交換法則

いくつかの数学演算の特性

交換法則

タイプ	財産
分野	代数
声明	オペランドの順序を変更しても結果が変わらない場合、二項演算は可換です。
象徴的な声明	${\displaystyle x*y=y*x\quad \forall x,y\in S.}$

数学において、二項演算は、被演算子の順序を変えても結果が変わらない場合、可換性があるといいます。これは多くの二項演算の基本的な性質であり、多くの数学的証明はこれに依存しています。おそらく算術の性質として最もよく知られているのは、「3 + 4 = 4 + 3」や「2 × 5 = 5 × 2」などですが、この性質はより高度な設定でも使用できます。この名前が必要なのは、除算や減算など、この性質を持たない演算（例えば、「3 − 5 ≠ 5 − 3」）があるためです。このような演算は可換性がなく、非可換演算と呼ばれます。

数の乗算や加算といった単純な演算は可換であるという考えは、何世紀にもわたって暗黙のうちに想定されていました。そのため、この性質は19世紀に新しい代数構造の研究が始まるまで、名付けられていませんでした。 ^[1]

意味

集合S上の二項演算 は、 すべての に対してであるとき可換である。^{[2]可換でない演算は}非可換であると言われる。^[3] ${\displaystyle *}$ $${\displaystyle x*y=y*x}$$ ${\displaystyle x,y\in S}$

xは yと可換である、あるいはxとyが^[4]の条件の下で可換であると言う。 ${\displaystyle *}$ $${\displaystyle x*y=y*x.}$$

したがって、2つの要素が互いに可換であれば、演算は可換である。^[4] 2つの要素が互いに可換であれば、演算は非可換である。これは、いくつかの要素のペアが可換である可能性を排除するものではない。^[3] ${\displaystyle x*y\neq y*x.}$

例

リンゴの累乗は自然数の加算として考えることができ、可換である。

可換演算

ベクトルの加算は可換である。なぜなら ${\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}={\vec {b}}+{\vec {a}}.}$

• 加算と乗算は、ほとんどの数体系において可換であり、特に自然数、整数、有理数、実数、複素数の間では可換である。これはあらゆる分野においても当てはまる。^[5]
• 加法はあらゆるベクトル空間とあらゆる代数において可換である。^[6]
• 和集合と積集合は集合上の可換な演算である。^[7]
• 「and」と「or」は可換論理演算である。^[8]

非可換演算

• 除算は なので非可換です。減算はなので非可換です。しかし、より正確には反可換に分類されます。なぜなら、任意の⁠ ⁠および⁠ ⁠に対してとなるからです。べき乗は非可換です。 （式x ^y = y ^xを参照）^[9] ${\displaystyle 1\div 2\neq 2\div 1}$ ${\displaystyle 0-1\neq 1-0}$ ${\displaystyle x-y=-(y-x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle 2^{3}\neq 3^{2}}$
• いくつかの真理関数は非可換であり、被演算子の順序を変えると真理値表が変化する。 ^[10]例えば、(A ⇒ B) = (¬A ∨ B) と(B ⇒ A) = (A ∨ ¬B)の真理値表は次のようになる。

あ	B	A ⇒ B	B ⇒ A
F	F	T	T
F	T	T	F
T	F	F	T
T	T	T	T

• 関数合成は一般に非可換である。^[11]例えば、と の場合、と ${\displaystyle f(x)=2x+1}$ ${\displaystyle g(x)=3x+7}$ $${\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))=2(3x+7)+1=6x+15}$$ $${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))=3(2x+1)+7=6x+10.}$$
• 与えられた次元の正方行列の行列乗算は、行列を除いて非 ${\displaystyle 1\times 1}$可換演算である。例えば：^[12] $${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&2\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}\neq {\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}}$$
• 3次元の2つのベクトルのベクトル積（または外積）は反可換である。つまり、である。^[13] ${\displaystyle \mathbf {b} \times \mathbf {a} =-(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )}$

可換構造

代数構造の中には、可換性を必要としない演算を伴うものがあります。この演算が特定の構造に対して可換である場合、その構造はしばしば可換であると言われます。つまり、

• 可換半群とは、その演算が可換である半群である。 ^[14]
• 可換モノイドとは、その演算が可換であるモノイドである。 ^[15]
• 可換群またはアーベル群とは、その演算が可換である群である。 ^[16]
• 可換環とは、その乗法が可換である環のことである。（環上の加法は常に可換である。）^[17]

