Probability distribution
比 分布（ 商分布 とも呼ばれる ）は、 2つの既知の分布を持つ 確率変数 の 比 の分布として構成される 確率分布です。2つの（通常は 独立した ）確率変数 X と Yが与えられたとき、確率変数 Z の分布は Z = X / Y の比として形成され、これは 比分布 と呼ばれます 。
一例として、 コーシー分布 （ 正規分布 とも呼ばれる）が挙げられます。これは、平均がゼロである2つの 正規分布 変数の比として生じます。検定統計量でよく用いられる他の2つの分布も比分布です 。t 分布は ガウス 分布 に従う確率変数を独立したカイ2乗分布に従う確率変数で割った値 から生じ 、 F 分布は2つの独立した カイ2乗分布 に従う確率変数の比から生じます 。より一般的な比分布についても、文献で考察されています。 [1] [2] [ 3] [4] [5] [6] [7] [8] [9]
比率分布は 裾が重い傾向にあることが多く、そのような分布を扱い、関連する 統計的検定 を開発することは困難です。 中央値 に基づく方法が 「回避策」として提案されています。 [10]
確率変数の代数 比は確率変数の代数の一種です。比分布に関連するものとしては、 積分布 、和分布、差分布があります。より一般的には、和、差、積、比の組み合わせについて話すことができます。これらの分布の多くは、メルビン・D・スプリンガーの1979年の著書 『確率変数の代数』 で説明されています。 [8]
通常の数で知られている代数規則は、 確率変数の代数 には適用されません。例えば、積が C = AB で比が D = C / A である場合、必ずしも D と B の分布が同じであることを意味するわけではありません。実際、 コーシー分布 には特異な効果が見られます。2つの独立したコーシー分布（同じ尺度パラメータと 位置パラメータ をゼロに設定した）の積と比は、同じ分布を与えます。 [8] これは、コーシー分布自体を、ゼロを意味する2つのガウス分布の比分布と見なすと明らかになります。2つのコーシー確率変数を考え、 それぞれ が2つのガウス分布から構成されるとし ます 。 C 1 {\displaystyle C_{1}} C 2 {\displaystyle C_{2}} C 1 = G 1 / G 2 {\displaystyle C_{1}=G_{1}/G_{2}} C 2 = G 3 / G 4 {\displaystyle C_{2}=G_{3}/G_{4}}
C 1 C 2 = G 1 / G 2 G 3 / G 4 = G 1 G 4 G 2 G 3 = G 1 G 2 × G 4 G 3 = C 1 × C 3 , {\displaystyle {\frac {C_{1}}{C_{2}}}={\frac {{G_{1}}/{G_{2}}}{{G_{3}}/{G_{4}}}}={\frac {G_{1}G_{4}}{G_{2}G_{3}}}={\frac {G_{1}}{G_{2}}}\times {\frac {G_{4}}{G_{3}}}=C_{1}\times C_{3},}
ここで 、最初の項は2つのコーシー分布の比であり、最後の項は2つのそのような分布の積です。 C 3 = G 4 / G 3 {\displaystyle C_{3}=G_{4}/G_{3}}
導出 2つの他の確率変数 X、Y の結合分布から結合pdfを持つ 比分布を導く方法は 、次の形式の積分である [3]。 Z = X / Y {\displaystyle Z=X/Y} p X , Y ( x , y ) {\displaystyle p_{X,Y}(x,y)}
p Z ( z ) = ∫ − ∞ + ∞ | y | p X , Y ( z y , y ) d y . {\displaystyle p_{Z}(z)=\int _{-\infty }^{+\infty }|y|\,p_{X,Y}(zy,y)\,dy.}
2つの変数が独立であれば 、これは次のようになる。 p X Y ( x , y ) = p X ( x ) p Y ( y ) {\displaystyle p_{XY}(x,y)=p_{X}(x)p_{Y}(y)}
p Z ( z ) = ∫ − ∞ + ∞ | y | p X ( z y ) p Y ( y ) d y . {\displaystyle p_{Z}(z)=\int _{-\infty }^{+\infty }|y|\,p_{X}(zy)p_{Y}(y)\,dy.}
これは必ずしも簡単ではないかもしれません。例として、2つの標準ガウス分布の標本の比という古典的な問題を考えてみましょう。結合確率密度関数は
p X , Y ( x , y ) = 1 2 π exp ( − x 2 2 ) exp ( − y 2 2 ) {\displaystyle p_{X,Y}(x,y)={\frac {1}{2\pi }}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2}}\right)\exp \left(-{\frac {y^{2}}{2}}\right)}
定義する と Z = X / Y {\displaystyle Z=X/Y}
p Z ( z ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ | y | exp ( − ( z y ) 2 2 ) exp ( − y 2 2 ) d y = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ | y | exp ( − y 2 ( z 2 + 1 ) 2 ) d y {\displaystyle {\begin{aligned}p_{Z}(z)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\,|y|\,\exp \left(-{\frac {\left(zy\right)^{2}}{2}}\right)\,\exp \left(-{\frac {y^{2}}{2}}\right)\,dy\\&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\,|y|\,\exp \left(-{\frac {y^{2}\left(z^{2}+1\right)}{2}}\right)\,dy\end{aligned}}} 既知の定積分を用いると 、 ∫ 0 ∞ x exp ( − c x 2 ) d x = 1 2 c {\textstyle \int _{0}^{\infty }\,x\,\exp \left(-cx^{2}\right)\,dx={\frac {1}{2c}}}
