Mathematical sequences
数学 において 、 フィボナッチ数は次のように 再帰的に 定義される 数列 を形成します 。
F n = { 0 n = 0 1 n = 1 F n − 1 + F n − 2 n > 1 {\displaystyle F_{n}={\begin{cases}0&n=0\\1&n=1\\F_{n-1}+F_{n-2}&n>1\end{cases}}} つまり、2 つの開始値の後の、各数値は前の 2 つの数値の合計になります。
フィボナッチ数列は広く研究され、0 と 1 以外の数字から開始したり、2 つ以上の数字を追加して次の数字を生成したり、数字以外のオブジェクトを追加したりするなど、さまざまな方法で一般化されています。
負の整数への拡張 F n − 2 = F n − F n − 1 {\displaystyle F_{n-2}=F_{n}-F_{n-1}} を使うと 、フィボナッチ数を負の 整数 まで拡張できます。つまり、次のようになります。
... −8、5、−3、2、−1、1、0、1、1、2、3、5、8、... そして F − n = ( − 1 ) n + 1 F n {\displaystyle F_{-n}=(-1)^{n+1}F_{n}} . [1]
ネガフィボナッチ符号化 も参照してください 。
すべての実数または複素数への拡張 フィボナッチ数列には、実数 （場合によっては 複素数 ）をその定義域に含む様々な一般化が可能である 。これらはいずれも 黄金比 φ を 含み、 ビネーの公式に基づいている。
F n = φ n − ( − φ ) − n 5 {\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\sqrt {5}}}} . 解析 関数
Fe ( x ) = φ x − φ − x 5 {\displaystyle \operatorname {Fe} (x)={\frac {\varphi ^{x}-\varphi ^{-x}}{\sqrt {5}}}} は偶数 に対して という 性質を持つ 。 [2] 同様に、解析関数: Fe ( n ) = F n {\displaystyle \operatorname {Fe} (n)=F_{n}} n {\displaystyle n}
Fo ( x ) = φ x + φ − x 5 {\displaystyle \operatorname {Fo} (x)={\frac {\varphi ^{x}+\varphi ^{-x}}{\sqrt {5}}}} 奇数の 整数 に対しては を満たします 。 Fo ( n ) = F n {\displaystyle \operatorname {Fo} (n)=F_{n}} n {\displaystyle n}
最後に、これらをまとめると、解析関数は
Fib ( x ) = φ x − cos ( x π ) φ − x 5 {\displaystyle \operatorname {Fib} (x)={\frac {\varphi ^{x}-\cos(x\pi )\varphi ^{-x}}{\sqrt {5}}}} すべての整数 に対してを満たす 。 [3] Fib ( n ) = F n {\displaystyle \operatorname {Fib} (n)=F_{n}} n {\displaystyle n}
この関数はすべての複素数 に対して、フィボナッチ数列を複素平面全体に拡張するものでもあるため 、例えば複素変数の一般化フィボナッチ関数を計算することができる。 Fib ( z + 2 ) = Fib ( z + 1 ) + Fib ( z ) {\displaystyle \operatorname {Fib} (z+2)=\operatorname {Fib} (z+1)+\operatorname {Fib} (z)} z {\displaystyle z}
Fib ( 3 + 4 i ) ≈ − 5248.5 − 14195.9 i {\displaystyle \operatorname {Fib} (3+4i)\approx -5248.5-14195.9i} しかし、この拡張は決してユニークなものではありません。例えば、
Fib ( x ) = φ x − cos ( k x π ) φ − x 5 {\displaystyle \operatorname {Fib} (x)={\frac {\varphi ^{x}-\cos(kx\pi )\varphi ^{-x}}{\sqrt {5}}}} または Fib ( x ) = φ x − exp ( i k x π ) φ − x 5 {\displaystyle \operatorname {Fib} (x)={\frac {\varphi ^{x}-\exp(ikx\pi )\varphi ^{-x}}{\sqrt {5}}}} 任意の奇数 k はフィボナッチ数列の複素平面全体への拡張であり、 係数の合計が 1 になる任意の 線形結合も同様です。
ベクトル空間 フィボナッチ数列 という用語は、より一般的には 、整数から となる 体への任意の 関数 にも適用されます。これらの関数はまさに の形で表される関数であり 、したがってフィボナッチ数列は 関数 と を 基底 とする ベクトル空間 を形成します。 g {\displaystyle g} g ( n + 2 ) = g ( n ) + g ( n + 1 ) {\displaystyle g(n+2)=g(n)+g(n+1)} 1 {\displaystyle {1}} F ( n ) {\displaystyle F(n)} F ( n − 1 ) {\displaystyle F(n-1)}
より一般的には、 の値域は任意の アーベル群 （ Z 加 群 とみなされる）とすることができる 。そして、フィボナッチ数列は 同様に
