${\displaystyle U_{n}(P,Q)}$ ${\displaystyle V_{n}(P,Q)}$

${\displaystyle V_{n}(P,1)^{2}-D\cdot U_{n}(P,1)^{2}=4,}$

${\displaystyle V_{n}(P,-1)^{2}-D\cdot U_{n}(P,-1)^{2}=4(-1)^{n}.}$

異なるパラメータを持つシーケンス間の関係

• 任意の数cに対して、シーケンスと ${\displaystyle U_{n}(P',Q')}$ ${\displaystyle V_{n}(P',Q')}$

${\displaystyle P'=P+2c}$

${\displaystyle Q'=cP+Q+c^{2}}$

は およびと同じ判別式を持ちます。 ${\displaystyle U_{n}(P,Q)}$ ${\displaystyle V_{n}(P,Q)}$

${\displaystyle P'^{2}-4Q'=(P+2c)^{2}-4(cP+Q+c^{2})=P^{2}-4Q=D.}$

• 任意の数cに対して、

${\displaystyle U_{n}(cP,c^{2}Q)=c^{n-1}\cdot U_{n}(P,Q),}$

${\displaystyle V_{n}(cP,c^{2}Q)=c^{n}\cdot V_{n}(P,Q).}$

その他の関係

ルーカス数列の項は、フィボナッチ数列 とルーカス数列の関係を一般化した関係式を満たします。例えば、 ${\displaystyle F_{n}=U_{n}(1,-1)}$ ${\displaystyle L_{n}=V_{n}(1,-1)}$

${\displaystyle {\begin{array}{l|l|r}{\text{General case}}&(P,Q)=(1,-1),D=P^{2}-4Q=5\\\hline DU_{n}={V_{n+1}-QV_{n-1}}=2V_{n+1}-PV_{n}&5F_{n}={L_{n+1}+L_{n-1}}=2L_{n+1}-L_{n}&(1)\\V_{n}=U_{n+1}-QU_{n-1}=2U_{n+1}-PU_{n}&L_{n}=F_{n+1}+F_{n-1}=2F_{n+1}-F_{n}&(2)\\U_{m+n}=U_{n}U_{m+1}-QU_{m}U_{n-1}=U_{m}V_{n}-Q^{n}U_{m-n}&F_{m+n}=F_{n}F_{m+1}+F_{m}F_{n-1}=F_{m}L_{n}-(-1)^{n}F_{m-n}&(3)\\U_{2n}=U_{n}(U_{n+1}-QU_{n-1})=U_{n}V_{n}&F_{2n}=F_{n}(F_{n+1}+F_{n-1})=F_{n}L_{n}&(4)\\U_{2n+1}=U_{n+1}^{2}-QU_{n}^{2}&F_{2n+1}=F_{n+1}^{2}+F_{n}^{2}&(5)\\V_{m+n}=V_{m}V_{n}-Q^{n}V_{m-n}=DU_{m}U_{n}+Q^{n}V_{m-n}&L_{m+n}=L_{m}L_{n}-(-1)^{n}L_{m-n}=5F_{m}F_{n}+(-1)^{n}L_{m-n}&(6)\\V_{2n}=V_{n}^{2}-2Q^{n}=DU_{n}^{2}+2Q^{n}&L_{2n}=L_{n}^{2}-2(-1)^{n}=5F_{n}^{2}+2(-1)^{n}&(7)\\U_{m+n}={\frac {U_{m}V_{n}+U_{n}V_{m}}{2}}&F_{m+n}={\frac {F_{m}L_{n}+F_{n}L_{m}}{2}}&(8)\\V_{m+n}={\frac {V_{m}V_{n}+DU_{m}U_{n}}{2}}&L_{m+n}={\frac {L_{m}L_{n}+5F_{m}F_{n}}{2}}&(9)\\V_{n}^{2}-DU_{n}^{2}=4Q^{n}&L_{n}^{2}-5F_{n}^{2}=4(-1)^{n}&(10)\\U_{n}^{2}-U_{n-1}U_{n+1}=Q^{n-1}&F_{n}^{2}-F_{n-1}F_{n+1}=(-1)^{n-1}&(11)\\V_{n}^{2}-V_{n-1}V_{n+1}=DQ^{n-1}&L_{n}^{2}-L_{n-1}L_{n+1}=5(-1)^{n-1}&(12)\\2^{n-1}U_{n}={n \choose 1}P^{n-1}+{n \choose 3}P^{n-3}D+\cdots &2^{n-1}F_{n}={n \choose 1}+5{n \choose 3}+\cdots &(13)\\2^{n-1}V_{n}=P^{n}+{n \choose 2}P^{n-2}D+{n \choose 4}P^{n-4}D^{2}+\cdots &2^{n-1}L_{n}=1+5{n \choose 2}+5^{2}{n \choose 4}+\cdots &(14)\end{array}}}$