p Z ( z ) = 1 π ( z 2 + 1 ) {\displaystyle p_{Z}(z)={\frac {1}{\pi (z^{2}+1)}}} これはコーシー分布、または n = 1
のスチューデント t 分布である。
メリン 変換は 比分布の導出にも提案されている。 [8]
正の独立変数の場合は、次のように進めます。図は、 正の象限にサポートを持つ分離可能な二変量分布を示しており 、比 の pdf を求めます 。直線上の斜線部分は、 関数 に論理関数 を乗じた 累積分布を表します。密度はまず水平方向の帯で積分されます。高さ y の水平方向の帯は x = 0から x = Ry まで伸びており 、増分確率 を持ちます。次に、水平方向の帯を y 全体にわたって上向きに積分すると、 直線上の確率 の体積が得られます 。 最後に、 について微分して pdf を取得します 。 微分を積分の内部に移動します。 そして、 となるので
、 例として、 次 の場合
の比 R の pdf を求めます。 f x , y ( x , y ) = f x ( x ) f y ( y ) {\displaystyle f_{x,y}(x,y)=f_{x}(x)f_{y}(y)} x , y > 0 {\displaystyle x,y>0} R = X / Y {\displaystyle R=X/Y} y = x / R {\displaystyle y=x/R} f x , y ( x , y ) {\displaystyle f_{x,y}(x,y)} X / Y ≤ R {\displaystyle X/Y\leq R} f y ( y ) d y ∫ 0 R y f x ( x ) d x {\textstyle f_{y}(y)dy\int _{0}^{Ry}f_{x}(x)\,dx} F R ( R ) = ∫ 0 ∞ f y ( y ) ( ∫ 0 R y f x ( x ) d x ) d y {\displaystyle F_{R}(R)=\int _{0}^{\infty }f_{y}(y)\left(\int _{0}^{Ry}f_{x}(x)dx\right)dy} F R ( R ) {\displaystyle F_{R}(R)} R {\displaystyle R} f R ( R ) {\displaystyle f_{R}(R)} f R ( R ) = d d R [ ∫ 0 ∞ f y ( y ) ( ∫ 0 R y f x ( x ) d x ) d y ] {\displaystyle f_{R}(R)={\frac {d}{dR}}\left[\int _{0}^{\infty }f_{y}(y)\left(\int _{0}^{Ry}f_{x}(x)dx\right)dy\right]} f R ( R ) = ∫ 0 ∞ f y ( y ) ( d d R ∫ 0 R y f x ( x ) d x ) d y {\displaystyle f_{R}(R)=\int _{0}^{\infty }f_{y}(y)\left({\frac {d}{dR}}\int _{0}^{Ry}f_{x}(x)dx\right)dy} d d R ∫ 0 R y f x ( x ) d x = y f x ( R y ) {\displaystyle {\frac {d}{dR}}\int _{0}^{Ry}f_{x}(x)dx=yf_{x}(Ry)} f R ( R ) = ∫ 0 ∞ f y ( y ) f x ( R y ) y d y {\displaystyle f_{R}(R)=\int _{0}^{\infty }f_{y}(y)\;f_{x}(Ry)\;y\;dy} f x ( x ) = α e − α x , f y ( y ) = β e − β y , x , y ≥ 0 {\displaystyle f_{x}(x)=\alpha e^{-\alpha x},\;\;\;\;f_{y}(y)=\beta e^{-\beta y},\;\;\;x,y\geq 0}
比率の累積分布の評価 R に関する 微分 は R のpdfを与える。 ∫ 0 R y f x ( x ) d x = − e − α x | 0 R y = 1 − e − α R y {\displaystyle \int _{0}^{Ry}f_{x}(x)dx=-\left.e^{-\alpha x}\right\vert _{0}^{Ry}=1-e^{-\alpha Ry}} F R ( R ) = ∫ 0 ∞ f y ( y ) ( 1 − e − α R y ) d y = ∫ 0 ∞ β e − β y ( 1 − e − α R y ) d y = 1 − α R β + α R = R β α + R {\displaystyle {\begin{aligned}F_{R}(R)&=\int _{0}^{\infty }f_{y}(y)\left(1-e^{-\alpha Ry}\right)dy\\&=\int _{0}^{\infty }\beta e^{-\beta y}\left(1-e^{-\alpha Ry}\right)dy\\&=1-{\frac {\alpha R}{\beta +\alpha R}}\\&={\frac {R}{{\tfrac {\beta }{\alpha }}+R}}\end{aligned}}} f R ( R ) = d d R ( R β α + R ) = β α ( β α + R ) 2 {\displaystyle f_{R}(R)={\frac {d}{dR}}\left({\frac {R}{{\tfrac {\beta }{\alpha }}+R}}\right)={\frac {\tfrac {\beta }{\alpha }}{\left({\tfrac {\beta }{\alpha }}+R\right)^{2}}}}