2次元の Z加群を形成する。 g {\displaystyle g}
類似の整数列
フィボナッチ整数列 フィボナッチ 整数列 の2次元-モジュールは、 を満たすすべての整数列から構成されます 。2つの初期値で表すと、次のようになります。 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } g ( n + 2 ) = g ( n ) + g ( n + 1 ) {\displaystyle g(n+2)=g(n)+g(n+1)}
g ( n ) = F ( n ) g ( 1 ) + F ( n − 1 ) g ( 0 ) = g ( 1 ) φ n − ( − φ ) − n 5 + g ( 0 ) φ n − 1 − ( − φ ) 1 − n 5 , {\displaystyle g(n)=F(n)g(1)+F(n-1)g(0)=g(1){\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\sqrt {5}}}+g(0){\frac {\varphi ^{n-1}-(-\varphi )^{1-n}}{\sqrt {5}}},} 黄金比は どこにありますか。 φ {\displaystyle \varphi }
連続する 2 つの要素間の比率は、常に 0 となるシーケンスと、最初の 2 つの項の比率が となるシーケンスの場合を除き、黄金比に 収束します 。 ( − φ ) − 1 {\displaystyle (-\varphi )^{-1}}
このシーケンスは次の形式で記述できる。
a φ n + b ( − φ ) − n , {\displaystyle a\varphi ^{n}+b(-\varphi )^{-n},} ここで、 の場合に限ります 。この形式では、最も単純で自明でない例は であり、これは ルーカス数 の列です 。 a = 0 {\displaystyle a=0} b = 0 {\displaystyle b=0} a = b = 1 {\displaystyle a=b=1}
L n = φ n + ( − φ ) − n {\displaystyle L_{n}=\varphi ^{n}+(-\varphi )^{-n}} . および があります 。プロパティには以下が含まれます。 L 1 = 1 {\displaystyle L_{1}=1} L 2 = 3 {\displaystyle L_{2}=3}
φ n = ( 1 + 5 2 ) n = L ( n ) + F ( n ) 5 2 , L ( n ) = F ( n − 1 ) + F ( n + 1 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\varphi ^{n}&=\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{\!n}={\frac {L(n)+F(n){\sqrt {5}}}{2}},\\L(n)&=F(n-1)+F(n+1).\end{aligned}}} あらゆる非自明なフィボナッチ整数列は（おそらく有限個の位置シフト後に） ウィトフ配列 の行の1つとして現れる。フィボナッチ数列自体は最初の行であり、ルーカス数列のシフトは2番目の行である。 [4]
n を法とするフィボナッチ整数列 も参照してください 。
ルーカスシーケンス フィボナッチ数列の別の一般化は、次のように定義される ルーカス数列 です。
U ( 0 ) = 0 U ( 1 ) = 1 U ( n + 2 ) = P U ( n + 1 ) − Q U ( n ) , {\displaystyle {\begin{aligned}U(0)&=0\\U(1)&=1\\U(n+2)&=PU(n+1)-QU(n),\end{aligned}}} ここで、通常のフィボナッチ数列は および の特殊なケースです 。別の種類のルーカス数列は 、 で始まります。このような数列は 数論 や 素数性の 証明に応用されます 。 P = 1 {\displaystyle P=1} Q = − 1 {\displaystyle Q=-1} V ( 0 ) = 2 {\displaystyle V(0)=2} V ( 1 ) = P {\displaystyle V(1)=P}
Q = − 1 {\displaystyle Q=-1} の場合 、この数列は P -フィボナッチ数列 と呼ばれ、たとえば ペル数列は 2 -フィボナッチ数列 とも呼ばれます 。
3- フィボナッチ数列 は
0、1、3、10、33、109、360、1189、3927、12970、42837、141481、467280、1543321、5097243、16835050、55602393、183642229、606529080、…（ OEIS のシーケンス A006190 ） 4- フィボナッチ数列 は
0、1、4、17、72、305、1292、5473、23184、98209、416020、1762289、7465176、31622993、133957148、567451585、2403763488、…（ OEIS のシーケンス A001076 ） 5 フィボナッチ数列 は
0、1、5、26、135、701、3640、18901、98145、509626、2646275、13741001、71351280、370497401、1923838285、9989688826、…（ OEIS のシーケンス A052918 ） 6 フィボナッチ数列 は