これらのうち、(6)と(7)は、Uに依存しないVを、 2乗によるべき乗計算に類似した方法で高速に計算することを可能にする。関係式（上記の「異なるパラメータを持つシーケンス間の関係」のセクションに属する）も、この目的に役立つ。^[1] ${\displaystyle V_{mn}=V_{m}(P=V_{n},Q=Q_{n})}$

割り切れる性質

結論の一つとして、は の倍数である、すなわち、 は割り切れる数列である、ということが分かる。これは特に、が素数となり得るのはn が素数のときのみであることを意味する。もう一つの結論として、の二乗によるべき乗の類似性があり、これによりnの大きな値に対してを高速に計算できる。さらに、ならば は強割り切れる数列である。 ${\displaystyle U_{km}(P,Q)}$ ${\displaystyle U_{m}(P,Q)}$ ${\displaystyle (U_{m}(P,Q))_{m\geq 1}}$ ${\displaystyle U_{n}(P,Q)}$ ${\displaystyle U_{n}(P,Q)}$ ${\displaystyle \gcd(P,Q)=1}$ ${\displaystyle (U_{m}(P,Q))_{m\geq 1}}$

その他の割り切れる性質は以下の通りである: ^[2]

• nがmの奇数倍の場合、 を割り切ります。 ${\displaystyle V_{m}}$ ${\displaystyle V_{n}}$
• N を2 Qと互いに素な整数とする。Nを割り切る最小の正の整数r が存在する場合、 Nを割り切るnの集合はrの倍数の集合と全く同じである。 ${\displaystyle U_{r}}$ ${\displaystyle U_{n}}$
• PとQ が偶数の場合、を除いて は常に偶数になります。 ${\displaystyle U_{n},V_{n}}$ ${\displaystyle U_{1}}$
• Pが奇数でQ が偶数の場合、任意の に対して は常に奇数になります。 ${\displaystyle U_{n},V_{n}}$ ${\displaystyle n>0}$
• Pが偶数でQが奇数の場合、パリティはnと同じになり、常に偶数になります。 ${\displaystyle U_{n}}$ ${\displaystyle V_{n}}$
• PとQが奇数の場合、 nが 3 の倍数である場合にのみ、P と Q は偶数になります。 ${\displaystyle U_{n},V_{n}}$
• pが奇数の素数である場合、 （ルジャンドル記号を参照）。 ${\displaystyle U_{p}\equiv \left({\tfrac {D}{p}}\right),V_{p}\equiv P{\pmod {p}}}$
• pがPとQを割り切る奇数の素数である場合、p は任意のを割り切ります。 ${\displaystyle U_{n}}$ ${\displaystyle n>1}$
• pがP を割り切れるがQ を割り切れない奇数の素数である場合、n が偶数である場合にのみp は割り切れます。 ${\displaystyle U_{n}}$
• pがQ を割り切れる がP を割り切れない奇数の素数である場合、p はどの に対しても割り切れません。 ${\displaystyle U_{n}}$ ${\displaystyle n>0}$
• pがD を割り切れるがPQ を割り切れない奇数の素数である場合、p がnを割り切れる場合のみ、p がnを割り切れます。 ${\displaystyle U_{n}}$
• pがPQD を割り切れない奇数の素数である場合、p はを割り切れます(ただし ) 。 ${\displaystyle U_{l}}$ ${\displaystyle l=p-\left({\tfrac {D}{p}}\right)}$

