半線形マップ

線型代数学、特に射影幾何学において、体K上のベクトル空間VとW間の半線型写像は、「ねじれを除いて」線型写像である関数、すなわち半線型である。ここで「ねじれ」とは「Kの体自己同型」を意味する。明示的には、関数T  : V → Wは次のように定義される。

• ベクトル加算に関して加法的である： ${\displaystyle T(v+v')=T(v)+T(v')}$
• Kの体自己同型θが存在し、 となる。そのような自己同型が存在し、Tが非零であれば、それは一意であり、Tはθ -半線型と呼ばれる。 ${\displaystyle T(\lambda v)=\theta (\lambda )T(v)}$

定義域と余定義域が同一の空間（すなわち、T  : V → V ）である場合、それは半線型変換と呼ばれる。与えられたベクトル空間Vの可逆な半線型変換（あらゆる体自己同型に対して）は、一般半線型群と呼ばれる群を形成し、一般線型群との類推と拡張によって示される。体 が複素数であり、自己同型が複素共役である特殊な場合、半線型写像は反線型写像と呼ばれる。 ${\displaystyle \operatorname {\Gamma L} (V),}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

同様の表記法（ラテン文字をギリシャ文字に置き換える）は、より制限された線型変換の半線型類似物にも使用されます。正式には、線型群と体自己同型群のガロア群の半直積です。たとえば、PΣU は射影特殊ユニタリ群PSU の半線型類似物に使用されます。ただし、(Bray、Holt、Roney-Dougal 2009) で指摘されているように、これらの一般化半線型群が明確に定義されていないことが最近になって認識されました。同型の古典群GとH（SL のサブグループ）は、同型でない半線型拡大を持つ場合があります。半直積のレベルでは、これは、ガロア群の特定の抽象群への異なる作用、2 つの群と 1 つの作用に依存する半直積に対応します。拡大が一意でない場合は、半線型拡大が 2 つあります。たとえば、シンプレクティック群は一意の半線型拡大を持ちますが、SU( n , q )はnが偶数でqが奇数の場合に 2 つの拡大を持ちます。PSU についても同様です。

意味

ベクトル空間 V と W に対するK 体とL体上の写像f :  V → Wがσ -半線型、あるいは単に半線型であるとは、体準同型σ  : K → Lが存在し、 Vのすべてのx、y 、およびKのすべてのλに対して、次が成り立つときである。

1. ${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y),}$
2. ${\displaystyle f(\lambda x)=\sigma (\lambda )f(x).}$

Lへの体Kの埋め込み σが与えられれば、 K をLの部分体と同一視することができ、この同一視の下ではσ -半線型写像はK -線型写像となる。しかし、異なる埋め込みτ ≠ σに対してτ -半線型である写像は、 fが恒等的にゼロでない限り、元の同一視σに関してK -線型にはならない。

より一般的には、右R加群Mと左S加群Nとの間の写像ψ  : M → Nがσ半線型であるとは、環反準同型σ  : R → Sが存在し、 Mのすべてのx , yとRのすべてのλに対して、次が成り立つときである。

1. ${\displaystyle \psi (x+y)=\psi (x)+\psi (y),}$
2. ${\displaystyle \psi (x\lambda )=\sigma (\lambda )\psi (x).}$

半線形という用語は、上記の式を適切に調整した左モジュールと右モジュールの任意の組み合わせに適用され、σは必要に応じて準同型となる。^{[1] [2]}

このペア（ψ、σ）は二形性と呼ばれます。^[3]

関連している

転置

を環同型、右- 加群と右- 加群、および-半線型写像とする。の転置を、次式を満たす写像として定義する。[ 4 ]これは^-半線型写像である。 ${\displaystyle \sigma :R\to S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \psi :M\to N}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {}^{t}\psi :N^{*}\to M^{*}}$ $${\displaystyle \langle y,\psi (x)\rangle =\sigma \left(\left\langle {}^{\text{t}}\psi (y),x\right\rangle \right)\quad {\text{ for all }}y\in N^{*},{\text{ and all }}x\in M.}$$ ${\displaystyle \sigma ^{-1}}$

