Polynomial function of degree 5
3つの実数零点（根）と4つの臨界点 を持つ5次多項式のグラフ 数学 において 、 五次関数 とは次のような形の 関数 である。
g ( x ) = a x 5 + b x 4 + c x 3 + d x 2 + e x + f , {\displaystyle g(x)=ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f,\,} ここで、 a 、 b 、 c 、 d 、 e 、 fは 体 の元であり 、通常は 有理数 、 実数 、または 複素数 であり、 a は 非ゼロです。言い換えれば、五次関数は五 次 の 多項式 によって定義されます。
正規五次関数は奇数次であるため、グラフに描くと正規 三次関数に似た形になります。ただし、正規三次関数には 極大値 と極小値がそれぞれ 一つずつ追加される場合があります。 五次関数の 導関数は 四次関数 です。
g ( x ) = 0 とし、 a ≠ 0 と仮定すると、次の形の 五次方程式 が生成されます 。
a x 5 + b x 4 + c x 3 + d x 2 + e x + f = 0. {\displaystyle ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f=0.\,} 5次方程式を根号 （ n 乗根） で解くことは、3次方程式と 4次方程式が解かれた16世紀から、そのような一般解の不可能性がアーベル・ルフィニの定理によって証明された19世紀前半まで、代数学 における 主要 な 問題でした 。
五次多項式の根を求める 与えられた多項式の根 （ゼロ）を見つけることは 、数学における重要な問題です。
線形 、 二次 、 三 次、 四次方程式 を根号と係数の基本的な算術演算 を用いて解くことは、根が有理数か無理数か、実数か複素数かに関係なく、常に実行できます。必要な解を得るための公式が存在します。しかし、有理数上の一般的な五次方程式の解を表す 代数表現 （つまり、根号を用いた表現）は存在しません。この主張は アーベル・ルフィニの定理 として知られ、1799年に初めて主張され、1824年に完全に証明されました。この結果は、より高次の方程式にも当てはまります。根号を用いて表すことができない五次方程式の例としては、 x 5 − x + 1 = 0 などがあります。
五次方程式の根の数値近似値は、多項式の根を求めるアルゴリズム を用いて計算できます 。五次方程式の中には根号を用いて解けるものもありますが、その解は一般に複雑すぎて実用には適していません。
解ける五次方程式 いくつかの五次方程式は根号を用いて解くことができます。これには、 x 5 − x 4 − x + 1 = ( x 2 + 1)( x + 1)( x − 1) 2 のような、 約分可能な 多項式で定義される五次方程式が含まれます。例えば、 [1] では次のように
示されています。
x 5 − x − r = 0 {\displaystyle x^{5}-x-r=0} 根号に解が存在するのは、 整数 解が 存在する場合、または rが ±15、±22440、±2759640 のいずれかである 場合のみであり 、その場合多項式は既約です。
既約五次方程式を解くことは、より低次の多項式を解くことに直結するため、この節の残りの部分では既約五次方程式のみを扱い、「五次式」という用語は既約五次式のみを指すものとする。したがって、 可解五次式 とは、根が根号で表せる既約五次多項式のことである。
解ける五次式、そしてより一般的には高次多項式を特徴付けるために、 エヴァリスト・ガロアは 群論 と ガロア理論 につながる手法を開発した。 アーサー・ケイリーは これらの手法を応用し、 任意の五次式が解けるかどうかを判断するための一般的な基準を発見した。 [2] この基準は以下の通りである。 [3]
方程式
a x 5 + b x 4 + c x 3 + d x 2 + e x + f = 0 , {\displaystyle ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f=0,} チルンハウス 変換 x = y − b / 5 a は五次項を下げ（つまり四次の項を取り除いて）、次の式を与える。
y 5 + p y 3 + q y 2 + r y + s = 0 , {\displaystyle y^{5}+py^{3}+qy^{2}+ry+s=0,} どこ
p = 5 a c − 2 b 2 5 a 2 q = 25 a 2 d − 15 a b c + 4 b 3 25 a 3 r = 125 a 3 e − 50 a 2 b d + 15 a b 2 c − 3 b 4 125 a 4 s = 3125 a 4 f − 625 a 3 b e + 125 a 2 b 2 d − 25 a b 3 c + 4 b 5 3125 a 5 {\displaystyle {\begin{aligned}p&={\frac {5ac-2b^{2}}{5a^{2}}}\\[4pt]q&={\frac {25a^{2}d-15abc+4b^{3}}{25a^{3}}}\\[4pt]r&={\frac {125a^{3}e-50a^{2}bd+15ab^{2}c-3b^{4}}{125a^{4}}}\\[4pt]s&={\frac {3125a^{4}f-625a^{3}be+125a^{2}b^{2}d-25ab^{3}c+4b^{5}}{3125a^{5}}}\end{aligned}}} 両五次方程式が根号で解けるのは、それらが有理係数の低次の方程式に因数分解できるか、または多項式 P 2 − 1024 z Δ （これは ケーリーのレゾルベントは z に有理根を持ち 、ここで
