電位エネルギー

電位エネルギー
一般的な記号	ユー​
SI単位	ジュール（J）
他の量からの導出	U E = C · V 2 / 2

位置エネルギーは、クーロン力の保存作用によって生じる位置エネルギー（ジュールで測定）であり、定義された系における特定の点電荷の配置と関連しています。物体は、自身の電荷、または他の帯電物体との相対的な位置によって、位置エネルギーを持つと言えます。

「電気位置エネルギー」という用語は、時間変化する電場を持つシステムの位置エネルギーを説明するために使用されますが、「静電位置エネルギー」という用語は、時間不変の電場 を持つシステムの位置エネルギーを説明するために使用されます。

意味

点電荷系の電位エネルギーは、電荷を無限遠から系に近づけることで、この電荷系を組み立てるのに必要な仕事として定義されます。あるいは、任意の電荷または電荷系の電位エネルギーは、外部の作用素が電荷または電荷系を加速を受けることなく無限遠から現在の配置まで移動させる際に行う全仕事とも呼ばれます。

電界Eの存在下における位置rにある一点電荷qの静電位置エネルギーU _Eは、静電気力によって基準位置r _ref ^{[注 1 ]}からその位置rに移動させるのに費やされた仕事Wの負の値として定義される。^{[ 1 ] [ 2 ] : §25-1}

$${\displaystyle U_{\mathrm {E} }(\mathbf {r} )=-W_{r_{\text{ref}}\to r}=-\int _{\mathbf {r} _{\text{ref}}}^{\mathbf {r} }q\mathbf {E} (\mathbf {r'} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {r'} }$$

ここで、Eは静電場であり、d r'は基準位置r _refから最終位置rまでの曲線の変位ベクトルです。

静電ポテンシャルエネルギーは、次のように電位から定義することもできます。

電位が存在する位置rにある1 点電荷qの静電位置エネルギーU _Eは、電荷と電位の積として定義されます。 ${\displaystyle V}$

$${\displaystyle U_{\mathrm {E} }(\mathbf {r} )=qV(\mathbf {r} )}$$

ここで、は電荷によって生成される電位であり、位置rの関数です。 ${\displaystyle V}$

ユニット

SI単位系における電位エネルギーの単位はジュール（イギリスの物理学者ジェームズ・プレスコット・ジュールにちなんで名付けられました）です 。CGS単位系では、エネルギーの単位はエルグ（erg）で、10 ⁻⁷ジュールに相当します。また、電子ボルト（eV）も用いられ、1 eV = 1.602×10 ⁻¹⁹ジュールとなります。

一点電荷の静電位置エネルギー

一つの点電荷qと別の点電荷Qの存在

別の電荷 Q の電場内の点電荷 q。

点電荷Qが存在する場合の位置rにおける 1 つの点電荷qの静電ポテンシャルエネルギーU _Eは、電荷間の無限遠を基準位置とすると、次のようになります。

$${\displaystyle U_{E}(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {qQ}{r}}}$$

ここで、rは点電荷qとQ間の距離であり、qとQは電荷です（電荷の絶対値ではありません。つまり、式に電子を置くと負の電荷を持つことになります）。以下の証明の概要は、電位エネルギーの定義とクーロンの法則からこの式が導かれる過程を述べています。

証明の概要

電荷qに作用する静電力Fは、電場Eを用いて次のよう に表すことができます。 $${\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {E} ,}$$

定義により、電界Eの存在下で基準位置r _refから位置rに移動した点電荷qの静電ポテンシャルエネルギーU _Eの変化は、基準位置r _refからその位置rに移動するために静電力によって行われた仕事の負の値になります。

$${\displaystyle U_{E}(r)-U_{E}(r_{\rm {ref}})=-W_{r_{\rm {ref}}\rightarrow r}=-\int _{{r}_{\rm {ref}}}^{r}q\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} .}$$

