普遍的な財産

数学、より具体的には圏論において、普遍性とは、ある構成の結果を同型性を除いて特徴付ける性質である。したがって、普遍性は、いくつかのオブジェクトを、それらを構成する方法とは独立して定義するために使用できる。たとえば、自然数から整数の定義、整数から有理数の定義、有理数から実数の定義、多項式環の係数体から多項式環の定義はすべて、普遍性を用いて行うことができる。特に、普遍性の概念により、実数のすべての構成が同等であるという簡単な証明が可能になる。つまり、それらが同じ普遍性を満たすことを証明すれば十分である。

技術的には、普遍性は、圏と関手を用いて普遍射（後述の§ 形式的定義を参照）によって定義されます。普遍射は、より抽象的に、コンマ圏の始対象または終対象として考えることもできます（後述の§ コンマ圏との関連を参照）。

普遍性は数学のほぼあらゆる場面で現れ、この概念を用いることで、普遍性の一般性を用いて、そうでなければ退屈な検証が必要となるような性質を容易に証明することが可能になる。例えば、可換環 $R$ が与えられたとき、 $R$ の商環の素イデアル $p$ による分数体は、 $R$ の $p$ における局所化の留数体と同一視することができる。つまり、（これらの構成はすべて普遍性によって定義できる）。 $R_{p}/pR_{p}\cong \operatorname {Frac} (R/p)$

普遍的性質によって定義できる他のオブジェクトには、すべての自由オブジェクト、直積と直和、自由群、自由格子、グロタンディーク群、距離空間の完備化、環の完備化、デデキント-マクニール完備化、積位相、ストーン-チェフのコンパクト化、テンソル積、逆極限と直極限、核と余核、商群、商ベクトル空間、およびその他の商空間が含まれます。

モチベーション

普遍的な性質の正式な定義を与える前に、そのような構成を研究する動機をいくつか示します。

ある構成の具体的な詳細は複雑かもしれませんが、その構成が普遍的性質を満たしていれば、それらの詳細はすべて忘れて構いません。構成について知っておくべきことはすべて、既に普遍的性質に含まれているからです。具体的な詳細ではなく普遍的性質を用いると、証明は簡潔で簡潔になることが多いです。例えば、ベクトル空間のテンソル代数は構築がやや複雑ですが、その普遍的性質によって扱いやすくなります。
普遍的性質は、一意の同型性まで、オブジェクトを一意に定義します。^[1]したがって、2つのオブジェクトが同型であることを証明する1つの戦略は、それらが同じ普遍的性質を満たしていることを示すことです。
普遍構成は本質的に関数的である。すなわち、圏Cのあらゆる対象に対して構成を実行できる場合、C上の関数が得られる。さらに、この関数は普遍性の定義に用いられる関数U の右随伴関数または左随伴関数となる。 ^[2]
普遍的な性質は数学のあらゆる場面で現れます。それらの抽象的な性質を理解することで、あらゆる構成に関する情報が得られ、個々の事例ごとに同じ分析を繰り返す必要がなくなります。

正式な定義

普遍構成の定義を理解するには、例を見ることが重要です。普遍構成は、何の根拠もなく突然定義されたわけではなく、数学者が多くの数学的構成に見られるパターンに気づき始めた後に定義されたものです（以下の例を参照）。したがって、最初は定義が理解しにくいかもしれませんが、具体的な例と照らし合わせると理解が深まります。

をカテゴリとの間の関手とします。以下では、をのオブジェクト、をのオブジェクト、をの射とします。 $F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$ ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {D}}$ $X$ ${\mathcal {D}}$ $A$ $A'$ ${\mathcal {C}}$ $h:A\to A'$ ${\mathcal {C}}$

次に、関数は、、を、、にマッピングします。 $F$ $A$ $A'$ $h$ ${\mathcal {C}}$ $F(A)$ $F(A')$ $F(h)$ ${\mathcal {D}}$

からへの普遍射は、一般に $X$ $F$ 普遍特性と呼ばれる以下の特性を持つ一意のペアです。 $(A,u:X\to F(A))$

における形式の任意の射に対して、次の図式がと可換となるようなにおける唯一の射が存在する。 $f:X\to F(A')$ ${\mathcal {D}}$ $h:A\to A'$ ${\mathcal {C}}$

