Sequence of equally spaced numbers
ブロックの回転したコピーを使用して、等差数列の公式を 言葉なしで証明します。 等差数列 （等差数列 、 等差列 、 線形数列 [1]） とは、 数 列 全体を通して、後続の項と前続の項の差が一定である数列の ことである。この一定差は、その等差数列の公差と呼ばれる。例えば、 5、7、9、11、13、15、… という数列は、公差が2である等差数列である。
等差数列の最初の項が で 、連続する要素の公差が である場合 、 数列（ ）の - 番目の項は次のように表される。 a 1 {\displaystyle a_{1}} d {\displaystyle d} n {\displaystyle n} a n {\displaystyle a_{n}}
a n = a 1 + ( n − 1 ) d . {\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d.} 等差数列の有限部分は 有限等差数列 と呼ばれ、単に等差数列と呼ばれることもあります。 有限等差数列の 和は 等差級数 と呼ばれます。
歴史 信頼性の定かでない逸話 [2] によると、小学校の頃、 カール・フリードリヒ・ガウスは の場合の 1 から までの整数を足し合わせる 公式 を、数列の両端の数字を 101 になるペアにグループ化して、そのペアの数を掛け合わせることで再発明した。この話の真偽にかかわらず、ガウスがこの公式を発見した最初の人物というわけではない。同様の規則は古代では アルキメデス 、 ヒュプシクレス 、 ディオファントス [3] 、 中国では 張秋建 、インドでは アーリヤバータ 、 ブラフマグプタ 、 バースカラ2世 [ 4] 、中世ヨーロッパでは アルクイン [5] 、 ディクイル [6] 、 フィボナッチ [7] 、 サクロボスコ [ 8] 、および トサフィスト として知られる タルムード の匿名の注釈者らに知られていた 。 [9] その起源は紀元前5世紀の ピタゴラス学派 にまで遡ると考える人もいます。 [10] n ( n + 1 ) 2 {\displaystyle {\tfrac {n(n+1)}{2}}} n {\displaystyle n} n = 100 {\displaystyle n=100}
和 2 + 5 + 8 + 11 + 14 ＝ 40 14 + 11 + 8 + 5 + 2 ＝ 40 16 + 16 + 16 + 16 + 16 ＝ 80
2 + 5 + 8 + 11 + 14 の和を計算します。この数列を逆にして、各項を加算していくと、結果の数列には最初の数と最後の数の和（2 + 14 = 16）に等しい、1つの繰り返し値が含まれます。したがって、16 × 5 = 80 は和の2倍です。
有限等差数列の要素の和は等差級数と呼ばれます 。 例えば 、 次の和を考えてみましょう。
2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40 {\displaystyle 2+5+8+11+14=40} この合計は、加算される項の数 n (ここでは 5) に数列の最初と最後の数の合計 (ここでは 2 + 14 = 16) を掛け、2 で割ることで簡単に求められます。
n ( a 1 + a n ) 2 {\displaystyle {\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}} 上記の場合、次の式が得られます。
2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 5 ( 2 + 14 ) 2 = 5 × 16 2 = 40. {\displaystyle 2+5+8+11+14={\frac {5(2+14)}{2}}={\frac {5\times 16}{2}}=40.} この式は、 で始まりで終わる 任意の実数の等差数列に適用できます 。例えば、 a 1 {\displaystyle a_{1}} a n {\displaystyle a_{n}}
( − 3 2 ) + ( − 1 2 ) + 1 2 = 3 ( − 3 2 + 1 2 ) 2 = − 3 2 . {\displaystyle \left(-{\frac {3}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}={\frac {3\left(-{\frac {3}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)}{2}}=-{\frac {3}{2}}.}
導出 最初の整数 1+2+...+n の合計を与える式のアニメーションによる証明。 上記の式を導くには、まず等差級数を 2 つの異なる方法で表現することから始めます。
S n = a + a 2 + a 3 + ⋯ + a ( n − 1 ) + a n {\displaystyle S_{n}=a+a_{2}+a_{3}+\dots +a_{(n-1)}+a_{n}} S n = a + ( a + d ) + ( a + 2 d ) + ⋯ + ( a + ( n − 2 ) d ) + ( a + ( n − 1 ) d ) . {\displaystyle S_{n}=a+(a+d)+(a+2d)+\dots +(a+(n-2)d)+(a+(n-1)d).} 項を逆の順序で書き直すと次のようになります。
S n = ( a + ( n − 1 ) d ) + ( a + ( n − 2 ) d ) + ⋯ + ( a + 2 d ) + ( a + d ) + a . {\displaystyle S_{n}=(a+(n-1)d)+(a+(n-2)d)+\dots +(a+2d)+(a+d)+a.} 2つの方程式の両辺の対応する項を加算し、両辺を半分にします。
S n = n 2 [ 2 a + ( n − 1 ) d ] . {\displaystyle S_{n}={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)d].} この式は次のように簡略化できます。
S n = n 2 [ a + a + ( n − 1 ) d ] . = n 2 ( a + a n ) . = n 2 ( initial term + last term ) . {\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&={\frac {n}{2}}[a+a+(n-1)d].\\&={\frac {n}{2}}(a+a_{n}).\\&={\frac {n}{2}}({\text{initial term}}+{\text{last term}}).\end{aligned}}} さらに、系列の平均値は次のように計算できます 。 S n / n {\displaystyle S_{n}/n}
