繊維化

Concept in algebraic topology

ファイバ化の概念はファイバ束の概念を一般化し、数学の一分野である代数的位相幾何学において重要な役割を果たします。

ファイブレーションは、例えばポストニコフ系や閉塞理論で使用されます。

この記事では、すべてのマッピングは位相空間間の連続マッピングです。

正式な定義

ホモトピーリフティング特性

マッピングが空間のホモトピーリフティング特性を満たすのは、次の場合です。 ${\displaystyle p\colon E\to B}$ ${\displaystyle X}$

• すべてのホモトピー と ${\displaystyle h\colon X\times [0,1]\to B}$
• すべてのマッピング（リフトとも呼ばれる）リフティング（すなわち） ${\displaystyle {\tilde {h}}_{0}\colon X\to E}$ ${\displaystyle h|_{X\times 0}=h_{0}}$ ${\displaystyle h_{0}=p\circ {\tilde {h}}_{0}}$

（必ずしも一意ではない）ホモトピーリフティング（すなわち）が存在する。 ${\displaystyle {\tilde {h}}\colon X\times [0,1]\to E}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h=p\circ {\tilde {h}}}$ ${\displaystyle {\tilde {h}}_{0}={\tilde {h}}|_{X\times 0}.}$

次の可換図はこの状況を示している：^{[1] ：66}

繊維化

ファイバリング（Hurewiczファイバリングとも呼ばれる）は、すべての空間に対してホモトピーリフティング特性を満たす写像である。空間は基底空間と呼ばれ、空間は全空間と呼ばれる。ファイバリング上の空間は部分空間である^{[1] ：66} ${\displaystyle p\colon E\to B}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle b\in B}$ ${\displaystyle F_{b}=p^{-1}(b)\subseteq E.}$

セール線維

セールファイブレーション（弱ファイブレーションとも呼ばれる）は、すべてのCW複体に対してホモトピーリフティング特性を満たす写像である。^{[2] : 375-376} ${\displaystyle p\colon E\to B}$

すべての Hurewicz 線維は Serre 線維です。

準分化

任意の に対して が成り立ち、誘導されたマッピングが同型であるとき、そのマッピングは準同型と呼ばれます。 ${\displaystyle p\colon E\to B}$ ${\displaystyle b\in B,}$ ${\displaystyle e\in p^{-1}(b)}$ ${\displaystyle i\geq 0}$ ${\displaystyle p_{*}\colon \pi _{i}(E,p^{-1}(b),e)\to \pi _{i}(B,b)}$

すべてのセール線維化は準線維化である。^{[3] : 241-242}

例

• 最初の因子への射影はファイブレーションである。つまり、自明な束はファイブレーションである。 ${\displaystyle p\colon B\times F\to B}$
• あらゆる被覆 はファイバ化である。具体的には、あらゆるホモトピーとあらゆる揚力に対して、 ^{[4] : 159  [5] : 50}を満たす一意に定義された揚力が存在する。 ${\displaystyle p\colon E\to B}$ ${\displaystyle h\colon X\times [0,1]\to B}$ ${\displaystyle {\tilde {h}}_{0}\colon X\to E}$ ${\displaystyle {\tilde {h}}\colon X\times [0,1]\to E}$ ${\displaystyle p\circ {\tilde {h}}=h.}$
• 全てのファイバー束は 全てのCW複体に対してホモトピーリフティング特性を満たす。^{[2] : 379} ${\displaystyle p\colon E\to B}$
• パラコンパクトでハウスドルフ基底空間を持つファイバー束は、すべての空間に対してホモトピーリフティング特性を満たす。^{[2] : 379}
• ファイバー束ではないファイバー化の例としては、包含によって誘導される写像が挙げられ、ここでは位相空間であり、コンパクト開位相を持つすべての連続写像の空間である。^{[4] : 198} ${\displaystyle i^{*}\colon X^{I^{k}}\to X^{\partial I^{k}}}$ ${\displaystyle i\colon \partial I^{k}\to I^{k}}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{A}=\{f\colon A\to X\}}$
• ホップファイバ は非自明なファイバ束であり、具体的にはセールファイバです。 ${\displaystyle S^{1}\to S^{3}\to S^{2}}$

