滑らかさ

Number of derivatives of a function (mathematics)

バンプ関数は、コンパクトなサポートを備えたスムーズな関数です。

数学的解析において、関数の滑らかさは、その定義域における連続導関数の数（微分可能クラス）によって測定される特性である。^[1]

クラス の関数は、少なくともkの滑らかさを持つ関数です。つまり、 クラスの関数は、その定義域で連続する k番目の導関数を持つ関数です。 ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle C^{k}}$

クラスまたは-関数の関数( C-無限関数と発音) は、無限に微分可能な関数、つまり、すべての次数の導関数を持つ関数です(これは、これらすべての導関数が連続していることを意味します)。 ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$

一般的に、滑らかな関数という用語は-関数を指します。ただし、検討中の問題において「十分に微分可能である」という意味で使われる場合もあります。 ${\displaystyle C^{\infty }}$

微分可能性クラス

微分可能性類とは、関数をその導関数の性質に基づいて分類するものである。これは、関数に対して存在し、連続する最高次の導関数の尺度である。

実数直線上の開集合 と、実数値を持つ上で定義された関数について考える。kを非負の整数とする。関数 は、導関数 が存在し、上で連続する場合、微分可能クラスであるという。が上で -微分可能である場合、 は上で連続するので、少なくとも クラスに属する。関数 は、 上のすべての次数の導関数を持つ場合、無限微分可能、滑らか、またはクラスであるという(したがって、これらすべての導関数は 上で連続関数である)。^[2]が滑らか (つまり、がクラスに属する) であり、その定義域の任意の点の周りのテイラー級数展開が、その点の近傍の関数 に収束する場合、関数 はクラスまたは解析的であるという。滑らかだが解析的ではない関数が存在するため、は に厳密に含まれる。バンプ関数は、この特性を持つ関数の例である。 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle f',f'',\dots ,f^{(k)}}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle C^{k-1}}$ ${\displaystyle f',f'',\dots ,f^{(k-1)}}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{\infty },}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{\omega },}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle C^{\omega }}$ ${\displaystyle C^{\infty }.}$

言い換えると、クラスはすべての連続関数から構成されます。クラスは、導関数が連続であるすべての微分可能関数から構成されます。このような関数は連続的に微分可能と呼ばれます。したがって、関数は、導関数が存在し、クラス に属する関数とまったく同じです。一般に、クラスは、をすべての連続関数の集合と宣言し、任意の正の整数に対してを、導関数が にあるすべての微分可能関数の集合と宣言することで、再帰的に定義できます。特に、はすべての に対してに含まれており、この包含が厳密であることを示す例があります ( )。無限に微分可能な関数のクラスは、が非負の整数 にわたって変化するときのクラスの共通部分です。 ${\displaystyle C^{0}}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle C^{0}.}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle C^{0}}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle C^{k-1}.}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle C^{k-1}}$ ${\displaystyle k>0,}$ ${\displaystyle C^{k}\subsetneq C^{k-1}}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle k}$

例

例: 連続 (C⁰）だが微分可能ではない

C ⁰関数は、x ≥ 0の場合はf ( x ) = xであり、それ以外の場合は 0 です。

関数g ( x ) = x ² sin(1/ x ) ( x > 0 ) 。

との関数は微分可能です。しかし、この関数は連続的に微分可能ではありません。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)}$ ${\displaystyle x\neq 0}$ ${\displaystyle f(0)=0}$

解析的ではない滑らかな関数。

この関数は連続ですが、x = 0で微分できないため、クラスC ⁰ですが、クラスC ¹ではありません。 $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x&{\mbox{if }}x\geq 0,\\0&{\text{if }}x<0\end{cases}}}$$

例: 有限回微分可能 (C^け）

任意の偶数kに対して、関数は連続であり、x の任意の範囲でk回微分可能です。しかし、x = 0では( k + 1)回微分不可能であるため、 C ^kクラスに属しますが、 j > kの場合にはC ^jクラスには属しません。 $${\displaystyle f(x)=|x|^{k+1}}$$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

例: 微分可能だが連続微分可能ではない（C¹）

この関数は微分可能であり、導関数は $${\displaystyle g(x)={\begin{cases}x^{2}\sin {\left({\tfrac {1}{x}}\right)}&{\text{if }}x\neq 0,\\0&{\text{if }}x=0\end{cases}}}$$ $${\displaystyle g'(x)={\begin{cases}-{\mathord {\cos \left({\tfrac {1}{x}}\right)}}+2x\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)&{\text{if }}x\neq 0,\\0&{\text{if }}x=0.\end{cases}}}$$