a ¯ = a 1 + a n 2 . {\displaystyle {\overline {a}}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}.} この式は、離散一様分布 の平均の式と本質的に同じであり 、等差数列を等確率の結果の集合として解釈します。
製品 初期要素がa 1 、公差が d 、合計要素が n である有限等差数列の要素の 積 は 、閉じた式で決定される。
a 1 a 2 a 3 ⋯ a n = a 1 ( a 1 + d ) ( a 1 + 2 d ) ⋯ ( a 1 + ( n − 1 ) d ) = ∏ k = 0 n − 1 ( a 1 + k d ) = d n Γ ( a 1 d + n ) Γ ( a 1 d ) {\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}&=a_{1}(a_{1}+d)(a_{1}+2d)\cdots (a_{1}+(n-1)d)\\[1ex]&=\prod _{k=0}^{n-1}(a_{1}+kd)=d^{n}{\frac {\Gamma {\left({\frac {a_{1}}{d}}+n\right)}}{\Gamma {\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}}}\end{aligned}}} ここで は ガンマ関数 を表します。 が負またはゼロの 場合、この式は有効ではありません。 Γ {\displaystyle \Gamma } a 1 / d {\displaystyle a_{1}/d}
これは、累乗の積が 階乗 で与えられ 、その積が 1 × 2 × ⋯ × n {\displaystyle 1\times 2\times \cdots \times n} n ! {\displaystyle n!}
m × ( m + 1 ) × ( m + 2 ) × ⋯ × ( n − 2 ) × ( n − 1 ) × n {\displaystyle m\times (m+1)\times (m+2)\times \cdots \times (n-2)\times (n-1)\times n} 正の整数 に対して は 次のように与えられる
。 m {\displaystyle m} n {\displaystyle n}
n ! ( m − 1 ) ! . {\displaystyle {\frac {n!}{(m-1)!}}.}
導出 a 1 a 2 a 3 ⋯ a n = ∏ k = 0 n − 1 ( a 1 + k d ) = ∏ k = 0 n − 1 d ( a 1 d + k ) = d ( a 1 d ) d ( a 1 d + 1 ) d ( a 1 d + 2 ) ⋯ d ( a 1 d + ( n − 1 ) ) = d n ∏ k = 0 n − 1 ( a 1 d + k ) = d n ( a 1 d ) n ¯ {\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}&=\prod _{k=0}^{n-1}(a_{1}+kd)\\[2pt]&=\prod _{k=0}^{n-1}d\left({\frac {a_{1}}{d}}+k\right)\\[2pt]&=d\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)d\left({\frac {a_{1}}{d}}+1\right)d\left({\frac {a_{1}}{d}}+2\right)\cdots d\left({\frac {a_{1}}{d}}+(n-1)\right)\\[2pt]&=d^{n}\prod _{k=0}^{n-1}\left({\frac {a_{1}}{d}}+k\right)=d^{n}{\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}^{\overline {n}}\end{aligned}}} ここで は 上昇階乗 を表します 。 x n ¯ {\displaystyle x^{\overline {n}}}
複素数 に有効な 漸化式により 、 Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z)} z > 0 {\displaystyle z>0}
Γ ( z + 2 ) = ( z + 1 ) Γ ( z + 1 ) = ( z + 1 ) z Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z+2)=(z+1)\Gamma (z+1)=(z+1)z\Gamma (z)} 、 Γ ( z + 3 ) = ( z + 2 ) Γ ( z + 2 ) = ( z + 2 ) ( z + 1 ) z Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z+3)=(z+2)\Gamma (z+2)=(z+2)(z+1)z\Gamma (z)} 、 となることによって
Γ ( z + m ) Γ ( z ) = ∏ k = 0 m − 1 ( z + k ) {\displaystyle {\frac {\Gamma (z+m)}{\Gamma (z)}}=\prod _{k=0}^{m-1}(z+k)} 正の整数と 正の複素数 の場合。 m {\displaystyle m} z {\displaystyle z}
したがって 、 a 1 / d > 0 {\displaystyle a_{1}/d>0}
∏ k = 0 n − 1 ( a 1 d + k ) = Γ ( a 1 d + n ) Γ ( a 1 d ) , {\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}\left({\frac {a_{1}}{d}}+k\right)={\frac {\Gamma {\left({\frac {a_{1}}{d}}+n\right)}}{\Gamma {\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}}},} そして最後に、
