閉じた正確な微分形式

Concept of vector calculus

数学、特にベクトル解析と微分位相幾何学において、閉形式とは外微分がゼロ（dα = 0）となる微分形式 αのことである。また、完全形式とは、別の微分形式βの外微分である微分形式α、すなわちα = dβ のことである。したがって、完全形式はdの像に存在し、閉形式はd の核（零空間とも呼ばれる）に存在する。

正確な形式αに対して、αの次数より1つ小さい次数の微分形式βに対してα = dβ が成り立ちます。この形式βは、 αの「潜在形式」または「原始形式」と呼ばれます。閉形式の外微分はゼロであるため、βは一意ではありませんが、 αの次数より1つ小さい次数の任意の閉形式を加算することで変形できます。

d ² = 0であるので、すべての完全形式は必然的に閉じている。すべての閉形式が完全であるかどうかという問題は、関心領域の位相に依存する。縮約可能領域上では、ポアンカレの補題によりすべての閉形式が完全である。任意の微分可能多様体上のこの種のより一般的な問題は、ド・ラーム・コホモロジーの主題であり、これにより微分法を用いて純粋に位相的な情報を得ることができる。

例

dθ (のホッジ双対)に対応するベクトル場。

閉じているが正確ではない形式の簡単な例として、穴あき平面における引数の微分によって与えられる1-形式^{[注 1]が挙げられます}。は実際には関数ではないため（次の段落を参照） 、正確形式ではありません。それでも、の微分は 0 であり、したがって閉じています。 ${\displaystyle d\theta }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\smallsetminus \{0\}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle d\theta }$ ${\displaystyle d\theta }$

引数はの整数倍までしか定義されないことに注意してください。これは、単一の点に異なる引数、などを割り当てることができるためです。引数は の周りでは局所的に一貫した方法で割り当てることができますが、大域的に一貫した方法では割り当てることができません。これは、原点を反時計回りに回して に戻ると、引数が だけ増加するためです。一般に、引数はだけ変化します 。 ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r+2\pi }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \oint _{S^{1}}d\theta }$

反時計回りのループを回ります。 ${\displaystyle S^{1}}$

引数は厳密には関数ではないものの、ある点における の異なる局所定義は、定数分だけ互いに異なります。 における微分は局所データのみを使用し、定数分だけ異なる関数は同じ微分を持つため、引数は大域的に明確に定義された微分" " を持ちます。^{[注 2]} ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle d\theta }$

結論として、は の1次元形式であり、実際にはどの明確に定義された関数 の微分にもなりません。は正確ではないと言います。明示的には、は次のように与えられます。 ${\displaystyle d\theta }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\smallsetminus \{0\}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle d\theta }$ ${\displaystyle d\theta }$

${\displaystyle d\theta ={\frac {-y\,dx+x\,dy}{x^{2}+y^{2}}},}$

は、調べれば導関数が零であることがわかります。定義域を右半平面に制限すると と書けますが、角度関数は（どの角度関数を選んでも）滑らかでも連続でもありません。 は導関数が零であるため、 は閉じていると言えます。 ${\displaystyle d\theta =d\left(\tan ^{-1}(y/x)\right)}$ ${\displaystyle \theta =\tan ^{-1}(y/x)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\smallsetminus \{0\}}$ ${\displaystyle d\theta }$

一方、1つの形式の場合

${\displaystyle \alpha =-y\,dx+x\,dy,}$

${\displaystyle d\alpha \neq 0}$したがって、正確であるどころか、閉じられてもいません。 ${\displaystyle \alpha }$

この形式は、ド・ラーム・コホモロジー群を生成します。つまり、任意の閉じた形式は、正確な形式と:の倍数の和になります。ここで、は原点の周りの非自明な路積分を表します。これは、穴をあけられた平面上の閉じた形式 (局所的には、ポテンシャル関数の導関数) が大域的に定義された関数 の導関数である場合の唯一の障害です。 ${\displaystyle d\theta }$ ${\displaystyle H_{dR}^{1}(\mathbb {R} ^{2}\smallsetminus \{0\})\cong \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle df}$ ${\displaystyle d\theta }$ ${\displaystyle \omega =df+k\ d\theta }$ ${\textstyle k={\frac {1}{2\pi }}\oint _{S^{1}}\omega }$

低次元の例

とにおける微分形式は、 19世紀の数理物理学ではよく知られていました。平面上では、0形式は単なる関数であり、2形式は面積の基本要素の関数の積であるため、1形式となります。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle dx\wedge dy}$

${\displaystyle \alpha =f(x,y)\,dx+g(x,y)\,dy}$

非常に興味深いものです。ここでの外微分 の式は ${\displaystyle d}$

${\displaystyle d\alpha =(g_{x}-f_{y})\,dx\wedge dy}$

ここで、添え字は偏微分を表す。したがって、が閉じているための条件は ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle f_{y}=g_{x}.}$