どこ：

• r = 電荷qの3次元空間での位置。直交座標r = ( x , y , z ) を使用し、電荷Qの位置をr = (0,0,0) とすると、スカラーr = | r | は位置ベクトルのノルムです。
• d s = r _refからrに向かう経路Cに沿った差動変位ベクトル、
• ${\displaystyle W_{r_{\text{ref}}\to r}}$は、電荷を基準位置r _refからrに移動させるために静電力によって行われる仕事である。

通常、r _{refが無限大のときは}U _Eはゼロに設定されます。 つまり $${\displaystyle U_{E}(r_{\rm {ref}}=\infty )=0}$$ $${\displaystyle U_{E}(r)=-\int _{\infty }^{r}q\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} }$$

回転∇ × Eがゼロのとき、上記の線積分は選択された特定の経路Cには依存せず、その終点のみに依存します。これは時間不変電場において発生します。静電ポテンシャルエネルギーについて議論する場合、常に時間不変電場が仮定されるため、この場合、電場は保存則であり、クーロンの法則を適用できます。

クーロンの法則を用いると、離散点電荷Qによって生成される静電力Fと電場EはQから放射状に伸びていることが分かります。位置ベクトルrと変位ベクトルsの定義により、 rとsもQから放射状に伸びていることが分かります。したがって、Eと d s は平行でなければなりません。

$${\displaystyle \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =\left|\mathbf {E} \right|\cdot \left|\mathrm {d} \mathbf {s} \right|\cos(0)=E\,\mathrm {d} s}$$

クーロンの法則を用いると、電場は次のように表される。

$${\displaystyle \left|\mathbf {E} \right|=E={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q}{s^{2}}}}$$

そして積分は簡単に評価できる。

$${\displaystyle U_{E}(r)=-\int _{\infty }^{r}q\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =-\int _{\infty }^{r}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {qQ}{s^{2}}}\,\mathrm {d} s={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {qQ}{r}}=k_{e}{\frac {qQ}{r}}}$$

1つの点電荷qがn個の点電荷Q _iと共存する

Q ₁とQ _{2 の}電荷システムによるqの静電ポテンシャルエネルギー: ${\displaystyle U_{E}={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left({\frac {Q_{1}}{r_{1}}}+{\frac {Q_{2}}{r_{2}}}\right)}$

n個の点電荷Q _iが存在する場合の1 個の点電荷qの静電ポテンシャルエネルギーU _Eは、電荷間の無限遠を基準位置とすると、次のようになります。

$${\displaystyle U_{E}(r)={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {Q_{i}}{r_{i}}},}$$

ここで、r _iは点電荷qとQ _i間の距離であり、qとQ _{i は}電荷に割り当てられた値です。

点電荷系に蓄えられた静電位置エネルギー

それぞれ位置r ₁、r ₂、 …、r _NにあるN 個の電荷q ₁、q ₂、 …、q _Nのシステムに蓄えられる静電ポテンシャルエネルギーU _{E は}、次のとおりです。

$${\displaystyle U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}q_{i}V(\mathbf {r} _{i})={\frac {1}{2}}k_{e}\sum _{i=1}^{N}q_{i}\sum _{\stackrel {j=1}{j\neq i}}^{N}{\frac {q_{j}}{r_{ij}}},}$$

1

ここで、各i値について、V( r _i ) はr _iの点電荷を除くすべての点電荷による静電ポテンシャルであり、^{[注 2 ]}次式に等しくなります。 ここで、r _ijはq _iとq _jの間の距離です。 $${\displaystyle V(\mathbf {r} _{i})=k_{e}\sum _{\stackrel {j=1}{j\neq i}}^{N}{\frac {q_{j}}{r_{ij}}},}$$

証明の概要

2つの電荷の系に蓄えられた静電ポテンシャルエネルギーU _{E は、他方の電荷によって生成される}静電ポテンシャルにおける一方の電荷の静電ポテンシャルエネルギーに等しい。つまり、電荷 q _1が位置rの関数である静電ポテンシャル V ₁を生成する場合、 $${\displaystyle U_{\mathrm {E} }=q_{2}V_{1}(\mathbf {r} _{2}).}$$