最後の事実は、フェルマーの小定理を一般化したものです。これらの事実は、ルーカス・レーマー素数判定で用いられます。フェルマーの小定理と同様に、最後の事実の逆はしばしば成立しますが、常に成立するとは限りません。つまり、 Dと互いに素で、かつを割り切る合成数 nが存在します（ただし ）。このような合成数はルーカス擬素数と呼ばれます。 ${\displaystyle U_{l}}$ ${\displaystyle l=n-\left({\tfrac {D}{n}}\right)}$

ルーカス数列の項の素因数がその数列の前の項を割り切れない場合、その項の素因数は原始的と呼ばれます。カーマイケルの定理によれば、ルーカス数列の項のうち有限個を除くすべての項は原始素因数を持ちます。^[3] 実際、カーマイケル(1913) は、 Dが正でnが 1、2、6 のいずれでもない場合、に原始素因数があることを示しました。D が負の場合、 Bilu、Hanrot、Voutier、および Mignotte による詳細な結果^[4]から、 n > 30 の場合に原始素因数を持ち、すべての場合に原始素因数が存在しないことがわかります。 ${\displaystyle U_{n}}$ ${\displaystyle U_{n}}$ ${\displaystyle U_{n}}$

特定の名前

PとQのいくつかの値の Lucas シーケンスには特定の名前があります。

U _n (1, −1)  :フィボナッチ数列

V _n (1, −1)  :ルーカス数

U _n (2, −1)  :ペル数

V _n (2, −1)  :ペル・ルーカス数（コンパニオン・ペル数）

U _n (2, 1)  :数を数える

U _n (1, −2)  :ヤコブスタール数

V _n (1, −2)  :ヤコブスタール・ルーカス数

U _n (3, 2)  :メルセンヌ数 2 ⁿ − 1

V _n (3, 2) : 2 ⁿ + 1 の形の数。フェルマー数^[3]を含む。

U _n (6, 1) :平方三角数 の平方根。

U _n ( x , −1)  :フィボナッチ多項式

V _n ( x , −1)  :ルーカス多項式

U _n (2 x , 1)  :第二種チェビシェフ多項式

V _n (2 x , 1)  :第一種チェビシェフ多項式を2倍したもの

U _n ( x + 1, x )  : xを底とする再単位

V _n ( x + 1, x )  : x ⁿ + 1

いくつかのルーカス シーケンスは、オンライン整数シーケンス百科事典にエントリがあります。

${\displaystyle P\,}$	${\displaystyle Q\,}$	${\displaystyle U_{n}(P,Q)\,}$	${\displaystyle V_{n}(P,Q)\,}$
−1	3	OEIS : A214733
1	−1	OEIS : A000045	OEIS : A000032
1	1	OEIS : A128834	OEIS : A087204
1	2	OEIS : A107920	OEIS : A002249
2	−1	OEIS : A000129	OEIS : A002203
2	1	OEIS : A001477	OEIS : A007395
2	2	OEIS : A009545
2	3	OEIS : A088137
2	4	OEIS : A088138
2	5	OEIS : A045873
3	−5	OEIS : A015523	OEIS : A072263
3	−4	OEIS : A015521	OEIS : A201455
3	−3	OEIS : A030195	OEIS : A172012
3	−2	OEIS : A007482	OEIS : A206776
3	−1	OEIS : A006190	OEIS : A006497
3	1	OEIS : A001906	OEIS : A005248
3	2	OEIS : A000225	OEIS : A000051
3	5	OEIS : A190959
4	−3	OEIS : A015530	OEIS : A080042
4	−2	OEIS : A090017
4	−1	OEIS : A001076	OEIS : A014448
4	1	OEIS : A001353	OEIS : A003500
4	2	OEIS : A007070	OEIS : A056236
4	3	OEIS : A003462	OEIS : A034472
4	4	OEIS : A001787
5	−3	OEIS : A015536
5	−2	OEIS : A015535
5	−1	OEIS : A052918	OEIS : A087130
5	1	OEIS : A004254	OEIS : A003501
5	4	OEIS : A002450	OEIS : A052539
6	1	OEIS : A001109	OEIS : A003499

