交互多重線形マップ

Multilinear map that is 0 whenever arguments are linearly dependent

数学、より具体的には多重線型代数において、交代多重線型写像（こうかぶんたいしゃ）とは、すべての引数が同じベクトル空間（例えば、双線型形式や多重線型形式）に属する多重線型写像であり、その引数の任意の対が等しい場合は常に零となる。これは、可換環上の加群に直接一般化される。

交代化(または交代化)の概念は、すべての引数が同じ空間に属する任意の多重線型マップから交代多重線型マップを導出するために使用されます。

意味

を可換環とし、を 上の加群とする。 の形の多重線型写像は、以下の同値な条件を満たすとき、交代写像であると言われる。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f:V^{n}\to W}$

1. が存在するときはいつでも、その場合となる。^{[1] [2]} ${\textstyle 1\leq i\leq n-1}$ ${\displaystyle x_{i}=x_{i+1}}$ ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=0}$
2. が存在するときはいつでも、その場合となる。^{[1] [3]} ${\textstyle 1\leq i\neq j\leq n}$ ${\displaystyle x_{i}=x_{j}}$ ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=0}$

ベクトル空間

を同じ体上のベクトル空間とします。このとき、 の形の多重線型写像が交代写像であるとは、次の条件を満たすときです。 ${\displaystyle V,W}$ ${\displaystyle f:V^{n}\to W}$

• が線形従属である場合、。 ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=0}$

例

リー代数において、リー括弧は交代双線型写像である。行列の行列式は、行列の行または列の多重線型交代写像である。

プロパティ

交代多重線型写像の任意の成分が、基本環の任意のとに対して に置き換えられた場合、その写像の値は変化しない。^[3] ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}+cx_{j}}$ ${\displaystyle j\neq i}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle R}$

すべての交代多重線型写像は反対称である。^[4]は[1] または同等の 意味で、は次数の置換群を表し、はの符号を表す。 [ ^5]が基本環 の単位元である場合、すべての反対称-多重線型形式は交代である。 $${\displaystyle f(\dots ,x_{i},x_{i+1},\dots )=-f(\dots ,x_{i+1},x_{i},\dots )\quad {\text{ for any }}1\leq i\leq n-1,}$$ $${\displaystyle f(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)})=(\operatorname {sgn} \sigma )f(x_{1},\dots ,x_{n})\quad {\text{ for any }}\sigma \in \mathrm {S} _{n},}$$ ${\displaystyle \mathrm {S} _{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn} \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle n!}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle n}$

交替化

形式の多重線型写像が与えられたとき、によって定義される 交代多重線型写像はの交代化であるといわれます。 ${\displaystyle f:V^{n}\to W,}$ ${\displaystyle g:V^{n}\to W}$ $${\displaystyle g(x_{1},\ldots ,x_{n})\mathrel {:=} \sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )f(x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (n)})}$$ ${\displaystyle f}$

プロパティ

• -多重線型交代写像の交代化は、それ自身の倍数です。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n!}$
• 対称マップの交代化はゼロです。
• 双線型写像の交代化は双線型である。特に注目すべきは、任意のコサイクルの交代化は双線型であるということである。この事実は、格子の第二コホモロジー群を格子上の交代双線型形式の群と同一視する上で重要な役割を果たしている。

参照

• 交代代数
• 双線形写像
• 外積代数 § 交代多重線型形式
• 地図（数学）
• 多重線形代数
• 多重線形マップ
• 多重線形形式
• 対称化

注記

1. ラング 2002、511–512 ページ
2. ブルバキ 2007, A III.80, §4
3. ダミット＆フット 2004、436ページ
4. ロットマン 1995、235ページ
5. 火 2011、23ページ

参考文献

• ブルバキ、N. (2007)。数学的要素。 Vol. Algèbre Chapitres 1 から 3 (再版)。スプリンガー。
• ダミット, デイビッド・S.; フット, リチャード・M. (2004).抽象代数（第3版）. Wiley.
• ラング、セルジュ(2002).代数学.大学院数学テキスト. 第211巻 (改訂第3版). シュプリンガー. ISBN 978-0-387-95385-4. OCLC  48176673。
• ロットマン、ジョセフ・J. (1995).群論入門. 大学院数学テキスト. 第148巻（第4版）. シュプリンガー. ISBN 0-387-94285-8OCLC  30028913 。
• Tu, Loring W. (2011). 『多様体入門』 Springer-Verlag New York. ISBN 978-1-4419-7400-6。

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