他の電荷に関しても同様の計算を行うと、 $${\displaystyle U_{\mathrm {E} }=q_{1}V_{2}(\mathbf {r} _{1}).}$$

静電ポテンシャルエネルギーは と によって相互に共有されるため、蓄えられる全エネルギーは ${\displaystyle q_{1}}$ ${\displaystyle q_{2}}$ $${\displaystyle U_{E}={\frac {1}{2}}\left[q_{2}V_{1}(\mathbf {r} _{2})+q_{1}V_{2}(\mathbf {r} _{1})\right]}$$

これを一般化すると、それぞれ位置r ₁、r ₂、 … 、 r _nにあるn 個の電荷q ₁、q ₂、 …、q _nのシステムに蓄えられる静電ポテンシャルエネルギーU _{E は}次のようになります。

$${\displaystyle U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}q_{i}V(\mathbf {r} _{i}).}$$

一点電荷系に蓄えられたエネルギー

点電荷を無限遠から最終位置まで移動させる際に外部エージェントが対抗しなければならない他の静電気力の発生源がないため、点電荷を 1 つだけ含むシステムの静電位置エネルギーはゼロです。

点電荷とその静電ポテンシャルとの相互作用に関して、よくある質問があります。この相互作用は点電荷自体を動かす作用をしないため、系の蓄積エネルギーには寄与しません。

2点電荷系に蓄えられたエネルギー

点電荷qを点電荷Q ₁の近くの最終位置に移動させることを考えます。Q ₁による電位V ( r )は $${\displaystyle V(\mathbf {r} )=k_{e}{\frac {Q_{1}}{r}}}$$

したがって、 Q ₁の電位におけるqの静電ポテンシャルエネルギーは次のように なります。 ここで、 r ₁は 2 つの点電荷間の距離です。 $${\displaystyle U_{E}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {qQ_{1}}{r_{1}}}}$$

3点電荷システムに蓄えられたエネルギー

3 つの電荷のシステムの静電ポテンシャル エネルギーは、 2 つの電荷Q ₂とQ ₃によるQ _{1の静電ポテンシャル エネルギーと混同しないでください。後者には、 2 つの電荷}Q ₂とQ ₃のシステムの静電ポテンシャル エネルギーが含まれていないからです。

3 つの電荷のシステムに蓄えられる静電位置エネルギーは次のとおりです。 $${\displaystyle U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left[{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r_{12}}}+{\frac {Q_{1}Q_{3}}{r_{13}}}+{\frac {Q_{2}Q_{3}}{r_{23}}}\right]}$$

証明の概要

（ １ ）の式を用いると、３つの電荷の系の静電ポテンシャルエネルギーは次のようになる。 $${\displaystyle U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{2}}\left[Q_{1}V(\mathbf {r} _{1})+Q_{2}V(\mathbf {r} _{2})+Q_{3}V(\mathbf {r} _{3})\right]}$$

ここで、 は電荷Q ₂とQ ₃によってr ₁に生じる電位、は電荷Q ₁とQ _{3によって}r ₂に生じる電位、 は電荷Q ₁とQ ₂によってr ₃に生じる電位です。これらの電位は以下のとおりです。 ${\displaystyle V(\mathbf {r} _{1})}$ ${\displaystyle V(\mathbf {r} _{2})}$ ${\displaystyle V(\mathbf {r} _{3})}$

$${\displaystyle V(\mathbf {r} _{1})=V_{2}(\mathbf {r} _{1})+V_{3}(\mathbf {r} _{1})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{2}}{r_{12}}}+{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{3}}{r_{13}}}}$$ $${\displaystyle V(\mathbf {r} _{2})=V_{1}(\mathbf {r} _{2})+V_{3}(\mathbf {r} _{2})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{1}}{r_{21}}}+{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{3}}{r_{23}}}}$$ $${\displaystyle V(\mathbf {r} _{3})=V_{1}(\mathbf {r} _{3})+V_{2}(\mathbf {r} _{3})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{1}}{r_{31}}}+{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{2}}{r_{32}}}}$$