a 1 a 2 a 3 ⋯ a n = d n ∏ k = 0 n − 1 ( a 1 d + k ) = d n Γ ( a 1 d + n ) Γ ( a 1 d ) {\displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}=d^{n}\prod _{k=0}^{n-1}\left({\frac {a_{1}}{d}}+k\right)=d^{n}{\frac {\Gamma {\left({\frac {a_{1}}{d}}+n\right)}}{\Gamma {\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}}}}
例 例1 を例にとると 、等差数列の 50番目の項までの項の積は 3 , 8 , 13 , 18 , 23 , 28 , … {\displaystyle 3,8,13,18,23,28,\ldots } a n = 3 + 5 ( n − 1 ) {\displaystyle a_{n}=3+5(n-1)}
P 50 = 5 50 ⋅ Γ ( 3 / 5 + 50 ) Γ ( 3 / 5 ) ≈ 3.78438 × 10 98 . {\displaystyle P_{50}=5^{50}\cdot {\frac {\Gamma \left(3/5+50\right)}{\Gamma \left(3/5\right)}}\approx 3.78438\times 10^{98}.} 例2 最初の10個の奇数の積は 次のように表される。 ( 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11 , 13 , 15 , 17 , 19 ) {\displaystyle (1,3,5,7,9,11,13,15,17,19)}
1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋯ 19 = ∏ k = 0 9 ( 1 + 2 k ) = 2 10 ⋅ Γ ( 1 2 + 10 ) Γ ( 1 2 ) {\displaystyle 1\cdot 3\cdot 5\cdots 19=\prod _{k=0}^{9}(1+2k)=2^{10}\cdot {\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2}}+10\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)}}} = 654,729,075
標準偏差 等差数列の標準偏差は
σ = | d | ( n − 1 ) ( n + 1 ) 12 {\displaystyle \sigma =|d|{\sqrt {\frac {(n-1)(n+1)}{12}}}} ここで 、 は数列の項の数、 は項間の公差です。この式は、 離散一様分布 の標準偏差の式と本質的に同じであり、等差数列を等確率の結果の集合として解釈します。 n {\displaystyle n} d {\displaystyle d}
交差点 任意の2つの二重無限等差数列の交点は空であるか、または別の等差数列であるかのいずれかであり、これは中国剰余定理を使って求めることができる 。 二 重 無限等差数列の族における各数列のペアが空でない交点を持つ場合、それらすべてに共通する数が存在する。つまり、無限等差数列は ヘリー族 を形成する。 [11] しかし、無限個の無限等差数列の交点は、それ自体が無限数列ではなく、単一の数である可能性がある。
長さの算術部分集合の量 け 集合{1,...,n}の 集合から作成できる 長さの算術部分集合の数を とし 、 を 次のように定義します。 a ( n , k ) {\displaystyle a(n,k)} k {\displaystyle k} { 1 , ⋯ , n } {\displaystyle \{1,\cdots ,n\}} ϕ ( η , κ ) {\displaystyle \phi (\eta ,\kappa )}
ϕ ( η , κ ) = { 0 if κ ∣ η ( [ η ( mod κ ) ] − 2 ) ( κ − [ η ( mod κ ) ] ) if κ ∤ η {\displaystyle \phi (\eta ,\kappa )={\begin{cases}0&{\text{if }}\kappa \mid \eta \\\left(\left[\eta \;({\text{mod }}\kappa )\right]-2\right)\left(\kappa -\left[\eta \;({\text{mod }}\kappa )\right]\right)&{\text{if }}\kappa \not \mid \eta \\\end{cases}}}
それから：
a ( n , k ) = 1 2 ( k − 1 ) ( n 2 − ( k − 1 ) n + ( k − 2 ) + ϕ ( n + 1 , k − 1 ) ) = 1 2 ( k − 1 ) ( ( n − 1 ) ( n − ( k − 2 ) ) + ϕ ( n + 1 , k − 1 ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}a(n,k)&={\frac {1}{2(k-1)}}\left(n^{2}-(k-1)n+(k-2)+\phi (n+1,k-1)\right)\\&={\frac {1}{2(k-1)}}\left((n-1)(n-(k-2))+\phi (n+1,k-1)\right)\end{aligned}}}
例えば、 の場合 、 算術部分集合が期待され、直接数えると9個あることがわかります。これらは ( n , k ) = ( 7 , 3 ) {\textstyle (n,k)=(7,3)} a ( 7 , 3 ) = 9 {\textstyle a(7,3)=9} { 1 , 2 , 3 } , { 2 , 3 , 4 } , { 3 , 4 , 5 } , { 4 , 5 , 6 } , { 5 , 6 , 7 } , { 1 , 3 , 5 } , { 3 , 5 , 7 } , { 2 , 4 , 6 } , { 1 , 4 , 7 } . {\textstyle \{1,2,3\},\{2,3,4\},\{3,4,5\},\{4,5,6\},\{5,6,7\},\{1,3,5\},\{3,5,7\},\{2,4,6\},\{1,4,7\}.}
参照
