多角形数

数学において、多角形数（たかがみぞくすう）とは、正多角形の形状に配列された点を数える数である。^[1]^{: 2-3}これらは2次元図形数の一種である。

多角形数は紀元前6世紀に古代ギリシャ人によって初めて研究され、長方形、三角形、正方形の数の性質を調査し議論しました。^[1]^{: 1}

定義と例

たとえば、数字 10 は三角形に配置できます(三角数を参照)。

しかし、10は正方形に並べることはできません。一方、9は正方形に並べることができます（平方数を参照）。

36 のようないくつかの数字は、正方形と三角形の両方として配置できます (正方形と三角形の数字を参照)。

慣例的に、多角形の最初の数字は1で、辺の数は何であれ1です。多角形を次のサイズに拡大するルールは、隣接する2つの辺を1点ずつ延長し、その間に必要な辺を追加することです。以下の図では、追加された各層は赤で示されています。

三角数

三角数列とは、正三角形の形で数字を一列または連続的に並べた表現です。これらの数字は、1、3、6、10、15、21、28、36、45、…という順になります。

平方数

五角形や六角形など、辺の数が多い多角形もこの規則に従って作成できますが、点は上記のように完全に規則的な格子を形成しなくなります。

五角形数

六角数

式

$多角形の辺の数をs$ とすると、 $n$ 次の $s$ 角数 $P (s, n)$ の公式は

P(s,n)={\frac {(s-2)n^{2}-(s-4)n}{2}}

n次の $角$ $数$ は三角数 $Tn と$ 次のように関係している。^[2]

P(s,n)=(s-2)T_{n-1}+n=(s-3)T_{n-1}+T_{n}\,.

したがって：

{\begin{aligned}P(s,n+1)-P(s,n)&=(s-2)n+1\,,\\P(s+1,n)-P(s,n)&=T_{n-1}={\frac {n(n-1)}{2}}\,,\\P(s+k,n)-P(s,n)&=kT_{n-1}=k{\frac {n(n-1)}{2}}\,.\end{aligned}}

$与えられたs$ 角数 $P (s, n) = x$ に対して、 $n$ は次のように求められる。

n={\frac {{\sqrt {8(s-2)x+{(s-4)}^{2}}}+(s-4)}{2(s-2)}}

$そしてs$ は次のように見つけられる。

s=2+{\frac {2}{n}}\cdot {\frac {x-n}{n-1}}

。

すべての六角数は三角数でもある

上記の式を適用すると、

P(s,n)=(s-2)T_{n-1}+n

6辺の場合は次のようになります。

P(6,n)=4T_{n-1}+n

しかし、

T_{n-1}={\frac {n(n-1)}{2}}

結果は次のようになります。

P(6,n)={\frac {4n(n-1)}{2}}+n={\frac {2n(2n-1)}{2}}=T_{2n-1}

これは、 $n$ 番目の六角数 $P (6, n)が$ $(2 n - 1)$ 番目の三角数 $T 2 n -1$ でもあることを示しています。奇数番目の三角数を単純に取るだけで、すべての六角数を求めることができます。^[2]

1、3、6、10、15、21、28、36、45、55、66、...

値の表

「逆数の和」の列の最初の6つの値は、三角数から八角数まで、一般問題に対する公開された解から得られ、これはまた、二ガンマ関数の観点から、任意の数の辺に対する一般的な公式も与えている。^[3]