基本概念

ファイバーホモトピー同値

次の図が可換である場合、 2 つのファイブレーションの全空間と、同じ基本空間の間のマッピングはファイブレーション準同型です。 ${\displaystyle f\colon E_{1}\to E_{2}}$ ${\displaystyle p_{1}\colon E_{1}\to B}$ ${\displaystyle p_{2}\colon E_{2}\to B}$

写像がファイバーホモトピー同値であるとは、さらにファイバー準同型が存在し、その写像とがファイバー準同型によって恒等写像とにホモトピックとなることを意味する^{[2] ：405-406} ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g\colon E_{2}\to E_{1}}$ ${\displaystyle f\circ g}$ ${\displaystyle g\circ f}$ ${\displaystyle \operatorname {Id} _{E_{2}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Id} _{E_{1}}.}$

プルバックファイブレーション

ファイブレーションとマッピング が与えられたとき、マッピング はファイブレーション であり、 は引き戻しであり、 をおよびに射影すると、次の可換図が生成されます。 ${\displaystyle p\colon E\to B}$ ${\displaystyle f\colon A\to B}$ ${\displaystyle p_{f}\colon f^{*}(E)\to A}$ ${\displaystyle f^{*}(E)=\{(a,e)\in A\times E\ |\ f(a)=p(e)\}}$ ${\displaystyle f^{*}(E)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$

この繊維化はプルバック繊維化または誘導繊維化と呼ばれる。 ^{[2] : 405-406} ${\displaystyle p_{f}}$

パススペースファイブレーション

パススペース構成を用いると、任意の連続写像は、その定義域をホモトピー同値空間に拡大することでファイブレーションに拡張できる。このファイブレーションはパススペースファイブレーションと呼ばれる。

位相空間間の連続写像に対するパス空間ファイブレーションの全空間は、 のペアと、を始点とするパスから構成されます。ここで、は単位区間です。この空間は の部分空間位相を持ち、はすべての写像の空間を記述し、 はコンパクト開位相を持ちます。 ${\displaystyle E_{f}}$ ${\displaystyle f\colon A\to B}$ ${\displaystyle (a,\gamma )}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle \gamma \colon I\to B}$ ${\displaystyle \gamma (0)=f(a),}$ ${\displaystyle I=[0,1]}$ ${\displaystyle E_{f}=\{(a,\gamma )\in A\times B^{I}|\gamma (0)=f(a)\}}$ ${\displaystyle A\times B^{I},}$ ${\displaystyle B^{I}}$ ${\displaystyle I\to B}$

パススペースファイバは、とのマッピングによって与えられます。ファイバは のホモトピーファイバとも呼ばれ、および のパスとのペアで構成されます。ここで、 および が成り立ちます。 ${\displaystyle p\colon E_{f}\to B}$ ${\displaystyle p(a,\gamma )=\gamma (1).}$ ${\displaystyle F_{f}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (a,\gamma )}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to B,}$ ${\displaystyle \gamma (0)=f(a)}$ ${\displaystyle \gamma (1)=b_{0}\in B}$

基点 を含む特殊なケースでは、パス空間ファイブレーションの重要な例が現れる。全空間はから始まるすべてのパス から構成される。この空間は で表され、パス空間と呼ばれる。パス空間ファイブレーションは各パスをその終点に写像するため、ファイバーはすべての閉じたパスから構成される。ファイバーは で表され、ループ空間と呼ばれる。^{[2] : 407-408} ${\displaystyle i\colon b_{0}\to B}$ ${\displaystyle E_{i}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle b_{0}.}$ ${\displaystyle PB}$ ${\displaystyle p\colon PB\to B}$ ${\displaystyle p^{-1}(b_{0})}$ ${\displaystyle \Omega B}$