はx → 0 のときに振動するため、ゼロで連続ではない。したがって、は微分可能だがC ¹類ではない。 ${\displaystyle \cos(1/x)}$ ${\displaystyle g'(x)}$ ${\displaystyle g(x)}$

例: 微分可能だがリプシッツ連続ではない

関数 は微分可能であるが、その導関数はコンパクト集合上で有界ではない。したがって、は微分可能であるが局所リプシッツ連続ではない関数の例である。 $${\displaystyle h(x)={\begin{cases}x^{4/3}\sin {\left({\tfrac {1}{x}}\right)}&{\text{if }}x\neq 0,\\0&{\text{if }}x=0\end{cases}}}$$ ${\displaystyle h}$

例: 分析 (C^ω）

指数関数は 解析的であるため、 C ^ωクラスに分類されます（ここで ω は最小の超限順序数です）。三角関数も、複素指数関数と の線形結合であるため、定義される箇所に関係なく解析的です。 ${\displaystyle e^{x}}$ ${\displaystyle e^{ix}}$ ${\displaystyle e^{-ix}}$

例: スムーズ (C^∞）ではなく、分析的（C^ω）

バンプ関数は滑らかなのでC ^{∞類に属するが、} x = ±1では解析的ではないためC ^ω類には属さない。関数fは、コンパクトな台を持つ滑らかな関数の例である。 $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{1-x^{2}}}}&{\text{ if }}|x|<1,\\0&{\text{ otherwise }}\end{cases}}}$$

多変量微分可能性クラス

の開集合上で定義された関数は、すべての偏導関数が存在し、任意の非負整数に対して連続で、かつ かつ任意の となるとき、正の整数 に対して上でクラスであるとされる[ ³ ]。同様に、の次のフレシェ微分が存在し、 のすべての点で連続するとき、 は上でクラスであるとされる。関数が上で連続するとき、関数はクラスまたはクラスであるとされる。クラスの関数は連続的に微分可能であるとも言われる。 ${\displaystyle f:U\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle {\frac {\partial ^{\alpha }f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\,\partial x_{2}^{\alpha _{2}}\,\cdots \,\partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})}$$ ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}}$ ${\displaystyle \alpha =\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}\leq k}$ ${\displaystyle (y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})\in U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C^{0}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle C^{1}}$

の開集合上で定義された関数 は、そのすべての成分がクラス （はによって定義される自然射影）である場合、正の整数 に対して上でクラス であるといわれます。関数 が 上で連続である場合、関数 はクラスまたはであるといわれます。また、すべての成分が上で連続である場合、関数 はクラス または であるといわれます。 ${\displaystyle f:U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle f_{i}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=(\pi _{i}\circ f)(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\pi _{i}(f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})){\text{ for }}i=1,2,3,\ldots ,m}$$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle \pi _{i}}$ ${\displaystyle \pi _{i}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \pi _{i}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})=x_{i}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C^{0}}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle U}$

の空間C^け機能

を実数直線の開部分集合とする。上で定義されるすべての実数値関数の集合はフレシェベクトル空間であり、半ノルムの可算族は、 、 となるコンパクト集合の増加列にわたって変化する。 ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle D}$ $${\displaystyle p_{K,m}=\sup _{x\in K}\left|f^{(m)}(x)\right|}$$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle m=0,1,\dots ,k}$

上の関数の集合もフレシェ空間を形成する。上と同じ半ノルムを用いるが、 はすべての非負整数値にわたって値域をとることが許される。 ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle m}$

上記の空間は、特定の次数の導関数が必要なアプリケーションでは自然に発生しますが、特に偏微分方程式の研究では、代わりにソボレフ空間を使用して作業する方が有益な場合があります。

連続

パラメトリック連続性（Ck ^）と幾何学的連続性（Gn ）という用語は、ブライアン・バースキーによって導入され、曲線の滑らかさは、パラメータが曲線を描く速度の制限を取り除くことによって測定できることを示しました^。 [ 4 ^{] [5] [6]}

パラメトリック連続性

パラメトリック連続性（C ^k ）は、パラメトリック曲線に適用される概念であり、曲線に沿った距離に対するパラメータ値の滑らかさを表します。（パラメトリック）曲線は、が存在し、 で連続している場合、クラスC ^kに属しているとされます。ただし、端点 および における微分は、片側微分（ では右から、 では左から）とされます。 ${\displaystyle s:[0,1]\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {d^{k}s}{dt^{k}}}}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$