0、1、6、37、228、1405、8658、53353、328776、2026009、12484830、76934989、474094764、2921503573、18003116202、…（ OEIS のシーケンス A005668 ） n- フィボナッチ定数は 、 隣接する-フィボナッチ数が向かう比率です 。これは n 次の 金属平均 とも呼ばれ、 の唯一の正の 根 です。例えば、 の場合 は 黄金比、 の場合は 白銀 比 です。一般的に、 の場合は です 。 [ 要出典 ] n {\displaystyle n} x 2 − n x − 1 = 0 {\displaystyle x^{2}-nx-1=0} n = 1 {\displaystyle n=1} 1 + 5 2 {\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}} n = 2 {\displaystyle n=2} 1 + 2 {\displaystyle 1+{\sqrt {2}}} n {\displaystyle n} n + n 2 + 4 2 {\displaystyle {\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}}
一般に、 は ( P ,− Q ) -フィボナッチ数列 、 V ( n )は ( P ,− Q ) -ルーカス数列 と呼ぶことができます 。 U ( n ) {\displaystyle U(n)}
( 1,2)-フィボナッチ数列 は
0、1、1、3、5、11、21、43、85、171、341、683、1365、2731、5461、10923、21845、43691、87381、174763、349525、699051、1398101、2796203、5592405、11184811、22369621、44739243、89478485、…（ OEISの シーケンス A001045 ） ( 1,3)-フィボナッチ数列 は
1、1、4、7、19、40、97、217、508、1159、2683、6160、14209、32689、75316、173383、399331、919480、2117473、4875913、11228332、25856071、59541067、…（ OEIS のシーケンス A006130 ） ( 2,2)-フィボナッチ数列 は
0、1、2、6、16、44、120、328、896、2448、6688、18272、49920、136384、372608、1017984、2781184、7598336、20759040、56714752、…（ OEIS のシーケンス A002605 ） ( 3,3)-フィボナッチ数列 は
0、1、3、12、45、171、648、2457、9315、35316、133893、507627、1924560、7296561、27663363、104879772、397629405、1507527531、5715470808、…（ OEIS のシーケンス A030195 ）
高次のフィボナッチ数列 n 次フィボナッチ数列は 、 各数列要素が前の要素の和（ 数列の 最初の要素を除く）となる整数数列です。通常のフィボナッチ数は 2 次フィボナッチ数列です。 および の場合 については徹底的に調査されています。 非負整数を最大で 個の部分に 合成できる 数は、 次フィボナッチ数列です。長さ の 0 と 1 の文字列のうち、連続する 0 が 最大で 個である 文字列の数の数列も、 次フィボナッチ数列です 。 n {\displaystyle n} n {\displaystyle n} n = 3 {\displaystyle n=3} n = 4 {\displaystyle n=4} n {\displaystyle n} n {\displaystyle n} m {\displaystyle m} n {\displaystyle n} n {\displaystyle n}
これらの数列、その極限比、そしてこれらの極限比の限界は、 1913年に マーク・バーによって研究されました。 [5]
トリボナッチ数 トライボ ナッチ数は フィボナッチ数列に似ていますが、2つの項で始まるのではなく、3つの項で始まり、その後の各項は前の3つの項の和になります。最初のいくつかのトライボナッチ数列は以下のとおりです。
0、0、1、1、2、4、7、13、24、44、81、149、274、504、927、1705、3136、5768、10609、19513、35890、66012 、 … （ OEIS の シーケンス A000073 ） この配列は1914年にアグロノモフ [6] によって初めて正式に記述されましたが [7] 、 チャールズ・R・ダーウィン の 『種の起源』 において、意図せずして初めて使用されました 。ゾウの個体数増加を示す例として、ダーウィンは息子の ジョージ・H・ダーウィンの計算に依拠しました [8] 。 トリボナッチという 用語 は1963年にフェインバーグによって提案されました [9]。
トリボナッチ 定数
1 + 19 + 3 33 3 + 19 − 3 33 3 3 = 1 + 4 cosh ( 1 3 cosh − 1 ( 2 + 3 8 ) ) 3 {\displaystyle {\frac {1+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}}{3}}={\frac {1+4\cosh \left({\frac {1}{3}}\cosh ^{-1}\left(2+{\frac {3}{8}}\right)\right)}{3}}} は隣接するトリボナッチ数が向かう比である。これは多項式 x 3 − x 2 − x − 1 = 0 {\displaystyle x^{3}-x^{2}-x-1=0} の唯一の実根であり、およそ 1.839 286 755 214 161 ... （ OEIS の配列 A058265 ）であり、方程式 も満たします。これは スナブキューブ の研究において重要です 。 x + x − 3 = 2 {\displaystyle x+x^{-3}=2}
