カーディナリティ

Size of a set in mathematics

リンゴの集合とオレンジの集合を比較し、それらが同じ濃度であることを示す一対一対応

数学において、基数（cardinality）は集合の固有の性質であり、おおよそ集合に含まれる個々のオブジェクトの数を意味し、その数は無限である可能性があります。この概念は、集合間の1対1対応を通して理解されます。つまり、集合に含まれるオブジェクトがペアになり、各オブジェクトがペアになり、どのオブジェクトも複数ペアにならない場合です。

基数の基本概念は紀元前6世紀にまで遡り、歴史を通して何度か密接に触れてきましたが、その結果は一般的に逆説的であるとして却下されました。20世紀初頭にゲオルク・カントールによって数学に正式に導入されたと考えられています。カントールの基数理論はその後、当時の多くの影響力のある数学者によって形式化、普及、探求され、以来、数学の基本概念となっています

2つの集合の間に1対1の対応がある場合、それらの集合は同数である、または同じ濃度を持つと言われます。そうでない場合、一方が他方よりも厳密に大きい、または厳密に小さいと言われます。集合が自然数の集合と1対1に対応できる場合、それは可算無限です。例えば、偶数の集合と有理数の集合は可算です。非可算集合とは、自然数の集合よりも厳密に大きい集合です。例えば、すべての実数の集合や自然数の集合の 冪集合などです。 ${\displaystyle \{1,2,3,4,\cdots \}.}$ ${\displaystyle \{2,4,6,..\}}$

有限集合の場合、濃度はその要素を数えることで得られる自然数と一致します。しかし、無限集合に「大きさ」を帰属させることは多くの場合困難です。したがって、自然数の役割を集合の大きさの抽象化として拡張するために、基数の体系を開発することができます。集合に対応する基数は、 2本の縦棒の間に書かれます。最も一般的には、すべての無限集合が何らかのアレフと同等の濃度を持つことが示されるため、アレフ数が使用されます ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle |A|}$ ${\displaystyle \aleph _{0},\aleph _{1},\aleph _{2},...\aleph _{\omega },\aleph _{\omega +1}...}$

自然数の集合は濃度を持つ。実数が濃度を持つかどうかという問いは連続体仮説として知られており、ツェルメロ＝フランケル集合論などの標準的な集合論では証明不可能であることが示されている。代替集合論や追加の公理は異なる性質を生み出し、しばしば奇妙で直感に反する結果をもたらす。しかし、数学の標準的な論理的基礎を用いた濃度の理論はすべて、スコーレムのパラドックスを許容する。これは、濃度の基本的な性質は絶対的なものではなく、濃度が測定される モデルに対して相対的であるということを大まかに主張するものである。 ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$

定義と語源

濃度は集合の本質的な性質であり、集合の大きさを定義し、それに含まれる個々のオブジェクトの数にほぼ相当します。^{[1]しかし根本的に、濃度は}数や計数の概念とは異なります。2つの集合の濃度は、要素の数を参照したり、数をまったく定義したりすることなく比較できるからです。たとえば、上の画像では、リンゴの集合がオレンジの集合と比較されていますが、すべての果物が1回だけ使用されているため、それぞれがいくつあるかはわからなくても、これら2つの集合は同じ濃度を持っていることがわかります。^{[2] [3]このように、濃度は集合を}1対1で対応させることによって測定されます。それが可能な場合、集合は同じ濃度を持っていると言われ、そうでない場合は、一方の集合が他方の集合よりも厳密に大きい、または厳密に小さいと言われます。 ^[4]

この概念の創始者であるゲオルク・カントールは、基数を「我々の知性の助けを借りて、集合の様々な要素の性質とそれらの与えられた順序を抽象化したときに生じる一般概念」と定義しました。^[5]この定義は不正確で不明瞭であり、純粋に心理学的であると考えられていました。^[6]したがって、基数、つまり基数を測定する手段が、この概念を提示する主な方法となりました。この2つの違いは、物体の質量とキログラム単位の質量の違いにほぼ似ています。^[7]しかし、やや紛らわしいことに、「Mの基数」と「Mの基数」という表現は同じ意味で使用されています

基数（cardinality）という用語は、古典期以降のラテン語 cardo（「蝶番を付ける」）に由来し、文字通りにも比喩的にも中心的または極めて重要なものを指す。これは中世ラテン語を経て英語に伝わり、cardinalは、ある意味で根本的なもの、例えば枢機卿罪、枢機卿方位、そして（言語学では）基数を指すようになった。^{[8] [9]}基数は、数えるために使用される数（例：1、2、3）[10]を指し、順序を^表す序数（例：1、2、3） [ ^11]や、意味を持たずにラベルを付けるために使用される名目上の数（例：ジャージ番号やシリアル番号） ^[12]とは対照的である。

数学において、基数の概念は19世紀後半にゲオルク・カントールによって初めて導入されました。彼はMächtigkeitという用語を使用しました。これは「大きさ」または「力」と訳すことができますが、カントールはこの用語をヤコブ・シュタイナーの射影幾何学に関する著作に由来するものとしています。^{[13] [14] [15]}基数と基数という用語は最終的に文法的な意味から採用され、後の翻訳でもこれらの用語が使用されるようになりました。^{[16] [17]}

歴史

古代史

『機械論』に記述されているアリストテレスの車輪の図

紀元前6世紀以降、アナクシマンドロスなどのギリシャ哲学者の著作には、無限集合や無限図形の比較に関する記述が見られるものの、一般的には逆説的で不完全なものと見なされていた（ゼノンのパラドックスを参照）。^[18]アリストテレスは、実在的無限と潜在的無限の概念を区別し、ギリシャの数学者たちはその違いを理解しており、「（実在的）無限は必要ではなく、また用いていない」と主張した。^[19]ギリシャの数の概念（αριθμός、arithmos）は、特定の数の特定の対象（すなわち有限数）に対してのみ用いられた。^{[20]これは}ユークリッドの『原論』に体系化され、そこでは5番目の共通概念として「全体は部分よりも大きい」と述べられており、これはしばしばユークリッド原理と呼ばれる。この原理は19世紀まで数学における支配的な哲学となった。^{[18] [21]}

紀元前4世紀頃、ジャイナ教の数学は初めて無限の異なる大きさについて議論しました。彼らは数を3つの主要なクラス、すなわち可算数（有限数）、不可算数（アサンキヤータ、大まかに言えば可算無限）、そして無限（アナンタ）と定義しました。さらに、無限数を5つのクラス、すなわち一方向無限、両方向無限、面積無限、あらゆる場所で無限、そして永久無限と定義しました。^{[22] [23]}

一対一対応の最も初期の明示的な使用例の一つは、アリストテレスの『機械論』（紀元前 350年頃）に記録されており、アリストテレスの車輪のパラドックスとして知られています。このパラドックスは、次のように簡単に説明できます。車輪は2つの同心円として描かれています。大きい方の外側の円は水平線（例えば、車輪が転がる道路）に接し、小さい方の内側の円は大きい方の円にしっかりと固定されています。大きい方の円が滑ることなく線に沿って1回転すると仮定すると、両方の円が移動する距離は同じ、つまり大きい方の円の円周になります。さらに、それぞれの最下点が描く線の長さは同じです。^[24]小さい方の車輪は点を飛ばさず、小さい方の車輪のどの点も複数回使用されないため、2つの円の間には1対1の対応があります。^{[25] [26] [27]}