この概念の実際的な応用として、物体の運動を時間パラメータで記述する曲線は、C ¹連続性を持ち、かつその一次微分が微分可能である必要があります。これは、物体が有限の加速度を持つためです。映画撮影中のカメラの軌跡のような、より滑らかな運動には、より高次のパラメータ連続性が必要です。

パラメトリック連続性の順序

2つのベジェ曲線セグメントがC ⁰連続のみで接続されています

^{2つのベジェ曲線セグメントがC 1}連続するように接続されている

パラメトリック連続性の様々な順序は次のように記述できる。^[7]

• ${\displaystyle C^{0}}$: ゼロ階微分は連続である（曲線は連続である）
• ${\displaystyle C^{1}}$: 0次導関数と1次導関数は連続である
• ${\displaystyle C^{2}}$: 0次、1次、2次導関数は連続である
• ${\displaystyle C^{n}}$: 0次から -次の導関数は連続である ${\displaystyle n}$

幾何学的連続性

G ¹接触曲線（円、線）

${\displaystyle (1-\varepsilon ^{2})x^{2}-2px+y^{2}=0,\ p>0\ ,\varepsilon \geq 0}$
G ²の円錐曲線の曲線 -接触: p 固定、変数( : 円、: 楕円、: 放物線、: 双曲線) ${\displaystyle \varepsilon }$
${\displaystyle \varepsilon =0}$ ${\displaystyle \varepsilon =0.8}$ ${\displaystyle \varepsilon =1}$ ${\displaystyle \varepsilon =1.2}$

曲線や曲面は連続性を持つと表現でき、滑らかさの度合いは増加します。曲線上の点の両側の線分を考えてみましょう。 ${\displaystyle G^{n}}$ ${\displaystyle n}$

• ${\displaystyle G^{0}}$: 曲線は結合点で接します。
• ${\displaystyle G^{1}}$: 曲線は結合点でも共通の接線方向を共有します。
• ${\displaystyle G^{2}}$: 曲線は結合点において共通の曲率中心も共有します。

一般的に、曲線が（パラメトリック）連続性を持つように再パラメータ化できる場合、連続性が存在します。^{[8] [9]}曲線の再パラメータ化は、元の曲線と幾何学的に同一であり、パラメータのみが影響を受けます。 ${\displaystyle G^{n}}$ ${\displaystyle C^{n}}$

同様に、2つのベクトル関数とが、ベータ制約と呼ばれる方程式を満たす場合、それらが交わる点で連続性を持つ。例えば、連続性に関するベータ制約は以下の通りである。 ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle g(t)}$ ${\displaystyle f(1)=g(0)}$ ${\displaystyle G^{n}}$ ${\displaystyle G^{4}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}g^{(1)}(0)&=\beta _{1}f^{(1)}(1)\\g^{(2)}(0)&=\beta _{1}^{2}f^{(2)}(1)+\beta _{2}f^{(1)}(1)\\g^{(3)}(0)&=\beta _{1}^{3}f^{(3)}(1)+3\beta _{1}\beta _{2}f^{(2)}(1)+\beta _{3}f^{(1)}(1)\\g^{(4)}(0)&=\beta _{1}^{4}f^{(4)}(1)+6\beta _{1}^{2}\beta _{2}f^{(3)}(1)+(4\beta _{1}\beta _{3}+3\beta _{2}^{2})f^{(2)}(1)+\beta _{4}f^{(1)}(1)\\\end{aligned}}}$

ここで、、、は任意であるが、正に制約される。^{[8] ：65}の場合、これは 、スカラーに対して、および に簡約される（すなわち、２つのベクトルの方向は等しいが、大きさは必ずしも等しくない）。 ${\displaystyle \beta _{2}}$ ${\displaystyle \beta _{3}}$ ${\displaystyle \beta _{4}}$ ${\displaystyle \beta _{1}}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle f'(1)\neq 0}$ ${\displaystyle f'(1)=kg'(0)}$ ${\displaystyle k>0}$

曲線が滑らかに見えるためには連続性が必要であることは明らかですが、建築やスポーツカーのデザインに求められるような優れた美観を実現するには、より高度な幾何学的連続性が求められます。例えば、車体の反射は、車体に連続性がない限り滑らかに見えません。^[要出典] ${\displaystyle G^{1}}$ ${\displaystyle G^{2}}$