P = z 3 − z 2 ( 20 r + 3 p 2 ) − z ( 8 p 2 r − 16 p q 2 − 240 r 2 + 400 s q − 3 p 4 ) − p 6 + 28 p 4 r − 16 p 3 q 2 − 176 p 2 r 2 − 80 p 2 s q + 224 p r q 2 − 64 q 4 + 4000 p s 2 + 320 r 3 − 1600 r s q {\displaystyle {\begin{aligned}P={}&z^{3}-z^{2}(20r+3p^{2})-z(8p^{2}r-16pq^{2}-240r^{2}+400sq-3p^{4})\\[4pt]&-p^{6}+28p^{4}r-16p^{3}q^{2}-176p^{2}r^{2}-80p^{2}sq+224prq^{2}-64q^{4}\\[4pt]&+4000ps^{2}+320r^{3}-1600rsq\end{aligned}}} そして
Δ = − 128 p 2 r 4 + 3125 s 4 − 72 p 4 q r s + 560 p 2 q r 2 s + 16 p 4 r 3 + 256 r 5 + 108 p 5 s 2 − 1600 q r 3 s + 144 p q 2 r 3 − 900 p 3 r s 2 + 2000 p r 2 s 2 − 3750 p q s 3 + 825 p 2 q 2 s 2 + 2250 q 2 r s 2 + 108 q 5 s − 27 q 4 r 2 − 630 p q 3 r s + 16 p 3 q 3 s − 4 p 3 q 2 r 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta ={}&-128p^{2}r^{4}+3125s^{4}-72p^{4}qrs+560p^{2}qr^{2}s+16p^{4}r^{3}+256r^{5}+108p^{5}s^{2}\\[4pt]&-1600qr^{3}s+144pq^{2}r^{3}-900p^{3}rs^{2}+2000pr^{2}s^{2}-3750pqs^{3}+825p^{2}q^{2}s^{2}\\[4pt]&+2250q^{2}rs^{2}+108q^{5}s-27q^{4}r^{2}-630pq^{3}rs+16p^{3}q^{3}s-4p^{3}q^{2}r^{2}.\end{aligned}}} ケーリーの結果は、五次方程式が解けるかどうかを検証することを可能にする。もし解けるなら、その根を求めるのはより難しい問題であり、五次方程式の係数とケーリーの導関数の有理根を含む根号を用いて根を表す必要がある。
1888年、 ジョージ・パクストン・ヤングは 明示的な式を与えることなく、解ける五次方程式を解く方法を説明した。 [4] 2004年には、 ダニエル・ラザードが 3ページにわたる式を書き上げた。 [5]
x 5 + ax + b = 0 の形式の可解5次方程式のパラメトリック表現はいくつかあり 、 Bring–Jerrard形式 と呼ばれます。
19世紀後半、ジョン・スチュアート・グラシャン、ジョージ・パクストン・ヤング、 カール・ルンゲは 、次のようなパラメータ化を与えた。 ブリング・ジェラード形式の有理係数を持つ既 約五次方程式が解けるのは、 a = 0 であるか、
x 5 + 5 μ 4 ( 4 ν + 3 ) ν 2 + 1 x + 4 μ 5 ( 2 ν + 1 ) ( 4 ν + 3 ) ν 2 + 1 = 0 {\displaystyle x^{5}+{\frac {5\mu ^{4}(4\nu +3)}{\nu ^{2}+1}}x+{\frac {4\mu ^{5}(2\nu +1)(4\nu +3)}{\nu ^{2}+1}}=0} ここで 、μ と ν は有理数です。
1994年にブレア・スピアマンとケネス・S・ウィリアムズは代替案を提示した。
x 5 + 5 e 4 ( 4 c + 3 ) c 2 + 1 x + − 4 e 5 ( 2 c − 11 ) c 2 + 1 = 0. {\displaystyle x^{5}+{\frac {5e^{4}(4c+3)}{c^{2}+1}}x+{\frac {-4e^{5}(2c-11)}{c^{2}+1}}=0.} 1885年と1994年のパラメータ化の関係は、次の式を定義することでわかる。