Xerardo Neira によって説明された方法に従って、コンパスと目盛り付きの定規を使用して、トリボナッチ定数 (AC) を幾何学的に描きます。 トリボナッチ定数の逆数は 、 関係式 ξ 3 + ξ 2 + ξ = 1 {\displaystyle \xi ^{3}+\xi ^{2}+\xi =1} によって表され、次のように表すことができます。
ξ = 17 + 3 33 3 − − 17 + 3 33 3 − 1 3 = 3 1 + 19 + 3 33 3 + 19 − 3 33 3 , {\displaystyle \xi ={\frac {{\sqrt[{3}]{17+3{\sqrt {33}}}}-{\sqrt[{3}]{-17+3{\sqrt {33}}}}-1}{3}}={\frac {3}{1+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}}},} 約 0.543 689 012 692 076 ... （ OEIS の配列 A192918 ） トリボナッチ数は [10]によっても与えられる。
T ( n ) = ⌊ 3 b ( 1 3 ( a + + a − + 1 ) ) n b 2 − 2 b + 4 ⌉ {\displaystyle T(n)=\left\lfloor 3b\,{\frac {\left({\frac {1}{3}}\left(a_{+}+a_{-}+1\right)\right)^{n}}{b^{2}-2b+4}}\right\rceil } ここで、は 最も近い整数関数 を表し 、 ⌊ ⋅ ⌉ {\displaystyle \lfloor \cdot \rceil }
a ± = 19 ± 3 33 3 , b = 586 + 102 33 3 . {\displaystyle {\begin{aligned}a_{\pm }&={\sqrt[{3}]{19\pm 3{\sqrt {33}}}}\,,\\b&={\sqrt[{3}]{586+102{\sqrt {33}}}}\,.\end{aligned}}}
テトラナッチ数 テトラナッチ 数は、 4つの項があらかじめ決められた数で始まり、その後の各項は前の4つの項の和となります。最初のテトラナッチ数は以下のとおりです。
0、0、0、1、1、2、4、8、15、29、56、108、208、401、773、1490、2872、5536、10671、20569、39648、76424、147312、283953、547337 、 … （ OEIS の シーケンス A000078 ） テトラナッチ 定数 は、隣接するテトラナッチ数が近づく比率です。これは多項式 x 4 − x 3 − x 2 − x − 1 = 0 {\displaystyle x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1=0} の唯一の正の実根であり、およそ 1.927 561 975 482 925 ... ( OEIS の配列 A086088 )を満たし、方程式 も満たします。 x + x − 4 = 2 {\displaystyle x+x^{-4}=2}
テトラナッチ定数は ラジカル を用いて次のように表すことができます。 [11]
x = 1 4 ( 1 + u + 11 − u + 26 u ) {\displaystyle x={\frac {1}{4}}\!\left(1+{\sqrt {u}}+{\sqrt {11-u+{\frac {26}{\sqrt {u}}}}}\,\right)} どこ、
u = 1 3 ( 11 − 56 2 − 65 + 3 1689 3 + 2 ⋅ 2 2 3 − 65 + 3 1689 3 ) {\displaystyle u={\frac {1}{3}}\left(11-56{\sqrt[{3}]{\frac {2}{-65+3{\sqrt {1689}}}}}+2\cdot 2^{\frac {2}{3}}{\sqrt[{3}]{-65+3{\sqrt {1689}}}}\right)} これ は 3次方程式の実根 です 。 u {\displaystyle u} u 3 − 11 u 2 + 115 u − 169 {\displaystyle u^{3}-11u^{2}+115u-169}
高次の秩序 ペンタナッチ数、ヘキサナッチ数、ヘプタナッチ数、オクタナッチ数、エネナッチ数が計算されました。
ペンタナッチ数:
0、0、0、0、1、1、2、4、8、16、31、61、120、236、464、912、1793、3525、6930、13624、…（ OEIS のシーケンス A001591 ） ペンタナッチ 定数 は、隣接するペンタナッチ数が近づく比率です。これは多項式 x 5 − x 4 − x 3 − x 2 − x − 1 = 0 {\displaystyle x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1=0} の唯一の実根であり、およそ 1.965 948 236 645 485 ... ( OEIS の配列 A103814 )を満たし、方程式 も満たします。 x + x − 5 = 2 {\displaystyle x+x^{-5}=2}
ヘキサナッチ数:
0、0、0、0、0、1、1、2、4、8、16、32、63、125、248、492、976、1936、3840、7617、15109、…（ OEIS のシーケンス A001592 ） ヘキサナッチ 定数 は、隣接するヘキサナッチ数が近づく比率です。これは多項式 x 6 − x 5 − x 4 − x 3 − x 2 − x − 1 = 0 {\displaystyle x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1=0} の唯一の正の実根であり、およそ 1.983 582 843 424 326 ... ( OEIS の配列 A118427 )を満たし、方程式 も満たします。 x + x − 6 = 2 {\displaystyle x+x^{-6}=2}