角が90度の円弧を持つ角丸四角形は連続性を持ちますが、実際には連続性はありません。角が球の八分円で、辺が四分の一円柱である角丸立方体も同様です。編集可能で連続性のある曲線が必要な場合は、通常、3次スプラインが選択されます。これらの曲線は工業デザインで頻繁に使用されます。 ${\displaystyle G^{1}}$ ${\displaystyle G^{2}}$ ${\displaystyle G^{2}}$

その他の概念

分析性との関係

すべての解析関数は、それが解析的である集合上で「滑らか」（すなわち、すべての導関数が連続）であるが、上述のバンプ関数などの例は、実数上の関数では逆が成り立たないことを示す。つまり、解析的ではない滑らかな実関数が存在する。滑らかだがどの点でも解析的ではない関数の簡単な例は、フーリエ級数によって作ることができる。別の例としては、ファビウス関数が挙げられる。このような関数は例外的な関数のように思われるかもしれないが、解析関数は滑らかな関数の中に非常に薄く散在していることがわかる。より厳密に言えば、解析関数は滑らかな関数のわずかな部分集合を形成する。さらに、実数直線上の任意の開部分集合Aに対して、 A上でのみ解析的であり、他の場所では解析的ではない滑らかな関数が存在する。^[要出典]

この状況を、実数直線上における超越数の遍在性と比較すると分かりやすい。実数直線上と滑らかな関数の集合の両方において、最初に思い浮かぶ例（代数的／有理的数と解析関数）は、大多数の場合よりもはるかに振る舞いが良い。超越数と、どこにも存在しない解析関数は完全な測度を持つ（その補数は貧弱である）。

このように記述された状況は、複素微分可能関数とは著しく対照的である。複素関数が開集合上で1回だけ微分可能である場合、その開集合上では無限微分可能かつ解析的である。^[要出典]

統一の滑らかな分割

与えられた閉台を持つ滑らかな関数は、滑らかな単位分割（単位分割と位相用語集を参照）の構築に用いられる。これらは滑らかな多様体の研究において不可欠であり、例えば、リーマン計量が局所的存在から始めて大域的に定義できることを示すのに不可欠である。単純な例としては、実数直線上のバンプ関数、すなわち区間 [ a , b ]の外側で値 0 をとり、かつ $${\displaystyle f(x)>0\quad {\text{ for }}\quad a<x<b.\,}$$

直線上の重なり合う区間が複数ある場合、それぞれの区間と半無限区間にバンプ関数を構築して直線全体をカバーし、関数の合計が常に 1 になるようにすることができます。 ${\displaystyle (-\infty ,c]}$ ${\displaystyle [d,+\infty )}$

先ほど述べたように、単位分割は正則関数には適用されない。正則関数の存在と解析接続に対する異なる振る舞いは、層理論の根源の一つである。対照的に、滑らかな関数の層は位相情報をあまり持たない傾向がある。

多様体上および多様体間の滑らかな関数

次元の滑らかな多様 体と地図帳が与えられたとき、 に対しての近傍から までの滑らかな関数となるようなチャートが存在するとき、地図は 上で滑らかである（与えられた次数まで のすべての偏微分は連続である）。を含む地図帳の任意のチャートについて滑らかさをチェックできます。これは、チャート間の遷移関数に対する滑らかさの要件により、 が1 つのチャートで の近くで滑らかであれば、他のどのチャートでも の近くで滑らかになることが保証されるためです。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle m,}$ ${\displaystyle {\mathfrak {U}}=\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\}_{\alpha },}$ ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle (U,\phi )\in {\mathfrak {U}},}$ ${\displaystyle p\in U,}$ ${\displaystyle f\circ \phi ^{-1}:\phi (U)\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \phi (p)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

が次元多様体から への写像である場合、任意の に対してを含むチャートが存在し、を含むチャートが存在し、が からへの滑らかな関数である場合、 は滑らかである。 ${\displaystyle F:M\to N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle p\in M,}$ ${\displaystyle (U,\phi )}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle (V,\psi )}$ ${\displaystyle F(p)}$ ${\displaystyle F(U)\subset V,}$ ${\displaystyle \psi \circ F\circ \phi ^{-1}:\phi (U)\to \psi (V)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