カントール以前の集合論

ガリレオ・ガリレイの肖像画、 1640年頃（左）。ベルナルド・ボルツァーノの肖像画（1781～1848年）（右）。

ガリレオ・ガリレイは、著書『二つの新科学』（1638年）^{[28]の中で、後に}ガリレオのパラドックスと呼ばれるものを提示しました。そこで彼は、無限の数列における一見パラドックスを提示しています。それはおおよそ次のとおりです。1、4、9、16などの完全な平方数には、1、2、3、4などの唯一の平方根があります。したがって、平方根の数と同じ数の完全な平方数があります。しかし、すべての数は平方根です。なぜなら、平方することができるからです。しかし、すべての数が完全な平方数であるとは限りません。さらに、完全な平方数の割合は、より大きな値を通過するにつれて減少し、最終的には任意の分数よりも小さくなります。ガリレオはこれが根本的に矛盾していることを否定しましたが、これは無限集合の大きさを比較できないことを意味し、濃度を発見する機会を逃していると結論付けました。^[29] ${\displaystyle (n^{2})}$ ${\textstyle ({\sqrt {n^{2}}}=n)}$

『人間性論』（1739年）の中で、デイヴィッド・ヒュームは「二つの数が、一方の数が常にもう一方の数のあらゆる単位に対応する単位を持つように結合されている場合、我々はそれらを等しいと宣言する」と述べています。^[30]これは現在ヒュームの原理と呼ばれ、後に集合論の台頭期にゴットロープ・フレーゲによって広く利用されました。 ^{[31] [32] [33]}

ベルナルド・ボルツァーノの『無限のパラドックス』（Paradoxien des Unendlichen 、1851年）は、集合の概念を数学的解析に導入する最初の体系的な試みとしばしば考えられています。この作品で、ボルツァーノは実在的無限の概念を擁護し、後に無限集合間の一対一対応として認識されるものの初期の定式化を提示しました。彼は、区間 間のペアリングや関係によるペアリングなどの例を論じ、ガリレオのパラドックスを再検討しました。しかし、彼もまた、これらの集合がその意味で同じ大きさであると述べることには抵抗しました。『無限のパラドックス』は後の集合論の中心となるいくつかのアイデアを予見していましたが、死後に出版され、流通が限られていたこともあり、現代数学にはほとんど影響を与えませんでした。^{[34] [35] [36]} ${\displaystyle [0,5]}$ ${\displaystyle [0,12]}$ ${\displaystyle 5y=12x,}$

初期の集合論

ゲオルク・カントル

ゲオルク・カントル、1870年頃    

濃度の概念は、1870年代から1880年代にかけて、数学的解析の文脈において、ゲオルク・カントールの研究の中でほぼ完全に形成された形で登場した。 「すべての実代数的数の集合の性質について」（1874年）から始まる一連の論文で、 ^[37]カントールは、1対1対応の概念を通して無限集合の大きさを比較するアイデアを導入した。^{[38]彼は、}入れ子になった区間の議論を用いて、この意味で、実数の集合は自然数の集合よりも厳密に大きいことを示した。^[39]この結果は後に、1891年に「人間の基本的性質に関する議論」で発表された、より広く知られる対角線の議論へと洗練され、^{[40]彼は、任意の集合の}冪集合はその集合自体よりも厳密に大きいという、より一般的な結果（現在ではカントールの定理と呼ばれている）も証明した。^[41]

カントールは、順序数を用いて基数という概念を導入しました。彼は基数を集合の抽象化と見なし、与えられた集合 に対して、その集合の順序型をと書き、基数を と書くという二重抽象化を導入しました。^[42]彼はまた、無限基数に対するアレフ列を導入しました。これらの表記法は書簡の中で現れ、彼の後期の著作、特に『超有限基数論の基礎となる論文』（1895–1897）シリーズで形式化されました。^[43]これらの著作の中で、カントールは基数の算術を展開し、集合論的構成に基づいて基数の加算、乗算、累乗を定義しました。これは連続体仮説（CH）の定式化につながりました。これは、自然数の基数と連続体の基数の間に厳密に基数を持つ集合は存在しない、つまり である、という命題ですカンターはCHを解決できず、未解決の問題として残しました。^[44] ${\textstyle M}$ ${\textstyle {\overline {M}}}$ ${\textstyle M}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle |\mathbb {R} |}$ ${\displaystyle |\mathbb {R} |=\aleph _{1}}$

その他の貢献者

カントールの発展と並行して、リヒャルト・デデキントは独自に集合論の多くの高度な定理を定式化し、代数学と算術の集合論的基礎の確立に貢献した。^[45]デデキントの『数の性質と意味』 [de] (1888) ^[46]は、外延的定義よりも構造的性質を重視し、大きさと数の単射的定式化を支持した。デデキントは集合論の発展中にカントールと文通し、代数的数の可算性の証明をカントールに提供し、出版前にカントールの証明にフィードバックと修正を加えた。^{[47] [34] [48]}

1883年にカントールがすべての有限次元空間は同じ濃度を持つことを証明した後^[49]、1890年にジュゼッペ・ペアノはペアノ曲線を導入しました。これは、単位区間が^[50]上の単位正方形と同じ濃度を持つことをより視覚的に証明するものでした。これにより、現在では空間充填曲線と呼ばれているものを研究する数学的分析の新しい分野が生まれました。^[51] ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$

ドイツの論理学者ゴットロブ・フレーゲは、『算術の基礎』（1884年）とそれに続く『算術の基礎』 （1893年、1903年）において、カントールの濃度理論とヒュームの原理を用いて、論理における数と算術の概念を基盤づけようとしました。^{[31] [32] [33]}フレーゲは、基数を等数性の下での集合の同値類として定義しました。しかし、フレーゲの集合論へのアプローチには後に欠陥があることが示されました彼のアプローチは最終的にバートランド・ラッセルとアルフレッド・ホワイトヘッドによって『プリンキピア・マテマティカ』（1910-1913、第2巻）^[52]で型の理論を用いて再改革された。^[53]ラッセルは当初カントルとフレーゲの基数に関する直観を理解するのに苦労したが^{[54] [55]、}この基数の定義は現在ではフレーゲ＝ラッセルの定義と呼ばれている。^{[56]この定義は最終的に1928年に}ジョン・フォン・ノイマンによって確立された、基数を定義するために代表値を使用する慣例によって取って代わられた。^[57]

1900年の国際数学者会議パリ会議において、当時最も影響力のある数学者の一人であったダヴィト・ヒルベルトは、未解決の問題10個（後に出版され、現在ではヒルベルトの問題と呼ばれている23個のうち）を提示する講演を行いました。これらのうち、彼は「カントールの問題」（現在では連続体仮説と呼ばれている）をリストの最初に挙げました。この問題リストは20世紀の数学に大きな影響を与え、カントールの基数理論に他の数学者から多くの注目を集めました。^{[58] [34]}

公理的集合論

フェリックス・ハウスドルフとクルト・ゲーデル

1908年、エルンスト・ツェルメロは、現在ツェルメロ集合論と呼ばれている、集合論の最初の公理化を提案しました。これは主に、彼が以前（1904年）に行った整列定理の証明を支持するためでした。この定理は、すべての基数をアレフで表すことができることを示していましたが、証明には現在選択公理（AC）として知られる物議を醸す原理が必要でした。^[59]ツェルメロの体系は、後に1920年代にアブラハム・フランケルとトラルフ・スコーレムによって拡張され、ツェルメロ・フランケル集合論（ZFC、「C」は選択公理の頭文字）と呼ばれる集合論の標準的な基礎が生まれました。ZFCは、素朴集合論のパラドックスを回避しながら、無限基数を体系的に研究するための厳密な基礎を提供しました。^{[34] [60]}

1900年代初頭、フェリックス・ハウスドルフは、基礎的な問題の可能性を無視して、 「超過数」、つまり非常に大きな基数、あるいは現在では到達不可能な基数と呼ばれるものの研究を始めました。この研究は、マーロ基数を導入したポール・マーロ、ヴァツワフ・シェルピンスキ、アルフレッド・タルスキなど、影響力のある集合論者によって継続され、普及しました。彼らの研究は最終的に、総称して「大きな基数の研究」として知られるようになりました。^[61]