この圏論的概念は双対化することができます。からへの普遍射は、 $F$ $X$ 以下の普遍性を満たす唯一の対です。 $(A,u:F(A)\to X)$

における形式の任意の射に対して、次の図式が可換となるような唯一の射が存在する。 $f:F(A')\to X$ ${\mathcal {D}}$ $h:A'\to A$ ${\mathcal {C}}$

それぞれの定義において、矢印が逆になっていることに注意してください。どちらの定義も、数学に現れる普遍的な構成を記述するために必要ですが、圏論に内在する双対性によっても生じます。いずれの場合も、上記のように振舞うペアは普遍的な性質を満たすと言えます。 $(A,u)$

コンマカテゴリとの関連

普遍射は、コンマカテゴリ（つまり、射がそれ自体でオブジェクトとして見られるカテゴリ）の始端オブジェクトと終端オブジェクトとして、より簡潔に記述することができます。

を関数とし、をのオブジェクトとする。コンマ圏とは、 $F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$ $X$ ${\mathcal {D}}$ $(X\downarrow F)$

オブジェクトはの形のペアであり、はのオブジェクトである。 $(B,f:X\to F(B))$ $B$ ${\mathcal {C}}$
からへの射影はの射影によって与えられ、図式は可換となる。 $(B,f:X\to F(B))$ $(B',f':X\to F(B'))$ $h:B\to B'$ ${\mathcal {C}}$

ここで、のオブジェクトが始原であると仮定します。すると、任意のオブジェクトに対して、次の図式が可換となるような唯一の射が存在します。 $(A,u:X\to F(A))$ $(X\downarrow F)$ $(A',f:X\to F(A'))$ $h:A\to A'$

ここでの等式は、単に図式が同じであることを意味することに注意してください。また、等式の右側の図式は、からへの普遍射 $X$ $F$ を定義する際に提示された図式と全く同じであることにも注意してください。したがって、からへの普遍射は、コンマ圏の初期対象と同値であることがわかります。 $X$ $F$ $(X\downarrow F)$

逆に、コンマカテゴリは、 $(F\downarrow X)$

オブジェクトは、次の形式のペアです。ここで、は、 $(B,f:F(B)\to X)$ $B$ ${\mathcal {C}}$
からへの射影はの射影によって与えられ、図式は可換となる。 $(B,f:F(B)\to X)$ $(B',f':F(B')\to X)$ $h:B\to B'$ ${\mathcal {C}}$

がにおける終端オブジェクトであるとする。すると、すべてのオブジェクトに対して、以下の図式が可換となるような唯一の射が存在する。 $(A,u:F(A)\to X)$ $(F\downarrow X)$ $(A',f:F(A')\to X)$ $h:A'\to A$

等式の右側の図は、からへの普遍射を $F$ $X$ 定義する際に描かれた図と同じである。したがって、からへの普遍射は、コンマ圏の終端オブジェクトに対応する。 $F$ $X$ $(F\downarrow X)$

例

以下に、全体的な考え方を強調するためのいくつかの例を示します。読者は、序論で紹介した記事を参照することで、他にも多くの例を挙げることができます。

テンソル代数

を体上のベクトル空間-Vectの圏とし、を（単位元かつ結合的であると仮定する）上の代数-Algの圏とする。を各代数にその基礎ベクトル空間を割り当てる忘却関手とする。 ${\mathcal {C}}$ $K$ $K$ ${\mathcal {D}}$ $K$ $K$ $U:K{\text{-}}\mathbf {Alg} \to K{\text{-}}\mathbf {Vect}$

上の任意のベクトル空間が与えられたとき、テンソル代数を構築することができます。テンソル代数は、以下の事実によって特徴付けられます。 $V$ $K$ $T(V)$

「からへの任意の線型写像は、からへの代数準同型写像に一意に拡張できます。」

V

A

T(V)

A

このステートメントは、包含写像であるペアがベクトル空間から関数への普遍射であるという事実を表現しているため、テンソル代数の初期特性です。 $(T(V),i)$ $i:V\to U(T(V))$ $V$ $U$