参考文献 ^ 線形シーケンス 、bbc.co.uk ^ Hayes, Brian (2006). 「Gauss's Day of Reckoning」 . American Scientist . 94 (3): 200. doi :10.1511/2006.59.200. 2012年1月12日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2020年 10月16日 閲覧 。 ^ トロプフケ、ヨハネス (1924)。 解析、ジオメトリの解析 。ウォルター・デ・グルイテル。 3 ～ 15 ページ 。ISBN 978-3-11-108062-8 。 ^ トロプフケ、ヨハネス (1979)。 算術と代数 。ウォルター・デ・グルイテル。 344 ～ 354 ページ 。ISBN 978-3-11-004893-3 。 ^ Problems to Sharpen the Young、ジョン・ハドリーとデイヴィッド・シングマスター、 「The Mathematical Gazette」 、 76 、#475（1992年3月）、pp.102–126。 ^ Ross, HE & Knott, BI (2019) Dicuil (9th century) on triangular and square numbers, British Journal for the History of Mathematics , 34:2, 79-94, https://doi.org/10.1080/26375451.2019.1598687 ^ シグラー、ローレンス E. (翻訳) (2002)。 フィボナッチのリベルアバチ 。スプリンガー・フェルラーク。 259-260ページ。 ISBN 0-387-95419-8 。 ^ Katz, Victor J. (編) (2016). 『中世ヨーロッパと北アフリカの数学の資料集』 プリンストン大学出版局. pp. 91, 257. ISBN 9780691156859 。 ^ スターン, M. (1990). 74.23 中世における等差数列の和の導出. 数学雑誌, 74(468), 157-159. doi:10.2307/3619368 ^ Høyrup, J. 「知られざる遺産」：忘れ去られた数学的洗練の痕跡. Arch. Hist. Exact Sci. 62, 613–654 (2008). https://doi.org/10.1007/s00407-008-0025-y ^ Duchet、Pierre (1995)、「Hypergraphs」、グラハム、RL; グレッチェル、M. ; Lovász、L. (編)、 Handbook of combinatorics、Vol. 1、2 、アムステルダム: エルゼビア、 381 ～ 432 ページ 、 MR 1373663 特に第2.5節「Helly Property」（393～394ページ）を参照。
外部リンク
![{\displaystyle S_{n}={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)d].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5623eb3a2ee603f741a2971ba17fe28149c61fec)
![{\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&={\frac {n}{2}}[a+a+(n-1)d].\\&={\frac {n}{2}}(a+a_{n}).\\&={\frac {n}{2}}({\text{初項}}+{\text{終項}}).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52fc0b115eb3520322146fe69746f34caad8a589)
![{\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}&=a_{1}(a_{1}+d)(a_{1}+2d)\cdots (a_{1}+(n-1)d)\\[1ex]&=\prod _{k=0}^{n-1}(a_{1}+kd)=d^{n}{\frac {\Gamma {\left({\frac {a_{1}}{d}}+n\right)}}{\Gamma {\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d24a39fbd75acbe96af4b836f32044fa9bdca6c5)
![{\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}&=\prod _{k=0}^{n-1}(a_{1}+kd)\\[2pt]&=\prod _{k=0}^{n-1}d\left({\frac {a_{1}}{d}}+k\right)\\[2pt]&=d\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)d\left({\frac {a_{1}}{d}}+1\right)d\left({\frac {a_{1}}{d}}+2\right)\cdots d\left({\frac {a_{1}}{d}}+(n-1)\right)\\[2pt]&=d^{n}\prod _{k=0}^{n-1}\left({\frac {a_{1}}{d}}+k\right)=d^{n}{\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}^{\overline {n}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f92acd108ad06278aa02f12729ff46eb0cbf5a9)
![{\displaystyle \phi (\eta ,\kappa )={\begin{cases}0&{\text{if }}\kappa \mid \eta \\\left(\left[\eta \;({\text{mod }}\kappa )\right]-2\right)\left(\kappa -\left[\eta \;({\text{mod }}\kappa )\right]\right)&{\text{if }}\kappa \not \mid \eta \\\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b205747ab4840a5349dcd0852dfd3d8b5b630f6)
