モジュールのサポート

可換代数において、可換環R上の加群Mの台とは、 Rのすべての素イデアルの集合であって、（つまり、Mの局所化が0ではない）となるもののことである。 ^[1]これは と表記される。台は、定義により、Rのスペクトルの部分集合である。 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}\neq 0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Supp} M}$

プロパティ

• ${\displaystyle M=0}$ サポートが空の場合に限ります。
• をR加群の短完全列とする。すると ${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}$

  ${\displaystyle \operatorname {Supp} M=\operatorname {Supp} M'\cup \operatorname {Supp} M''.}$

この和集合は非結合和集合ではない可能性があることに注意してください。

• が部分モジュールの和である場合、 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M_{\lambda }}$ ${\displaystyle \operatorname {Supp} M=\bigcup _{\lambda }\operatorname {Supp} M_{\lambda }.}$
• が有限生成R加群である場合、 はMの消滅子を含むすべての素イデアル全体の成す集合である。特に、Spec  R上のザリスキー位相において閉じている。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \operatorname {Supp} M}$
• が有限生成R加群である場合、 ${\displaystyle M,N}$

  ${\displaystyle \operatorname {Supp} (M\otimes _{R}N)=\operatorname {Supp} M\cap \operatorname {Supp} N.}$

• が有限生成R加群で、I がRのイデアルである場合、 はを含むすべての素イデアルの集合です。これは です。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \operatorname {Supp} (M/IM)}$ ${\displaystyle I+\operatorname {Ann} M.}$ ${\displaystyle V(I)\cap \operatorname {Supp} M}$

準コヒーレント層のサポート

FがスキームX上の準コヒーレント層である場合、 Fの台とは、X内の点xすべてであって、茎F _{x が}非零となるものの集合である。この定義は空間X上の関数の台の定義に似ており、これが「台」という用語を使用する理由である。台の性質のほとんどは、加群から準コヒーレント層へと逐語的に一般化される。例えば、コヒーレント層（あるいはより一般的には有限型層）の台は、Xの閉部分空間である。^[2]

Mが環R上の加群である場合、 Mの加群としての台は、アフィンスキームSpec  R上の付随する準コヒーレント層の台と一致する。さらに、がスキームXのアフィン被覆である場合、準コヒーレント層Fの台は、各R _{α上の付随する加群}M _αの台の和集合に等しい。^[3] ${\displaystyle {\tilde {M}}}$ ${\displaystyle \{U_{\alpha }=\operatorname {Spec} (R_{\alpha })\}}$

例

上で述べたように、素イデアルがサポートに含まれる場合と、それが の消滅子を含む場合とで同値である。^[4]例えば、 上では、加群の消滅子は ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R=\mathbb {C} [x,y,z,w]}$

${\displaystyle M=R/I={\frac {\mathbb {C} [x,y,z,w]}{(x^{4}+y^{4}+z^{4}+w^{4})}}}$

は理想である。これは、多項式fの消失軌跡がであることを意味する。短完全列を見ると、 ${\displaystyle I=(f)=(x^{4}+y^{4}+z^{4}+w^{4})}$ ${\displaystyle \operatorname {Supp} M\cong \operatorname {Spec} (R/I)}$

${\displaystyle 0\to I\to R\to R/I\to 0}$

I = ( f )の台はSpec( R _{( f )} ) であり、これは多項式fの消失軌跡の補集合であると誤って推測するかもしれない。しかし、Rは整域であるため、イデアルI = ( f ) = RfはRの加群 と同型であり、その台は空間全体、すなわち Supp( I ) = Spec( R )となる。

ネーター環上の有限加群のサポートは常に特殊化の下で閉じている。^[要出典]

さて、積分領域において完全な交差イデアルを形成する2つの多項式をとると、テンソルの性質から次のことがわかる。 ${\displaystyle f_{1},f_{2}\in R}$ ${\displaystyle (f_{1},f_{2})}$

${\displaystyle \operatorname {Supp} \left(R/(f_{1})\otimes _{R}R/(f_{2})\right)=\,\operatorname {Supp} \left(R/(f_{1})\right)\cap \,\operatorname {Supp} \left(R/(f_{2})\right)\cong \,\operatorname {Spec} (R/(f_{1},f_{2})).}$

参照

• 消滅装置（リング理論）
• 関連プライム
• サポート（数学）

参考文献

1. 幾何学計算要素 0 _I、1.7.1。
2. Stacks Projectの著者 (2017). Stacks Project, タグ01B4.
3. Stacks Projectの著者 (2017). Stacks Project, タグ01AS.
4. アイゼンバッド、デイヴィッド.可換代数と代数幾何学への視点. 系2.7. p. 67.{{cite book}}: CS1 maint: location (link)

• アレクサンドル・グロタンディーク;ジャン・デュドネ(1960)。 「幾何学計算の要素: I. スキーマの言語」。出版物 Mathématiques de l'IHÉS。４．土井：10.1007/bf02684778。MR  0217083。
• アティヤ、MF、IGマクドナルド、『可換代数入門』、Perseus Books、1969年、ISBN 0-201-00361-9 MR  0242802

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