集中化と標準化

Special types of subgroups encountered in group theory

数学、特に群論において、群Gの部分集合Sの中心化元 （可換元^{[1] [2]とも呼ば}れる）は、Sのすべての元と可換なGの元の集合、またはそれと同義で、 による共役によってSの各元が固定されるような元の集合である。GにおけるSの正規化元は、共役の下で集合が固定されるという弱い条件を満たすGの元の集合である。 S の中心化元と正規化元はGの部分群である。群論における多くの手法は、適切な部分集合Sの中心化元と正規化元を研究することに基づいている 。 ${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(S)}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathrm {N} _{G}(S)}$ ${\displaystyle S\subseteq G}$

適切に定式化すれば、定義は半群にも適用されます。

環論において、環の部分集合の中心化は、環の乗法（半群演算）に関して定義される。環Rの部分集合の中心化は、 Rの部分環である。本稿では、リー代数における中心化と正規化についても扱う。

半群または環における理想化は、中心化や正規化と同じような別の構成です。

定義

グループとセミグループ

群（または半群）Gの部分集合の中心化は次のように定義される^[3] ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \mathrm {C} _{G}(S)=\left\{g\in G\mid gs=sg{\text{ for all }}s\in S\right\}=\left\{g\in G\mid gsg^{-1}=s{\text{ for all }}s\in S\right\},}$

ただし、半群には最初の定義のみが適用されます。対象となる群について曖昧さがない場合は、Gを表記から省略できます。が単集合の場合、C _G ({ a })ではなくC _G ( a )と書きます。中心化を表すあまり一般的ではない別の表記法として Z( a ) があり、これは中心の表記法と類似しています。この後者の表記法を使用する場合、群Gの中心であるZ( G ) と、Gの元gの中心であるZ( g ) を混同しないように注意する必要があります。 ${\displaystyle S=\{a\}}$

群（または半群）GにおけるSの正規化子は次のように定義される。

${\displaystyle \mathrm {N} _{G}(S)=\left\{g\in G\mid gS=Sg\right\}=\left\{g\in G\mid gSg^{-1}=S\right\},}$

ここでも、半群には最初の定義のみが適用されます。集合が のサブグループである場合、正規化群 はが の正規サブグループである最大のサブグループです。中心化群と正規化群の定義は類似していますが、同一ではありません。g が の中心化群に含まれ、s が に含まれる場合、 gs = sgでなければなりませんが、g が正規化群に含まれる場合、内の何らかのtに対してgs = tgとなります。ただし、tはsと異なる場合があります。つまり、 の中心化群の要素はと点ごとに交換する必要がありますが、 Sの正規化群の要素は集合 として Sと交換するだけで済みます。中心化群について上記で述べたのと同じ表記規則が正規化群にも適用されます。正規化群を正規閉包と混同しないようにしてください。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N_{G}(S)}$ ${\displaystyle G'\subseteq G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G'}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

明らかに、 と は両方とも のサブグループです。 ${\displaystyle C_{G}(S)\subseteq N_{G}(S)}$ ${\displaystyle G}$

環、体上の代数、リー環、リー代数

Rが体上の環または代数であり、がRのサブセットである場合、 の中心化は、 Gの代わりにR がある、グループに対して定義されているのとまったく同じです。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

がリー積[ x , y ]を持つリー代数（またはリー環）である場合、の部分集合の中心化は^[4]と定義される。 ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$

${\displaystyle \mathrm {C} _{\mathfrak {L}}(S)=\{x\in {\mathfrak {L}}\mid [x,s]=0{\text{ for all }}s\in S\}.}$

リー環の中心化子の定義は、環の定義と以下のように結びついています。Rが結合環である場合、Rには括弧積 [ x , y ] = xy − yxを与えることができます。もちろん、xy = yxと[ x , y ] = 0は同値です。括弧積を持つ集合Rを L _Rと表記すると、Rにおけるの環中心化子は L _Rにおけるのリー環中心化子と明らかに等しくなります。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

リー括弧は、集合 をそれ自身に対して行う演算とみなすこともできます。なぜなら だからです。リー括弧はグループを作成し、その中心化要素はすべて の要素になります。ただし、リー括弧は交代的であるため、この条件は と等価です。したがって、中心化要素は、リー代数に対してもグループと同じように定義されます。 ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$ ${\displaystyle [*,*]:{\mathfrak {L}}\times {\mathfrak {L}}\rightarrow {\mathfrak {L}}}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {L}},[*,*])}$ ${\displaystyle \{x\in {\mathfrak {L}}\mid [x,s]=[s,x]{\text{ for all }}s\in S\}.}$ ${\displaystyle \{x\in {\mathfrak {L}}\mid [x,s]=0{\text{ for all }}s\in S\}.}$