ここで、r _ijは電荷Q _iとQ _j間の距離です。

すべてを追加すると：

$${\displaystyle U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{2}}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left[{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r_{12}}}+{\frac {Q_{1}Q_{3}}{r_{13}}}+{\frac {Q_{2}Q_{1}}{r_{21}}}+{\frac {Q_{2}Q_{3}}{r_{23}}}+{\frac {Q_{3}Q_{1}}{r_{31}}}+{\frac {Q_{3}Q_{2}}{r_{32}}}\right]}$$

最終的に、3 つの電荷のシステムに蓄えられた静電位置エネルギーは次のようになります。

$${\displaystyle U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left[{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r_{12}}}+{\frac {Q_{1}Q_{3}}{r_{13}}}+{\frac {Q_{2}Q_{3}}{r_{23}}}\right]}$$

真空中の静電場分布に蓄えられたエネルギー

連続電荷分布の 静電場のエネルギー密度、つまり単位体積あたりのエネルギーは、次のとおりです。 ${\textstyle {\frac {dU}{dV}}}$ $${\displaystyle u_{e}={\frac {dU}{dV}}={\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}\left|{\mathbf {E} }\right|^{2}.}$$

証明の概要

連続電荷分布の静電ポテンシャルエネルギーの式を静電場の観点から見ることができます。

ガウスの静電場の法則は、微分形式で次のように規定されて いる 。 $${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$$

• ${\displaystyle \mathbf {E} }$は電場ベクトルである
• ${\displaystyle \rho }$物質に束縛された双極子電荷を含む全電荷密度である。
• ${\displaystyle dV}$体積要素である
• ${\displaystyle \Phi }$電位は
• ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$は自由空間の誘電率であり、

それから、 $${\displaystyle {\begin{aligned}U&={\frac {1}{2}}\int \limits _{\text{all space}}\rho (r)\Phi (r)\,dV\\&={\frac {1}{2}}\int \limits _{\text{all space}}\varepsilon _{0}(\mathbf {\nabla } \cdot {\mathbf {E} })\Phi \,dV\end{aligned}}}$$

そこで、次の発散ベクトル恒等式を用いると

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot (\mathbf {A} {B})&=(\nabla \cdot \mathbf {A} ){B}+\mathbf {A} \cdot (\nabla {B})\\\Rightarrow (\nabla \cdot \mathbf {A} ){B}&=\nabla \cdot (\mathbf {A} {B})-\mathbf {A} \cdot (\nabla {B})\end{aligned}}}$$

我々は持っています

$${\displaystyle U={\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \limits _{\text{all space}}\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {E} \Phi )dV-{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \limits _{\text{all space}}(\mathbf {\nabla } \Phi )\cdot \mathbf {E} dV}$$

発散定理を用いて面積を無限大とし、 ${\displaystyle \Phi (\infty )=0}$ ${\displaystyle \nabla \Phi =-\mathbf {E} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}U&=\overbrace {{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \limits _{{}_{\text{ of space}}^{\text{boundary}}}\Phi \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} } ^{0}-{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \limits _{\text{all space}}(-\mathbf {E} )\cdot \mathbf {E} \,dV\\&=\int \limits _{\text{all space}}{\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}\left|{\mathbf {E} }\right|^{2}\,dV.\end{aligned}}}$$

したがって、静電場のエネルギー密度、つまり単位体積あたりのエネルギーは次のようになります。 ${\textstyle {\frac {dU}{dV}}}$

$${\displaystyle u_{e}={\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}\left|{\mathbf {E} }\right|^{2}.}$$

電子素子に蓄えられたエネルギー

コンデンサに蓄えられる電位エネルギーは U _E = ⁠1/2⁠履歴書²

回路内のいくつかの要素は、エネルギーをある形態から別の形態に変換することができます。例えば、抵抗器は電気エネルギーを熱に変換します。これはジュール効果として知られています。コンデンサは、その電界にエネルギーを蓄えます。コンデンサに蓄えられる静電位エネルギーの総量は、 Cが 静電容量、Vが電位差、Q がコンデンサに蓄えられた 電荷です。 $${\displaystyle U_{E}={\frac {1}{2}}QV={\frac {1}{2}}CV^{2}={\frac {Q^{2}}{2C}}}$$