この場合、関数であれば ${\displaystyle h(x,y)}$

${\displaystyle dh=h_{x}\,dx+h_{y}\,dy.}$

したがって、「正確」から「閉じた」への含意は、およびに関する2次導関数の対称性の結果です。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

勾配定理は、1 形式が正確であるためには、形式の線積分が曲線の端点のみに依存する場合、または同様に、任意の滑らかな閉曲線の周りの積分が 0 になる必要があると主張します。

ベクトル場の類推

リーマン多様体、またはより一般的には擬リーマン多様体では、k形式はkベクトル場（計量 を介した双対性により）に対応するため、閉じた形式または正確な形式に対応するベクトル場の概念が存在します。

3次元において、正確なベクトル場（1次元形式と考えられる）は保存ベクトル場と呼ばれ、スカラーポテンシャルと呼ばれる0次元形式（滑らかなスカラー場）の微分（勾配）であることを意味します。閉ベクトル場（1次元形式と考えられる）は、その微分（回転）が0となるベクトル場であり、非回転ベクトル場と呼ばれます。

ベクトル場を2次元形式として考えると、閉ベクトル場はその微分（発散）がゼロになるものであり、非圧縮性流れ（ソレノイドベクトル場と呼ばれることもある）と呼ばれます。「非圧縮性」という用語が用いられるのは、発散がゼロでないことが、流体に例えて言えば、ソースとシンクの存在に対応するためです。

保存ベクトル場と非圧縮ベクトル場の概念は、勾配と発散が n 次元に一般化されるため、n 次元に一般化されます。回転は 3 次元でのみ定義されるため、非回転ベクトル場の概念はこのように一般化されません。

ポアンカレの補題

ポアンカレの補題は、 BがR ⁿの開球であれば、B上で定義された任意の閉p形式ω は、 1 ≤ p ≤ nを満たす任意の整数pに対して正確である、ということを述べている。^[1]

より一般的には、この補題は、多様体の縮約可能な開部分集合（例えば、）上では、閉じたp形式、p > 0が正確であることを述べている。^[2] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

コホモロジーとしての定式化

二つの閉形式の差が完全形式であるとき、それらは互いに共相であるという。つまり、 ζとηが閉形式であり、あるβが

${\displaystyle \zeta -\eta =d\beta }$

ζとηは互いにコホモロジーであると言える。完全形式は零形式とコホモロジーであると言われることもある。与えられた形式と（したがって互いに）コホモロジーであるすべての形式の集合は、ド・ラーム・コホモロジー類と呼ばれる。そのような類の一般的な研究はコホモロジーとして知られている。dは次数を1ずつ増加させるので、零形式（滑らかな関数）が完全かどうかを問うことは実際には意味がない。しかし、位相幾何学からの手がかりは、零関数だけが「完全」と呼ぶべきであることを示唆している。コホモロジー類は局所定数関数と同一視される。

ポアンカレの補題の証明で使用されたものと同様の収縮ホモトピーを用いて、ド・ラームコホモロジーがホモトピー不変であることが示される。^[3]

熱力学との関連性

熱力学変数によって平衡状態が規定される熱力学系を考えてみましょう。熱力学第一法則は次のように述べられます。系の内部エネルギーが一定量変化し、系に対して一定量の仕事が行われるような微小な状態変化をもたらすプロセスにおいては、一定量の熱も供給しなければなりません。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle dU(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),}$ ${\displaystyle dW(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$

${\displaystyle dU-dW.}$

熱力学の第二法則は、あらゆる状況において、あるいは数学的に言えば、微分形式が閉じていない熱力学系は存在しないという経験的自然法則である。カラテオドリの定理^[4]はさらに、次のような積分分母が存在することを述べている。 ${\displaystyle dU=dW}$ ${\displaystyle dU-dW}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle dS\equiv {\frac {dU-dW}{T}}}$

は閉じた1次元形式である。積分分母は温度であり、状態関数は平衡エントロピーである。 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$

電気力学への応用

電気力学において、定常電流によって生成される磁場のケースは重要です。ここでは、この磁場のベクトルポテンシャルを扱います。このケースはk = 2に相当し、定義領域は完全な です。電流密度ベクトルは です。これは電流の2形式に対応します。 ${\displaystyle {\vec {B}}(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle {\vec {A}}(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle {\vec {j}}}$

${\displaystyle \mathbf {I} :=j_{1}(x_{1},x_{2},x_{3})\,{\rm {d}}x_{2}\wedge {\rm {d}}x_{3}+j_{2}(x_{1},x_{2},x_{3})\,{\rm {d}}x_{3}\wedge {\rm {d}}x_{1}+j_{3}(x_{1},x_{2},x_{3})\,{\rm {d}}x_{1}\wedge {\rm {d}}x_{2}.}$