$s$	名前	式	$n$											逆数の合計^[3]^[4]	OEIS番号
$s$	名前	式	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	逆数の合計^[3]^[4]	OEIS番号
2	自然（線分）	$.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠1/2⁠ ( 0n 2 + 2n ) = n$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	∞（発散する）	A000027
3	三角	$⁠ 1 / 2 ⁠ (n 2 + n)$	1	3	6	10	15	21	28	36	45	55	66	2 ^[3]	A000217
4	四角	$⁠ 1 / 2 ⁠ (2 n 2 - 0 n) = n 2$	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	⁠ $π$ ²/6⁠ ^[3]^[α]	A000290
5	五角形	$⁠ 1 / 2 ⁠ (3 n 2 - n)$	1	5	12	22	35	51	70	92	117	145	176	$3 ln 3 - ⁠ π\sqrt3 / 3 ⁠$ ^[3]	A000326
6	六角	$⁠ 1 / 2 ⁠ (4 n 2 - 2 n) = 2 n 2 - n$	1	6	15	28	45	66	91	120	153	190	231	$2 ln 2$ ^[3]	A000384
7	七角形	$⁠ 1 / 2 ⁠ (5 n 2 - 3 n)$	1	7	18	34	55	81	112	148	189	235	286	${\begin{matrix}{\tfrac {2}{3}}\ln 5\\+{\tfrac {{1}+{\sqrt {5}}}{3}}\ln {\tfrac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{2}}\\+{\tfrac {{1}-{\sqrt {5}}}{3}}\ln {\tfrac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{2}}\\+{\tfrac {\pi {\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}}{15}}\end{matrix}}$ ^[3]	A000566
8	八角形	$⁠ 1 / 2 ⁠ (6 n 2 - 4 n) = 3 n 2 - 2 n$	1	8	21	40	65	96	133	176	225	280	341	$⁠ 3 / 4 ⁠ ln 3 + ⁠ π\sqrt3 / 12 ⁠$ ^[3]	A000567
9	九角形	$⁠ 1 / 2 ⁠ (7 n 2 - 5 n)$	1	9	24	46	75	111	154	204	261	325	396		A001106
10	十角形	$⁠ 1 / 2 ⁠ (8 n 2 - 6 n) = 4 n 2 - 3 n$	1	10	27	52	85	126	175	232	297	370	451	$ln 2 + ⁠ π / 6 ⁠$	A001107
11	十二角形	$⁠ 1 / 2 ⁠ (9 n 2 - 7 n)$	1	11	30	58	95	141	196	260	333	415	506		A051682
12	十二角形	$⁠ 1 / 2 ⁠ (10 n 2 - 8 n)$	1	12	33	64	105	156	217	288	369	460	561		A051624
13	十三角形	$⁠ 1 / 2 ⁠ (11 n 2 - 9 n)$	1	13	36	70	115	171	238	316	405	505	616		A051865
14	十四角形	$⁠ 1 / 2 ⁠ (12 n 2 - 10 n)$	1	14	39	76	125	186	259	344	441	550	671	$⁠ 2 / 5 ⁠ ln 2 + ⁠ 3 / 10 ⁠ ln 3 + ⁠ π\sqrt3 / 10 ⁠$	A051866
15	十五角形	$⁠ 1 / 2 ⁠ (13 n 2 - 11 n)$	1	15	42	82	135	201	280	372	477	595	726		A051867
16	16角形	$⁠ 1 / 2 ⁠ (14 n 2 - 12 n)$	1	16	45	88	145	216	301	400	513	640	781		A051868
17	十七角形	$⁠ 1 / 2 ⁠ (15 n 2 - 13 n)$	1	17	48	94	155	231	322	428	549	685	836		A051869
18	八角形	$⁠ 1 / 2 ⁠ (16 n 2 - 14 n)$	1	18	51	100	165	246	343	456	585	730	891	$⁠ 4 / 7 ⁠ ln 2 - ⁠ \sqrt2 / 14 ⁠ ln (3 - 2 \sqrt 2)$ $+ ⁠ π (1 + \sqrt 2) / 14 ⁠$	A051870
19	十六角形	$⁠ 1 / 2 ⁠ (17 n 2 - 15 n)$	1	19	54	106	175	261	364	484	621	775	946		A051871
20	正二十角形	$⁠ 1 / 2 ⁠ (18 n 2 - 16 n)$	1	20	57	112	185	276	385	512	657	820	1001		A051872
21	二十六角形	$⁠ 1 / 2 ⁠ (19 n 2 - 17 n)$	1	21	60	118	195	291	406	540	693	865	1056		A051873
22	二十面体	$⁠ 1 / 2 ⁠ (20 n 2 - 18 n)$	1	22	63	124	205	306	427	568	729	910	1111		A051874
23	二十三方晶系	$⁠ 1 / 2 ⁠ (21 n 2 - 19 n)$	1	23	66	130	215	321	448	596	765	955	1166		A051875
24	五十四方晶系	$⁠ 1 / 2 ⁠ (22 n 2 - 20 n)$	1	24	69	136	225	336	469	624	801	1000	1221		A051876
s = 25		$⁠ 1 / 2 ⁠ (23 n 2 - 21 n)$	1	25	72	142	235	351	490	652	837	1045	1276