1940年、クルト・ゲーデルは、連続体仮説（CH）はZFCの公理から反証できないことを示しました。これは、彼の構成可能宇宙（ZFCの内部モデル）において、 CHとACの両方が成り立つことを示すことによって示されました。追加の公理が成り立つZFCのモデルの存在は、追加の公理がZFCと（相対的に）整合していることを示しています。 ^[62] 1963年、ポール・コーエンは、CHはZFCの公理から証明できないことを示しました。これは、CHがZFCから独立していることを示しました。この結果を証明するために、コーエンは強制法を開発しました。これは集合論における標準的なツールとなっています。コーエンは1966年にこの証明によりフィールズ賞を受賞しました。 ^{[63] [64]}

集合の比較

はじめに

すべての非負整数の集合Nから、非負偶数の集合Eへの1対1対応。E は N の真部分集合ですが、両方の集合の濃度は同じです。

集合と関数の基本概念は濃度の概念を展開するために使用され、その専門用語はこの記事全体で使用されます。集合は、通常中括弧で表されるオブジェクトの集合として理解できます。たとえば、は1、2、3という数値を含む と呼ばれる集合を指定します。記号 は集合のメンバーシップを表します。たとえば、「1は集合 のメンバーである」と表し、これは上記の の定義により真です ${\displaystyle S=\{1,2,3\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle 1\in S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

関数とは、ある集合の要素を別の集合の要素に写像する関連付けであり、多くの場合、矢印図で表されます。例えば、隣の図は、自然数の集合を2倍することで偶数の集合に写像する関数を示しています。関数が2つの要素を同じ場所に写さない場合、それは単射と呼ばれます。関数が出力空間のすべての要素をカバーする場合、それは全射と呼ばれます。関数が単射かつ全射である場合、それは全単射と呼ばれます。（詳細については、「全単射、単射、全射」を参照してください。）

等数性

2つの集合が「同じ大きさ」であるという直感的な性質は、それらのオブジェクトを1対1でペアにできるという点である。2つの集合間の1対1のペアリングは、各オブジェクトをそのペアに写像することで、それらの集合間の全単射な関数を定義する。同様に、2つの集合間の全単射は、各オブジェクトをそれが写像するオブジェクトとペアにすることで、それらの要素のペアリングを定義する。したがって、「ペアリング」と「全単射」という概念は直感的に同義である。^[65]実際、関数はしばしばこのペアリングの集合として文字通り定義される（関数（数学）§ 形式的定義を参照）。^[66]したがって、以下の定義が与えられる。

2つの集合と は、それらの要素が1対1でペアリングできる場合、同じ濃度を持つと言われます。つまり、全単射な関数が存在する場合です。これは と書かれ、最終的にが定義されています。^[76]あるいは、これらの集合 とは、同値、類似、同数、同位、または同数であると言うこともできます。^[81]たとえば、非負の偶数の集合 は、自然数の集合 と同じ濃度を持ちます。これは、関数 が から への全単射であるためです（上の図を参照）。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f:A\mapsto B}$ ${\displaystyle A\sim B,}$ ${\displaystyle A\approx B,}$ ${\displaystyle A\equiv B,}$ ${\displaystyle |A|=|B|,}$ ${\displaystyle |A|}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle E=\{0,2,4,6,{\text{...}}\}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,3,{\text{...}}\}}$ ${\displaystyle f(n)=2n}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle E}$

有限集合における「全体は部分より大きい」という直感的な性質は、無限集合ではもはや真ではなく、成り立たない全射や単射の存在は、全単射が存在しないことを証明するものではありません。例えば、で定義される から への関数 は単射ですが、全射ではあり ${\displaystyle g}$ません（例えば、2は に写像されないため）。また、で定義される から への関数（床関数を参照）は全射ですが、単射ではありません（例えば、0と1はどちらも 0 に写像されるため）。 もも、の存在によって確立された に異議を唱えることはできません。[ ^82] ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle g(n)=4n}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle h(n)=2\operatorname {floor} (n/2)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle |E|=|\mathbb {N} |,}$ ${\displaystyle f}$

同値性

2つの関数の合成の例

濃度理論を展開する上で必要な基本的な結果は、それを同値関係に関連付けることです。二項関係は、等値の3つの基本特性、すなわち反射性、対称性、推移性を満たす場合、同値関係となります。^[83]

• 反射性：任意の集合について、 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\sim A.}$
  • 任意の集合が与えられた場合、恒等関数によって から 自身への一対一写像が存在するため、同数性は反射的です。^[83] ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A}$
• 対称性：もし ${\displaystyle A\sim B}$ ${\displaystyle B\sim A.}$
  • から への一対一写像が存在する任意の集合 と が与えられた場合、からへの逆関数も一対一写像が存在するため、同数性は対称的です。^[83] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A,}$
• 推移性： かつならば ${\displaystyle A\sim B}$ ${\displaystyle B\sim C}$ ${\displaystyle A\sim C.}$
  • から への一対一写像とからへの一対一写像が存在する任意の集合 と が与えられた場合、それらの合成はからへの一対一写像であり、したがって濃度は推移的です。^[83] ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle g\circ f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C,}$

等数性はこれら3つの性質を満たすため、同値関係を形成します。これは、濃度が、ある意味では集合を同値類に分割し、この類を表す代表を割り当てることができることを意味します。これが基数の概念の根拠です。^[84]もう少し正式に言えば、関係は特定の順序付きペアの集合でなければなりません。標準的な集合論ではすべての集合の集合は存在しないため、等数性は通常の意味での関係ではなく、述語または類上の関係です。

不等式

集合が集合 より大きくないのは、重複なくに写像できる場合である。つまり、 の濃度が の濃度以下となるのは、からへの単射関数がある場合である。これは、 と書き表され、最終的には^[92]はより大きくなく、に支配されると読める^[93]が、からへの単射関数がない場合、 はより小さくなると言われ、下線なしで と書き表される[94]または^[95]となる。例えば、が4つの要素を持ち、 が5つの要素を持つ場合、以下は真であり、 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\preceq B,}$ ${\displaystyle A\lesssim B}$ ${\displaystyle |A|\leq |B|,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle A\preceq B,}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle A\prec B}$ ${\displaystyle |A|<|B|.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\preceq A,}$ ${\displaystyle A\preceq B,}$ ${\displaystyle A\prec B.}$

不等式の基本的な性質は、反射性（任意の に対して）、推移性（ かつの場合）、反対称性（ かつの場合）です（不等式 § 形式的定義 を参照）。上記で定義された基数不等式は、恒等関数が単射であるため反射的であり、関数合成によって推移的です。^{[95]反対称性は}シュレーダー・ベルンシュタインの定理によって確立されます。証明はおおよそ次のようになります。^[96] ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle a\leq a}$ ${\displaystyle a\leq b}$ ${\displaystyle b\leq c,}$ ${\displaystyle a\leq c}$ ${\displaystyle a\leq b}$ ${\displaystyle b\leq a,}$ ${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle (\preceq )}$

集合 と が与えられ、がを証明し を証明する関数である場合、各要素にそれらを繰り返し適用することによって与えられる点の列を考えます。次に、次のように全単射を定義できます。列が閉路を形成する場合、に写像されない要素で始まる場合、または両方向に無限に拡張される場合、それらの列の各 について を定義します。最後のケース、つまり、列が に写像されない要素 で始まる場合、その列の各 についてを定義します。そしては全単射です。^[96] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f:A\mapsto B}$ ${\displaystyle A\preceq B}$ ${\displaystyle g:B\mapsto A}$ ${\displaystyle B\preceq A}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h:A\mapsto B}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h(x)=f(x)}$ ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle b\in B}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle h(x)=g^{-1}(x)}$ ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle h}$