証明の概要

コンデンサに電荷を微小な増分で集める場合、各増分を最終位置まで集めるのに必要な仕事量は次のように表される。 ${\displaystyle dq\to 0}$

$${\displaystyle W_{q}=V\,dq={\frac {q}{C}}dq.}$$

このようにしてコンデンサを完全に充電するために行われた全仕事は、 コンデンサの全電荷量です。この仕事は静電ポテンシャルエネルギーとして蓄えられるため 、 $${\displaystyle W=\int dW=\int _{0}^{Q}V\,dq={\frac {1}{C}}\int _{0}^{Q}q\,dq={\frac {Q^{2}}{2C}}.}$$ ${\displaystyle Q}$ $${\displaystyle W=U_{E}={\frac {Q^{2}}{2C}}.}$$

特に、この式は の場合にのみ有効であり、これは金属電極を持つ大型コンデンサなどの多電荷系に当てはまります。少数電荷系では、電荷の離散的な性質が重要です。少数電荷コンデンサに蓄えられる全エネルギーは であり、 これは最小の物理的電荷増分を利用する電荷集合法によって得られます。ここでは電荷の基本単位であり、はコンデンサ内の総電荷数です。 ${\displaystyle dq\to 0}$ $${\displaystyle U_{E}={\frac {Q^{2}}{2C}}}$$ ${\displaystyle \Delta q=e}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle Q=Ne}$ ${\displaystyle N}$

全静電ポテンシャルエネルギーは、電界を用いて次のように表すこともできる。 $${\displaystyle U_{E}={\frac {1}{2}}\int _{V}\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} \,dV}$$

ここで、は誘電体材料内の電界変位であり、積分は誘電体の全体積にわたって行われます。 ${\displaystyle \mathrm {D} }$

帯電誘電体内に蓄えられた全静電ポテンシャルエネルギーは、連続した体積電荷で表すこともできます。ここで、 積分は誘電体の全体積にわたって行われます。 ${\displaystyle \rho }$ $${\displaystyle U_{E}={\frac {1}{2}}\int _{V}\rho \Phi \,dV}$$

後者の2つの式は、金属電極が存在する誘電体や多くの電荷を含む誘電体など、 電荷の最小増分がゼロ（ ）の場合にのみ有効です。 ${\displaystyle dq\to 0}$

コンデンサプレート間のエネルギー移動に基づく仮想実験では、例えば半導体を扱う場合には追加の項を考慮する必要があることが明らかになっていることに注意してください。^{[ 3 ]}この余分なエネルギーは絶縁体を扱う場合には打ち消されますが、導出では分極エネルギーを超える可能性があるため無視できないことが予測されます。

注記

1. 基準ゼロは通常、個々の点電荷が非常によく分離され（「無限に離れている」）、静止している状態であると考えられています。
2. 1/2という係数は、電荷対の「二重カウント」を考慮しています。例えば、電荷が2つだけの場合を考えてみましょう。

参考文献

1. 電磁気学（第2版）、I.S.グラント、W.R.フィリップス、マンチェスター物理学シリーズ、2008年ISBN 0-471-92712-0
2. ハリデー、デイビッド、レスニック、ウォーカー、ジェール (1997). 「電位」. 『物理学の基礎』（第5版）.ジョン・ワイリー・アンド・サンズ. ISBN 0-471-10559-7。
3. Sallese (2016-06-01). 「半導体における静電エネルギーの新たな構成要素」 . The European Physical Journal B. 89 ( 6): 136. arXiv : 1510.06708 . doi : 10.1140/epjb/e2016-60865-4 . ISSN 1434-6036 . S2CID 120731496 .  

外部リンク

• ウィキメディア・コモンズの電位エネルギー関連メディア

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