プロパティ

• 上のファイバーは^[2]の各パス成分に対してホモトピー同値である^:405 ${\displaystyle p^{-1}(b)}$ ${\displaystyle b\in B}$ ${\displaystyle B.}$
• ホモトピーに対して、プルバックファイブレーションとファイバーホモトピーは同値である。^{[2] : 406} ${\displaystyle f\colon [0,1]\times A\to B}$ ${\displaystyle f_{0}^{*}(E)\to A}$ ${\displaystyle f_{1}^{*}(E)\to A}$
• 基底空間が収縮可能ならば、ファイバ化はファイバホモトピーであり、積ファイバ化と同値である^{[2] ：406} ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle p\colon E\to B}$ ${\displaystyle B\times F\to B.}$
• ファイバ化のパススペースファイバ化はそれ自身と非常に類似している。より正確には、包含はファイバホモトピー同値である。^{[2] : 408} ${\displaystyle p\colon E\to B}$ ${\displaystyle E\hookrightarrow E_{p}}$
• 繊維と収縮可能な全空間を持つ繊維化に対しては、弱ホモトピー同値が存在する^{[2] ：408} ${\displaystyle p\colon E\to B}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F\to \Omega B.}$

パッペシーケンス

ファイバーと基底点を持つファイブレーションの場合、ファイバーをホモトピーファイバーに含めることはホモトピー同値である。と を基底空間における からへのパスとしたとき、 への写像はファイブレーションである。具体的には、に沿ったパス空間ファイブレーションの引き戻しファイブレーションである。この手順はファイブレーションにも適用でき、これを繰り返していく。これは長いシーケンスにつながる。 ${\displaystyle p\colon E\to B}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle b_{0}\in B}$ ${\displaystyle F\hookrightarrow F_{p}}$ ${\displaystyle i\colon F_{p}\to E}$ ${\displaystyle i(e,\gamma )=e}$ ${\displaystyle e\in E}$ ${\displaystyle \gamma \colon I\to B}$ ${\displaystyle p(e)}$ ${\displaystyle b_{0}}$ ${\displaystyle PB\to B}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle \cdots \to F_{j}\to F_{i}\xrightarrow {j} F_{p}\xrightarrow {i} E\xrightarrow {p} B.}$

点上ののファイバーは、のペアから構成されます。ここで はから へのパス、つまりループ空間 です。のファイバーをのホモトピーファイバーに含めることは、再びホモトピー同値となり、反復処理によって以下の数列が得られます。 ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle e_{0}\in p^{-1}(b_{0})}$ ${\displaystyle (e_{0},\gamma )}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle p(e_{0})=b_{0}}$ ${\displaystyle b_{0}}$ ${\displaystyle \Omega B}$ ${\displaystyle \Omega B\hookrightarrow F_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle \cdots \Omega ^{2}B\to \Omega F\to \Omega E\to \Omega B\to F\to E\to B.}$

ファイブレーションとコファイブレーションの双対性により、コファイブレーションの列も存在する。これらの2つの列は、プッペ列、あるいはファイブレーションとコファイブレーションの列として知られている。^{[2] : 407-409}

主繊維化

ファイバーを持つファイバー化は、可換図が存在する場合、主ファイバー化と呼ばれます。 ${\displaystyle p\colon E\to B}$ ${\displaystyle F}$

下の行はファイブレーションの列であり、垂直写像は弱ホモトピー同値である。主ファイブレーションはポストニコフ塔において重要な役割を果たしている。^{[2] : 412}

ホモトピー群の長完全列

セールファイバに対しては、ホモトピー群の長い正確な列が存在する。基点とに対して、これは次のように与えられる。 ${\displaystyle p\colon E\to B}$ ${\displaystyle b_{0}\in B}$ ${\displaystyle x_{0}\in F=p^{-1}(b_{0})}$

${\displaystyle \cdots \rightarrow \pi _{n}(F,x_{0})\rightarrow \pi _{n}(E,x_{0})\rightarrow \pi _{n}(B,b_{0})\rightarrow \pi _{n-1}(F,x_{0})\rightarrow }$ ${\displaystyle \cdots \rightarrow \pi _{0}(F,x_{0})\rightarrow \pi _{0}(E,x_{0}).}$

準同型写像 と射影写像は、包含写像と射影写像の誘導準同型写像である^{[2] ：376} ${\displaystyle \pi _{n}(F,x_{0})\rightarrow \pi _{n}(E,x_{0})}$ ${\displaystyle \pi _{n}(E,x_{0})\rightarrow \pi _{n}(B,b_{0})}$ ${\displaystyle i\colon F\hookrightarrow E}$ ${\displaystyle p\colon E\rightarrow B.}$