ランダム比のモーメント メリン変換 理論によれば 、正の半直線 上にのみ存在する分布 に対して 、積の恒等式が成り立ちます 。 これは独立です。 のような標本比の場合 、この恒等式を利用するには、逆分布のモーメントを使用する必要があります。 を と設定します。したがって、 と のモーメントを 別々に決定できる場合、 のモーメント を求めることができます。 のモーメントは の逆確率密度関数から決定され 、多くの場合、扱いやすい計算です。最も単純な場合、 です 。 x ≥ 0 {\displaystyle x\geq 0} E [ ( U V ) p ] = E [ U p ] E [ V p ] {\displaystyle \operatorname {E} [(UV)^{p}]=\operatorname {E} [U^{p}]\;\;\operatorname {E} [V^{p}]} U , V {\displaystyle U,\;V} E [ ( X / Y ) p ] {\displaystyle \operatorname {E} [(X/Y)^{p}]} 1 / Y = Z {\displaystyle 1/Y=Z} E [ ( X Z ) p ] = E [ X p ] E [ Y − p ] {\displaystyle \operatorname {E} [(XZ)^{p}]=\operatorname {E} [X^{p}]\;\operatorname {E} [Y^{-p}]} X p {\displaystyle X^{p}} Y − p {\displaystyle Y^{-p}} X / Y {\displaystyle X/Y} Y − p {\displaystyle Y^{-p}} Y {\displaystyle Y} E [ Y − p ] = ∫ 0 ∞ y − p f y ( y ) d y {\textstyle \operatorname {E} [Y^{-p}]=\int _{0}^{\infty }y^{-p}f_{y}(y)\,dy}
説明のために、 が 次モーメントが である 標準 ガンマ分布 からサンプリングされたものとします。 X {\displaystyle X} x α − 1 e − x / Γ ( α ) {\displaystyle x^{\alpha -1}e^{-x}/\Gamma (\alpha )} p {\displaystyle p} Γ ( α + p ) / Γ ( α ) {\displaystyle \Gamma (\alpha +p)/\Gamma (\alpha )}
Z = Y − 1 {\displaystyle Z=Y^{-1}} は、パラメータ の 逆ガンマ分布 から抽出され 、確率密度関数 を持つ 。この確率密度関数のモーメントは、 β {\displaystyle \beta } Γ − 1 ( β ) z − ( 1 + β ) e − 1 / z {\displaystyle \Gamma ^{-1}(\beta )z^{-(1+\beta )}e^{-1/z}} E [ Z p ] = E [ Y − p ] = Γ ( β − p ) Γ ( β ) , p < β . {\displaystyle \operatorname {E} [Z^{p}]=\operatorname {E} [Y^{-p}]={\frac {\Gamma (\beta -p)}{\Gamma (\beta )}},\;p<\beta .}
対応するモーメントを掛け合わせると E [ ( X / Y ) p ] = E [ X p ] E [ Y − p ] = Γ ( α + p ) Γ ( α ) Γ ( β − p ) Γ ( β ) , p < β . {\displaystyle \operatorname {E} [(X/Y)^{p}]=\operatorname {E} [X^{p}]\;\operatorname {E} [Y^{-p}]={\frac {\Gamma (\alpha +p)}{\Gamma (\alpha )}}{\frac {\Gamma (\beta -p)}{\Gamma (\beta )}},\;p<\beta .}
独立に、２つのガンマサンプルの比は ベータプライム分布に従うことが分かっている。 そのモーメントは R = X / Y {\displaystyle R=X/Y} f β ′ ( r , α , β ) = B ( α , β ) − 1 r α − 1 ( 1 + r ) − ( α + β ) {\displaystyle f_{\beta '}(r,\alpha ,\beta )=\mathrm {B} (\alpha ,\beta )^{-1}r^{\alpha -1}(1+r)^{-(\alpha +\beta )}} E [ R p ] = B ( α + p , β − p ) B ( α , β ) {\displaystyle \operatorname {E} [R^{p}]={\frac {\mathrm {B} (\alpha +p,\beta -p)}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}}
代入すると、 上記のモーメントの積と一致するものが 得られます