この構成は任意のベクトル空間に対して成り立つため、は-Vectから-Algへの関手であると結論付けられます。これは、が忘却関手の左随伴であることを意味します（随伴関手との関係については、以下のセクションを参照してください）。 $V$ $T$ $K$ $K$ $T$ $U$

製品

カテゴリカル積は普遍的な構成によって特徴付けられる。具体的には、Setにおける直積、Grpにおける直積、あるいはTopにおける積位相（積が存在する場合）などが挙げられる。

とを有限積を持つ圏の対象とする。ととの積は、2つの射を伴う対象×である。 $X$ $Y$ ${\mathcal {C}}$ $X$ $Y$ $X$ $Y$

\pi _{1}

:

X\times Y\to X

\pi _{2}

:

X\times Y\to Y

およびの任意の他のオブジェクト射およびに対して、およびとなる一意の射が存在する。 $Z$ ${\mathcal {C}}$ $f:Z\to X$ $g:Z\to Y$ $h:Z\to X\times Y$ $f=\pi _{1}\circ h$ $g=\pi _{2}\circ h$

この特徴付けを普遍的な性質として理解するために、カテゴリを積カテゴリとし、対角関数を定義する。 ${\mathcal {D}}$ ${\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}$

\Delta :{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}

とによってとなる。するとはからのオブジェクトへの普遍射となる。がからへの任意の射であるならば、それはからへの射にが続くものと等しくなければならない。可換図として： $\Delta (X)=(X,X)$ $\Delta (f:X\to Y)=(f,f)$ $(X\times Y,(\pi _{1},\pi _{2}))$ $\Delta$ $(X,Y)$ ${\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}$ $(f,g)$ $(Z,Z)$ $(X,Y)$ $\Delta (h:Z\to X\times Y)=(h,h)$ $\Delta (Z)=(Z,Z)$ $\Delta (X\times Y)=(X\times Y,X\times Y)$ $(\pi _{1},\pi _{2})$

集合における直積の例では、射影はとという2つの射影から構成される。任意の集合と関数が与えられたとき、要求される図式が可換となる唯一の写像はによって与えられる。^[3] $(\pi _{1},\pi _{2})$ $\pi _{1}(x,y)=x$ $\pi _{2}(x,y)=y$ $Z$ $f,g$ $h=\langle x,y\rangle (z)=(f(z),g(z))$

極限と余極限

圏積は圏論における極限の一種です。上記の例は、任意の極限や余極限に一般化することができます。

とを小さな添え字カテゴリを持つカテゴリとし、を対応する関手カテゴリとする。対角関手 ${\mathcal {J}}$ ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {J}}$ ${\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}$

\Delta :{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}

は、の各オブジェクトを定数関数（つまり、の各に対して、の各に対して）に写像し、の各射をの自然変換に写像する関数です。この自然変換は、のすべてのオブジェクトに対して、における成分がであると定義されます。言い換えれば、自然変換とは、のすべてのオブジェクトに対して定数成分を持つことで定義される変換です。 $N$ ${\mathcal {C}}$ $\Delta (N):{\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}$ $\Delta (N)(X)=N$ $X$ ${\mathcal {J}}$ $\Delta (N)(f)=1_{N}$ $f:X\to Y$ ${\mathcal {J}}$ $f:N\to M$ ${\mathcal {C}}$ $\Delta (f):\Delta (N)\to \Delta (M)$ ${\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}$ $X$ ${\mathcal {J}}$ $\Delta (f)(X):\Delta (N)(X)\to \Delta (M)(X)=f:N\to M$ $X$ $f:N\to M$ ${\mathcal {J}}$

関数（内のオブジェクトと考えられる）が与えられたとき、の極限が存在する場合、それはからへの普遍射に他なりません。同様に、の余極限はからへの普遍射です。 $F:{\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}$ ${\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}$ $F$ $\Delta$ $F$ $F$ $F$ $\Delta$

