ディリクレ核

Concept in mathematical analysis

数学的解析において、ディリクレ核は次のように定義される周期関数の集合である。

$${\displaystyle D_{n}(x)=\sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}=\left(1+2\sum _{k=1}^{n}\cos(kx)\right)={\frac {\sin \left(\left(n+1/2\right)x\right)}{\sin(x/2)}},}$$

ここで、nは任意の非負整数です。カーネル関数は周期 で周期的に変化します。 ${\displaystyle 2\pi }$

最初のいくつかのディリクレ核の1 周期に制限されたプロットは、ディラック コームのディラック デルタ分布の1 つへの収束を示しています。 ${\displaystyle [-L,L],~L=\pi ,~}$

ディリクレ核の重要性は、フーリエ級数との関係に由来する。任意の周期関数と の畳み込みは の次数フーリエ級数近似であり、すなわち、 ${\displaystyle D_{n}(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle (D_{n}*f)(x)=\int _{-\pi }^{\pi }f(y)D_{n}(x-y)\,dy=2\pi \sum _{k=-n}^{n}{\hat {f}}(k)e^{ikx},}$$

どこ

$${\displaystyle {\widehat {f}}(k)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-ikx}\,dx}$$

は の 番目のフーリエ係数です。これは、フーリエ級数の収束を調べるには、ディリクレ核の性質を調べれば十分であることを意味します。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f}$

ディリクレ核はピーター・グスタフ・ルジューン・ディリクレにちなんで命名されました。

アプリケーション

信号処理において、ディリクレカーネルは周期sinc関数と呼ばれることが多い。

${\displaystyle P(\omega )=D_{n}(x)|_{x=2\pi \omega /\omega _{0}}={\sin(\pi M\omega /\omega _{0}) \over \sin(\pi \omega /\omega _{0})}}$

ここでは奇数です。この形式では、は角周波数、は周波数における周期性の半分です。この場合、周波数領域における周期sinc関数は、時間領域における時間制限付きインパルス列のフーリエ変換と考えることができます。 ${\displaystyle M=2n+1\geq 3}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega _{0}}$

${\displaystyle p(t)=\sum _{k=-n}^{n}\delta (t-kT)}$

ここで、 は各インパルス間の時間増分であり、 はインパルス列内のインパルスの数を表します。 ${\displaystyle T={\frac {\pi }{\omega _{0}}}}$ ${\displaystyle M=2n+1}$

光学において、ディリクレ核は、光軸に垂直な軸に沿って等間隔に配置された複数の等幅の狭いスリットを持つ開口部を単色光が通過する際に形成される回折パターンの数学的記述の一部である。この場合、はスリットの数である。 ${\displaystyle M}$

最初のいくつかのディリクレカーネルの 1 周期に制限されたプロット ( を乗じた値)。 ${\displaystyle 2\pi }$

L1^​カーネル関数のノルム

特に重要なのは、のノルムが のときに無限大に発散するという事実である。（大オメガ記法を用いて）次のように推定できる。 ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle D_{n}}$ ${\displaystyle [0,2\pi ]}$ ${\displaystyle n\to \infty }$

$${\displaystyle \|D_{n}\|_{L^{1}}=\Omega (\log n).}$$

リーマン和の議論を使用して、が正であるゼロの最大近傍での寄与を推定し、残りの部分についてはジェンセンの不等式を使用することで、次のことを示すこともできます。 ${\displaystyle D_{n}}$

$${\displaystyle \|D_{n}\|_{L^{1}}\geq 4\operatorname {Si} (\pi )+{\frac {8}{\pi }}\log n}$$

正弦積分はどこにあるか ${\textstyle \operatorname {Si} (x)}$ ${\textstyle \int _{0}^{x}(\sin t)/t\,dt.}$

この一様積分可能性の欠如は、フーリエ級数の多くの発散現象の背景にあります。例えば、一様有界性原理と組み合わせることで、連続関数のフーリエ級数が各点収束に失敗することがあり、その場合、かなり劇的な現象が生じることを示すことができます。詳細については、フーリエ級数の収束を参照してください。

最初に与えられた結果の正確な証明は、 ${\displaystyle \|D_{n}\|_{L^{1}[0,2\pi ]}=\Omega (\log n)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }|D_{n}(x)|\,dx&\geq \int _{0}^{\pi }{\frac {\left|\sin[(2n+1)x]\right|}{x}}\,dx\\[5pt]&\geq \sum _{k=0}^{2n}\int _{k\pi }^{(k+1)\pi }{\frac {\left|\sin s\right|}{s}}\,ds\\[5pt]&\geq \left|\sum _{k=0}^{2n}\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin s}{(k+1)\pi }}\,ds\right|\\[5pt]&={\frac {2}{\pi }}H_{2n+1}\\[5pt]&\geq {\frac {2}{\pi }}\log(2n+1),\end{aligned}}}$$

ここで、テイラー級数恒等式 およびを使用しました。は、1 次調和数です。 ${\displaystyle 2/x\leq 1/\left|\sin(x/2)\right|}$ ${\displaystyle H_{n}}$

周期デルタ関数との関係

ディリクレ核は周期関数であり、極限ではディラック櫛、すなわち周期デルタ関数となる。

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }D_{n}(\omega )=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=-n}^{n}e^{\pm i\omega k}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{\pm i2\pi kx}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (x-k)=2\pi \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\omega -2\pi k)~,}$