リー代数（またはリー環）の部分集合の正規化子は^[4]で与えられる。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$

${\displaystyle \mathrm {N} _{\mathfrak {L}}(S)=\{x\in {\mathfrak {L}}\mid [x,s]\in S{\text{ for all }}s\in S\}.}$

これはリー代数における「正規化子」という用語の標準的な用法であるが、この構成は実際にはにおける集合のイデアル化子である。が の加法部分群である場合、 は がリーイデアルである最大のリー部分環（またはリー部分代数）である。^[5] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$ ${\displaystyle \mathrm {N} _{\mathfrak {L}}(S)}$ ${\displaystyle S}$

例

グループを考えてみましょう

${\displaystyle G=S_{3}=\{[1,2,3],[1,3,2],[2,1,3],[2,3,1],[3,1,2],[3,2,1]\}}$(3 つの要素の順列の対称群)。

グループのサブセットを取ります。 ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle H=\{[1,2,3],[1,3,2]\}.}$

は の恒等置換であり、各要素の順序が保持され、 は最初の要素を固定し、2 番目と 3 番目の要素を入れ替える置換であることに注意してください。 ${\displaystyle [1,2,3]}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle [1,3,2]}$

群 に関するの正規化子は、の元が と共役なときに （潜在的に順序が入れ替わった）集合 を生成するの元すべてです。 の各元について例を解いてみましょう。 ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle [1,2,3]}$に適用された場合: ; したがって、正規化子 に含まれます。 ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \{[1,2,3],[1,3,2]\}=H}$ ${\displaystyle [1,2,3]}$ ${\displaystyle N_{G}(H)}$

${\displaystyle [1,3,2]}$に適用された場合: ; したがって、正規化子 に含まれます。 ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \{[1,2,3],[1,3,2]\}=H}$ ${\displaystyle [1,3,2]}$ ${\displaystyle N_{G}(H)}$

${\displaystyle [2,1,3]}$に適用された場合: ; したがって、正規化子には含まれません。 ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \{[1,2,3],[3,2,1]\}\neq H}$ ${\displaystyle [2,1,3]}$ ${\displaystyle N_{G}(H)}$

${\displaystyle [2,3,1]}$に適用された場合: ; したがって、正規化子には含まれません。 ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \{[1,2,3],[2,1,3]\}\neq H}$ ${\displaystyle [2,3,1]}$ ${\displaystyle N_{G}(H)}$

${\displaystyle [3,1,2]}$に適用された場合: ; したがって、正規化子には含まれません。 ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \{[1,2,3],[3,2,1]\}\neq H}$ ${\displaystyle [3,1,2]}$ ${\displaystyle N_{G}(H)}$

${\displaystyle [3,2,1]}$に適用された場合: ; したがって、正規化子には含まれません。 ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \{[1,2,3],[2,1,3]\}\neq H}$ ${\displaystyle [3,2,1]}$ ${\displaystyle N_{G}(H)}$

したがって、これらのグループ要素は両方とも共役の下でセットを保存するので、の正規化子はになります。 ${\displaystyle N_{G}(H)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \{[1,2,3],[1,3,2]\}}$ ${\displaystyle H}$

群の中心化元は、共役によっての各元が変化しない元の集合、つまり の全ての元と可換な元の集合です。この例では、S ₃のそのような元はそれ自体 ([1, 2, 3], [1, 3, 2]) のみであることは明らかです。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$

プロパティ

半群

を半群の中心化 とします。つまり、 は部分半群を形成します。つまり、可換体はそれ自身の二可換体です。 ${\displaystyle S'}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S'=\{x\in A\mid sx=xs{\text{ for every }}s\in S\}.}$ ${\displaystyle S'}$ ${\displaystyle S'=S'''=S'''''}$

グループ

出典: ^[6]