プロパティ

存在と唯一性

量を定義しても、その量の存在は保証されません。関数とのオブジェクトが与えられた場合、からへの普遍射が存在する場合もあれば、存在しない場合もあります。しかし、普遍射が存在する場合、それは本質的に一意です。具体的には、が唯一の同型である場合を除き、それは一意です。つまり、が別のペアである場合、となる唯一の同型が存在するということです。これは、普遍射の定義にを代入することで簡単に確認できます。 $F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$ $X$ ${\mathcal {D}}$ $X$ $F$ $(A,u)$ $(A',u')$ $k:A\to A'$ $u'=F(k)\circ u$ $(A,u')$

このように本質的に一意なのはペアである。オブジェクト自体は同型を除いて一意である。実際、が普遍射であり、が任意の同型である場合、のペア（ただしは普遍射である）も普遍射である。 $(A,u)$ $A$ $(A,u)$ $k:A\to A'$ $(A',u')$ $u'=F(k)\circ u$

同等の定式化

普遍射の定義は様々な方法で言い換えることができます。を関数とし、をのオブジェクトとします。このとき、以下の文は同値です。 $F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$ $X$ ${\mathcal {D}}$

$(A,u)$ はからへの普遍射である $X$ $F$
$(A,u)$ コンマカテゴリの先頭オブジェクトである $(X\downarrow F)$
$(A,F(\bullet )\circ u)$ はの表現であり、その成分は次のように定義される。 ${\text{Hom}}_{\mathcal {D}}(X,F(-))$ $(F(\bullet )\circ u)_{B}:{\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(A,B)\to {\text{Hom}}_{\mathcal {D}}(X,F(B))$

$(F(\bullet )\circ u)_{B}(f:A\to B):X\to F(B)=F(f)\circ u:X\to F(B)$

各オブジェクトについて $B$ ${\mathcal {C}}.$

次の二重ステートメントも同等です。

$(A,u)$ はからへの普遍射である $F$ $X$
$(A,u)$ コンマカテゴリの終端オブジェクトである $(F\downarrow X)$
$(A,u\circ F(\bullet ))$ はの表現であり、その成分は次のように定義される。 ${\text{Hom}}_{\mathcal {D}}(F(-),X)$ $(u\circ F(\bullet ))_{B}:{\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(B,A)\to {\text{Hom}}_{\mathcal {D}}(F(B),X)$

$(u\circ F(\bullet ))_{B}(f:B\to A):F(B)\to X=u\circ F(f):F(B)\to X$

各オブジェクトについて $B$ ${\mathcal {C}}.$

随伴関数との関係

がからへの普遍射であり、がからへの普遍射であるとする。普遍射の普遍性により、任意の射が与えられたとき、以下の図式が可換となる唯一の射が存在する。 $(A_{1},u_{1})$ $X_{1}$ $F$ $(A_{2},u_{2})$ $X_{2}$ $F$ $h:X_{1}\to X_{2}$ $g:A_{1}\to A_{2}$

のすべての対象がへの普遍射を許容する場合、との割り当ては関数を定義します。すると、写像は（上の恒等関数）からへの自然変換を定義します。すると、関数はへの左随伴関数とへの右随伴関数を持つ随伴関数のペアになります。 $X_{i}$ ${\mathcal {D}}$ $F$ $X_{i}\mapsto A_{i}$ $h\mapsto g$ $G:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}$ $u_{i}$ $1_{\mathcal {D}}$ ${\mathcal {D}}$ $F\circ G$ $(F,G)$ $G$ $F$ $F$ $G$

同様の記述は、からの終端射の双対状況にも当てはまります。の任意のに対してそのような射が存在する場合、はに右随伴する（したがってに左随伴する）関手を取得します。 $F$ $X$ ${\mathcal {C}}$ $G:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$ $F$ $F$ $G$

実際、あらゆる随伴関手の対は、このように普遍的な構成から生じます。とを、それぞれ単位元と余単位元を持つ随伴関手の対とします（定義については随伴関手の記事を参照してください）。すると、との各対象に対して普遍射が成り立ちます。 $F$ $G$ $\eta$ $\epsilon$ ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {D}}$

の各オブジェクトに対して、はからへの普遍射である。つまり、に対して、以下の図式が可換となる唯一のが存在する。 $X$ ${\mathcal {C}}$ $(F(X),\eta _{X})$ $X$ $G$ $f:X\to G(Y)$ $g:F(X)\to Y$
の各オブジェクトに対して、はからへの普遍射である。つまり、に対して、以下の図式が可換となる唯一のが存在する。 $Y$ ${\mathcal {D}}$ $(G(Y),\epsilon _{Y})$ $F$ $Y$ $g:F(X)\to Y$ $f:X\to G(Y)$