b = 4 5 ( a + 20 ± 2 ( 20 − a ) ( 5 + a ) ) {\displaystyle b={\frac {4}{5}}\left(a+20\pm 2{\sqrt {(20-a)(5+a)}}\right)} ここで 、 平方根 a = 5 4 ν + 3 ν 2 + 1 {\displaystyle a=5{\tfrac {4\nu +3}{\nu ^{2}+1}}} の負の場合を使用すると、変数をスケーリングした後、最初のパラメーター化が得られ、正の場合を使用すると、2番目のパラメーター化が得られます。
スピアマン・ウィリアムズパラメータ化における置換により、a = 0 という特殊なケースを除外せずに済み 、 次 の c = − m ℓ 5 , {\displaystyle c=-{\tfrac {m}{\ell ^{5}}},} 結果 が 得 られ ます。 e = 1 ℓ {\displaystyle e={\tfrac {1}{\ell }}}
a と b が有理数である とき、方程式 x 5 + ax + b = 0 は、その左辺が5以下の有理数係数の多項式の積であるか、または2つの有理数 ℓ と m が存在
し、
a = 5 ℓ ( 3 ℓ 5 − 4 m ) m 2 + ℓ 10 b = 4 ( 11 ℓ 5 + 2 m ) m 2 + ℓ 10 . {\displaystyle a={\frac {5\ell (3\ell ^{5}-4m)}{m^{2}+\ell ^{10}}}\qquad b={\frac {4(11\ell ^{5}+2m)}{m^{2}+\ell ^{10}}}.}
解ける五次方程式の根 多項式方程式は、そのガロア群が 可解群 である 場合に、根号によって解ける 。既約五次方程式の場合、ガロア群は五元集合のすべての順列の 対称群 S 5 の部分群であり、それが巡回順列 (1 2 3 4 5) と (1 2 4 3) によって生成される、位数 20 の群 F 5 の部分群である場合に限り、解ける。
五次方程式が解ける場合、解の1つは、 5乗根と最大2つの平方根を含む 代数式（通常は 入れ子式）で表すことができます。他の解は、5乗根を変形するか、5乗根のすべての出現に 原始5乗根の 同じべき乗を乗じることによって得られます 。例えば、
− 10 − 2 5 + 5 − 1 4 . {\displaystyle {\frac {{\sqrt {-10-2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5}}-1}{4}}.} 実際、4つの原始5乗根はすべて平方根の符号を適切に変更することで得られる。つまり、
α − 10 − 2 β 5 + β 5 − 1 4 , {\displaystyle {\frac {\alpha {\sqrt {-10-2\beta {\sqrt {5}}}}+\beta {\sqrt {5}}-1}{4}},} ここで 、 は 4 つの異なる原始 5 乗根を生成します。 α , β ∈ { − 1 , 1 } {\displaystyle \alpha ,\beta \in \{-1,1\}}
したがって、解ける五次方程式のすべての根を表すには、4つの異なる平方根が必要になる可能性がある。最初の根が最大で2つの平方根を含む場合でも、根号を用いた解の表現は通常非常に複雑になる。しかし、平方根が必要ない場合は、最初の解の形はかなり単純になることがある。例えば、方程式 x 5 − 5 x 4 + 30 x 3 − 50 x 2 + 55 x − 21 = 0 の場合、唯一の実数解は次のようになる。
x = 1 + 2 5 − ( 2 5 ) 2 + ( 2 5 ) 3 − ( 2 5 ) 4 . {\displaystyle x=1+{\sqrt[{5}]{2}}-\left({\sqrt[{5}]{2}}\right)^{2}+\left({\sqrt[{5}]{2}}\right)^{3}-\left({\sqrt[{5}]{2}}\right)^{4}.} より複雑な（ただし、ここで記述できるほど小さい）解の例としては、 x 5 − 5 x + 12 = 0 の唯一の実根があります。a = √ 2 φ −1 、 b = √ 2 φ 、 c = 4 √ 5 とします。ただし 、 φ = 1 + √5 / 2 は黄金比 である 。すると、唯一の実数解 x = −1.84208... は次のように与えられる。
− c x = ( a + c ) 2 ( b − c ) 5 + ( − a + c ) ( b − c ) 2 5 + ( a + c ) ( b + c ) 2 5 − ( − a + c ) 2 ( b + c ) 5 , {\displaystyle -cx={\sqrt[{5}]{(a+c)^{2}(b-c)}}+{\sqrt[{5}]{(-a+c)(b-c)^{2}}}+{\sqrt[{5}]{(a+c)(b+c)^{2}}}-{\sqrt[{5}]{(-a+c)^{2}(b+c)}}\,,} あるいは、同等に、
x = y 1 5 + y 2 5 + y 3 5 + y 4 5 , {\displaystyle x={\sqrt[{5}]{y_{1}}}+{\sqrt[{5}]{y_{2}}}+{\sqrt[{5}]{y_{3}}}+{\sqrt[{5}]{y_{4}}}\,,} ここで、 y i は4次方程式 の4つの根である。