上記は、基数不等式が半順序であることを示しています。全順序には、任意の および に対して、 または のいずれかであるという追加の特性があります。これは、整列定理によって証明できます。すべての整列集合は、集合の順序型と呼ばれる一意の順序数と同型です。次に、それらの順序型を比較す​​ることにより、または であることを示すことができます。この結果は選択公理と同等です。^{[97] [98] [99]} ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a\leq b}$ ${\displaystyle b\leq a.}$ ${\displaystyle A\preceq B}$ ${\displaystyle B\preceq A}$

可算性

可算集合

集合が有限であるか、自然数の集合と一対一であるとき、その集合は可算であると呼ばれ、その場合は可算無限であると呼ばれる。可算という用語は、可算無限集合に対しても使用されることがある。^[100]たとえば、すべての偶数の自然数の集合は可算であるため、真部分集合であっても、自然数の集合全体と同じ濃度を持つ。同様に、平方数の集合は可算であるが、これは現代集合論以前の数百年間、逆説的であると考えられていた（§ プレカントール集合論を参照）。しかし、集合論の台頭以来​​、歴史的に驚くべきもの、または当初は直感に反するものと考えられてきた他のいくつかの例がある。^[101] ${\displaystyle (\mathbb {N} ),}$

からへの関数の視覚的描写の2つの画像。左側は正の有理数のバージョン。右側は、各分数のすべての整数のペアの螺旋。 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$ ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle p/q.}$

有理数は 、 2つの整数の商または分数として表せる数です。有理数は、分数の集合を整数のすべての順序付きペアの集合と見なすことで可算であることが示されます。これは、グリッド上のすべての整数点の集合として視覚化できます。次に、グリッド内の各点を通過する繰り返しパターンまたは螺旋の線を描くことで、直感的な関数を記述できます。例えば、正の分数の場合はグリッド上の各対角線を通過し、すべての整数ペアの場合は格子螺旋を通過します。^[102]これらは技術的には有理数を覆い隠します。例えば、グリッド法ではこれらすべてを異なる順序付きペアとして扱うため、有理数はすべての分数にマッピングされます。したがって、この関数は示しません。これは、シュレーダー・ベルンシュタインの定理を使用してグリッド内のこれらの数を「スキップ」するか、カルキン・ウィルフ木などを使用してこれを自然に行う関数を設計することで修正できます。^[103] ${\displaystyle (\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} ,}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}}$ ${\textstyle {\frac {2}{4}},\,{\frac {3}{6}},\,{\frac {4}{8}},\,\dots ,}$ ${\displaystyle |\mathbb {Q} |\leq |\mathbb {N} |}$ ${\displaystyle |\mathbb {Q} |=|\mathbb {N} |.}$

複素平面上の代数的数、次数によって色分け

ある数が何らかの多項式方程式（整数係数）の解である場合、その数は代数的であると呼ばれます。たとえば、2 の平方根はの解であり、有理数はの解です。逆に、どの多項式の根にもなれない数は超越数と呼ばれます。2 つの例として、オイラー数( e ) と円周率 ( π )があります。一般に、数が超越数であることを証明するのは非常に難しいと考えられており、超越数のクラスはごくわずかしかわかっていません。ただし、多項式を辞書式に並べることで、代数的数の集合が可算であることを示すことができます(たとえば、カントールの最初の集合論の記事 § 証明 を参照)。代数的数の集合は可算ですが実数は不可算であるため (次のセクションで示す)、超越数は個々に特定するのがはるかに難しいにもかかわらず、実数の大部分を占めているに違いありません。つまり、ほとんどすべての実数は超越数である。^[104] ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle x^{2}-2=0,}$ ${\displaystyle p/q}$ ${\displaystyle qx-p=0.}$

ヒルベルトのホテル

ヒルベルトのホテルの視覚的表現。各宿泊客は自分の部屋番号の2倍の番号の部屋に行き、奇数番号の部屋は空けておきます

グランドホテルにおけるヒルベルトのパラドックスは、ドイツの数学者ダヴィド・ヒルベルトが考案した人気の思考実験で、可算無限集合の直感に反する性質、つまりそれらの集合自体の真部分集合と同じ濃度を持つことができる性質を説明するために考案されました。シナリオは、自然数ごとに1つずつ、無限の数の部屋があり、すべてが埋まっているホテルを想像することから始まります。しかし、そこに新しい宿泊客がやって来て部屋を求めます。ホテルは、部屋1の宿泊客を部屋2に、部屋2の宿泊客を部屋3に、部屋3を部屋4に、そして一般的に部屋nを部屋n+1に移動することで対応します。すると、すべての宿泊客はまだ部屋を持っていますが、部屋1は新しい宿泊客のために空けられます。^{[105] [106]}

次に、部屋を探している新しい宿泊客の無限に長いバスを想像しながらシナリオは続きます。ホテルは、部屋1の人を部屋2に、部屋2の人を部屋4に、そして一般的に部屋nの人を部屋2nに移動させることで対応します。したがって、偶数番号の部屋はすべて埋まりますが、奇数番号の部屋はすべて空いているため、無限のバスの新しい宿泊客のためのスペースが残ります。シナリオはさらに続き、これらの無限のバスが無限台ホテルに到着すると仮定し、ホテルはまだ対応可能であることを示します。最後に、すべての実数に対応する座席を備えた無限のバスが到着し、ホテルはもはや対応できなくなります。^{[105] [106]}

無数集合

集合が可算でない場合、それは非可算と呼ばれます。つまり、無限であり、自然数の集合よりも真に大きいということです。この最初の例として通常挙げられるのは実数の集合で、これは 数直線上のすべての数の集合として理解できます。実数が非可算であることを証明する1つの方法はカントールの対角線論法と呼ばれ、1891年の証明はカントールによるものとされていますが^[107] 、彼の方法はより一般的な表現とは異なります^[108] ${\displaystyle (\mathbb {R} )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}1\to &\;0.{\color {red}{\textbf {6}}}18033...\\2\to &\;0.1{\color {red}{\textbf {2}}}3456...\\3\to &\;0.60{\color {red}{\textbf {7}}}927...\\4\to &\;0.222{\color {red}{\textbf {2}}}22...\\\vdots \\&\;0.{\color {red}{\textbf {2323}}22}...\end{aligned}}}$

まず、矛盾により、自然数と 0 から 1 までの実数の集合 (区間)の間に 1 対 1 の対応関係があると仮定します。次に、たとえば、先頭に 0が付き、その後に任意の数字の並びが続く各実数の 10進表現を取ります。1 = 0.999...であるため、数 1 はこの集合に含まれます。これらの実数を列で考えると、新しい数の最初の桁が列の最初の桁と異なり、2 番目の桁が列の 2 番目の桁と異なる、などといった新しい数を作成することが常に可能です。新しい数は、10 進表現も一意でなければなりません。つまり、9 の繰り返しや 0 の繰り返しで終わることはできません。例えば、数字が2でない場合は新しい数の数字を2にし、数字が2だった場合は3にします。^{[109] [110]}すると、この新しい数はリスト内の各数と少なくとも1桁異なるため、リストには含まれません。これは、実数を自然数と1対1に対応させることができず、したがって必ず大きくなければならないことを示しています。^{[111] [112]} ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle 0.5772...}$

${\displaystyle \mathbb {N} }$はその冪集合 と同じ濃度を持たない：からへのすべての関数fに対して、集合はの範囲のすべての集合と一致しないため、全射にはならない。図は例と対応する を示している。赤：、青：。 ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle T=\{n\in N:n\notin f(n)\}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle n\notin T}$ ${\displaystyle n\in T}$

関連する推論を用いて確立された、非可算集合のもう1つの古典的な例は、自然数の冪集合であり、 と表記されます。これは、空集合とそれ自身を含む、のすべての部分集合の集合です。この方法は、カントールの元の対角線論法に非常に近いものです。ここでも、背理法によって、と の間に1対1対応が存在し、 のすべての部分集合が何らかの自然数に割り当てられていると仮定します。これらの部分集合は、 によって定義された順序で列に配置されます（画像を参照）。ここで、この列の「対角線」の否定を取ることで、リストにない の部分集合を次のように定義できます。 ^[113] ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