。 B ( α , β ) = Γ ( α ) Γ ( β ) Γ ( α + β ) {\displaystyle \mathrm {B} (\alpha ,\beta )={\frac {\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}{\Gamma (\alpha +\beta )}}} E [ R p ] = Γ ( α + p ) Γ ( β − p ) Γ ( α + β ) / Γ ( α ) Γ ( β ) Γ ( α + β ) = Γ ( α + p ) Γ ( β − p ) Γ ( α ) Γ ( β ) {\displaystyle \operatorname {E} [R^{p}]={\frac {\Gamma (\alpha +p)\Gamma (\beta -p)}{\Gamma (\alpha +\beta )}}{\Bigg /}{\frac {\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}{\Gamma (\alpha +\beta )}}={\frac {\Gamma (\alpha +p)\Gamma (\beta -p)}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}}
ランダム比率の平均と分散 積分布の セクションでは 、 メリン変換 理論（上記セクション参照）から導かれるが、独立変数の積の平均はそれらの平均の積に等しいことが分かる。比の場合、
E ( X / Y ) = E ( X ) E ( 1 / Y ) {\displaystyle \operatorname {E} (X/Y)=\operatorname {E} (X)\operatorname {E} (1/Y)}
これは確率分布の観点からは、
E ( X / Y ) = ∫ − ∞ ∞ x f x ( x ) d x × ∫ − ∞ ∞ y − 1 f y ( y ) d y {\displaystyle \operatorname {E} (X/Y)=\int _{-\infty }^{\infty }xf_{x}(x)\,dx\times \int _{-\infty }^{\infty }y^{-1}f_{y}(y)\,dy}
つまり 、 E ( 1 / Y ) ≠ 1 E ( Y ) {\displaystyle \operatorname {E} (1/Y)\neq {\frac {1}{\operatorname {E} (Y)}}} ∫ − ∞ ∞ y − 1 f y ( y ) d y ≠ 1 ∫ − ∞ ∞ y f y ( y ) d y {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }y^{-1}f_{y}(y)\,dy\neq {\frac {1}{\int _{-\infty }^{\infty }yf_{y}(y)\,dy}}}
独立変数の比の分散は
Var ( X / Y ) = E ( [ X / Y ] 2 ) − E 2 ( X / Y ) = E ( X 2 ) E ( 1 / Y 2 ) − E 2 ( X ) E 2 ( 1 / Y ) {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X/Y)&=\operatorname {E} ([X/Y]^{2})-\operatorname {E^{2}} (X/Y)\\&=\operatorname {E} (X^{2})\operatorname {E} (1/Y^{2})-\operatorname {E} ^{2}(X)\operatorname {E} ^{2}(1/Y)\end{aligned}}}
正規比分布
X と Y が独立で、平均がゼロの ガウス分布 に従う場合 、それらの比分布の形は コーシー分布となる。これは、 と設定し、 が 円対称性 を 持つ ことを示すこと で導出できる 。二変量無相関ガウス分布の場合、以下の式が成り立つ
。 Z = X / Y = tan θ {\displaystyle Z=X/Y=\tan \theta } θ {\displaystyle \theta } p ( x , y ) = 1 2 π e − 1 2 x 2 × 1 2 π e − 1 2 y 2 = 1 2 π e − 1 2 ( x 2 + y 2 ) = 1 2 π e − 1 2 r 2 with r 2 = x 2 + y 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}p(x,y)&={\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}\times {\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}y^{2}}\\&={\tfrac {1}{2\pi }}e^{-{\frac {1}{2}}(x^{2}+y^{2})}\\&={\tfrac {1}{2\pi }}e^{-{\frac {1}{2}}r^{2}}\ {\text{with}}\ r^{2}=x^{2}+y^{2}.\end{aligned}}}
がr のみの関数である 場合 、 は 密度 で 一様分布する ので、問題はの 写像の下で
の Z の確率分布を求めることに帰着します
。確率保存則と の 設定 により、 が得られます 。ここには 2 という誤った係数があります。実際には、だけ 離れたの2つの値が z の同じ値に写像されるため 、密度は2倍になり、最終結果は次のようになります。 p ( x , y ) {\displaystyle p(x,y)} θ {\displaystyle \theta } [ 0 , 2 π ] {\displaystyle [0,2\pi ]} 1 / 2 π {\displaystyle 1/2\pi } Z = X / Y = tan θ . {\displaystyle Z=X/Y=\tan \theta .} p z ( z ) | d z | = p θ ( θ ) | d θ | , {\displaystyle p_{z}(z)\,|dz|=p_{\theta }(\theta )\,|d\theta |,} d z / d θ = 1 / cos 2 θ , {\displaystyle dz/d\theta =1/\cos ^{2}\theta ,} p z ( z ) = p θ ( θ ) | d z / d θ | = 1 2 π cos 2 θ . {\displaystyle p_{z}(z)={\frac {p_{\theta }(\theta )}{|dz/d\theta |}}={\frac {1}{2\pi }}{\cos ^{2}\theta }.