プロパティ

を環同型、右- 加群と右- 加群、および-半線型写像とする。この写像は - 線型形式を定義する。^[5] ${\displaystyle \sigma :R\to S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \psi :M\to N}$ ${\displaystyle \sigma }$ $${\displaystyle M\to R:x\mapsto \sigma ^{-1}(\langle y,\psi (x)\rangle ),\quad y\in N^{*}}$$ ${\displaystyle R}$

例

• 標準基底 とする。写像を次のように 定義する。 ${\displaystyle K=\mathbf {C} ,V=\mathbf {C} ^{n},}$ ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ ${\displaystyle f\colon V\to V}$

  ${\displaystyle f\left(\sum _{i=1}^{n}z_{i}e_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}{\bar {z}}_{i}e_{i}}$

fは（複素共役体の自己同型に関して）半線形であるが、線形ではない。

• 位数 のガロア体、特性p とします。 とします。フレッシュマンズドリームによって、これは体の自己同型であることが知られています。ベクトル空間VとWの間のK上のすべての線型写像に対して、-半線型写像が成立します。 ${\displaystyle K=\operatorname {GF} (q)}$ ${\displaystyle q=p^{i}}$ ${\displaystyle \ell ^{\theta }=\ell ^{p}}$ ${\displaystyle f\colon V\to W}$ ${\displaystyle \theta }$

  ${\displaystyle {\widetilde {f}}\left(\sum _{i=1}^{n}\ell _{i}e_{i}\right):=f\left(\sum _{i=1}^{n}\ell _{i}^{\theta }e_{i}\right).}$

実際、あらゆる線型写像はこのようにして半線型写像に変換できます。これは、以下の結果に集約された一般的な観察の一部です。

• を非可換環、左-加群、および の可逆元とする。写像 を定義すると、 となり、 はの内部自己同型となる。したがって、相似性は線型写像である必要はなく、-半線型となる。^[6] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \varphi \colon M\to M\colon x\mapsto \alpha x}$ ${\displaystyle \varphi (\lambda u)=\alpha \lambda u=(\alpha \lambda \alpha ^{-1})\alpha u=\sigma (\lambda )\varphi (u)}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle x\mapsto \alpha x}$ ${\displaystyle \sigma }$

一般半線型群

ベクトル空間Vが与えられたとき、すべての可逆な半線形変換V → V (すべての体自己同型にわたって)の集合は、群 ΓL( V ) です。

K上のベクトル空間Vが与えられたとき、ΓL( V )は半直積として分解される。

${\displaystyle \operatorname {\Gamma L} (V)=\operatorname {GL} (V)\rtimes \operatorname {Aut} (K),}$

ここで、Aut( K ) はKの自己同型である。同様に、他の線型群の半線型変換は、自己同型群との半直積として定義することができる。より本質的には、いくつかの性質を保存するベクトル空間の半線型写像の群として定義することができる。

Vの基底Bを固定し、半線型写像を定義する ことによって、 Aut( K )をΓL( V )の部分群と同一視する。

${\displaystyle \sum _{b\in B}\ell _{b}b\mapsto \sum _{b\in B}\ell _{b}^{\sigma }b}$

任意の に対して成り立つ。この部分群を Aut( K ) _Bと表記する。また、ΓL( V ) における GL( V ) の補集合は、基底変換に対応するため、 GL( V )によって正則に作用されることも分かる。 ${\displaystyle \sigma \in \operatorname {Aut} (K)}$

証拠

あらゆる線型写像は半線型である。したがって、Vの基底Bを固定する。体自己同型σ∈Aut(K)に関する任意の半線型写像fが与えられたとき、g  : V → Vを次の ように定義する。 ${\displaystyle \operatorname {GL} (V)\leq \operatorname {\Gamma L} (V)}$