ヘプタナッチ数:
0、0、0、0、0、0、1、1、2、4、8、16、32、64、127、253、504、1004、2000、3984、7936、15808、…（ OEISの シーケンス A122189 ） ヘプタナッチ 定数 は、隣接するヘプタナッチ数が近づく比率です。これは多項式 x 7 − x 6 − x 5 − x 4 − x 3 − x 2 − x − 1 = 0 {\displaystyle x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1=0} の唯一の実根であり、およそ 1.991 964 196 605 035 ... ( OEIS の配列 A118428 )を満たし、方程式 も満たします。 x + x − 7 = 2 {\displaystyle x+x^{-7}=2}
オクタナッチ数:
0、0、0、0、0、0、0、1、1、2、4、8、16、32、64、128、255、509、1016、2028、4048、8080、16128、...（ OEISの シーケンス A079262 ） エニアナッチ数:
0、0、0、0、0、0、0、0、1、1、2、4、8、16、32、64、128、256、511、1021、2040、4076、8144、16272、...（ OEISの シーケンス A104144 ） 「インフィナッチ」シーケンスを記述できるとすれば、ゼロを無限に並べると、次のシーケンスが得られる。
[..., 0, 0, 1,] 1, 2, 4, 8, 16, 32, … これらは単純に 2 の累乗 です。
-nacci級数の連続する項の比の極限は、 方程式の根に近づきます ( OEIS : A103814 、 OEIS : A118427 、 OEIS : A118428 )。 n {\displaystyle n} x + x − n = 2 {\displaystyle x+x^{-n}=2}
任意の比の極限 は特性方程式の唯一の正根である [11] n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2}
x n − ∑ i = 0 n − 1 x i = 0 {\displaystyle x^{n}-\sum _{i=0}^{n-1}x^{i}=0} . 特殊なケースとしては 、 黄金比を生み出す伝統的なフィボナッチ数列があり ます 。 n = 2 {\displaystyle n=2} φ = 1 + 1 φ {\displaystyle \varphi =1+{\frac {1}{\varphi }}}
上記の比の公式は、 任意の初期値から生成された-ナッチ級数に対しても成り立ちます。比は、 無限大まで増加する極限において2に近づきます。 n {\displaystyle n} n {\displaystyle n}
根は 区間 にあります 。特性方程式の負の根は、 が偶数のとき区間 (−1, 0) にあります 。この根と特性方程式の各複素根は、 法 を持ちます。 [11] x {\displaystyle x} 2 ( 1 − 2 − n ) < x < 2 {\displaystyle 2(1-2^{-n})<x<2} n {\displaystyle n} 3 − n < {\displaystyle 3^{-n}<}
任意の 正根の級数は [11] である。 x {\displaystyle x} n > 0 {\displaystyle n>0}
2 − 2 ∑ i > 0 1 i ( ( n + 1 ) i − 2 i − 1 ) 1 2 ( n + 1 ) i {\displaystyle 2-2\sum _{i>0}{\frac {1}{i}}{\binom {(n+1)i-2}{i-1}}{\frac {1}{2^{(n+1)i}}}} . 5 ≤ n ≤ 11 のとき、特性方程式の根号による解は存在しない 。 [11]
n-ナッチ数列の k 番目の要素 は 次のように与えられる。
F k ( n ) = ⌊ x k − 1 ( x − 1 ) ( n + 1 ) x − 2 n ⌉ , {\displaystyle F_{k}^{(n)}=\left\lfloor {\frac {x^{k-1}(x-1)}{(n+1)x-2n}}\right\rceil \!,} ここで、 は最も近い整数関数を表し、 は-nacci 定数で、 2 に最も近い 根です。 ⌊ ⋅ ⌉ {\displaystyle \lfloor \cdot \rceil } x {\displaystyle x} n {\displaystyle n} x + x − n = 2 {\displaystyle x+x^{-n}=2}
コイン 投げ問題 は-ナッチ数列に関連しています。 理想的なコインを投げた 際に、連続して裏が出 ない確率は です。 [12] n {\displaystyle n} n {\displaystyle n} m {\displaystyle m} 1 2 m F m + 2 ( n ) {\displaystyle {\frac {1}{2^{m}}}F_{m+2}^{(n)}}
フィボナッチワード 数値の場合と同様に、 フィボナッチ数列は 次のように定義されます。
F n := F ( n ) := { b n = 0 ; a n = 1 ; F ( n − 1 ) + F ( n − 2 ) n > 1. {\displaystyle F_{n}:=F(n):={\begin{cases}{\text{b}}&n=0;\\{\text{a}}&n=1;\\F(n-1)+F(n-2)&n>1.\\\end{cases}}} ここで、 は2つの文字列の 連結 を表します 。フィボナッチ文字列の列は次のように始まります。 + {\displaystyle +}