オンライン整数シーケンス百科事典では、ギリシャ語の接頭辞 (例: 「八角形」) を使用する用語を避け、数字 (つまり「8 角形」) を使用する用語を採用しています。

このテーブルの特性は次の恒等式で表現できます (A086270 を参照)。

2\,P(s,n)=P(s+k,n)+P(s-k,n),

と

k=0,1,2,3,...,s-3.

組み合わせ

36のように、平方数と三角形の両方の性質を持つ数は、2つの多角形集合に当てはまります。このような2つの集合が与えられたとき、両方の集合に属するすべての数を決定する問題は、ペル方程式に帰着することで解くことができます。最も単純な例は、平方数と三角形の数列です。

$次の表は、 s$ と $t$ の値が小さい場合の $s$ 角形 $t$ 角形の数の集合をまとめたものです。

$s$	$t$	順序	OEIS番号
4	3	1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025, 63955431761796, 2172602007770041, 73804512832419600, 2507180834294496361, 85170343853180456676, 2893284510173841030625, 98286503002057414584576, 3338847817559778254844961、...	A001110
5	3	1、210、40755、7906276、1533776805、297544793910、57722156241751、11197800766105800、2172315626468283465、…	A014979
5	4	1、9801、94109401、903638458801、8676736387298001、83314021887196947001、799981229484128697805801、...	A036353
6	3	すべての六角形の数字は三角形でもあります。	A000384
6	4	1、1225、1413721、1631432881、1882672131025、2172602007770041、2507180834294496361、2893284510173841030625、3338847817559778254844961、3853027488179473932250054441、...	A046177
6	5	1、40755、1533776805、…	A046180
7	3	1、55、121771、5720653、12625478965、593128762435、1309034909945503、61496776341083161、135723357520344181225、6376108764003055554511、14072069153115290487843091、…	A046194
7	4	1、81、5929、2307361、168662169、12328771225、4797839017609、350709705290025、25635978392186449、9976444135331412025、…	A036354
7	5	1、4347、16701685、64167869935、…	A048900
7	6	1、121771、12625478965、…	A048903
8	3	1、21、11781、203841、…	A046183
8	4	1、225、43681、8473921、1643897025、318907548961、61866420601441、12001766689130625、2328280871270739841、451674487259834398561、87622522247536602581025、16998317641534841066320321、…	A036428
8	5	1、176、1575425、234631320、…	A046189
8	6	1、11781、113123361、…	A046192
8	7	1、297045、69010153345、…	A048906
9	3	1, 325, 82621, 20985481, …	A048909
9	4	1、9、1089、8281、978121、7436529、878351769、6677994961、788758910641、5996832038649、708304623404049、5385148492712041、636056763057925561、...	A036411
9	5	1, 651, 180868051, …	A048915
9	6	1, 325, 5330229625、…	A048918
9	7	1、26884、542041975、…	A048921
9	8	1、631125、286703855361、…	A048924

$s = 10$ や $t = 4$ などの場合には、両方の集合に 1 以外の数字は含まれません。^{[引用が必要]}

3つの多角形集合に属する数を見つける問題はより困難である。片山^[5]は、3つの異なる整数 $s$ 、 $t$ 、 $uがすべて3以上で6でないとき、同時に$ $s$ 多角形、 $t$ 多角形、 $u$ 多角形となる数は有限個しかないことを証明した。