ホップファイブレーション

ホップファイバは、ファイバ、全空間、およびベース空間が球であるファイバ束の族です。

${\displaystyle S^{0}\hookrightarrow S^{1}\rightarrow S^{1},}$

${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{3}\rightarrow S^{2},}$

${\displaystyle S^{3}\hookrightarrow S^{7}\rightarrow S^{4},}$

${\displaystyle S^{7}\hookrightarrow S^{15}\rightarrow S^{8}.}$

ホップファイバのホモトピー群の長い正確な列は次式を生成します。 ${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{3}\rightarrow S^{2}}$

${\displaystyle \cdots \rightarrow \pi _{n}(S^{1},x_{0})\rightarrow \pi _{n}(S^{3},x_{0})\rightarrow \pi _{n}(S^{2},b_{0})\rightarrow \pi _{n-1}(S^{1},x_{0})\rightarrow }$ ${\displaystyle \cdots \rightarrow \pi _{1}(S^{1},x_{0})\rightarrow \pi _{1}(S^{3},x_{0})\rightarrow \pi _{1}(S^{2},b_{0}).}$

このシーケンスは、ファイバーが点まで収縮可能なため、短い正確なシーケンスに分割されます。 ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle S^{3}}$

${\displaystyle 0\rightarrow \pi _{i}(S^{3})\rightarrow \pi _{i}(S^{2})\rightarrow \pi _{i-1}(S^{1})\rightarrow 0.}$

この短い完全列は、懸垂準同型により分割され、同型が存在します。 ${\displaystyle \phi \colon \pi _{i-1}(S^{1})\to \pi _{i}(S^{2})}$

${\displaystyle \pi _{i}(S^{2})\cong \pi _{i}(S^{3})\oplus \pi _{i-1}(S^{1}).}$

ホモトピー群はに対して自明なので、との間には同型が存在する。 ${\displaystyle \pi _{i-1}(S^{1})}$ ${\displaystyle i\geq 3,}$ ${\displaystyle \pi _{i}(S^{2})}$ ${\displaystyle \pi _{i}(S^{3})}$ ${\displaystyle i\geq 3.}$

類似して、の繊維との繊維は点に縮約可能である。さらに、短完全列は分解し、同型の族が存在する：^{[6] : 111} ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle S^{7}}$ ${\displaystyle S^{7}}$ ${\displaystyle S^{15}}$

${\displaystyle \pi _{i}(S^{4})\cong \pi _{i}(S^{7})\oplus \pi _{i-1}(S^{3})}$そして ${\displaystyle \pi _{i}(S^{8})\cong \pi _{i}(S^{15})\oplus \pi _{i-1}(S^{7}).}$

スペクトル配列

スペクトル列は、代数位相幾何学において（コ）ホモロジー群を計算するための重要なツールです。

ルレイ＝セールのスペクトル列は、全空間とファイバーの（コ）ホモロジーを、ファイバー化の基本空間の（コ）ホモロジーと結び付ける。基本空間がパス連結CW複体であるファイバーを含むファイバー化と、加法ホモロジー理論に対して、スペクトル列が存在する：^{[7] : 242} ${\displaystyle p\colon E\to B}$ ${\displaystyle F,}$ ${\displaystyle G_{*}}$

${\displaystyle H_{k}(B;G_{q}(F))\cong E_{k,q}^{2}\implies G_{k+q}(E).}$

ホモトピーとは異なり、ホモロジーにおいてはファイブレーションは長い完全列を生じません。しかし、特定の条件下では、ファイブレーションはホモロジーにおいて完全列を与えます。基底空間とファイバーが経路連結されているファイバーを含むファイブレーションの場合、基本群は自明に作用し、さらにおよびの条件が満たされると、完全列（セール完全列とも呼ばれます）が存在します。 ${\displaystyle p\colon E\to B}$ ${\displaystyle F,}$ ${\displaystyle \pi _{1}(B)}$ ${\displaystyle H_{*}(F)}$ ${\displaystyle H_{p}(B)=0}$ ${\displaystyle 0<p<m}$ ${\displaystyle H_{q}(F)=0}$ ${\displaystyle 0<q<n}$