ユニバーサル構築は随伴関数ペアよりも一般的です。ユニバーサル構築は最適化問題に似ています。この問題がのすべてのオブジェクト(と同等に、のすべてのオブジェクト)に対して解を持つ場合のみ、随伴ペアが生成されます。 ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {D}}$

歴史

様々な位相構成の普遍性は、 1948年にピエール・サミュエルによって提示されました。これらは後にブルバキによって広く利用されました。密接に関連する随伴関手の概念は、 1958年にダニエル・カンによって独立に導入されました。

参照

注記

^ ジェイコブソン（2009）、命題1.6、44ページ。
^ 例えば、Polcino & Sehgal (2002)、p. 133の演習1、群環の普遍的性質についてを参照してください。
^ フォン, ブレンダン; スピヴァック, デイヴィッド・I. (2018年10月12日). 「Seven Sketches in Compositionality: An Invitation to Applied Category Theory」. arXiv : 1803.05316 [math.CT].

参考文献

ポール・コーン著『Universal Algebra』（1981年）、D.Reidel Publishing、オランダ。ISBN 90-277-1213-1。
マック・レーン、サンダース(1998). 『現役数学者のためのカテゴリー』 . 大学院数学テキスト5 (第2版). シュプリンガー. ISBN 0-387-98403-8。
ボルセ, F.カテゴリー代数ハンドブック: 第1巻基礎カテゴリー理論(1994) ケンブリッジ大学出版局 (数学とその応用百科事典) ISBN 0-521-44178-1
N. ブルバキ、Livre II : Algèbre (1970)、ヘルマン、ISBN 0-201-00639-1。
ミリーズ、セザール・ポルチーノ; セーガル、スダルシャン・K..群環入門. 代数とその応用, 第1巻. シュプリンガー, 2002. ISBN 978-1-4020-0238-0
ジェイコブソン著『基礎代数II』ドーバー、2009年、ISBN 0-486-47187-X
ローマン、スティーブン (2017). 「普遍性」. 圏論言語入門. コンパクト数学教科書. pp. 71– 86. doi :10.1007/978-3-319-41917-6_3. ISBN 978-3-319-41916-9。
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レンスター、トム (2014).基礎カテゴリー理論. arXiv : 1612.09375 . doi :10.1017/CBO9781107360068. ISBN 978-1-107-04424-1。

外部リンク

nLabは、 nカテゴリカルな観点に重点を置いた数学、物理学、哲学に関するウィキプロジェクトです。
André Joyal、CatLab、カテゴリカル数学の解説に特化したウィキプロジェクト
ヒルマン、クリス (2001).カテゴリー入門. CiteSeerX 10.1.1.24.3264 :カテゴリー理論への正式な入門。
J. アダメック、H. ヘルリッヒ、G. ステッカー『抽象と具象のカテゴリー ― 猫の喜び』
スタンフォード哲学百科事典：「圏論」—ジャン＝ピエール・マルキ著。豊富な参考文献。
圏論に関する学術会議一覧
Baez, John, 1996, 「n-カテゴリーの物語」高階カテゴリーの非公式な入門書。
WildCatsはMathematica用の圏論パッケージです。オブジェクト、射、圏、関手、自然変換、普遍特性の操作と可視化が可能です。
The catsters は、カテゴリー理論に関する YouTube チャンネルです。
カテゴリー、論理、物理学の基礎に関連する録画された講演のビデオアーカイブ。
有限集合のカテゴリにおけるカテゴリ構成の例を生成するインタラクティブな Web ページ。

[1] ジェイコブソン（2009）、命題1.6、44ページ。

[2] 例えば、Polcino & Sehgal (2002)、p. 133の演習1、群環の普遍的性質についてを参照してください。

[3] フォン, ブレンダン; スピヴァック, デイヴィッド・I. (2018年10月12日). 「Seven Sketches in Compositionality: An Invitation to Applied Category Theory」. arXiv : 1803.05316 [math.CT].