} cos 2 θ = 1 1 + ( tan θ ) 2 = 1 1 + z 2 , {\displaystyle \cos ^{2}\theta ={\frac {1}{1+(\tan \theta )^{2}}}={\frac {1}{1+z^{2}}},} p z ( z ) = 1 / ( 2 π ) 1 + z 2 . {\displaystyle p_{z}(z)={\frac {1/(2\pi )}{1+z^{2}}}.} θ {\displaystyle \theta } π {\displaystyle \pi } p z ( z ) = 1 / π 1 + z 2 , − ∞ < z < ∞ . {\displaystyle p_{z}(z)={\frac {1/\pi }{1+z^{2}}},\quad -\infty <z<\infty .}
2つの正規分布のいずれかが非心分布である場合、比の分布の結果ははるかに複雑になり、 David Hinkley [6] によって提示された簡潔な形式で以下に示す。 しかし、比の三角法は、 密度が半径のみに依存する2変量正規分布や2変量スチューデント t 分布などの放射状分布には拡張される。これは、1自由度に対して以下のセクションで示すコーシー比を与える
2つの独立したスチューデント t 分布の比には拡張されない。 r = x 2 + y 2 {\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}
相関がない場合 、 2 つ の 正規変数 X = N （ μX 、 σX2 ）と Y = N （ μY 、 σY2 ） の比 Z = X / Yの 確率密度関数は 、 いくつかの情報源から導かれた次の式で正確に与えられます。 [ 6 ] ( cor ( X , Y ) = 0 ) {\displaystyle (\operatorname {cor} (X,Y)=0)}
p Z ( z ) = e − c / 2 a 2 ( z ) ⋅ 2 π σ x σ y ( 2 π b ( z ) a ( z ) exp ( b 2 ( z ) 2 a 2 ( z ) ) e r f ( b ( z ) 2 a ( z ) ) + 2 ) {\displaystyle p_{Z}(z)={\frac {e^{-c/2}}{a^{2}(z)\cdot 2\pi \sigma _{x}\sigma _{y}}}\left({\sqrt {2\pi }}{\frac {b(z)}{a(z)}}\exp \left({\frac {b^{2}(z)}{2a^{2}(z)}}\right)\mathrm {erf} \left({\frac {b(z)}{{\sqrt {2}}a(z)}}\right)+2\right)}
どこ
a ( z ) = 1 σ x 2 z 2 + 1 σ y 2 {\displaystyle a(z)={\sqrt {{\frac {1}{\sigma _{x}^{2}}}z^{2}+{\frac {1}{\sigma _{y}^{2}}}}}} b ( z ) = μ x σ x 2 z + μ y σ y 2 {\displaystyle b(z)={\frac {\mu _{x}}{\sigma _{x}^{2}}}z+{\frac {\mu _{y}}{\sigma _{y}^{2}}}} c = μ x 2 σ x 2 + μ y 2 σ y 2 . {\displaystyle c={\frac {\mu _{x}^{2}}{\sigma _{x}^{2}}}+{\frac {\mu _{y}^{2}}{\sigma _{y}^{2}}}.}
いくつかの仮定（実用では通常満たされる）の下で、PDFの高精度な 実近似 を導出することが可能です。主な利点は、式の複雑さの軽減、閉形式CDF、簡潔に定義された中央値、明確に定義された誤差管理などです。簡略化のために、パラメータを導入します： 、 および 。すると、無相関非心正規比PDFのいわゆる実近似は、式 [11] で表されます。 p = μ x 2 σ x {\displaystyle p={\frac {\mu _{x}}{{\sqrt {2}}\sigma _{x}}}} q = μ y 2 σ y {\displaystyle q={\frac {\mu _{y}}{{\sqrt {2}}\sigma _{y}}}} r = μ x μ y {\displaystyle r={\frac {\mu _{x}}{\mu _{y}}}} p Z † ( z ) {\displaystyle p_{Z}^{\dagger }(z)} p Z † ( z ) = 1 π p e r f [ q ] 1 r 1 + p 2 q 2 z r ( 1 + p 2 q 2 [ z r ] 2 ) 3 2 e − p 2 ( z r − 1 ) 2 1 + p 2 q 2 [ z r ] 2 {\displaystyle p_{Z}^{\dagger }(z)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{\frac {p}{\mathrm {erf} [q]}}{\frac {1}{r}}{\frac {1+{\frac {p^{2}}{q^{2}}}{\frac {z}{r}}}{\left(1+{\frac {p^{2}}{q^{2}}}\left[{\frac {z}{r}}\right]^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}e^{-{\frac {p^{2}\left({\frac {z}{r}}-1\right)^{2}}{1+{\frac {p^{2}}{q^{2}}}\left[{\frac {z}{r}}\right]^{2}}}}} 特定の条件下では、分散を伴った正規近似が可能である： [12] σ z 2 = μ x 2 μ y 2 ( σ x 2 μ x 2 + σ y 2 μ y 2 ) {\displaystyle \sigma _{z}^{2}={\frac {\mu _{x}^{2}}{\mu _{y}^{2}}}\left({\frac {\sigma _{x}^{2}}{\mu _{x}^{2}}}+{\frac {\sigma _{y}^{2}}{\mu _{y}^{2}}}\right)}