片山・古谷・西岡^[6]は、整数 $s$ がまたはとなるような整数ならば、唯一の $s$ 角二乗三角数は1であることを証明した。例えば、その論文ではの場合について次の証明を与えている。^[7]正の整数 $n$ 、 $p$ 、 $q$ があるものとしよう。計算により、で定義される点は曲線上にあることが示される。この事実は（楕円曲線データベース^[8]が確認しているように）となり、結果が導かれる。 $s=5$ $7\leq s\leq 12$ $s=5$ $P(3,n)=P(4,p)=P(5,q)$ $(x,y)$ $(x,y)=(48p^{2}+3,24p(2n+1)(6q-1))$ $Y^{2}=X^{3}-X^{2}-9X+9$ $(x,y)=(51,360)$ $p=1$

1225という数字は、六十四四方形 ( $s = 124$ )、十六角形 ( $s = 60$ )、二十角形 ( $s = 29$ )、六角形、正方形、三角形です。

参照

注記

^ バーゼル問題を参照。

参考文献

^ ab タッターソール, ジェームズ・J. (2005). 『9章による初等数論』（第2版）. ニューヨーク: ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-511-75634-4。
^ ab コンウェイ, ジョン・H. ;ガイ, リチャード(2012年12月6日). 『The Book of Numbers』シュプリンガー・サイエンス＆ビジネスメディア. pp. 38– 41. ISBN 978-1-4612-4072-3。
^ abcdefgh 「多角形の逆数の和とガウスの定理」(PDF) 。 2011年6月15日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ。 2010年6月13日閲覧。
^ 「バーゼル問題を超えて：図形数の逆数の和」（PDF）。 2013年5月29日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。 2010年5月13日閲覧。
^ 片山誠 (2021). 「多角形平方三角数について II」(PDF) .徳島大学数学会誌. 55 : 1–10 .
^ カタヤマ、S.;古屋直也；西岡裕也（2020）「多角形・正方形・三角数について」(PDF)。Ｊ．Ｍａｔｈ．徳島大学54：1～ 12。
^ 同上、4ページ。
^ LMFDBコラボレーション (2025). 「LMFDBラベル192.a2（クレモナラベル192a2）の楕円曲線」. L関数とモジュラー形式のデータベース. 2025年7月12日閲覧。

参考文献

ペンギン・ディクショナリー・オブ・キュリアス・アンド・インタレスト・ナンバーズ、デイビッド・ウェルズ（ペンギンブックス、1997年）[ ISBN 0-14-026149-4]。
PlanetMathの多角形数。
ワイスタイン、エリック・W.「多角形数」。MathWorld。
F. タプソン (1999).オックスフォード数学学習辞典（第2版）. オックスフォード大学出版局. pp. 88– 89. ISBN 0-19-914-567-9。

外部リンク

「多角形数」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
多角形数: 2<=s<=337 の 1 から 1000 までのすべての s 多角形数をクリックできます。
YouTubeの Ulam Spiral グリッド上の多角形数
多角形数のカウント関数

[5] バーゼル問題を参照。

[tattersall2005-1] タッターソール, ジェームズ・J. (2005). 『9章による初等数論』（第2版）. ニューヨーク: ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-511-75634-4。

[:0-2] コンウェイ, ジョン・H. ;ガイ, リチャード(2012年12月6日). 『The Book of Numbers』シュプリンガー・サイエンス＆ビジネスメディア. pp. 38– 41. ISBN 978-1-4612-4072-3。

[siam_07-003s-3] 「多角形の逆数の和とガウスの定理」(PDF) 。 2011年6月15日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ。 2010年6月13日閲覧。

[4] 「バーゼル問題を超えて：図形数の逆数の和」（PDF）。 2013年5月29日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。 2010年5月13日閲覧。

[6] 片山誠 (2021). 「多角形平方三角数について II」(PDF) .徳島大学数学会誌. 55 : 1–10 .

[7] カタヤマ、S.;古屋直也；西岡裕也（2020）「多角形・正方形・三角数について」(PDF)。Ｊ．Ｍａｔｈ．徳島大学54：1～ 12。

[8] 同上、4ページ。

[9] LMFDBコラボレーション (2025). 「LMFDBラベル192.a2（クレモナラベル192a2）の楕円曲線」. L関数とモジュラー形式のデータベース. 2025年7月12日閲覧。

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