アプリケーション

• ルーカス シーケンスは、一般的に使用されるBaillie-PSW 素数判定テストの一部である確率的ルーカス擬素数テストで使用されます。
• ルーカス列は、ルーカス・レーマー法やルーカス・レーマー・リーゼル法、ブリルハート・レーマー・セルフリッジ1975のようなハイブリッドN−1/N+1法など、いくつかの素数証明法で使用されている。 ^{[5] [6]}
• LUCは、ルーカス系列^[7]に基づく公開鍵暗号システムであり、エルガマル（LUCELG）、ディフィー・ヘルマン（LUCDIF）、RSA （LUCRSA）の類似暗号を実装しています。LUCにおけるメッセージの暗号化は、 RSAやディフィー・ヘルマンのようにべき乗剰余を用いるのではなく、特定のルーカス系列の項として計算されます。しかし、べき乗剰余に基づく暗号システムに対するLUCのセキュリティ上の利点の多くは、実際には存在しないか、あるいは主張されているほど大きくないと主張されています^[8]。

ソフトウェア

• SageMathは、 と をそれぞれ関数と として実装します。^[9] ${\displaystyle U_{n}}$ ${\displaystyle V_{n}}$lucas_number1()lucas_number2()

参照

• ルーカス擬素数
• フロベニウス擬素数
• サマー・ルーカス擬素数

注記

1. アトナシェフ、パベル. 「ルーカス・レーマー・リーゼル素数判定のより簡単な代替法」.暗号学ePrintアーカイブ.
2. このような関係と割り切れる性質については、(Carmichael 1913)、(Lehmer 1930)、または(Ribenboim 1996, 2.IV)を参照してください。
3. Yabuta, M (2001). 「カーマイケルの原始因子定理の簡単な証明」(PDF) . Fibonacci Quarterly . 39 (5​​): 439– 443. doi :10.1080/00150517.2001.12428701 . 2018年10月4日閲覧。
4. Bilu, Yuri; Hanrot, Guillaume; Voutier, Paul M.; Mignotte, Maurice (2001). 「ルーカス数とレーマー数の原始因子の存在」(PDF) . J. Reine Angew. Math . 2001 (539): 75– 122. doi :10.1515/crll.2001.080. MR  1863855. S2CID  122969549.
5. 「素数証明 3.2 n+1 テストと Lucas-Lehmer テスト」。t5k.org。
6. ジョン・ブリルハート、デリック・ヘンリー・レーマー、ジョン・セル​​フリッジ（1975年4月）。「2m±1の新しい素数判定基準と因数分解」『計算数学』29 (130): 620–647 . doi : 10.1090/S0025-5718-1975-0384673-1 . JSTOR  2005583.
7. PJ Smith; MJJ Lennon (1993). 「LUC: 新しい公開鍵システム」.第9回IFIP国際シンポジウム「コンピュータセキュリティについて」議事録: 103–117 . CiteSeerX 10.1.1.32.1835 . 
8. D. Bleichenbacher; W. Bosma; AK Lenstra (1995). 「Lucasベース暗号システムに関する若干の考察」(PDF) .暗号学の進歩 — CRYPT0' 95.コンピュータサイエンス講義ノート. 第963巻. pp.  386– 396. doi : 10.1007/3-540-44750-4_31 . ISBN 978-3-540-60221-7。
9. 「組合せ関数 - 組合せ論」. doc.sagemath.org . 2023年7月13日閲覧。

参考文献

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• 数学百科事典のルーカス数列。
• ワイスタイン、エリック・W.「ルーカス・シーケンス」。マスワールド。
• Wei Dai .「暗号におけるルーカスシーケンス」

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