y 4 + 4 y 3 + 4 5 y 2 − 8 5 3 y − 1 5 5 = 0 . {\displaystyle y^{4}+4y^{3}+{\frac {4}{5}}y^{2}-{\frac {8}{5^{3}}}y-{\frac {1}{5^{5}}}=0\,.} より一般的には、素数次 p で有理数係数の方程式 P ( x ) = 0 が 根号で解ける場合、 同じく有理数係数の 次数 p − 1の補助方程式 Q ( y ) = 0を定義でき、 Pの各根は Qの根の p 乗根 の和になります 。これらの p 乗根はジョゼフ・ルイ・ラグランジュ によって導入され 、それらの p による積は一般にラグランジュの分解子 と呼ばれます。 Q とその根の計算を使用して P ( x ) = 0 を解くことができます 。ただし、これらの p 乗根は個別に計算できない場合があります (そうすると p ではなく p p −1 個の根が返されます)。したがって、正しい解を得るには、これらすべての p 乗根をそのうちの 1 つで表す必要があります 。ガロア理論によれば、結果として得られる式が大きすぎて使えない場合でも、これは常に理論的に可能です。
Q の根のいくつかは有理数（このセクションの最初の例のように）であったり、ゼロであったりする可能性がある。これらの場合、根の公式は、解ける ド・モアブルの 五次 方程式のように、はるかに単純になる。
x 5 + 5 a x 3 + 5 a 2 x + b = 0 , {\displaystyle x^{5}+5ax^{3}+5a^{2}x+b=0\,,} ここで、補助方程式は2つの零根を持ち、それらを因数分解すると 二次方程式になる。
y 2 + b y − a 5 = 0 , {\displaystyle y^{2}+by-a^{5}=0\,,} ド・モアブルの五次方程式の5つの根は次のように与えられる。
x k = ω k y i 5 − a ω k y i 5 , {\displaystyle x_{k}=\omega ^{k}{\sqrt[{5}]{y_{i}}}-{\frac {a}{\omega ^{k}{\sqrt[{5}]{y_{i}}}}},} ここで、 y i は補助二次方程式の任意の根であり、 ω は1の4つの 原始5乗根のいずれかです。これは容易に一般化でき、必ずしも素数である必要はなく、解ける セプティック根 やその他の奇数次根を構築できます 。
他の解ける五次方程式 前のセクションでパラメータ化された Bring–Jerrard 形式の解ける五次方程式は無限に存在します。
変数のスケーリングまで、形状 の解ける五次方程式は正確に5つ存在し 、それらは [6] （ここで s はスケーリング係数）である。 x 5 + a x 2 + b {\displaystyle x^{5}+ax^{2}+b}
x 5 − 2 s 3 x 2 − s 5 5 {\displaystyle x^{5}-2s^{3}x^{2}-{\frac {s^{5}}{5}}} x 5 − 100 s 3 x 2 − 1000 s 5 {\displaystyle x^{5}-100s^{3}x^{2}-1000s^{5}} x 5 − 5 s 3 x 2 − 3 s 5 {\displaystyle x^{5}-5s^{3}x^{2}-3s^{5}} x 5 − 5 s 3 x 2 + 15 s 5 {\displaystyle x^{5}-5s^{3}x^{2}+15s^{5}} x 5 − 25 s 3 x 2 − 300 s 5 {\displaystyle x^{5}-25s^{3}x^{2}-300s^{5}} パクストン・ヤング（1888）は、解ける五次方程式の例をいくつか挙げている。
x 5 − 10 x 3 − 20 x 2 − 1505 x − 7412 {\displaystyle x^{5}-10x^{3}-20x^{2}-1505x-7412} x 5 + 625 4 x + 3750 {\displaystyle x^{5}+{\frac {625}{4}}x+3750} x 5 − 22 5 x 3 − 11 25 x 2 + 462 125 x + 979 3125 {\displaystyle x^{5}-{\frac {22}{5}}x^{3}-{\frac {11}{25}}x^{2}+{\frac {462}{125}}x+{\frac {979}{3125}}} x 5 + 20 x 3 + 20 x 2 + 30 x + 10 {\displaystyle x^{5}+20x^{3}+20x^{2}+30x+10} {\displaystyle ~\qquad ~} 根： 2 5 − 2 5 2 + 2 5 3 − 2 5 4 {\displaystyle {\sqrt[{5}]{2}}-{\sqrt[{5}]{2}}^{2}+{\sqrt[{5}]{2}}^{3}-{\sqrt[{5}]{2}}^{4}} x 5 − 20 x 3 + 250 x − 400 {\displaystyle x^{5}-20x^{3}+250x-400} x 5 − 5 x 3 + 