贅沢な数字

Number that has fewer digits than the number of digits in its prime factorization

数論において、過剰数（ぜいじゃくすう、英: extravagant number ）（無駄数とも呼ばれる）とは、与えられた数基数における素因数分解の桁数（指数を含む）よりも桁数が少ない、与えられた数基数における自然数のことである。[ ^1]例えば、10基数では、4 = 2 ²、6 = 2×3、8 = 2 ³、9 = 3 ²は過剰数である（OEISのシーケンスA046760）。

あらゆる基数には無限の奇数が存在する。^[1]

数学的な定義

を基数とし、を基数の自然数の桁数とする。自然数は素因数分解できる。 ${\displaystyle b>1}$ ${\displaystyle K_{b}(n)=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle n=\prod _{\stackrel {p\,\mid \,n}{p{\text{ prime}}}}p^{v_{p}(n)}}$

ここではのp進値であり、 はの基数において特異な数である。 ${\displaystyle v_{p}(n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle K_{b}(n)<\sum _{\stackrel {p\,\mid \,n}{p{\text{ prime}}}}K_{b}(p)+\sum _{\stackrel {p^{2}\,\mid \,n}{p{\text{ prime}}}}K_{b}(v_{p}(n)).}$

参照

• 等桁数
• 節約番号

注記

1. ダーリング, デイビッド・J. (2004). 『数学の普遍書：アブラカダブラからゼノンのパラドックスまで』ジョン・ワイリー・アンド・サンズ. p. 102. ISBN 978-0-471-27047-8。

参考文献

• RGE Pinch (1998)、「経済数値」。
• Chris Caldwell、The Prime Glossary: The Prime Pagesの膨大な数。

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