${\displaystyle H_{m+n-1}(F)\xrightarrow {i_{*}} H_{m+n-1}(E)\xrightarrow {f_{*}} H_{m+n-1}(B)\xrightarrow {\tau } H_{m+n-2}(F)\xrightarrow {i^{*}} \cdots \xrightarrow {f_{*}} H_{1}(B)\to 0.}$^{[7] : 250}

このシーケンスは、例えば、Hurewiczの定理を証明したり、 ^[8]の形式のループ空間のホモロジーを計算したりするために 使用できます^。162 ${\displaystyle \Omega S^{n}:}$

${\displaystyle H_{k}(\Omega S^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} &\exists q\in \mathbb {Z} \colon k=q(n-1)\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}.}$

基底空間がファイバーを持つ球面であるファイバー化の特別な場合では、ホモロジーとコホモロジーの正確な列（ワング列とも呼ばれる）が存在する： ^{[1] ：456} ${\displaystyle p\colon E\to S^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F,}$

${\displaystyle \cdots \to H_{q}(F)\xrightarrow {i_{*}} H_{q}(E)\to H_{q-n}(F)\to H_{q-1}(F)\to \cdots }$ ${\displaystyle \cdots \to H^{q}(E)\xrightarrow {i^{*}} H^{q}(F)\to H^{q-n+1}(F)\to H^{q+1}(E)\to \cdots }$

方向性

ファイバーを持つファイバー群と単位を持つ固定可換環に対して、次数付き-加群のカテゴリへの反変関手が存在し、これは加群と経路類に準同型写像を割り当てる。ここで、はホモトピー類である。 ${\displaystyle p\colon E\to B}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle b\in B}$ ${\displaystyle H_{*}(F_{b},R)}$ ${\displaystyle [\omega ]}$ ${\displaystyle h[\omega ]_{*}\colon H_{*}(F_{\omega (0)},R)\to H_{*}(F_{\omega (1)},R),}$ ${\displaystyle h[\omega ]}$ ${\displaystyle [F_{\omega (0)},F_{\omega (1)}].}$

ファイバリングは、任意の閉路に対して次が成り立つとき、上向きに向き可能であると呼ばれる：^{[1] : 476} ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle h[\omega ]_{*}=1.}$

オイラー特性

ファイバーとパスが連結された基本空間を持つ体上の有向ファイバ化の場合、全空間のオイラー特性は次のように与えられます。 ${\displaystyle p\colon E\to B}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle \chi (E)=\chi (B)\chi (F).}$

ここで、基底空間とファイバーのオイラー特性は体上で定義される。^{[1] : 481} ${\displaystyle \mathbb {K} }$

参照

• 近似繊維化

参考文献

1. スパニエ、エドウィン・H. (1966).代数的位相幾何学.マグロウヒル・ブック・カンパニー. ISBN 978-0-387-90646-1。
2. ハッチャー、アレン(2001).代数的位相幾何学. ニューヨーク:ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-79160-X。
3. ドルド、アルブレヒト;トム、ルネ（1958年）。 「Quasifaserungen und Unendliche Symmetrische Produkte」。数学年報。67 (2): 239–281。土井:10.2307/1970005。JSTOR  1970005。
4. ローレス、ゲルト;マルクス・ジミク（2014）。Grundkurs Topologie (ドイツ語) (第 2 版)。スプリンガー・スペクトラム。土井：10.1007/978-3-662-45953-9。ISBN 978-3-662-45952-2。
5. メイ、JP (1999). 『代数的位相幾何学の簡潔な講座』（PDF） .シカゴ大学出版局. ISBN 0-226-51182-0. OCLC  41266205。
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7. Davis, James F.; Kirk, Paul (1991). 代数的位相幾何学講義ノート(PDF) . インディアナ大学数学部.
8. Cohen, Ralph L. (1998). ファイバー束のトポロジー講義ノート(PDF) . スタンフォード大学.

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