磁場についても 同様の結果が得られる。これは誘導の2形式に対応し、ベクトルポテンシャルから導出できる。あるいは、対応する1形式である。 ${\displaystyle {\vec {B}}}$ ${\displaystyle \Phi _{B}:=B_{1}{\rm {d}}x_{2}\wedge {\rm {d}}x_{3}+\cdots }$ ${\displaystyle {\vec {A}}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

${\displaystyle {\vec {B}}=\operatorname {curl} {\vec {A}}=\left\{{\frac {\partial A_{3}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial A_{2}}{\partial x_{3}}},{\frac {\partial A_{1}}{\partial x_{3}}}-{\frac {\partial A_{3}}{\partial x_{1}}},{\frac {\partial A_{2}}{\partial x_{1}}}-{\frac {\partial A_{1}}{\partial x_{2}}}\right\},{\text{ or }}\Phi _{B}={\rm {d}}\mathbf {A} .}$

これによりベクトルポテンシャルはポテンシャル1形式に対応する。 ${\displaystyle {\vec {A}}}$

${\displaystyle \mathbf {A} :=A_{1}\,{\rm {d}}x_{1}+A_{2}\,{\rm {d}}x_{2}+A_{3}\,{\rm {d}}x_{3}.}$

磁気誘導二形式の閉性は磁場がソースフリーであるという特性、すなわち磁気単極子が存在しないということに対応します。 ${\displaystyle \operatorname {div} {\vec {B}}\equiv 0}$

特殊ゲージでは、i = 1, 2, 3に対して、 ${\displaystyle \operatorname {div} {\vec {A}}{~{\stackrel {!}{=}}~}0}$

${\displaystyle A_{i}({\vec {r}})=\int {\frac {\mu _{0}j_{i}\left({\vec {r}}'\right)\,\,dx_{1}'\,dx_{2}'\,dx_{3}'}{4\pi |{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}\,.}$

（ここでは磁気定数です。） ${\displaystyle \mu _{0}}$

この式は注目すべきものです。なぜなら、これは電界、すなわち電荷密度の静電クーロンポテンシャルに関するよく知られた式と完全に一致するからです。この時点で、 ${\displaystyle {\vec {E}}}$ ${\displaystyle \varphi (x_{1},x_{2},x_{3})}$ ${\displaystyle \rho (x_{1},x_{2},x_{3})}$

• ${\displaystyle {\vec {E}}}$そして ${\displaystyle {\vec {B}},}$
• ${\displaystyle \rho }$そして ${\displaystyle {\vec {j}},}$
• ${\displaystyle \varphi }$そして ${\displaystyle {\vec {A}}}$

は、6 つの非自明な成分と 4 つの非自明な成分を持つ量に統一することができ、これがマクスウェル方程式の相対論的不変性の基礎となります。

定常条件が満たされている場合、上記の式の左辺では、3つの空間座標に、第4の変数として時間tも加える必要があります。一方、右辺では、いわゆる「遅延時間」、つまり電流密度の引数に加算される時間を使用する必要があります。最後に、前述と同様に、3つのダッシュ付き空間座標にわたって積分します。（通常通り、cは真空中の光速度です。） ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle j_{i}'}$ ${\displaystyle t':=t-{\frac {|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}{c}}}$

注記

1. これは記法の乱用です。この引数は明確に定義された関数ではなく、いかなる零形式の微分でもありません。これについては、以下の議論で詳しく説明します。 ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle d\theta }$
2. 被覆空間の記事には、局所的にのみ明確に定義されている関数の数学に関する詳しい情報が記載されています。

引用

1. ワーナー 1983年、155～156ページ
2. リーと定理 11.49 harvnb error: no target: CITEREFLeeTheorem_11.49 (help)
3. ワーナー 1983年、162～207ページ
4. チャンドラセカール 1939、第1章

参考文献

• チャンドラセカール, S. (1939). 『恒星構造研究入門』ドーバー.
• フランダース、ハーレー(1989) [1963].微分形式とその物理科学への応用. ニューヨーク:ドーバー出版. ISBN 978-0-486-66169-8。。
• Lee, John M. (2013). 『滑らかな多様体入門（第2版）』Springer.
• ワーナー、フランク・W.（1983）「微分可能多様体とリー群の基礎」、数学大学院テキスト第94巻、シュプリンガー、ISBN 0-387-90894-3
• ネイピア、テレンス；ラマチャンドラン、モハン（2011）『リーマン面入門』ビルクハウザー、ISBN 978-0-8176-4693-6
• シンガー、IM；ソープ、JA（1976）、初等位相幾何学講義ノート、バンガロール大学出版、ISBN 0721114784

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Closed_and_exact_differential_forms&oldid=1321938109"