八角数

数学において、八角数は図形数である。n番目の八角数は_、最大n辺の正八角形の輪郭線からなる点のパターンにおいて、八角形を重ねて頂点を一つ共有したときの点の数である。nの八角数は、3 n ² − 2 n（n > 0）という式で与えられる。最初のいくつかの八角数は、

1、8、21、40、65、96、133、176、225、280、341、408、481、560、645、736、833、936 （ OEISの配列A000567 ）

nの八角数は、nの2乗に( n −1)番目のプロニック数の2倍を加えることによっても計算できます。

八角数は一貫して偶奇性が交互になります。

八角数は「スター数」と呼ばれることもありますが、この用語は中心十二角数を指すのによく使用されます。^[1]

組合せ論への応用

番目の八角数は、を 1、2、または 3 に分割できる数です。 ^[2]例えば、には次のような分割があります。 $n$ $6n-5$ $x_{2}=8$ $2\cdot 6-5=7$

[1,1,1,1,1,1,1]、[1,1,1,1,1,2]、[1,1,1,1,3]、[1,1,1,2,2]、[1,1,2,3]、[1,2,2,2]、[1,3,3]、[2,2,3]。

逆数の合計

八角数の逆数の和の公式は^{[3]で与えられる。} $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(3n-2)}}={\frac {9\ln(3)+{\sqrt {3}}\pi }{12}}.$

八角数のテスト

nについてn次八角数の公式を解くと、次の式が得られます。任意の数x をこの式に代入することで、その数が八角数であるかどうかを確認できます。n が整数の場合、 xはn次八角数です。n が整数でない場合、 xは八角数ではありません。 $x_{n},$ $n={\frac {{\sqrt {3x_{n}+1}}+1}{3}}.$

参照

中心八角数

参考文献

^ デザ、エレナ; Deza、Michel (2012)、Figurate Numbers、World Scientific、p. 57、ISBN 9789814355483。
^ ( OEISの配列A000567 )
^ 「バーゼル問題を超えて：図形数の逆数の和」（PDF）。 2013年5月29日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。 2020年4月12日閲覧。

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[1] デザ、エレナ; Deza、Michel (2012)、Figurate Numbers、World Scientific、p. 57、ISBN 9789814355483。

[2] ( OEISの配列A000567 )

[3] 「バーゼル問題を超えて：図形数の逆数の和」（PDF）。 2013年5月29日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。 2020年4月12日閲覧。