85 8 x − 13 2 {\displaystyle x^{5}-5x^{3}+{\frac {85}{8}}x-{\frac {13}{2}}} x 5 + 20 17 x + 21 17 {\displaystyle x^{5}+{\frac {20}{17}}x+{\frac {21}{17}}} x 5 − 4 13 x + 29 65 {\displaystyle x^{5}-{\frac {4}{13}}x+{\frac {29}{65}}} x 5 + 10 13 x + 3 13 {\displaystyle x^{5}+{\frac {10}{13}}x+{\frac {3}{13}}} x 5 + 110 ( 5 x 3 + 60 x 2 + 800 x + 8320 ) {\displaystyle x^{5}+110(5x^{3}+60x^{2}+800x+8320)} x 5 − 20 x 3 − 80 x 2 − 150 x − 656 {\displaystyle x^{5}-20x^{3}-80x^{2}-150x-656} x 5 − 40 x 3 + 160 x 2 + 1000 x − 5888 {\displaystyle x^{5}-40x^{3}+160x^{2}+1000x-5888} x 5 − 50 x 3 − 600 x 2 − 2000 x − 11200 {\displaystyle x^{5}-50x^{3}-600x^{2}-2000x-11200} x 5 + 110 ( 5 x 3 + 20 x 2 − 360 x + 800 ) {\displaystyle x^{5}+110(5x^{3}+20x^{2}-360x+800)} x 5 − 20 x 3 + 170 x + 208 {\displaystyle x^{5}-20x^{3}+170x+208}
解ける5次方程式の無限列を構成することができ、その根は 1の n 乗根の 和であり、 n = 10 k + 1 は素数 である 。
x 5 + x 4 − 4 x 3 − 3 x 2 + 3 x + 1 {\displaystyle x^{5}+x^{4}-4x^{3}-3x^{2}+3x+1} ルーツ： 2 cos ( 2 k π 11 ) {\displaystyle 2\cos \left({\frac {2k\pi }{11}}\right)} x 5 + x 4 − 12 x 3 − 21 x 2 + x + 5 {\displaystyle x^{5}+x^{4}-12x^{3}-21x^{2}+x+5} 根： ∑ k = 0 5 e 2 i π 6 k 31 {\displaystyle \sum _{k=0}^{5}e^{\frac {2i\pi 6^{k}}{31}}} x 5 + x 4 − 16 x 3 + 5 x 2 + 21 x − 9 {\displaystyle x^{5}+x^{4}-16x^{3}+5x^{2}+21x-9} 根： ∑ k = 0 7 e 2 i π 3 k 41 {\displaystyle \sum _{k=0}^{7}e^{\frac {2i\pi 3^{k}}{41}}} x 5 + x 4 − 24 x 3 − 17 x 2 + 41 x − 13 {\displaystyle x^{5}+x^{4}-24x^{3}-17x^{2}+41x-13} {\displaystyle ~\qquad ~} 根： ∑ k = 0 11 e 2 i π ( 21 ) k 61 {\displaystyle \sum _{k=0}^{11}e^{\frac {2i\pi (21)^{k}}{61}}} x 5 + x 4 − 28 x 3 + 37 x 2 + 25 x + 1 {\displaystyle x^{5}+x^{4}-28x^{3}+37x^{2}+25x+1} 根： ∑ k = 0 13 e 2 i π ( 23 ) k 71 {\displaystyle \sum _{k=0}^{13}e^{\frac {2i\pi (23)^{k}}{71}}}
解ける5次方程式には2つのパラメータ化された族がある。近藤・ブルマー5次方程式、
x 5 + ( a − 3 ) x 4 + ( − a + b + 3 ) x 3 + ( a 2 − a − 1 − 2 b ) x 2 + b x + a = 0 {\displaystyle x^{5}+(a-3)\,x^{4}+(-a+b+3)\,x^{3}+(a^{2}-a-1-2b)\,x^{2}+b\,x+a=0} パラメータに応じて家族 a , ℓ , m {\displaystyle a,\ell ,m}
x 5 − 5 p ( 2 x 3 + a x 2 + b x ) − p c = 0 {\displaystyle x^{5}-5\,p\left(2\,x^{3}+a\,x^{2}+b\,x\right)-p\,c=0} どこ
