位相モジュール

数学において、位相加群とは、スカラー乗算と加算が連続するような位相環上の加群である。

例

モジュール位相とは、スカラー乗算と加算が連続となる最も微細な位相である。有限生成モジュール位相は位相環である。このモジュール位相の一般的な定義は環構造を持つ必要はなく、加算とスカラー乗算が存在するだけでよいことに注意されたい。^[1]

位相ベクトル空間は位相体上の位相モジュールです。

アーベル位相群は、離散 位相を持つ整数環である上の位相加群として考えることができます。 ${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

位相環は、その各部分環上の位相加群です。

より複雑な例として、環とその加群上の-進位相が挙げられる。環のイデアルを - とする。すべての正整数に対する形の集合は、位相環を形成する位相の基底となる。そして、任意の左- 加群に対して、すべての正整数に対する形の集合は、位相環を形成する位相の基底となる。そして、任意の左- 加群に対して、すべての正整数に対する形の集合は、位相環上の位相加群を形成する位相の基底となる。 ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R.}$ ${\displaystyle x+I^{n}}$ ${\displaystyle x\in R}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle x+I^{n}M,}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R.}$

参照

• 線形トポロジー
• 順序付き位相ベクトル空間
• 位相アーベル群
• 位相体 – 加算、乗算、除算を含む代数構造Pages displaying short descriptions of redirect targets
• 位相群 – 連続的な群作用を持つ位相空間である群
• 位相環
• 位相半群
• 位相ベクトル空間 – 近接性の概念を持つベクトル空間

参考文献

1. https://leanprover-community.github.io/mathlib4_docs/Mathlib/Topology/Algebra/Module/ModuleTopology.html#IsModuleTopology.isTopologicalRing

• アティヤ、マイケル・フランシス、マクドナルド、IG (1969). 『可換代数入門』ウェストビュー・プレス. ISBN 978-0-201-40751-8。
• Kuz'min, LV (1993). 「位相的加群」. Hazewinkel, M. (編).数学百科事典第9巻. Kluwer Academic Publishers .

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