三角波

Non-sinusoidal waveform

三角波
帯域制限された三角波[1]を時間領域（上）と周波数領域（下）で示した図。基本波は220 Hz（A 3）である。
一般情報
一般的な定義	${\displaystyle x(t)=4\left\vert t-\left\lfloor t+3/4\right\rfloor +1/4\right\vert -1}$
応用分野	エレクトロニクス、シンセサイザー
ドメイン、コドメイン、イメージ
ドメイン	${\displaystyle \mathbb {R} }$
コドメイン	${\displaystyle \left[-1,1\right]}$
基本機能
パリティ	奇数
期間	1
具体的な特徴
根	${\displaystyle \left\{{\tfrac {n}{2}}\right\},n\in \mathbb {Z} }$
デリバティブ	矩形波
フーリエ級数	${\displaystyle x(t)=-{\frac {8}{{\pi }^{2}}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {{\left(-1\right)}^{k}}{\left(2k-1\right)^{2}}}\sin \left(2\pi \left(2k-1\right)t\right)}$

三角波の音サンプル

220 Hzの三角波5秒

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加算三角波サウンドサンプル

毎秒、正弦波に高調波が追加され、220 Hzの三角波が作成されます。

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三角波（さんかくはつ）は、その三角形の形状から名付けられた非正弦波です。周期的、区分線形、連続的な実関数です。

方形波と同様に、三角波には奇数次高調波のみが含まれます。ただし、高次高調波は方形波よりもはるかに速く減衰します（高調波の逆数ではなく、高調波の逆数2乗に比例します）。

定義

正弦波、方形波、三角波、のこぎり波

意味

周期pで範囲 [0, 1] にわたる三角波は、床関数で定義されます。これは、シフトされた鋸歯状波の絶対値と見ることができます。 $${\displaystyle x(t)=2\left|{\frac {t}{p}}-\left\lfloor {\frac {t}{p}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor \right|,}$$ ${\displaystyle \lfloor \ \rfloor }$

[−1, 1]の範囲に広がる三角波の場合、式は次のようになる。 $${\displaystyle x(t)=2\left|2\left({\frac {t}{p}}-\left\lfloor {\frac {t}{p}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor \right)\right|-1.}$$

振幅 = 5、周期 = 4の三角波

絶対値とモジュロ演算を用いた振幅と周期を持つ三角波のより一般的な方程式は次のようになる。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle y(x)={\frac {4a}{p}}\left|\left(\left(x-{\frac {p}{4}}\right){\bmod {p}}\right)-{\frac {p}{2}}\right|-a.}$$

たとえば、振幅 5、周期 4 の三角波の場合: $${\displaystyle y(x)=5\left|{\bigl (}(x-1){\bmod {4}}{\bigr )}-2\right|-5.}$$

項の値を変更することで位相シフトを取得でき、項の値を変更することで垂直オフセットを調整できます。 ${\displaystyle -p/4}$ ${\displaystyle -a}$

これはモジュロ演算と絶対値のみを使用するため、ハードウェア エレクトロニクスで三角波を簡単に実装するために使用できます。

多くのプログラミング言語では、%演算子 は剰余演算子（結果は被除数と同じ符号）であり、モジュロ演算子((x % p) + p) % pではないことに注意してください。モジュロ演算はの代わりに を使用することで得られますx % p。例えばJavaScriptでは、これは という形式の式になります4*a/p * Math.abs((((x - p/4) % p) + p) % p - p/2) - a。

矩形波との関係

三角波は方形波の積分として表すこともできます。 $${\displaystyle x(t)=\int _{0}^{t}\operatorname {sgn} \left(\sin {\frac {u}{p}}\right)\,du.}$$

三角関数の表現

周期pと振幅aの三角波は、正弦波と逆正弦波（値の範囲は - π /2からπ /2 ）で表すことができます。この恒等式を用いて、三角波の「正弦波」を三角波の「余弦波」に変換できます。この位相シフトした三角波は、余弦波と逆余弦波でも表すことができます。 $${\displaystyle y(x)={\frac {2a}{\pi }}\arcsin \left(\sin \left({\frac {2\pi }{p}}x\right)\right).}$$ ${\textstyle \cos {x}=\sin \left({\frac {p}{4}}-x\right)}$ $${\displaystyle y(x)=a-{\frac {2a}{\pi }}\arccos \left(\cos \left({\frac {2\pi }{p}}x\right)\right).}$$

交代線形関数として表現される

三角波の別の定義は、範囲が-1から1で周期がpの場合、次のようになる。 $${\displaystyle x(t)={\frac {4}{p}}\left(t-{\frac {p}{2}}\left\lfloor {\frac {2t}{p}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor \right)(-1)^{\left\lfloor {\frac {2t}{p}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor }.}$$

倍音

倍音数が増加する三角波の加法合成のアニメーション。数学的な説明についてはフーリエ解析を参照してください。

基本波の奇数倍音を合計しながら、他のすべての奇数倍音を -1 倍し（または、位相をπだけ変更し）、倍音の振幅をモード番号nの 2 乗分の 1 （基本波に対する相対周波数の 2 乗分の 1 に相当）で乗算することにより、加法合成で三角波を近似することができます。

上記は数学的に次のようにまとめることができます。ここで、 Nは近似に含める高調波の数、tは独立変数 (音波の場合は時間)、は基本周波数、iはモード番号と によって関連付けられる高調波ラベルです。 $${\displaystyle x_{\text{triangle}}(t)={\frac {8}{\pi ^{2}}}\sum _{i=0}^{N-1}{\frac {(-1)^{i}}{n^{2}}}\sin(2\pi f_{0}nt),}$$ ${\displaystyle f_{0}}$ ${\displaystyle n=2i+1}$

この無限フーリエ級数は、アニメーションに示されているように、 N が無限大に近づくにつれて急速に三角波に収束します。

弧の長さ

三角波の周期あたりの弧の長さはsで表され、振幅aと周期長pで次のように表される。 $${\displaystyle s={\sqrt {(4a)^{2}+p^{2}}}.}$$

参照

• 周期関数のリスト
• 正弦波
• 矩形波
• のこぎり波
• 脈波
• 音
• 三角関数
• 波
• ジグザグ

参考文献

1. Kraft, Sebastian; Zölzer, Udo (2017年9月5日). 「LP-BLIT: ローパスフィルタ処理された波形の帯域制限インパルス列合成」.第20回国際デジタルオーディオエフェクト会議(DAFx-17)議事録. 第20回国際デジタルオーディオエフェクト会議 (DAFx-17). エディンバラ. pp.  255– 259.

• ワイスタイン、エリック・W.「フーリエ級数 - 三角波」。MathWorld。

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