角周波数で。 ${\displaystyle \omega =2\pi x}$

これは、順方向および逆フーリエ変換におけるディリクレ核の自己共役特性から推測できます。

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[D_{n}(2\pi x)\right](\xi )={\mathcal {F}}^{-1}\left[D_{n}(2\pi x)\right](\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }D_{n}(2\pi x)e^{\pm i2\pi \xi x}\,dx=\sum _{k=-n}^{+n}\delta (\xi -k)\equiv \operatorname {comb} _{n}(\xi )}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[\operatorname {comb} _{n}\right](x)={\mathcal {F}}^{-1}\left[\operatorname {comb} _{n}\right](x)=\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {comb} _{n}(\xi )e^{\pm i2\pi \xi x}\,d\xi =D_{n}(2\pi x),}$

は周期 のディラック櫛形に移行し、フーリエ変換で不変となる：。したがって、のときにも に収束している必要がある。 ${\displaystyle \operatorname {comb} _{n}(x)}$ ${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} }$ ${\displaystyle T=1}$ ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}[\operatorname {\text{Ш}} ]=\operatorname {\text{Ш}} }$ ${\displaystyle D_{n}(2\pi x)}$ ${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} }$ ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$

異なる観点から、周期 の関数の畳み込みの単位元としてを考えてみましょう。言い換えると、 ${\displaystyle \Delta (x)}$ ${\displaystyle 2\pi }$

$${\displaystyle f*(\Delta )=f}$$

周期2πのあらゆる関数に対して。この「関数」のフーリエ級数表現は ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle \Delta (x)\sim \sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{ikx}=\left(1+2\sum _{k=1}^{\infty }\cos(kx)\right).}$$

（このフーリエ級数は関数 にほとんど収束しない。）したがって、この級数の部分和の列に過ぎないディリクレ核は、近似恒等式と考えることができる。しかし、抽象的に言えば、これは正の要素の近似恒等式ではない（したがって、上述の点ごとの収束が失敗する）。

三角関数の等式の証明

三角関数の恒等式

$${\displaystyle \sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}={\frac {\sin((n+1/2)x)}{\sin(x/2)}}}$$

この記事の冒頭に表示されているものは、次のようにして確立されます。まず、有限等比級数の和が

$${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}ar^{k}=a{\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}.}$$

特に、私たちは

$${\displaystyle \sum _{k=-n}^{n}r^{k}=r^{-n}\cdot {\frac {1-r^{2n+1}}{1-r}}.}$$

分子と分母の両方に を掛けると、 ${\displaystyle r^{-1/2}}$

$${\displaystyle {\frac {r^{-n-1/2}}{r^{-1/2}}}\cdot {\frac {1-r^{2n+1}}{1-r}}={\frac {r^{-n-1/2}-r^{n+1/2}}{r^{-1/2}-r^{1/2}}}.}$$

我々の場合には ${\displaystyle r=e^{ix}}$

$${\displaystyle \sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}={\frac {e^{-(n+1/2)ix}-e^{(n+1/2)ix}}{e^{-ix/2}-e^{ix/2}}}={\frac {-2i\sin((n+1/2)x)}{-2i\sin(x/2)}}={\frac {\sin((n+1/2)x)}{\sin(x/2)}}}$$

必要に応じて。

三角関数の恒等式の代替証明

シリーズから始めよう

$${\displaystyle f(x)=1+2\sum _{k=1}^{n}\cos(kx).}$$

両辺に掛けて三角関数の恒等式を使う ${\textstyle \sin(x/2)}$

$${\displaystyle \cos(a)\sin(b)={\frac {\sin(a+b)-\sin(a-b)}{2}}}$$

合計の項を減らす。

$${\displaystyle \sin(x/2)f(x)=\sin(x/2)+\sum _{k=1}^{n}\left(\sin((k+{\tfrac {1}{2}})x)-\sin((k-{\tfrac {1}{2}})x)\right)}$$

それは結果にまで及びます。

アイデンティティの変種

合計が非負の整数のみである場合（中心化されていない離散フーリエ変換を計算するときに発生する可能性があります）、同様の手法を使用して次の恒等式を示すことができます。

$${\displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}e^{ikx}=e^{i(N-1)x/2}{\frac {\sin(N\,x/2)}{\sin(x/2)}}}$$

もう一つのバリエーションは

${\displaystyle D_{n}(x)-{\frac {1}{2}}\cos(nx)={\frac {\sin \left(nx\right)}{2\tan({\frac {x}{2}})}}}$

これは恒等式を使って簡単に証明できる。^[1] ${\displaystyle \sin(\alpha +\beta )=\sin(\alpha )\cos(\beta )+\cos(\alpha )\sin(\beta )}$

参照

• フェイエルカーネル

参考文献

1. Fay, Temple H.; Kloppers, P. Hendrik (2001). 「ギブスの現象」 .国際科学技術数学教育ジャーナル. 32 (1): 73– 89. doi :10.1080/00207390117151. S2CID  120595055.

出典

• ブルックナー, アンドリュー・M.; ブルックナー, ジュディス・B.; トムソン, ブライアン・S. (1997). 「15 フーリエ級数 §15.2 ディリクレ核」. 実解析学. プレンティス・ホール. pp.  619– 622. ISBN 0-13-458886-X。
• ポドコリトフ, AN (1988). 「多角形に関するフーリエ和のディリクレ核の漸近的挙動」.ソビエト数学ジャーナル. 42 (2): 1640–6 . doi :10.1007/BF01665052.
• Levi, H. (1974). 「ディリクレ核の幾何学的構成」.ニューヨーク科学アカデミー紀要. 36 (7 Series II): 640–3 . doi :10.1111/j.2164-0947.1974.tb03023.x.
• 「ディリクレ核」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• PlanetMathのディリクレ核

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