ならば、つまり 1 がリストの最初の部分集合に含まれる場合、1 は部分集合 には含まれません。さらに ならば、つまり数 2 が列の 2 番目の部分集合に含まれない場合、2 は部分集合 に含まれます。次に一般に、各自然数 について、 の場合に限り、つまり は、列の n 番目の部分集合に数 が含まれない場合にのみ部分集合 に入れられます。次に、各自然数について、、つまり は、任意の数 について、リストの n 番目の部分集合ではないため、 によって定義されるリストのどこにも出現できません。は任意に選ばれたため、から へのすべての関数には少なくとも 1 つの要素が欠けている必要があることが示され、したがってこのような一対一は存在できず、したがって は可算ではないはずです。^[113] ${\displaystyle 1\in f(1)}$ ${\displaystyle 1\notin T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle 2\notin f(2)}$ ${\displaystyle 2\in T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\in T}$ ${\displaystyle n\notin f(n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle T\neq f(n)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$

これら2つの集合とは同じ濃度を持つことが示せます（例えば、各部分集合を小数展開に割り当てることによって）。これは連続体の濃度と呼ばれます。^[114]これら2つの集合の間に濃度を持つ集合が存在するかどうかは、連続体仮説として知られています。^[115] ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle |\mathbb {N} |<|A|<|\mathbb {R} |}$

カントールの定理は上記の2番目の定理を一般化し、すべての集合はその冪集合よりも厳密に小さいことを示しています。証明はおおよそ次のようになります。集合 が与えられたとき、背理法により、からへの一対一写像が存在すると仮定します。すると、 「対角線」の否定をとることによって与えられる部分集合、正式にははリストに含まれません。したがって、すべての関数は少なくとも1つの要素を欠いており、 となります。さらに、自体が集合であるため、この議論を繰り返すことで が示せます。 をとると、 はすでに無数であることが示されているよりもさらに大きいことがわかります。この議論を繰り返すと、無限の「サイズ」は無限に存在することがわかります。^[116] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$ ${\displaystyle T\subseteq A}$ ${\displaystyle T=\{a\in A:a\notin f(a)\}}$ ${\displaystyle |A|<|{\mathcal {P}}(A)|}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$ ${\displaystyle |A|<|{\mathcal {P}}(A)|<|{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(A))|}$ ${\displaystyle A=\mathbb {N} }$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\mathbb {N} ))}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$

基数

上の節では、「集合の基数」は関係的に説明されました。言い換えれば、ある集合を別の集合と比較し、その「大きさ」を直感的に比較することができます。基数は、この「大きさ」をより明確に測定する手段です。有限集合の場合、これは単に要素を数えることで得られる自然数です。この数は、その集合の基数、または単にその集合の基数と呼ばれます。集合の基数は、通常、両側に縦線を引いたで表されますが、 ^[117]、またはで表すこともできます 。 ^[129] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle |A|,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {card} (A),}$ ${\displaystyle \#A.}$

無限集合の場合、「基数」を正式に定義するのはやや困難です。基数は通常、正式な定義ではなく、算術的／代数的性質という非物質的な観点から考えられます。^[130]を満たす基数関数が 存在するという仮定は、基数公理^[131]またはヒュームの原理^[132]と呼ばれることもあり、基数のほとんどの性質を導くのに十分です。^[133] ${\displaystyle A\mapsto |A|}$ ${\displaystyle A\sim B\iff |A|=|B|}$

数学では一般的に、関係が同値関係の性質を満たす場合、この関係を具体化するために使用されるオブジェクトは同値類であり、これはすべてのオブジェクトを互いに同値にグループ化します。これらはフレーゲ・ラッセル基数と呼ばれます。^[134]しかし、これは基数が集合を形成するには大きすぎることを意味します（唯一の要素が空集合である基数は除きます）。例えば、基数は1つの要素を持つすべての集合の集合であり、したがって適切なクラスになります。^{[135]したがって、}フォン・ノイマンのおかげで、これらのクラスの代表を割り当てることがより一般的です。 ^[136] ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$

有限集合

集合X = {1,2,3,4 }から集合Yへの全単射関数は、Yの基数が4であることを示します ${\displaystyle f:X\to Y}$

自然数の基本的な意味において、ある集合が他の集合と一対一に対応し、その要素を数えるのと類似している場合、その集合は濃度を持つと言われる。 ^{[137] [138]}例えば、集合は他の集合と自然に対応しており、したがって濃度4を持つと言われる。他の用語としては、「その濃度は4である」や「その基数は4である」などがある。正式な文脈では、自然数はペアノ公理を満たすオブジェクトの構成として理解することができる。^[139] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \{1,\,2,\,\dots ,\,n\},}$ ${\displaystyle S=\{A,B,C,D\}}$ ${\displaystyle \{1,2,3,4\},}$

そのような対応関係が存在することを示すことは必ずしも自明ではありません。組合せ論は、結果を得るための手段と目的の両方としての数え上げ、および有限構造の特定の性質に主に関わる数学の分野です。 ^[140]有限集合の濃度の概念は、多くの基本的な組合せ原理と密接に結びついており、それらを証明するための集合論的基礎を提供します。集合の可能なサイズに関する帰納法によって、有限濃度が自然数と一意に対応することが示されます（有限集合 § 濃度の一意性を参照）。^{[141]これは}鳩の巣原理と関連していますが、同等ではありません。^[142]

加法原理は、互いに素な集合とが与えられたとき、直感的に部分の合計が全体に等しいと主張します。[ ^143]乗法原理は、2つの集合とが与えられたとき、直感的にこれらの集合からオブジェクトをペアにする方法があると主張します。 ^[144]これらはどちらも、帰納法と共に、全単射証明によって証明できます。 ^[145]より一般的な結果は包含排他原理であり、これは重なり合う集合の要素の数を数える方法を定義します。^[146] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle |A\cup B|=|A|+|B|}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle |A\times B|=|A|\cdot |B|}$ ${\displaystyle |A|\cdot |B|}$

当然のことながら、集合は空であるか、ある自然数の集合と対応させることができる場合、有限であると定義されます。 ^{[137] [138]}しかし、 「数」の定義に依存しない「有限」の他の定義も存在します。例えば、集合がそれ自身の真部分集合と1対1に対応できない場合、その集合はデデキント有限と呼ばれます。^[147] ${\displaystyle \{1,\,2,\,\dots ,\,n\},}$ ${\displaystyle n.}$

アレフ数

アレフ・ノート、アレフ・ゼロ、またはアレフ・ヌル：最小の無限基数であり、自然数の集合の基数です。^[148]

アレフ数は、無限集合の大きさを表す基数の列であり、ヘブライ語アルファベットの最初の文字であるアレフ で表されます。^[148]最初のアレフ数は「アレフ・ノート」、「アレフ・ゼロ」、または「アレフ・ヌル」と呼ばれ、すべての自然数の集合の基数を表します。 次に、は次に大きい基数を表し、次に、というように続きます。^[149]集合論でこれを形式化する最も一般的な方法は、フォン・ノイマン順序数、つまりフォン・ノイマン基数割り当てです。^[150] ${\displaystyle \aleph ,}$ ${\displaystyle \aleph _{0},}$ ${\displaystyle \aleph _{0}=|\mathbb {N} |=|\{0,1,2,3,\cdots \}|.}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$ ${\displaystyle \aleph _{2}}$