変数 X と Y に相関がある場合、上記の式はより複雑になります。 しかし 、 より一般的なコーシー分布が得られると、 μ x = μ y = 0 {\displaystyle \mu _{x}=\mu _{y}=0} σ X ≠ σ Y {\displaystyle \sigma _{X}\neq \sigma _{Y}} ρ ≠ 0 {\displaystyle \rho \neq 0}
p Z ( z ) = 1 π β ( z − α ) 2 + β 2 , {\displaystyle p_{Z}(z)={\frac {1}{\pi }}{\frac {\beta }{(z-\alpha )^{2}+\beta ^{2}}},}
ここで ρ は X と Y の 相関係数 であり、 α = ρ σ x σ y , {\displaystyle \alpha =\rho {\frac {\sigma _{x}}{\sigma _{y}}},} β = σ x σ y 1 − ρ 2 . {\displaystyle \beta ={\frac {\sigma _{x}}{\sigma _{y}}}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}.}
複素分布はクンマーの 合流型超幾何関数 や エルミート関数 でも表現される。 [9]
これは Springer 1979 の問題 4.28 に示されました。
対数領域への変換はKatz(1978)によって提案された（以下の二項式のセクションを参照）。比を T ∼ μ x + N ( 0 , σ x 2 ) μ y + N ( 0 , σ y 2 ) = μ x + X μ y + Y = μ x μ y 1 + X μ x 1 + Y μ y . {\displaystyle T\sim {\frac {\mu _{x}+\mathbb {N} (0,\sigma _{x}^{2})}{\mu _{y}+\mathbb {N} (0,\sigma _{y}^{2})}}={\frac {\mu _{x}+X}{\mu _{y}+Y}}={\frac {\mu _{x}}{\mu _{y}}}{\frac {1+{\frac {X}{\mu _{x}}}}{1+{\frac {Y}{\mu _{y}}}}}.}
ログを取ると、 その後 漸近的
に ln ( T ) = ln ( μ x μ y ) + ln ( 1 + X μ x ) − ln ( 1 + Y μ y ) . {\displaystyle \ln(T)=\ln \left({\frac {\mu _{x}}{\mu _{y}}}\right)+\ln \left(1+{\frac {X}{\mu _{x}}}\right)-\ln \left(1+{\frac {Y}{\mu _{y}}}\right).} ln ( 1 + δ ) = δ − δ 2 2 + δ 3 3 + ⋯ {\displaystyle \ln(1+\delta )=\delta -{\frac {\delta ^{2}}{2}}+{\frac {\delta ^{3}}{3}}+\cdots } ln ( T ) ≈ ln ( μ x μ y ) + X μ x − Y μ y ∼ ln ( μ x μ y ) + N ( 0 , σ x 2 μ x 2 + σ y 2 μ y 2 ) . {\displaystyle \ln(T)\approx \ln \left({\frac {\mu _{x}}{\mu _{y}}}\right)+{\frac {X}{\mu _{x}}}-{\frac {Y}{\mu _{y}}}\sim \ln \left({\frac {\mu _{x}}{\mu _{y}}}\right)+\mathbb {N} \left(0,{\frac {\sigma _{x}^{2}}{\mu _{x}^{2}}}+{\frac {\sigma _{y}^{2}}{\mu _{y}^{2}}}\right).}
あるいは、Geary(1930)は、が ほぼ 標準ガウス分布 に従うと示唆した。 [1]この変換は Geary–Hinkley変換 と呼ばれている 。 [7] Yが 負の値を取る可能性が低い場合、基本的に、 この近似は適切である 。 t ≈ μ y T − μ x σ y 2 T 2 − 2 ρ σ x σ y T + σ x 2 {\displaystyle t\approx {\frac {\mu _{y}T-\mu _{x}}{\sqrt {\sigma _{y}^{2}T^{2}-2\rho \sigma _{x}\sigma _{y}T+\sigma _{x}^{2}}}}} μ y > 3 σ y {\displaystyle \mu _{y}>3\sigma _{y}}
これは、Dale（Springer 1979 問題4.28）とHinkley 1969によって発展しました。Gearyは、相関比を 近似ガウス分布に変換する方法を示し、 負の分母値がほぼゼロになる確率に依存する近似値を発展させました 。Fiellerによる後の相関比分析は正確ですが、現代の数学パッケージと古い文献の言語的条件を組み合わせる際には注意が必要です。Pham-Ghiaはこれらの手法について徹底的に議論しています。Hinkleyの相関結果は正確ですが、以下に示すように、相関比条件は非相関条件にも変換できるため、上記の簡略化されたHinkley方程式のみが必要であり、完全な相関比バージョンは必要ありません。 z {\displaystyle z} t {\displaystyle t} x + μ x < 0 {\displaystyle x+\mu _{x}<0}