b、a、ab、aba、abaab、abaababa、abaababaabaab、… ( OEIS のシーケンス A106750 ) 各フィボナッチ文字列の長さはフィボナッチ数であり、同様に、各フィボナッチ数に対応するフィボナッチ文字列が存在します。
フィボナッチ文字列は、 一部のコンピュータ アルゴリズムにおいて 最悪のケース の入力として使用されます。
「a」と「b」が2つの異なる物質または原子結合長を表す場合、フィボナッチ文字列に対応する構造は 、異常な スペクトル特性を持つ非周期的な 準結晶 構造である フィボナッチ準結晶 です。
畳み込みフィボナッチ数列 畳み込み フィボナッチ数列は、フィボナッチ数列に 畳み込み 演算を1回以上 適用することで得られる。具体的には、 [13]で定義される。
F n ( 0 ) = F n {\displaystyle F_{n}^{(0)}=F_{n}} そして
F n ( r + 1 ) = ∑ i = 0 n F i F n − i ( r ) {\displaystyle F_{n}^{(r+1)}=\sum _{i=0}^{n}F_{i}F_{n-i}^{(r)}} 最初の数シーケンスは
r = 1 {\displaystyle r=1} : 0、0、1、2、5、10、20、38、71、…（ OEIS のシーケンス A001629 ）。 r = 2 {\displaystyle r=2} : 0、0、0、1、3、9、22、51、111、…（ OEIS のシーケンス A001628 ）。 r = 3 {\displaystyle r=3} : 0、0、0、0、1、4、14、40、105、…（ OEIS のシーケンス A001872 ）。 シーケンスは再帰を使って計算できる。
F n + 1 ( r + 1 ) = F n ( r + 1 ) + F n − 1 ( r + 1 ) + F n ( r ) {\displaystyle F_{n+1}^{(r+1)}=F_{n}^{(r+1)}+F_{n-1}^{(r+1)}+F_{n}^{(r)}} 番目の畳み込み の 生成 関数は r {\displaystyle r}
s ( r ) ( x ) = ∑ k = 0 ∞ F n ( r ) x n = ( x 1 − x − x 2 ) r {\displaystyle s^{(r)}(x)=\sum _{k=0}^{\infty }F_{n}^{(r)}x^{n}=\left({\frac {x}{1-x-x^{2}}}\right)^{r}} . これらの数列はフィボナッチ多項式 の数列と 次の関係
で結びついている。
F n ( r ) = r ! F n ( r ) ( 1 ) {\displaystyle F_{n}^{(r)}=r!F_{n}^{(r)}(1)} ここで、 の 導 関数 です 。同様に、 が のべき乗で展開されている 場合 、 は の 係数 です 。 F n ( r ) ( x ) {\displaystyle F_{n}^{(r)}(x)} r {\displaystyle r} F n ( x ) {\displaystyle F_{n}(x)} F n ( r ) {\displaystyle F_{n}^{(r)}} ( x − 1 ) r {\displaystyle (x-1)^{r}} F x ( x ) {\displaystyle F_{x}(x)} ( x − 1 ) {\displaystyle (x-1)}
最初の畳み込みは、 フィボナッチ数とルーカス数を使って次のように表すことができます。 F n ( 1 ) {\displaystyle F_{n}^{(1)}}
F n ( 1 ) = n L n − F n 5 {\displaystyle F_{n}^{(1)}={\frac {nL_{n}-F_{n}}{5}}} そして再発を追う
F n + 1 ( 1 ) = 2 F n ( 1 ) + F n − 1 ( 1 ) − 2 F n − 2 ( 1 ) − F n − 3 ( 1 ) {\displaystyle F_{n+1}^{(1)}=2F_{n}^{(1)}+F_{n-1}^{(1)}-2F_{n-2}^{(1)}-F_{n-3}^{(1)}} . が増加するにつれて複雑さが増すにつれて、 についても同様の式が見つかります 。数字は 細谷の三角形 の行の和です 。 r > 1 {\displaystyle r>1} r {\displaystyle r} F n ( 1 ) {\displaystyle F_{n}^{(1)}}
フィボナッチ数列と同様に、これらの数列には複数の組み合わせ論的解釈があります。例えば、 0、1、2のみを含む順序付き和（0は1回だけ）として表せる 数列の数は？特に、0と2は 0 + 1 + 1、0 + 2、1 + 0 + 1、1 + 1 + 0、2 + 0 と表すことができます 。 [14] F n ( 1 ) {\displaystyle F_{n}^{(1)}} n − 2 {\displaystyle n-2} F 4 ( 1 ) = 5 {\displaystyle F_{4}^{(1)}=5}
その他の一般化 フィボナッチ 多項式 は、フィボナッチ数のもう一つの一般化です。
パドヴァン 数列 は 再帰によって生成され ます 。 P ( n ) = P ( n − 2 ) + P ( n − 3 ) {\displaystyle P(n)=P(n-2)+P(n-3)}