p = 1 4 [ ℓ 2 ( 4 m 2 + a 2 ) − m 2 ] , {\displaystyle p={\tfrac {1}{4}}\left[\,\ell ^{2}(4m^{2}+a^{2})-m^{2}\,\right]\;,} b = ℓ ( 4 m 2 + a 2 ) − 5 p − 2 m 2 , {\displaystyle b=\ell \,(4m^{2}+a^{2})-5p-2m^{2}\;,} c = 1 2 [ b ( a + 4 m ) − p ( a − 4 m ) − a 2 m ] . {\displaystyle c={\tfrac {1}{2}}\left[\,b(a+4m)-p(a-4m)-a^{2}m\,\right]\;.}
不可逆的な原因 三次方程式 と同様に 、5つの実根を持ち、その根号における解がすべて複素数の根を含むような、解ける五次方程式が存在する。これは五次方程式の 既約条件 であり、Dummit [7] : p.17 で議論されている。実際、既約五次方程式のすべての根が実数である場合、いかなる根も純粋に実根号で表すことはできない（これは2のべき乗ではないすべての多項式次数にも当てはまる）。
過激派を超えて 1835年頃、 ジェラードは 、実数 aに対して t 5 + t − a = 0 の唯一の実根である 超根号（ ブリング根号 とも呼ばれる）を 使用して、5次方程式を解くことができることを実証しました 。1858年、 シャルル・エルミートは、ブリング根号がヤコビの シータ関数 とそれに関連する 楕円モジュラー関数 によって特徴付けられることを示しました。これは、 三角 関数を 使用して3次方程式を解くという、より一般的なアプローチに似ています 。ほぼ同じ頃、 レオポルド・クロネッカーは 、 群論を使用して、 フランチェスコ・ブリオスキと同様に、 エルミート の結果を導くより簡単な方法を開発しました 。その後、 フェリックス・クラインは、 イコサヘドロン 、 ガロア理論 、エルミートの解法に見られる楕円モジュラー関数の対称性を関連付け、それらがそもそもなぜ現れるのかを説明する手法を考案し、 一般化された超幾何関数 の観点から独自の解法を展開した 。 [8] 同様の現象は 7 次（ セプティック方程式 ）と 11 次でも発生し、クラインによって研究され 「イコサヘドロン対称性 § 関連幾何学」 で議論されている。
Bringのルートを使って解く 四次方程式 を解くことによって計算されるチルンハウス変換は、 次 の 形式の一般五次方程式を簡約する。
x 5 + a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 {\displaystyle x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0\,} Bring–Jerrard正規形 x 5 − x + t = 0 に等しい 。
この方程式の根は根号で表すことができません。しかし、1858年に シャルル・エルミートは 楕円関数 を用いてこの方程式の最初の解を発表しました 。 [9] ほぼ同時期に、 フランチェスコ・ブリオスキ [10]
と レオポルド・クロネッカー [11] も
同値な解を得ました。
これらの解決策と関連する解決策の詳細については、 「Bring radical」を 参照してください。
天体力学への応用 両方の物体の質量が無視できない天文軌道の ラグランジュ点 の位置を解くには、五次方程式を解く必要があります。
より正確には、 L 2 と L 1 の位置は 次の方程式の解です。ここで、2 つの質量が第 3 の質量 (たとえば、 L 2 の Gaia や ジェイムズ・ウェッブ宇宙望遠鏡、 L 1 の SOHO などの衛星にかかる太陽と地球 ) にかかる重力は、太陽の周りを地球と同期して周回するために必要な衛星の求心力となります。
G m M S ( R ± r ) 2 ± G m M E r 2 = m ω 2 ( R ± r ) {\displaystyle {\frac {GmM_{S}}{(R\pm r)^{2}}}\pm {\frac {GmM_{E}}{r^{2}}}=m\omega ^{2}(R\pm r)} ± 記号はそれぞれ L 2 と L 1 に対応します。G は 重力 定数 、 ω は 角速度 、 r は 衛星から地球までの距離、 R は 太陽から地球までの距離（つまり、 地球の軌道の 長半径）、 m 、 M E 、 M S はそれぞれ衛星、 地球 、 太陽 の質量です。
ケプラーの第三法則を用いて すべての項を並べ替えると五次方程式が得られる。 ω 2 = 4 π 2 P 2 = G ( M S + M E ) R 3 {\displaystyle \omega ^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{P^{2}}}={\frac {G(M_{S}+M_{E})}{R^{3}}}}
a r 5 + b r 4 + c r 3 + d r 2 + e r + f = 0 {\displaystyle ar^{5}+br^{4}+cr^{3}+dr^{2}+er+f=0} と：