順序数は、順序の概念を無限集合に一般化します。例えば、2は1の後にあり、と表され、3は両方の後にあり、と表されます。次に、すべての自然数の後に来る新しい数を定義し、と表します。さらに、以下同様です。[ ^151]より正式には、これらの順序数は次のように定義できます。 ${\displaystyle 1<2,}$ ${\displaystyle 1<2<3.}$ ${\displaystyle \omega ,}$ ${\displaystyle 1<2<3<\cdots <\omega .}$ ${\displaystyle \omega <\omega +1,}$

${\displaystyle 0:=\{\},}$空集合、など。次に、例えば 、したがって と定義できます。 （極限順序数） を定義すると、すべての有限順序数よりも大きい最小の順序数という望ましい特性が得られます。さらに、、など。^[152] ${\displaystyle 1:=\{0\},}$ ${\displaystyle 2:=\{0,1\},}$ ${\displaystyle 3:=\{0,1,2\},}$ ${\displaystyle m<n{\text{, if }}\,m\in n,}$ ${\displaystyle 2\in \{0,1,2\}=3,}$ ${\displaystyle 2<3.}$ ${\displaystyle \omega :=\{0,1,2,3,\cdots \}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega +1:=\{1,2,\cdots ,\omega \}}$

自然な対応により、 をすべての有限順序数の集合 として定義できます。つまり、 です。次に、はすべての可算順序数（濃度 のすべての順序数）の集合であり、最初の非可算順序数です。集合はそれ自身を含むことができないため、は確実にそれよりも大きい濃度を持つ必要があります。^[153] さらに、は 未満の濃度を持つすべての順序数の集合であり、一般に、後続の基数は までの濃度を持つすべての順序数の集合です。無限基数について言い換えると、は、順序同型までの可能な順序付けの数です。^[154]これは のハートッグス数と呼ばれることもあります。[ 155 ^]次に、極限順序数 に対して、はすべての小さいアレフの和集合です。 ^[156]整列定理により、基数がとの間である集合は存在できず、すべての無限集合は、ある順序数に対してあるアレフに対応する基数を持ちます。^[157] ${\displaystyle \omega \sim \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \aleph _{0}:=\omega .}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle |\alpha |\leq \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$ ${\displaystyle \aleph _{0}<\aleph _{1}.}$ ${\displaystyle \aleph _{2}}$ ${\displaystyle \aleph _{1},}$ ${\displaystyle \kappa ^{+}}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa ^{+}}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \aleph _{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \aleph _{1},}$ ${\displaystyle \aleph _{\alpha },}$ ${\displaystyle \alpha .}$

基数算術

一方の集合には3つの異なる形状があり、もう一方の集合には2つの異なる形状があります。2つの集合からオブジェクトを追加した結果は、 ${\displaystyle 3+2=5}$

基数に対する基本的な算術は、上記の有限組合せ原理の定理を拡張することにより、非常に自然な方法で行うことができます。と が互いに素であるという直感的な原理によれば、これらの集合の加算は、 と書き表されるそれらの和をとるだけです。したがって、と が無限大の場合、基数加算は と定義されます。ここで は互いに素な和を表します。同様に、2つの集合の乗算は直感的に、それらの要素をペアにする方法の数（乗法原理のように）であるため、基数乗法は と定義されます。ここで は直積 を表します。これらの定義は、標準的な算術の基本的な性質を満たすことが示されます。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle |A\cup B|=|A|+|B|}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle |A|+|B|:=|A\sqcup B|}$ ${\displaystyle \sqcup }$ ${\displaystyle |A|\cdot |B|:=|A\times B|}$ ${\displaystyle \times }$

• 結合性：、および ${\displaystyle |A|+|B\sqcup C|=|A\sqcup B|+|C|}$ ${\displaystyle |A|\cdot |B\times C|=|A\times B|\cdot |C|}$
• 交換性：、および ${\displaystyle |A|+|B|=|B|+|A|}$ ${\displaystyle |A|\cdot |B|=|B|\cdot |A|}$
• 分配性： ${\displaystyle |A|\cdot |B\sqcup C|=|A\times B|+|A\times C|}$

基数べき乗は、すべての関数の集合である集合べき乗によって定義されます。つまり、有限集合の場合、これは標準的な自然数べき乗と一致することが示されますが、空集合からそれ自身への関数は空関数だけしか存在しないため、 0の0乗は1であることが系として含まれます。組合せ論的議論を用いて示すことができます。一般に、基数べき乗は基数の加算や乗算ほど整然としていません。例えば、式が実際に何らかのアレフに対応することが証明できたとしても、標準的な集合論からはどのアレフに対応する かは証明できません。 ${\displaystyle |A|^{|B|}}$ ${\displaystyle f:B\mapsto A}$ ${\displaystyle |A|^{|B|}:=|A^{B}|.}$ ${\displaystyle (0^{0}=1)}$ ${\displaystyle 2^{|A|}=|{\mathcal {P}}(A)|}$ ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$

べき乗	不等式と単調性	恒等元	恒等式（無限A、Bの場合）
${\displaystyle \left(|A|^{|B|}\right)^{|C|}=|A|^{|B\times C|}}$（カリー化参照）	${\displaystyle |A|\leq |B|}$を意味する ${\displaystyle |A|+|C|\leq |B|+|C|}$	${\displaystyle |A|+|\varnothing |=|A|}$	${\displaystyle |A|+|B|=\operatorname {max} (|A|,|B|)}$
${\displaystyle |A|^{|B|+|C|}=|A|^{|B|}\cdot |A|^{|C|}}$	${\displaystyle |A|\leq |B|}$を意味する ${\displaystyle |A|\cdot |C|\leq |B|\cdot |C|}$	${\displaystyle |A|\cdot |\{\varnothing \}|=|A|}$	${\displaystyle |A|\cdot |B|=\operatorname {max} (|A|,|B|)}$
${\displaystyle |A\times B|^{|C|}=|A|^{|C|}\cdot |B|^{|C|}}$	${\displaystyle |A|\leq |B|}$を意味する ${\displaystyle |A|^{|C|}\leq |B|^{|C|}}$	${\displaystyle |A|^{|\{\varnothing \}|}=|A|}$	${\displaystyle |A|\cdot |\varnothing |=|\varnothing |}$（消滅子）

すべての基数の集合

すべての基数の集合とは、すべての基数を含む仮想的な集合を指します。そのような集合は存在できず、逆説的であると考えられており、ブラーリ・フォルティのパラドックスに関連しています。基数の定義をその基数の代表として用います。まず、ある集合が存在すると仮定します。すると、最大の基数が存在する場合、冪集合はより大きく、したがって には含まれません。逆に、最大の元が存在しない場合、和集合はのすべての元の元を含み、したがって各元以上です。任意の元に対してに最大の元が存在しないため、となる別の元が存在し、したがって、任意の に対して となり、したがって、基数の集合は集合を形成するには大きすぎ、適切なクラスです。 ${\displaystyle S:=\{X\,|X{\text{ is a cardinal number}}\}.}$ ${\displaystyle \kappa \in S,}$ ${\displaystyle 2^{\kappa }}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle \bigcup S}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle x\in S,}$ ${\displaystyle y\in S}$ ${\displaystyle |x|<|y|}$ ${\displaystyle |y|\leq {\Bigl |}\bigcup S{\Bigr |}.}$ ${\displaystyle x\in S,}$ ${\displaystyle |x|<{\Bigl |}\bigcup S{\Bigr |},}$ ${\displaystyle {\Bigl |}\bigcup S{\Bigr |}\notin S.}$

連続体の基数

数直線は、その連続体内のすべての点を含みます

数直線は、「空間」と「距離」という直感的な概念の幾何学的構成であり、各点は連続した経路に沿った明確な量または位置に対応します。「連続体」および「連続」という用語は、この直線の全体性、つまり直線上の任意の2点間にいくらかの空間（他の点）があり（稠密かつアルキメデス的）、隙間がない（完全性）ことを指します。この直感的な構成は、連続体を完全で稠密に秩序立った無数集合としてモデル化する実数 の集合によって形式化されます。 ${\displaystyle (\mathbb {R} )}$