しかし、代数の場合、「可換代数」という語句は、可換乗算を持つ結合代数のみを指します。 ^[18]

歴史と語源

交換法則の暗黙的な利用の記録は古代にまで遡ります。エジプト人は積の計算を簡素化するために乗法の交換法則を利用しました。^[19]ユークリッドは著書『原論』の中で乗法の交換法則を前提としていたことが知られています。^[20]交換法則の正式な利用は、数学者が関数論の研究を始めた18世紀後半から19世紀初頭にかけて起こりました。今日では、交換法則は数学のほとんどの分野でよく知られた基本的な性質です。^[2]

この用語が最初に使われたのは1814年に出版されたフランスの雑誌である。

commutativeという用語が初めて記録に残るのは、 1814年のフランソワ・セルヴォワの回想録である。この回想録では、現在では交換法則と呼ばれる性質を持つ関数を説明する際に、commutativesという語が用いられている。 ^[21] commutativeはフランス語の形容詞commutatifの女性形であり、これはフランス語の名詞commutationと、交換する、切り替えるという意味の動詞commuter （ to comboutの同義語）に由来する。この用語は1838年に英語に登場した。ダンカン・グレゴリーが1840年にエディンバラ王立協会紀要に発表した論文「記号代数の本質について」の中でである。^[22]

参照

• 反交換性
• 正準交換関係（量子力学）
• 集中化と正規化（コミュータントとも呼ばれる）
• 可換図
• 可換性（神経生理学）
• 整流子
• 通勤グラフ
• 通勤確率
• 粒子統計（物理学における可換性のため）
• 準交換法則
• トレースモノイド

注記

1. ライス 2011、4ページ。
2. サラチーノ 2008、11ページより。
3. Hall 1966、262–263ページ。
4. Lovett 2022、p.12を参照。
5. Rosen 2013、付録Iを参照。
6. スターリング2009、248ページ。
7. ジョンソン 2003、642ページ。
8. オレガン 2008年、33ページ。
9. ポザマンティエら。 2013、p. 71.
10. メディナ他2004年617頁。
11. タラソフ 2008、56ページ。
12. クック 2014、7ページ。
13. ハギギ、クマール、ミシェフ 2024、p. 118.
14. グリレ 2001、1～2頁。
15. グリレ 2001、3ページ。
16. ガリアン 2006年、34ページ。
17. ガリアン 2006年、236ページ。
18. Tuset 2025、99ページ。
19. ゲイ＆シュート 1987年、16‐17ページ。
20. Barbeau 1968, p. 183.デイヴィッド・E・ジョイス著『ユークリッド原論』オンライン版第7巻、命題5を参照。
21. アライア＆ブラッドリー 2002.
22. ライス 2011、p.4; グレゴリー 1840。

参考文献

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• バーボー、アリス・メイ (1968).群論への歴史的アプローチ. 第2巻. ウィスコンシン大学マディソン校.
• クック、リチャード・G. (2014). 『無限行列と数列空間』 ドーバー出版. ISBN 978-0-486-78083-2。
• ガリアン、ジョセフ（2006年）『現代抽象代数学』（第6版）ホートン・ミフリン社、ISBN 0-618-51471-6。
• ゲイ、ロビンズ・R.、シュート、チャールズ・C.D. (1987). 『リンド数学パピルス：古代エジプトのテキスト』大英博物館. ISBN 0-7141-0944-4。
• グレゴリー, DF (1840). 「記号代数の本質について」.エディンバラ王立協会紀要. 14 : 208–216 .
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• ホール, FM (1966). 『抽象代数入門 第1巻』. ニューヨーク: ケンブリッジ大学出版局. MR  0197233.
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• タラソフ、ヴァシリー (2008). 非ハミルトン系および散逸系の量子力学. 第7巻 (第1版). エルゼビア. ISBN 978-0-08-055971-1。
• トゥーセット、ラース (2025)。数値による抽象代数。チャム：スプリンガー。土井：10.1007/978-3-031-74623-9。ISBN 978-3-031-74622-2. MR  4886847。

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