a = ± ( M S + M E ) , b = + ( M S + M E ) 3 R , c = ± ( M S + M E ) 3 R 2 , d = + ( M E ∓ M E ) R 3 ( thus d = 0 for L 2 ) , e = ± M E 2 R 4 , f = ∓ M E R 5 . {\displaystyle {\begin{aligned}&a=\pm (M_{S}+M_{E}),\\&b=+(M_{S}+M_{E})3R,\\&c=\pm (M_{S}+M_{E})3R^{2},\\&d=+(M_{E}\mp M_{E})R^{3}\ ({\text{thus }}d=0{\text{ for }}L_{2}),\\&e=\pm M_{E}2R^{4},\\&f=\mp M_{E}R^{5}.\end{aligned}}} これらの2つの五次方程式を解くと、 L 2 では r = 1.501 × 10 9 m 、 L 1 では r = 1.491 × 10 9 m となります。 太陽・地球間のラグランジアン点 L 2 と L 1 は、通常、地球から150万kmの距離と与えられます。
小さい方の物体の質量 ( M E ) が大きい方の物体の質量 ( M S ) よりもはるかに小さい場合、五次方程式は大幅に簡略化され、 L 1 と L 2は次のように ヒル球 の半径とほぼ同じになります 。
r ≈ R M E 3 M S 3 {\displaystyle r\approx R{\sqrt[{3}]{\frac {M_{E}}{3M_{S}}}}} これにより、 太陽地球系の
L 1 および L 2 にある衛星の r = 1.5 × 10 9 mも得られます。
参照
注記 ^ Elia, M.; Filipponi, P. (1998). 「Bring–Jerrard形式の方程式、黄金比、そして平方フィボナッチ数列」 (PDF) . The Fibonacci Quarterly . 36 (3): 282– 286. ^ A. Cayley, 「第五次方程式理論における新たな補助方程式について」, Philosophical Transactions of the Royal Society of London 151 :263-276 (1861) doi :10.1098/rstl.1861.0014 ^ Cayleyの結果のこの定式化はLazard (2004)の論文から抜粋したものです。 ^ ジョージ・パクストン・ヤング、「共線係数を持つ可解五次方程式」、 アメリカ数学誌 10 :99–130 (1888)、 JSTOR 2369502 ^ ラザード（2004年、207ページ） ^ エルキーズ、ノアム. 「興味深いガロア群を持つ三項式a xn + bx + c」 ハーバード大学 . ^ David S. Dummit 可解五次方程式の解決 Archived 2012-03-07 at the Wayback Machine ^ (Klein 1888); 現代的な解説は (Tóth 2002, セクション 1.6、追加トピック: Klein のイコサヘドロン理論、p. 66) に掲載されています。 ^ チャールズ・エルミート (1858)。 「最高の解決策」。 科学アカデミーのコンテス 。 XLVI (I): 508–515 . ^ ブリオスキ、フランチェスコ (1858)。 「Sul Metodo di Kronecker per la Risoluzione delle Equazioni di Quinto Grado」。 アッティ・デッリ。 R. Istituto Lombardo di Scienze、Lettere ed Arti 。 私 ： 275～ 282。 ^ クロネッカー、レオポルド (1858)。 「M. Hermite への手紙の宛先を決定するための解決策」。 科学アカデミーのコンテス 。 XLVI (I): 1150 – 1152。
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外部リンク Mathworld - 五次方程式 - 五次方程式を解く方法の詳細。 解ける五次方程式の解決 Archived 2012-03-07 at the Wayback Machine – David S. Dummit による、解ける五次方程式を解く方法。 与えられた方程式からすべての中間項を削除する方法 - Tschirnhaus の 1683 年の論文の最近の英語翻訳。 ブルース・バートレット：五次曲線、二十面体、楕円曲線、 AMS Notices （2024年4月）
![{\displaystyle {\begin{aligned}p&={\frac {5ac-2b^{2}}{5a^{2}}}\\[4pt]q&={\frac {25a^{2}d-15abc+4b^{3}}{25a^{3}}}\\[4pt]r&={\frac {125a^{3}e-50a^{2}bd+15ab^{2}c-3b^{4}}{125a^{4}}}\\[4pt]s&={\frac {3125a^{4}f-625a^{3}be+125a^{2}b^{2}d-25ab^{3}c+4b^{5}}{3125a^{5}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a633e4720e059b32feff8e26b1acc0c93a28a0f3)