カントール集合に近づく最初の5つの反復

連続体 の濃度は「」（小文字のフラクトゥール文字の「c」）で表され、さまざまな変換やマッピングの下で​​不変であり、多くの人が驚くべきことだと考えています。たとえば、、などの実数直線上のすべての区間は、集合 全体と同じ濃度を持ちます。まず、は からへの一対一です。次に、接線関数 は、区間 から実数直線全体への一対一です。さらに驚くべき例はカントール集合で、次のように定義されます。区間 から中央の 3 分の 1 を削除し、次に残りの 2 つのセグメントのそれぞれから中央の 3 分の 1 を削除し、さらに中央の 3 分の 1 を削除します (図を参照)。カントール集合とは、この処理を生き残った点の集合です。残ったこの集合は、小数展開を1 なしで 3進法で表すことができるすべての点です。これらの小数展開を2 進法として再解釈すると(たとえば、2 を 1 に置き換える)、カントール集合と区間 の間の一対一になります。 ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle [0,2]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)=2x}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle [0,2]}$ ${\textstyle \left({\frac {-\pi }{2}}\,,{\frac {\pi }{2}}\right)}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\textstyle \left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}}\right)}$ ${\displaystyle [0,1]}$

ペアノ曲線構成の3回の反復。その極限は空間充填曲線です。

空間充填曲線は、単位区間 から単位正方形への連続的な射影写像であり、ペアノ曲線やヒルベルト曲線などが古典的な例です。このような写像は単射ではありませんが、実際には射影的であるため、基数同値性を示すのに十分です。各次元で再利用して、任意の次元に対してであることを示すことができます。無限直積は、基数 を持つことも示せます。これは、基数べき乗によって証明できます。したがって、実数、すべての有限次元実空間、および可算直積は同じ基数を共有します ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle |\mathbb {R} |=|\mathbb {R} ^{n}|={\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle n\geq 1.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle |\mathbb {R} ^{\infty }|={\mathfrak {c}}^{\aleph _{0}}=\left(2^{\aleph _{0}}\right)^{\aleph _{0}}=2^{(\aleph _{0}\cdot \aleph _{0})}=2^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}=|\mathbb {R} |}$

§ 非可算集合に示されているように、実数の集合は自然数の集合よりも厳密に大きいです。具体的には、です。連続体仮説（CH）は、実​​数は自然数の次に大きい基数、つまり を持つと主張していますゲーデルとコーエンによって示されたように、連続体仮説は集合論の標準的な公理化であるZFCとは独立しています。つまり、ZFCが と矛盾しない限り、連続体仮説またはその否定をZFCから証明することは不可能です。^{[158] [159] [160]}一般化連続体仮説（GCH）はこれをすべての無限基数に拡張し、すべての順序数 に対してであると述べています。CHとGCHの研究は、特に記述集合論と大規模基数公理の探求を通じて、ZFCとは独立して継続されています。^[161] GHCがなければ、 の基数は特定のアレフで表すことができません。ベス数はから始まる実数の冪集合の簡潔な表記法を提供し、 、そして、そして一般にが極限順序数である場合に となります。 ${\displaystyle |\mathbb {R} |=|{\mathcal {P}}(\mathbb {N} )|}$ ${\displaystyle |\mathbb {R} |=\aleph _{1}}$ ${\displaystyle 2^{\aleph _{\alpha }}=\aleph _{\alpha +1}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \beth _{0}=|\mathbb {N} |}$ ${\displaystyle \beth _{1}=2^{\beth _{0}}=|\mathbb {R} |}$ ${\displaystyle \beth _{2}=|{\mathcal {P}}(\mathbb {R} )|=2^{\beth _{1}}}$ ${\displaystyle \beth _{n+1}=2^{\beth _{n}}}$ ${\displaystyle \beth _{\lambda }=\bigcup _{\alpha <\lambda }\beth _{\alpha }}$ ${\displaystyle \lambda }$

スコーレムのパラドックス

レーヴェンハイム・スコーレムの定理 の図解。ここで、 と は集合論のモデルであり、は任意の無限基数です ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle \kappa }$

モデル理論において、モデルは形式言語または理論の特定の解釈に対応する。モデルは、定義域（オブジェクトの集合）と、その構造内で理論の公理が満たされるような言語における記号の解釈から構成される。第一階述語論理において、レーヴェンハイム＝スコーレム定理は、ある理論が無限モデルを持つ場合、他のすべての無限基数のモデルも持つと述べている。この定理を集合論に適用すると、ツェルメロ＝フランケル集合論は、例えば のような非可算集合の存在を証明するが、それでも可算モデルを持つと主張する。したがって、スコーレムのパラドックスは次のように提起された。「可算個数のオブジェクトしか含まない集合論の定義域が、どのようにして「非可算個数の要素を持つ集合が存在する」という命題を満たすことができるのか？」 ^[162] ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$

スコーレムのパラドックスはZFCにのみ当てはまるのではなく、あらゆる一階集合論は、矛盾がなければ可算なモデルを持ちます。このパラドックスの数学的説明は、数学における真の矛盾ではないことを示しており、1922年にトラルフ・スコーレムによって初めて示されました。彼は、集合の可算性または非可算性は絶対的なものではなく、濃度が測定されるモデルに対して相対的なものであると説明しました。これは、例えば、集合論のモデルにおいて集合が可算である場合、一対一が存在するためです。しかし、そのような関数をすべて除外する一対一を含む部分モデルは、と一対一を含まず、したがって非可算となります。二階論理および高階論理では、レーヴェンハイム・スコーレムの定理は成り立ちません。これは、二階論理が定義域のすべての部分集合を量化するという事実によるものですスコーレムの研究は、一階述語論理の限界とスコーレムの「相対性」の概念に反論したエルンスト・ツェルメロから厳しく受け止められましたが、その結果はすぐに数学界に受け入れられました。 ^{[163] [162]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:\mathbb {N} \mapsto X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle X}$

代替公理と追加公理

20世紀に入る頃、集合論は、その素朴な研究に関連する蔓延する基礎的な問題を回避するために、公理的なアプローチへと転換しました（§ 公理的集合論を参照）。今日最も一般的に使用されている公理的集合論は、ツェルメロ・フランケル集合論（ZFC）です。^[60]この体系において、関連する公理には、大まかに「無限集合が存在する」、具体的には自然数の濃度を持つ集合が存在すると述べる無限公理、任意の集合に対して、冪集合も存在すると述べる冪集合公理、そして以下で説明する選択公理が含まれます。ZFCは、強すぎると弱すぎるの両方の批判を受けてきました。同様に、集合論者によって研究されたZFCの「自然な拡張」は数多くあります。したがって、それぞれが上記の標準的な濃度理論に影響を及ぼす、多くの代替的な公理体系が存在します。 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$

選択公理なしで

選択公理の図解。各集合は瓶、その要素はビー玉で表されています。

選択公理（AC）は、数学の基礎における基本原理であり、その歴史の中で多くの論争を繰り広げてきました。大まかに言えば、空でない集合の任意の集合が与えられた場合、その集合が無限であっても、各集合から1つの要素を選択することで新しい集合を構築できると述べています。多くの場合、要素を選択して作成された集合は、選択公理を適用せずに作成できます。しかし、一般にこれを行うことは不可能であり、その場合は選択公理を適用する必要があります。