多様体間の滑らかな写像は、接空間間の線型写像を誘導します。 の場合、各点において、プッシュフォワード(または微分) は、 の接ベクトルを の接ベクトルに写します。また、接バンドルのレベルでは、プッシュフォワードはベクトルバンドル準同型です。プッシュフォワードの双対はプルバックで、上の共ベクトルを 上の共ベクトルに、 -形式を -形式に「引き戻す」ものです。このように、多様体間の滑らかな関数は、ベクトル場や微分形式などのローカル データを、ある多様体から別の多様体へ、または積分などの計算がよく理解されているユークリッド空間へ転送できます。 ${\displaystyle F:M\to N}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle F(p)}$ ${\displaystyle F_{*,p}:T_{p}M\to T_{F(p)}N,}$ ${\displaystyle F_{*}:TM\to TN.}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle F^{*}:\Omega ^{k}(N)\to \Omega ^{k}(M).}$

滑らかな関数に沿った逆像とプッシュフォワードは、一般に、追加の仮定がなければ多様体ではない。正則点の逆像（つまり、逆像上で微分が零にならない場合）は多様体である。これは逆像定理である。同様に、埋め込みに沿ったプッシュフォワードも多様体である。^[10]

多様体の部分集合間の滑らかな関数

多様体の任意の部分集合に対しては、対応する滑らかな写像の概念が存在する。が、その定義域と値域がそれぞれ多様体の部分集合とである関数である場合、すべてのに対してとなる開集合と、すべてのに対してとなる滑らかな関数が存在するとき、は滑らかであると言われる。 ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X\subseteq M}$ ${\displaystyle Y\subseteq N}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle U\subseteq M}$ ${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle F:U\to N}$ ${\displaystyle F(p)=f(p)}$ ${\displaystyle p\in U\cap X.}$

参照

• 不連続性 – 不連続点の数学的解析Pages displaying short descriptions of redirect targets
• アダマールの補題 – 定理Pages displaying short descriptions with no spaces
• 非解析的滑らかな関数 – 滑らかだが解析的ではない数学関数
• 準解析関数
• 特異点（数学）  – 数学的対象が不規則に振る舞う点
• 曲線度 - 波状関数上の2点間の弧の長さと直線距離の比
• 滑らかなスキーム - 特異点のないスキーム、滑らかな多様体を一般化するPages displaying short descriptions of redirect targets
• 滑らかな数 - 小さな素因数のみを持つ整数（数論）
• 平滑化 – データに近似関数を当てはめる
• スプライン – 多項式によって区分的に定義される数学関数
• ソボレフマッピング

参考文献

1. Weisstein, Eric W. 「Smooth Function」. mathworld.wolfram.com . 2019年12月16日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2019年12月13日閲覧。
2. ワーナー、フランク・W. (1983). 微分可能多様体とリー群の基礎. シュプリンガー. p. 5 [定義 1.2]. ISBN 978-0-387-90894-6. 2015年10月1日時点のオリジナルよりアーカイブ。2014年11月28日閲覧。
3. アンリ・カルタン(1977)。微分計算ツール。パリス：ヘルマン。{{cite book}}: CS1 maint: publisher location (link)
4. Barsky, Brian A. (1981). 『ベータスプライン：形状パラメータと基本的な幾何学的尺度に基づく局所表現』（Ph.D.）ユタ大学、ソルトレイクシティ、ユタ州。
5. Brian A. Barsky (1988). 『ベータスプラインを用いたコンピュータグラフィックスと幾何学モデリング』 Springer-Verlag, Heidelberg. ISBN 978-3-642-72294-3。
6. Richard H. Bartels、John C. Beatty、Brian A. Barsky (1987). 『コンピュータグラフィックスと幾何学的モデリングにおけるスプライン入門』 Morgan Kaufmann. 第13章 パラメトリック連続性と幾何学的連続性. ISBN 978-1-55860-400-1。
7. van de Panne, Michiel (1996). 「パラメトリック曲線」. 1996年秋季オンラインノート. トロント大学（カナダ）. 2020年11月26日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2019年9月1日閲覧。
8. Barsky, Brian A.; DeRose, Tony D. (1989). 「パラメトリック曲線の幾何学的連続性：3つの同等な特性」. IEEE Computer Graphics and Applications . 9 (6): 60– 68. doi :10.1109/38.41470. S2CID  17893586.
9. ハルトマン、エーリッヒ (2003)。 「コンピュータ支援設計のための幾何学とアルゴリズム」(PDF)。ダルムシュタット工科大学。 p. 55. 2020-10-23 にオリジナルからアーカイブ(PDF) 。2019年8月31日に取得。
10. ギレミン、ビクター、ポラック、アラン (1974). 『微分位相幾何学』エングルウッド・クリフス: プレンティス・ホール. ISBN 0-13-212605-2。

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