![{\displaystyle {\begin{aligned}P={}&z^{3}-z^{2}(20r+3p^{2})-z(8p^{2}r-16pq^{2}-240r^{2}+400sq-3p^{4})\\[4pt]&-p^{6}+28p^{4}r-16p^{3}q^{2}-176p^{2}r^{2}-80p^{2}sq+224prq^{2}-64q^{4}\\[4pt]&+4000ps^{2}+320r^{3}-1600rsq\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11f79e2bfcd36b9c7a9674f9cb2412fd79509d7c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta ={}&-128p^{2}r^{4}+3125s^{4}-72p^{4}qrs+560p^{2}qr^{2}s+16p^{4}r^{3}+256r^{5}+108p^{5}s^{2}\\[4pt]&-1600qr^{3}s+144pq^{2}r^{3}-900p^{3}rs^{2}+2000p r^{2}s^{2}-3750pqs^{3}+825p^{2}q^{2}s^{2}\\[4pt]&+2250q^{2}rs^{2}+108q^{5}s-27q^{4}r^{2}-630pq^{3}rs+16p^{3}q^{3}s-4p^{3}q^{2}r^{2}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee20065f09a9355650f243809ecf9ce0478822ee)
![{\displaystyle x=1+{\sqrt[{5}]{2}}-\left({\sqrt[{5}]{2}}\right)^{2}+\left({\sqrt[{5}]{2}}\right)^{3}-\left({\sqrt[{5}]{2}}\right)^{4}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc6b714b78b19a630bac328c94468dcf2c507b68)
![{\displaystyle -cx={\sqrt[{5}]{(a+c)^{2}(bc)}}+{\sqrt[{5}]{(-a+c)(bc)^{2}}}+{\sqrt[{5}]{(a+c)(b+c)^{2}}}-{\sqrt[{5}]{(-a+c)^{2}(b+c)}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbc8b96a978f81bd050d0e4fe7a1158426141531)
![{\displaystyle x={\sqrt[{5}]{y_{1}}}+{\sqrt[{5}]{y_{2}}}+{\sqrt[{5}]{y_{3}}}+{\sqrt[{5}]{y_{4}}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/595988e6329eebfcadf6f10b3181e8a424944da3)
![{\displaystyle x_{k}=\omega^{k}{\sqrt[{5}]{y_{i}}}-{\frac{a}{\omega^{k}{\sqrt[{5}]{y_{i}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a19c459773d48995d304d7bf2ba6eff99f935b62)
![{\displaystyle {\sqrt[{5}]{2}}-{\sqrt[{5}]{2}}^{2}+{\sqrt[{5}]{2}}^{3}-{\sqrt[{5}]{2}}^{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75ce1f8eb39ba62d4331ad1508e23992d20bdb1a)
![{\displaystyle p={\tfrac {1}{4}}\left[\,\ell ^{2}(4m^{2}+a^{2})-m^{2}\,\right]\;,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dfca8c413cb5bba0db1083de845087de57d2a0f)
![{\displaystyle c={\tfrac {1}{2}}\left[\,b(a+4m)-p(a-4m)-a^{2}m\,\right]\;.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24efd0b3c5705abed06e2993fd21084be723a143)
![{\displaystyle r\approx R{\sqrt[{3}]{\frac {M_{E}}{3M_{S}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6368b64c9eddbfdd59afc1a643900fac75ece24c)