ZFにおいて選択公理が偽であると仮定した場合、いくつかの意味合いがあります。

• 基数不等式はすべての集合上で全順序になることはできません。つまり、任意の2つの集合が与えられた場合、どちらも成立しない可能性があります。さらに、アレフは自然に比較できるため、どのアレフ数にも対応しない集合が存在します ${\displaystyle (\preceq )}$ ${\displaystyle A,B,}$ ${\displaystyle A\preceq B}$ ${\displaystyle B\preceq A}$
• デデキント有限な集合が存在する場合があります。これは、それ自体の真部分集合と一対一に並べることができないが、その要素を数えることができない（任意のnに対して一対一に並べることができない）ことを意味します ${\displaystyle \{1,2,\cdots ,n\}}$
• 基数公理を満たし、かつすべての^{[164]に対してを満たす}基数関数 が存在することを証明することは不可能である。そのため、一部の著者は、基数を整列可能な集合の基数に限定している。それでも、関数はスコットのトリックを用いて定義することができる。スコットのトリックは、正則性公理を用いて、各集合を、その集合が等しい数を持つフォン・ノイマン宇宙の最小階数に割り当てる。 ${\displaystyle S\mapsto |S|}$ ${\displaystyle |S|\sim S}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle \operatorname {card} (S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle V_{\alpha }}$ ${\displaystyle S.}$
• 基数の「無限積」を、その要素のすべての列の集合の基数として定義することができる。この集合が常に空でないことを主張することは、選択公理と同等である。これが、バートランド・ラッセルがACを乗法公理と呼んだ理由である。
• 一般化連続体仮説（GCH）はZFCとは独立しているが、ZF+GCHはACを証明するのに十分であることが示される。したがって、ACが偽である場合、GCHは成立しないことがわかる。

適切な類

ヘブライ文字のタヴは、「絶対無限」の大きさを表します。

一部の集合論では、真クラス（proper class ）が認められます。真クラスとは、おおよそ、集合を形成するには「大きすぎる」集合です。例えば、すべての集合の宇宙、すべての基数のクラス、すべての順序数のクラスなどです。このような集合論には、フォン・ノイマン・バーネイス・ゲーデル集合論やモース・ケリー集合論などがあります。このような集合論では、この定義は代表を割り当てるよりも簡潔であると考える著者もいます。なぜなら、この定義は「抽象化による定義」によって概念をより正確に記述しているからです

真クラスには、ある意味で濃度を割り当てることができます。カントールはもともと、真クラスの濃度を「絶対無限」と呼び、tav ת ‎（ヘブライ語アルファベットの最後の文字）で表し、その概念を神と関連付けました。^[165]集合とクラスを最初に区別したのはジョン・フォン・ノイマンで、「集合を形成するには大きすぎる」という概念を形式化しました。より正確には、彼はクラスが真クラスであるとは、集合の宇宙全体と同数である場合に限ると定義しました（サイズ制限の公理を参照）。したがって、すべての真クラスは同じ「サイズ」を持ちます。この公理にはいくつかの意味合いがあり、主に初期の集合論のサイズ制限原理に関連しています。それは、指定公理、置換公理、和集合公理、および大域選択公理を意味します。

大きな基数

大規模基数公理は、その名前が示すように非常に大きい基数、つまり ZFC 内で存在が証明できないほど大きい基数の存在を主張します。たとえば、到達不可能基数とは、大まかに言えば、和集合、極限、べき集合などの基本的な集合論的演算を使用して下から近づくことができない基数です (より正式には、通常の、極限基数)。大規模基数は、 (何らかの順序数 に対して)と表記されるフォン・ノイマン階層の観点から理解されます。これは、大まかに言えば、空集合 から取得できる集合に、べき集合 を再帰的に適用して得られる集合として理解できます。具体的には、極限順序数 に対して、および です。^[166] ${\displaystyle V_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle V_{0}=\varnothing }$ ${\displaystyle V_{\alpha +1}={\mathcal {P}}(V_{\alpha })}$ ${\displaystyle V_{\lambda }=\bigcup _{\alpha <\lambda }V_{\alpha }}$ ${\displaystyle \lambda }$

大きな基数を定義する多くの既知の特性が存在し、それらは一貫性の強さの観点から、おおよそ線形の高階層にあります。類推として、無限公理のないZFCでは、有限集合の存在しか証明できません。したがって、通常のZFCで存在が証明可能なは、ZFC–無限のモデルとして機能し、したがって、ZFCが矛盾しない場合は、ZFC–無限も矛盾しません。^[167]同様に、ZFC +「アクセスできない基数が存在する」は、アクセスできない場合はZFCのモデルとして機能するため、ZFCの一貫性を意味します（グロタンディーク宇宙を参照）。より強い大きな基数の公理は、より大きな基数の存在を主張し、それぞれがより弱いシステムの一貫性を証明します。^[168] ${\displaystyle V_{\omega }(={\mathcal {P}}(\varnothing )\cup {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\varnothing ))\cup \cdots )}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle V_{\kappa }}$

大規模基数は、実用的および哲学的な理由の両方から、集合論研究の最前線にあります。実用的な意味では、証明されていない、または証明不可能な予想が、十分に強い大規模基数公理によって解決できることがしばしばあります。哲学的な意味では、W・ヒュー・ウッドインなどの集合理論家によるプラトン的な見解によれば、これらの公理は、単に体系を拡張して、考慮されるべき「はずの」集合を含むようにするだけです。つまり、集合の基本宇宙が存在し、これらの公理によってそれらへのさらなるアクセスが許可されます。^[169]このため、大規模基数公理は、集合論の他の可能な公理と比較して、一般的に優先されます。この見解は、時には多元論と呼ばれる競合する哲学の間で議論の的となっています。^{[170]この哲学は、集合論は集合論の}多元宇宙として理解されるべきであり、「絶対的な」または「真の」モデルではないと主張しています。^[171]

構成可能性

構成可能性公理は、選択公理と一般化連続体仮説の相対的な整合性を証明するためにクルト・ゲーデルによって導入された公理です。これは、すべての集合が「構成可能」であると述べています（構成可能な宇宙 § Lとは何かを参照）。当然のことながら、ACやGCHを含むいくつかの帰結をもたらしますが、集合論における他のいくつかの重要な疑問も解決します。しかし、この公理は集合論者にはあまり受け入れられておらず、ほとんどの人は「制限が厳しすぎる」と考えています。その理由の1つは、この公理が十分に強い大きな基数公理と矛盾するためです。

決定性

ZFC では発生するが、ZF+AD では不可能であるバナッハ-タルスキーのパラドックスの図解。

決定性公理（AD）は、自然数上の特定の種類の数学ゲームは決定的である、つまり、1人のプレイヤーが常に勝利戦略を保証することを主張しています^[172] AD の帰結に関する最初の本格的な研究は、1960 年代に記述的集合論（大まかに言えば、実数の定義可能集合を研究する）において、実数の非常に優れた規制特性につながることが注目されてから始まった。^[173]具体的には、AD は完全集合特性、ベールの特性、および実数のすべての集合がルベーグ測定可能であることを意味する。^[174]しかし、この公理は AC と矛盾することが示され（決定性公理 § 選択公理との不一致を参照）、そのため集合論の基本公理とはみなされなかった。^{[175]しかし、大きな基数との関係および整合性は、}ドナルド A. マーティン、ジョン R. スティール、W. ヒュー ウッディンなどの集合理論家の間では今でも大きな関心を集めている。^[176]

選択公理を決定公理に置き換えることには、いくつかの意味合いがあります。

• バナッハ＝タルスキーのパラドックスは、ACから生じるパラドックスであり、球を有限個の破片に分解し、それらを元の球と同一の2つの球に再配置することを可能にします。これと関連するパラドックスは、ADの下では不可能になります。^[177]

• 実数集合を、実数の数よりも厳密に多い実数の非空集合が存在するような方法で分割することが可能です。つまり、が の一般分割を表す場合、 となるような分割が存在するということです。^[178] ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle |P|>|\mathbb {R} |}$

参照

• 基数と序数
• 無限組合せ論
• 数性（数学）
• ロス・リトルウッドのパラドックス
• ゼロシャープ

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