ウェッジ合計

位相数学における空間

2つの円のくさび形の和

位相幾何学において、くさび和は位相空間の族の「一点和」である。具体的には、XとYが尖端空間（すなわち、区別された基点とを持つ位相空間）である場合、 XとYのくさび和は、 XとYの不連続和を次の同一視によって商空間とする。 ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle y_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}\sim y_{0}:}$ $${\displaystyle X\vee Y=(X\amalg Y)\;/{\sim },}$$

ここで、 は関係 の同値閉包です。 より一般的には、 が基点 を持つ尖端空間の添字付き族であるとします。族のウェッジ和は次のように与えられます。ここで、は関係 の同値閉包です。言い換えれば、ウェッジ和は複数の空間を一点で結合したものです。この定義は、空間が同質でない限り 、基点の選択に左右されます。 ${\displaystyle \,\sim \,}$ ${\displaystyle \left\{\left(x_{0},y_{0}\right)\right\}.}$ ${\displaystyle \left(X_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle \left(p_{i}\right)_{i\in I}.}$ $${\displaystyle \bigvee _{i\in I}X_{i}=\coprod _{i\in I}X_{i}\;/{\sim },}$$ ${\displaystyle \,\sim \,}$ ${\displaystyle \left\{\left(p_{i},p_{j}\right):i,j\in I\right\}.}$ ${\displaystyle \left(p_{i}\right)_{i\in I},}$ ${\displaystyle \left(X_{i}\right)_{i\in I}}$

ウェッジ和は再び尖った空間であり、二項演算は結合的かつ可換的である（同相を除いて）。

ウェッジ和はウェッジ積と呼ばれることもありますが、これは外積（これもウェッジ積と呼ばれることが多い）と同じ概念ではありません。

例

二つの円の楔和は八の字空間と同相である。円の楔和はしばしば円の花束と呼ばれ、任意の球の楔積はしばしば球の花束と呼ばれる。 ${\displaystyle n}$

ホモトピーにおける一般的な構成は、球面の赤道上の点をすべて同一視することです。こうすることで、赤道であった点で結合された球面の2つのコピーが得られます。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S^{n}}$ $${\displaystyle S^{n}/{\sim }=S^{n}\vee S^{n}.}$$

を、赤道を一点まで特定する写像とします。すると、空間の次元ホモトピー群の2つの元を、その点において加算することは、とを で合成することとして理解できます。 ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \Psi :S^{n}\to S^{n}\vee S^{n},}$ ${\displaystyle f,g\in \pi _{n}(X,x_{0})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \pi _{n}(X,x_{0})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{0}\in X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \Psi }$ $${\displaystyle f+g=(f\vee g)\circ \Psi .}$$

ここで、 は、特定の点を点 に写像するものです。上記では 2 つの関数のくさび和を使用していることに注意してください。これは、基礎となる空間のくさび和に共通する点でそれらが一致するため、まさに可能になります。 ${\displaystyle f,g:S^{n}\to X}$ ${\displaystyle s_{0}\in S^{n}}$ ${\displaystyle x_{0}\in X.}$ ${\displaystyle s_{0},}$

カテゴリ別説明

ウェッジ和は、尖端空間の圏における余積として理解できる。あるいは、ウェッジ和は位相空間（任意の一点空間） の圏における図式の押し出しとして見ることもできる。 ${\displaystyle X\leftarrow \{\bullet \}\to Y}$ ${\displaystyle \{\bullet \}}$

プロパティ

ファン・カンペンの定理は、（ CW複体のような行儀のよい空間では通常満たされる）ある条件のもとで、 2つの空間のくさび和の基本群との基本群が、およびの基本群の自由積となる。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

参照

• スマッシュ製品
• ハワイアンイヤリング、可算な数の円のくさび和に似ているが同じではない位相空間

参考文献

• ロットマン、ジョセフ『代数的位相幾何学入門』、シュプリンガー、2004年、153ページ。ISBN 0-387-96678-1

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