${\displaystyle g\left(\sum _{b\in B}\ell _{b}b\right):=\sum _{b\in B}f\left(\ell _{b}^{\sigma ^{-1}}b\right)=\sum _{b\in B}\ell _{b}f(b)}$

f ( B ) もVの基底なので、 g は単にVの基底交換であり、線形かつ可逆であることがわかります。つまり、 g ∈ GL( V )です。

を設定します。V の任意のに対して、 ${\displaystyle h:=fg^{-1}}$ ${\displaystyle v=\sum _{b\in B}\ell _{b}b}$

${\displaystyle hv=fg^{-1}v=\sum _{b\in B}\ell _{b}^{\sigma }b}$

したがって、hは固定基底Bに対してAut( K ) 部分群に属する。この因数分解は固定基底Bに固有である。さらに、 GL( V ) は Aut( K ) _Bの作用によって正規化されるため、ΓL( V ) = GL( V ) ⋊ Aut( K )となる。

アプリケーション

射影幾何学

これらの群はGL( V )における典型的な古典群を拡張する。このような写像を考えることの重要性は、射影幾何学の考察から導かれる。関連する射影空間P( V )への誘導作用は、 ${\displaystyle \operatorname {\Gamma L} (V)}$ ${\displaystyle \operatorname {\Gamma L} (V)}$射影半線型群 は射影線型群PGL(Vを拡張したもので、と表記される。 ${\displaystyle \operatorname {P\Gamma L} (V)}$

ベクトル空間Vの射影幾何学（PG( V ) と表記）は、 Vのすべての部分空間の格子である。典型的な半線型写像は線型写像ではないが、すべての半線型写像は順序保存写像を誘導する。つまり、すべての半線型写像は射影性を誘導する。この観察の逆（射影直線を除く）は、射影幾何学の基本定理である。したがって、半線型写像はベクトル空間の射影幾何学の自己同型群を定義するため有用である。 ${\displaystyle f\colon V\to W}$ ${\displaystyle f\colon \operatorname {PG} (V)\to \operatorname {PG} (W)}$

マシューグループ

群 PΓL(3,4) は散在単純群の 1 つであるMathieu 群M ₂₄を構成するために使用できます。PΓL(3,4) はM _24の最大部分群であり、これを完全な Mathieu 群に拡張する方法は多数あります。

参照

• 反線形マップ
• 複素共役ベクトル空間

参考文献

1. イアン・R・ポーテウス（1995年）、クリフォード代数と古典群、ケンブリッジ大学出版局
2. ブルバキ（1989年）、代数学I（第2版）、シュプリンガー・フェアラーク、p.223
3. ブルバキ（1989年）、代数学I（第2版）、シュプリンガー・フェアラーク、p.223
4. ブルバキ（1989年）、代数学I（第2版）、シュプリンガー・フェアラーク、p.236
5. ブルバキ（1989年）、代数学I（第2版）、シュプリンガー・フェアラーク、p.236
6. ブルバキ（1989年）、代数学I（第2版）、シュプリンガー・フェアラーク、p.223

• Assmus, EF; Key, JD (1994) 『デザインとそのコード』、ケンブリッジ大学出版局、p. 93、ISBN 0-521-45839-0
• ブルバキ、ニコラス(1989) [1970]。代数 I 第 1 ～ 3 章 [代数: 第 1 章から第 3 章] (PDF)。数学的要素。ベルリン、ニューヨーク: Springer Science & Business Media。ISBN 978-3-540-64243-5. OCLC  18588156.
• ブレイ、ジョン・N.; ホルト、デレク・F.;ロニー＝ドゥーガル、コルバ・M. (2009)「一部の古典群は明確に定義されていない」『群論ジャーナル』、12 (2): 171– 180、doi : 10.1515/jgt.2008.069、ISSN  1433-5883、MR  2502211
• フォーレ、クロード＝アラン; フレーリヒャー、アルフレッド (2000)、『現代射影幾何学』、クルーワー・アカデミック・パブリッシャーズ、ISBN 0-7923-6525-9
• Gruenberg, KW; Weir, AJ (1977),線形幾何学、Graduate Texts in Mathematics、第49巻（第1版）、Springer-Verlag New York
• トレヴ、フランソワ(2006) [1967]。トポロジカル ベクトル空間、ディストリビューション、およびカーネル。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322。

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