比を次のように定義する： ここで、 は平均ゼロで相関があり 、分散と平均を持つ正規変数 である。 は 無相関になり、 標準偏差を持つと 書く。 比： はこの変換で不変であり、同じ確率密度関数を維持する。 分子の項は展開することで分離可能になるように見える： となり 、 z は不変の z オフセットを持つ無相関の非心正規標本の比となる （これは正式には証明されていないが、Gearyによって用いられたと思われる）。 z = x + μ x y + μ y {\displaystyle z={\frac {x+\mu _{x}}{y+\mu _{y}}}} x , y {\displaystyle x,y} σ x 2 , σ y 2 {\displaystyle \sigma _{x}^{2},\sigma _{y}^{2}} X , Y {\displaystyle X,Y} μ x , μ y . {\displaystyle \mu _{x},\mu _{y}.} x ′ = x − ρ y σ x / σ y {\displaystyle x'=x-\rho y\sigma _{x}/\sigma _{y}} x ′ , y {\displaystyle x',y} x ′ {\displaystyle x'} σ x ′ = σ x 1 − ρ 2 . {\displaystyle \sigma _{x}'=\sigma _{x}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}.} z = x ′ + ρ y σ x / σ y + μ x y + μ y {\displaystyle z={\frac {x'+\rho y\sigma _{x}/\sigma _{y}+\mu _{x}}{y+\mu _{y}}}} y {\displaystyle y} x ′ + ρ y σ x σ y + μ x = x ′ + μ x − ρ μ y σ x σ y + ρ ( y + μ y ) σ x σ y {\displaystyle {x'+\rho y{\frac {\sigma _{x}}{\sigma _{y}}}+\mu _{x}}=x'+\mu _{x}-\rho \mu _{y}{\frac {\sigma _{x}}{\sigma _{y}}}+\rho (y+\mu _{y}){\frac {\sigma _{x}}{\sigma _{y}}}} z = x ′ + μ x ′ y + μ y + ρ σ x σ y {\displaystyle z={\frac {x'+\mu _{x}'}{y+\mu _{y}}}+\rho {\frac {\sigma _{x}}{\sigma _{y}}}} μ x ′ = μ x − ρ μ y σ x σ y {\textstyle \mu '_{x}=\mu _{x}-\rho \mu _{y}{\frac {\sigma _{x}}{\sigma _{y}}}}
最後に、明示的に言えば、相関変数の比率の pdf は、 修正されたパラメータ とを上記の Hinkley 方程式に入力することによって求められます。この方程式は、 の 定数オフセットを持つ相関比率の pdf を返します 。 z {\displaystyle z} σ x ′ , μ x ′ , σ y , μ y {\displaystyle \sigma _{x}',\mu _{x}',\sigma _{y},\mu _{y}} ρ ′ = 0 {\displaystyle \rho '=0} − ρ σ x σ y {\displaystyle -\rho {\frac {\sigma _{x}}{\sigma _{y}}}} z {\displaystyle z}
上の図は、正の相関関係にある比率の例を示しています。 ここで、網掛けのくさびは、所定の比率によって選択された領域の増分を表し 、分布と重なる部分で確率が累積します。議論中の方程式とHinkleyの方程式を組み合わせて導出された理論的な分布は、5,000サンプルを用いたシミュレーション結果と非常によく一致しています。上の図では、ある比率において くさびが分布の主要部分をほぼ完全に迂回していることが明確に示されており、これが理論的なpdfにおける局所的最小値を説明しています 。逆に、が一方に近づくか離れるにつれて、 くさびは中心部分により長く広がり、より高い確率が累積します。 σ x = σ y = 1 , μ x = 0 , μ y = 0.5 , ρ = 0.975 {\displaystyle \sigma _{x}=\sigma _{y}=1,\mu _{x}=0,\mu _{y}=0.5,\rho =0.975} x / y ∈ [ r , r + δ ] {\displaystyle x/y\in [r,r+\delta ]} z = x / y ≈ 1 {\displaystyle z=x/y\approx 1} p Z ( x / y ) {\displaystyle p_{Z}(x/y)} x / y {\displaystyle x/y}
複素正規比 相関ゼロ平均円対称複素正規分布 変数の比は 、Baxleyら [13] によって決定され、その後、非ゼロ平均および非対称の場合に拡張されました [14] 。相関ゼロ平均の場合、 x 、 y の結合分布 は
f x , y ( x , y ) = 1 π 2 | Σ | exp ( − [ x y ] H Σ − 1 [ x y ] ) {\displaystyle f_{x,y}(x,y)={\frac {1}{\pi ^{2}|\Sigma |}}\exp \left(-{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}^{H}\Sigma ^{-1}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\right)} どこ