• の中心化群と正規化群は両方ともGのサブグループです。 ${\displaystyle S}$
• 明らかに、C _G ( S ) ⊆ N _G ( S )です。実際、 C _G ( S ) は常にN _G ( S )の正規部分群であり、準同型N _G ( S ) → Bij( S )の核であり、群 N _G ( S )/C _G ( S )は共役によりS上の全単射群として作用します。たとえば、トーラスTを持つコンパクトリー群Gのワイル群はW ( G , T ) = N _G ( T )/C _G ( T )と定義され、特にトーラスが最大である場合（つまりC _G ( T ) = T）、リー群の理論における中心的なツールとなります。
• C _G (C _G ( S )) は を含みますが、 C _G ( S ) は を含む必要はありません。がアーベルであるとき、まさに が を含むことになります。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$
• HがGのサブグループである場合、N _G ( H )にはHが含まれます。
• HがGのサブグループである場合、 Hが正規となるGの最大サブグループはサブグループ N _G ( H ) です。
• がGの部分集合であり、Sのすべての要素が互いに可換である場合、中心に S を含むGの最大の部分群は部分群 C _G ( S ) です。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$
• 群Gの部分群HはN _G ( H ) = HならばGの自己正規化部分群となる。
• Gの中心はまさに C _G (G) であり、C _G (G) = Z( G ) = Gのときのみ、Gはアーベル群である。
• シングルトンセットの場合、C _G ( a ) = N _G ( a )。
• 対称性により、とTがGの2つの部分集合である場合、S ⊆ C _G ( T )の場合にのみ、T ⊆ C _G ( S )が成り立ちます。 ${\displaystyle S}$
• 群Gの部分群Hについて、N/C定理は因子群N _G ( H )/C _G ( H )がHの自己同型群である Aut( H )の部分群と同型であることを述べています。N _G ( G ) = GかつC _G ( G ) = Z( G )であるため、N/C定理はG /Z( G ) が Aut( G )の部分群でGのすべての内部自己同型からなるInn( G ) と同型であることをも示しています。
• 群準同型T  : G → Inn( G )をT ( x )( g ) = T _x ( g ) = xgx ⁻¹で定義すると、 Inn( G ) の G への群作用によって N G ( S ) と C G ( S ) を記述できます。 Inn ( _G )における_の安定群はT ( N G ( _S ) )であり、 Inn( G ) を点ごとに固定した部分群はT (C _G ( S ))です。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$
• 群Gの部分群HがC 閉群または自己二可換群であるとは、ある部分集合S ⊆ Gに対してH = C _G ( S )が成り立つことを言う。そうであれば、実際にはH = C _G (C _G ( H )) となる。

体上の環と代数

出典: ^[4]

• 環と体上の代数の中心化は、それぞれ体上の部分環と部分代数であり、リー環とリー代数の中心化は、それぞれリー部分環とリー部分代数である。
• リー環のの正規化子には の中心化子が含まれます。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$
• C _R (C _R ( S )) は、等しいとは限らないが、等しいとは限らない。二重中心化定理は、等しい状況を扱う。 ${\displaystyle S}$
• がリー環Aの加法部分群である場合、N _A ( S ) は、リーイデアルが成り立つAの最大のリー部分環である。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$
• がリー環Aのリー部分環である場合、S ⊆ N _A ( S )となる。 ${\displaystyle S}$

参照

• 整流子
• 乗数と中心化（バナッハ空間）
• 安定剤サブグループ

注記

1. ケビン・オメーラ、ジョン・クラーク、チャールズ・ヴィンソンヘイラー (2011). 『線形代数の高度な話題：ウェイル形式による行列問題の織り込み』オックスフォード大学出版局. p. 65. ISBN 978-0-19-979373-0。
2. カール・ハインリッヒ・ホフマン、シドニー・A・モリス (2007). 『連結プロリー群のリー理論：プロリー代数、プロリー群、連結局所コンパクト群の構造理論』ヨーロッパ数学会30頁ISBN 978-3-03719-032-6。
3. ジェイコブソン（2009）、41ページ
4. Jacobson 1979、28ページ。
5. ジェイコブソン 1979、57ページ。
6. アイザックス 2009、第1章〜第3章。

参考文献

• アイザックス、I. マーティン (2009)、『代数学：大学院課程』、Graduate Studies in Mathematics、第100巻（1994年初版の再版）、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、doi :10.1090/gsm/100、ISBN 978-0-8218-4799-2、MR  2472787
• ジェイコブソン、ネイサン（2009）、Basic Algebra、第1巻（第2版）、Dover Publications、ISBN 978-0-486-47189-1
• ジェイコブソン、ネイサン（1979）、リー代数（1962年初版の再出版）、ドーバー出版、ISBN 0-486-63832-4、MR  0559927

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