ナラヤナ の牛の シーケンスは 、 繰り返しによって生成されます 。 N ( k ) = N ( k − 1 ) + N ( k − 3 ) {\displaystyle N(k)=N(k-1)+N(k-3)}
ランダムなフィボナッチ数列は、 数列 の 各位置でコインを投げ、 表が出た場合と 裏が出た場合をそれぞれ計算することで定義できます。FurstenbergとKestenの研究により、この数列は ほぼ確実に一定の割合で指数 関数的に増加することが保証されています。この定数はコインを投げる回数とは無関係であり、1999年にDivakar Viswanathによって計算されました。これは現在、 Viswanathの定数 として知られています 。 n {\displaystyle n} F ( n ) = F ( n − 1 ) + F ( n − 2 ) {\displaystyle F(n)=F(n-1)+F(n-2)} F ( n ) = F ( n − 1 ) − F ( n − 2 ) {\displaystyle F(n)=F(n-1)-F(n-2)}
レプフィギット （Repfigit ）または キース数 とは、その桁数でフィボナッチ数列を開始したときに、最終的に元の数に到達する整数です。例えば47は、4と7で始まるフィボナッチ数列 （4、7、11、18、29、47） が47に達するためです。レプフィギットは、数が3桁の場合はトリボナッチ数列、4桁の場合はテトラナッチ数列などになります。最初のいくつかのレプフィギットは次のとおりです。
14、19、28、47、61、75、197、742、1104、1537、2208、2580、3684、4788、7385、7647、7909、…（ OEIS の配列 A007629 ） 関係を満たす数列の集合は、 項ごとの加算と項ごとの定数乗算の両方において閉じているため、 ベクトル空間 と見なすことができます。このような数列は2つの元を選択することで一意に決定されるため、ベクトル空間は2 次元 となります。このような数列を と略記すると、フィボナッチ数列 とシフトされたフィボナッチ数列 はこの空間の標準基底を形成し、次の恒等式が得られることがわかります。 S ( n ) = S ( n − 1 ) + S ( n − 2 ) {\displaystyle S(n)=S(n-1)+S(n-2)} ( S ( 0 ) , S ( 1 ) ) {\displaystyle (S(0),S(1))} F ( n ) = ( 0 , 1 ) {\displaystyle F(n)=(0,1)} F ( n − 1 ) = ( 1 , 0 ) {\displaystyle F(n-1)=(1,0)}
S ( n ) = S ( 0 ) F ( n − 1 ) + S ( 1 ) F ( n ) {\displaystyle S(n)=S(0)F(n-1)+S(1)F(n)} このようなすべてのシーケンス S に対して成り立つ。例えば、 S がルーカスシーケンス 2, 1, 3, 4, 7, 11, ... である場合、
L ( n ) = 2 F ( n − 1 ) + F ( n ) {\displaystyle L(n)=2F(n-1)+F(n)} .
北 生成されたフィボナッチ数列 N 生成フィボナッチ数列 を定義することができます （ N は正の 有理数 です）。
N = 2 a 1 ⋅ 3 a 2 ⋅ 5 a 3 ⋅ 7 a 4 ⋅ 11 a 5 ⋅ 13 a 6 ⋅ … ⋅ p r a r , {\displaystyle N=2^{a_{1}}\cdot 3^{a_{2}}\cdot 5^{a_{3}}\cdot 7^{a_{4}}\cdot 11^{a_{5}}\cdot 13^{a_{6}}\cdot \ldots \cdot p_{r}^{a_{r}},} ここで p r はr 番目の素数であり 、次のように定義される。
F N ( n ) = a 1 F N ( n − 1 ) + a 2 F N ( n − 2 ) + a 3 F N ( n − 3 ) + a 4 F N ( n − 4 ) + a 5 F N ( n − 5 ) + … {\displaystyle F_{N}(n)=a_{1}F_{N}(n-1)+a_{2}F_{N}(n-2)+a_{3}F_{N}(n-3)+a_{4}F_{N}(n-4)+a_{5}F_{N}(n-5)+\ldots } もし なら n = r − 1 {\displaystyle n=r-1} F N ( n ) = 1 {\displaystyle F_{N}(n)=1} であり 、もし n < r − 1 {\displaystyle n<r-1} なら F N ( n ) = 0 {\displaystyle F_{N}(n)=0} 。 [ 要出典 ]
順序 北 OEIS シーケンス フィボナッチ数列 6 A000045 ペル配列 12 A000129 ヤコブスタール配列 18 A001045 ナラヤナの牛の連作 10 A000930 パドヴァン配列 15 A000931 3次ペル列 20 A008998 トリボナッチ数列 30 A000073 テトラナッチ数列 210 A000288
セミフィボナッチ数列 セミ フィボナッチ数列 （ OEIS の A030067 列）は、奇数添え字の項と に対して同じ再帰によって定義されます が、偶数添え字の 、 に対しては定義されません。したがって、 奇数添え字の項の二分法 A030068 はであり 、 厳密に増加します。これは セミフィボナッチ数 の集合をもたらします。 a ( 2 n + 1 ) = a ( 2 n ) + a ( 2 n − 1 ) {\displaystyle a(2n+1)=a(2n)+a(2n-1)} a ( 1 ) = 1 {\displaystyle a(1)=1} a ( 2 n ) = a ( n ) {\displaystyle a(2n)=a(n)} n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} s ( n ) = a ( 2 n − 1 ) {\displaystyle s(n)=a(2n-1)} s ( n + 1 ) = s ( n ) + a ( n ) {\displaystyle s(n+1)=s(n)+a(n)}
