等価半径

Radius of a circle or sphere equivalent to a non-circular or non-spherical object

応用科学において、等価半径（または平均半径）とは、円形または球形ではない物体と同じ周長、面積、または体積を持つ円または球の半径です。等価直径（または平均直径）（）は、等価半径の2倍です。 ${\displaystyle D}$

周囲相当長

胸高における樹木の周囲長の測定。直径を表示するように目盛りが付けられています。測定テープは円形です。

半径Rの円の周長はである。円形でない物体Pの周長が与えられれば、その周長相当半径は次のように計算できる。 ${\displaystyle 2\pi R}$

${\displaystyle P=2\pi R_{\text{eq}}}$

または、代わりに：

${\displaystyle R_{\text{eq}}={\frac {P}{2\pi }}}$

例えば、辺Lの正方形の周囲の長さは である。この周囲の長さを円の周囲の長さと等しくすると、 ${\displaystyle 4L}$

${\displaystyle R_{\text{eq}}={\frac {4L}{2\pi }}={\frac {2L}{\pi }}\approx 0.6366L}$

用途:

• アメリカの帽子のサイズは、頭囲をインチで測定し、円周率で割り、最も近い1/8インチに丸めたものです。これは1D平均直径に相当します。^[1]
• 胸高直径とは、樹高4.5フィートで測定した樹幹の円周を円周率で割った値です。これは1次元平均直径に相当します。これは胴回り測定テープで直接測定できます。^[2]

面積換算

2次元オブジェクトの面積相当半径は、オブジェクトと同じ面積を持つ円の半径です。

台形開水路の断面積。赤線は水が水路に接する濡れ周長を示しています。水力直径は、濡れ周長と同じ円周を持つ等価円形状です。

半径Rの円の面積はである。円形でない物体Aの面積が与えられれば、その面積相当半径は次のように計算できる。 ${\displaystyle \pi R^{2}}$

${\displaystyle A=\pi R_{\text{eq}}^{2}}$

または、代わりに：

${\displaystyle R_{\text{eq}}={\sqrt {\frac {A}{\pi }}}}$

多くの場合、考慮される領域は断面の領域です。

例えば、辺の長さがLの正方形の面積は である。この面積を円の面積と等しくすると、 ${\displaystyle L^{2}}$

${\displaystyle R_{\text{eq}}={\sqrt {\frac {L^{2}}{\pi }}}={\sqrt {\frac {1}{\pi }}}L\approx 0.5642L}$

同様に、長半径と短半径を持つ楕円の面積はなので、 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \pi ab}$

${\displaystyle R_{\text{eq}}={\sqrt {\frac {\pi ab}{\pi }}}={\sqrt {ab}}}$。

用途:

• 水力直径も同様に、管の断面積Aの4倍を「濡れた」周囲長 Pで割ったものとして定義されます。半径Rの円形管の場合、全流量時には、これは

${\displaystyle D_{\text{H}}={\frac {4\pi R^{2}}{2\pi R}}=2R}$

予想通りです。これは上記の2次元平均直径の定義と同じです。しかし、歴史的な理由から、水力半径はパイプの断面積Aをその濡れ周囲長Pで割ったものとして定義され、水力半径は2次元平均半径の半分になります。 ^[3] ${\displaystyle D_{\text{H}}=4R_{\text{H}}}$

• 骨材分類において、等価直径とは「等しい骨材断面積を持つ円の直径」であり、次のように計算されます。これは多くのデジタル画像処理プログラムで使用されています。^[4] ${\displaystyle D=2{\sqrt {\frac {A}{\pi }}}}$

体積換算値

球体（上）、回転楕円体（左）、三軸楕円体（右）

半径Rの球の体積はである。球体でない物体の体積Vが与えられれば、その体積相当半径は次のように計算できる。 ${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi R^{3}}$

${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi R_{\text{eq}}^{3}}$

または、代わりに：

${\displaystyle R_{\text{eq}}={\sqrt[{3}]{\frac {3V}{4\pi }}}}$

例えば、辺の長さがLの立方体の体積は である。この体積を球体の体積と等しくすると、 ${\displaystyle L^{3}}$

${\displaystyle R_{\text{eq}}={\sqrt[{3}]{\frac {3L^{3}}{4\pi }}}={\sqrt[{3}]{\frac {3}{4\pi }}}L\approx 0.6204L}$

同様に、軸、 、を持つ三軸楕円体の体積は であり、したがって^[5] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi abc}$

${\displaystyle R_{\text{eq}}={\sqrt[{3}]{\frac {3{\frac {4}{3}}\pi abc}{4\pi }}}={\sqrt[{3}]{abc}}}$。

回転楕円体の式は、 ${\displaystyle a=b}$

${\displaystyle R_{\text{eq}}={\sqrt[{3}]{a^{2}\cdot c}}}$. ^[6]

用途:

• 地球は、半径が6 378.1 kmと6 356 .8 km、3次元平均半径は である。^[6] ${\displaystyle R={\sqrt[{3}]{6378.1^{2}\cdot 6356.8}}=6371.0{\text{ km}}}$

その他の同等性

表面積相当半径

半径Rの球の表面積はである。球形ではない物体Aの表面積が与えられれば、その表面積相当半径は次のように計算できる。 ${\displaystyle 4\pi R^{2}}$

${\displaystyle 4\pi R_{\text{eq}}^{2}=A}$

または同等

${\displaystyle R_{\text{eq}}={\sqrt {\frac {A}{4\pi }}}}$

例えば、長さLの立方体の表面積は である。したがって、立方体の表面積相当半径は ${\displaystyle 6L^{2}}$

${\displaystyle R_{\text{eq}}={\sqrt {\frac {6L^{2}}{4\pi }}}\approx 0.6910L}$

曲率相当半径

接触円

接触円と接触球は、それぞれ平面図形と立体図形の特定の接点における曲率等価半径を定義します。

参照

• アンテナ等価半径
• 雲滴有効半径
• 立方平均
• 地球楕円体
• 地球の半径
• 銀河の有効半径
• ジオイド
• 幾何平均
• 半径

参考文献

1. ベロ, イグナシオ; ブリトン, ジャック・ロルフ (1993). 『現代数学の話題』（第5版）. レキシントン, マサチューセッツ州: DC Heath. p. 512. ISBN 978-0-669-28957-2。
2. West, PW (2004). 「幹の直径」.樹木と森林の測定. ニューヨーク: Springer. pp. 13ff. ISBN 978-3-540-40390-6。
3. Wei, Maoxing; Cheng, Nian-Sheng; Lu, Yesheng (2023年10月). 「水力半径の概念の再考」. Journal of Hydrology . 625 (Part B) 130134. Bibcode :2023JHyd..62530134W. doi :10.1016/j.jhydrol.2023.130134.
4. 孫 立軍 (2016). 「アスファルト混合物の均質性」.アスファルト舗装の構造挙動. pp.  821– 921. doi :10.1016/B978-0-12-849908-5.00013-4. ISBN 978-0-12-849908-5。
5. Leconte, J.; Lai, D.; Chabrier, G. (2011). 「歪んだ非球形のトランジット惑星：トランジット深度と半径測定への影響」（PDF） . Astronomy & Astrophysics . 528 A41. arXiv : 1101.2813 . Bibcode :2011A&A...528A..41L. doi :10.1051/0004-6361/201015811.
6. Chambat, F.; Valette, B. (2001). 「地球モデル参照のための平均半径、質量、慣性」(PDF) .地球惑星内部の物理学. 124 ( 3–4 ): 4. Bibcode :2001PEPI..124..237C. doi :10.1016/S0031-9201(01)00200-X.

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