1、2、3、5、6、9、11、16、17、23、26、35、37、48、53、69、70、87、93、116、119、145、154、…（ OEISの シーケンス A030068 ） これらは s ( n ) = a ( 2 k ( 2 n − 1 ) ) , k = 0 , 1 , … {\displaystyle s(n)=a(2^{k}(2n-1)),k=0,1,\ldots } として発生します 。
参考文献 ^ トリアナ、フアン。行列によるネガフィボナッチ数。 TICMI 紀要、2019 年、19 ～ 24 ページ。 ^ 「フィボナッチ数とは何か？ -- Harry J. Smithより」2009年10月27日。2009年10月27日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2022年4月12日 閲覧 。 ^ Pravin Chandraと Eric W. Weisstein .「フィボナッチ数」. MathWorld . ^ Morrison, DR (1980)、「A Stolarsky array of Wythoff pairs」、A Collection of Manuscripts Related to the Fibonacci Sequence (PDF) 、サンタクララ、カリフォルニア州：The Fibonacci Association、pp. 134– 136、 2016年3月4日に オリジナル （PDF）からアーカイブ、 2012年7月 15日取得 。 ^ ガードナー、マーティン (1961). 『サイエンティフィック・アメリカン数学パズル＆ダイバージョン集』第2巻 . サイモン＆シュスター. p. 101. ^ Tuenter、Hans JH (2023 年 10 月)。 「同志アグロノモフを求めて：トリボナッチの歴史」。 アメリカ数学月刊誌 。 130 (8): 708–719 。 土井 :10.1080/00029890.2023.2231796。 MR 4645497。 ^ アグロノモフ、M. (1914)。 「最高の繰り返し」。 数学 。 4 ： 125～ 126。 ^ ポダーニ、ヤーノス;クン、アダム。シラージ、アンドラーシュ (2018)。 「ダーウィンのゾウの頭数はどのくらいの速さで増加するのでしょうか?」 (PDF) 。 生物学史ジャーナル 。 51 (2): 259–281 . 土井 :10.1007/s10739-017-9488-5。 PMID 28726021。S2CID 3988121 。 ^ ファインバーグ、M. (1963)。 「フィボナッチ・トリボナッチ」。 フィボナッチ四半期 。 1 ： 71～ 74。 ^ サイモン・プラウフ、1993年 ^ abcde Wolfram, DA (1998). 「一般化フィボナッチ再帰の解法」 (PDF) . Fib. Quart . ^ Eric W. Weisstein . 「コイントス」. MathWorld . ^ VE Hoggatt, Jr.とM. Bicknell-Johnson、「フィボナッチ畳み込み列」、 Fib. Quart. 、15 (1977)、pp. 117-122。 ^ Sloane, N. J. A. (編). 「シーケンスA001629」.整数シーケンスの オンライン 百科事典 . OEIS財団.
外部リンク
![{\displaystyle {\frac {1+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}}{3}}={\frac {1+4\cosh \left({\frac {1}{3}}\cosh ^{-1}\left(2+{\frac {3}{8}}\right)\right)}{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e72a2c03960c2d61dafc4b7e5ec8acb6c41f44f0)
![{\displaystyle \xi ={\frac {{\sqrt[{3}]{17+3{\sqrt {33}}}}-{\sqrt[{3}]{-17+3{\sqrt {33}}}}-1}{3}}={\frac {3}{1+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f70e9fdcb187186eac1701e03fdaefe2754d649)
![{\displaystyle {\begin{aligned}a_{\pm }&={\sqrt[{3}]{19\pm 3{\sqrt {33}}}}\,,\\b&={\sqrt[{3}]{586+102{\sqrt {33}}}}\,.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4251fc61e97e520e3a3ac3bfe8fb96c7b8f6450)
![{\displaystyle u={\frac {1}{3}}\left(11-56{\sqrt[{3}]{\frac {2}{-65+3{\sqrt {1689}}}}}+2\cdot 2^{\frac {2}{3}}{\sqrt[{3}]{-65+3{\sqrt {1689}}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/048aa98b1295b2e6fbd33cc3ac5705ba03ce8441)