Σ = [ σ x 2 ρ σ x σ y ρ ∗ σ x σ y σ y 2 ] , x = x r + i x i , y = y r + i y i {\displaystyle \Sigma ={\begin{bmatrix}\sigma _{x}^{2}&\rho \sigma _{x}\sigma _{y}\\\rho ^{*}\sigma _{x}\sigma _{y}&\sigma _{y}^{2}\end{bmatrix}},\;\;x=x_{r}+ix_{i},\;\;y=y_{r}+iy_{i}} ( ⋅ ) H {\displaystyle (\cdot )^{H}} はエルミート転置であり、 ρ = ρ r + i ρ i = E ( x y ∗ σ x σ y ) ∈ | C | ≤ 1 {\displaystyle \rho =\rho _{r}+i\rho _{i}=\operatorname {E} {\bigg (}{\frac {xy^{*}}{\sigma _{x}\sigma _{y}}}{\bigg )}\;\;\in \;\left|\mathbb {C} \right|\leq 1}
のPDFは 次のようになります Z = X / Y {\displaystyle Z=X/Y}
f z ( z r , z i ) = 1 − | ρ | 2 π σ x 2 σ y 2 ( | z | 2 σ x 2 + 1 σ y 2 − 2 ρ r z r − ρ i z i σ x σ y ) − 2 = 1 − | ρ | 2 π σ x 2 σ y 2 ( | z σ x − ρ ∗ σ y | 2 + 1 − | ρ | 2 σ y 2 ) − 2 {\displaystyle {\begin{aligned}f_{z}(z_{r},z_{i})&={\frac {1-|\rho |^{2}}{\pi \sigma _{x}^{2}\sigma _{y}^{2}}}\left({\frac {|z|^{2}}{\sigma _{x}^{2}}}+{\frac {1}{\sigma _{y}^{2}}}-2{\frac {\rho _{r}z_{r}-\rho _{i}z_{i}}{\sigma _{x}\sigma _{y}}}\right)^{-2}\\[1ex]&={\frac {1-|\rho |^{2}}{\pi \sigma _{x}^{2}\sigma _{y}^{2}}}\left(\;\;\left|{\frac {z}{\sigma _{x}}}-{\frac {\rho ^{*}}{\sigma _{y}}}\right|^{2}+{\frac {1-|\rho |^{2}}{\sigma _{y}^{2}}}\right)^{-2}\end{aligned}}} 通常、 私たちが σ x = σ y {\displaystyle \sigma _{x}=\sigma _{y}} f z ( z r , z i ) = 1 − | ρ | 2 π ( | z − ρ ∗ | 2 + 1 − | ρ | 2 ) 2 {\displaystyle f_{z}(z_{r},z_{i})={\frac {1-\left|\rho \right|^{2}}{\pi \left(\left|z-\rho ^{*}\right|^{2}+1-\left|\rho \right|^{2}\right)^{2}}}}
CDF のさらに閉じた形式の結果も示されます。
相関複素変数の比分布、 ρ = 0.7 exp( i π /4) 。 このグラフは、相関係数が である2つの複素正規変数の比の確率密度関数（pdf）を示しています。確率密度関数のピークは 、スケールダウンされた の 複素共役 付近で発生します 。 ρ = 0.7 exp ( i π / 4 ) {\displaystyle \rho =0.7\exp(i\pi /4)} ρ {\displaystyle \rho }
対数正規分布の比率 独立または相関のある対数正規分布の比は対数正規分布である。これは、 とが 対数 正規分布 に従う場合、 とが 正規分布することから導かれる。これらが独立であるか、それらの対数が 二変量正規分布 に従う場合、それらの比の 対数 は、独立または相関のある正規分布に従う確率変数の差であり、これは正規分布に従う。 [注 1] X 1 {\displaystyle X_{1}} X 2 {\displaystyle X_{2}} ln ( X 1 ) {\displaystyle \ln(X_{1})} ln ( X 2 ) {\displaystyle \ln(X_{2})}
これは、正でなければならない確率変数の比を必要とする多くの応用において重要です。この場合、 と の共分布は 対数 正規分布で適切に近似されます。これは、 が 多数の小さなパーセンテージ変化の蓄積の結果であり、 が正で近似的に対数正規分布に従う必要がある 場合の、 乗法中心極限定理（ ジブラの法則 としても知られています）の一般的な帰結です。 [15] X 1 {\displaystyle X_{1}} X 2 {\displaystyle X_{2}} X i {\displaystyle X_{i}}
例えば、一様分布 に従う2つの独立した確率変数の場合 、 比分布は次のようになる。 p X ( x ) = { 1 0 < x < 1 0 otherwise {\displaystyle p_{X}(x)={\begin{cases}1&0<x<1\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}} p Z ( z ) = { 1 / 2 0 < z < 1 1 2 z 2 z ≥ 1 0 otherwise {\displaystyle p_{Z}(z)={\begin{cases}1/2\qquad &0<z<1\\{\frac {1}{2z^{2}}}\qquad &z\geq 1\\0\qquad &{\text{otherwise}}\end{cases}}}
コーシー比分布 2つの独立確率変数 X と Y がそれぞれ、 中央値が0で形状係数が である コーシー分布 に従う場合
、確率変数の比分布は [16] である。 この分布は に依存せず、Springer [8] (p158 質問4.6)が述べた結果は 正しくない。比分布は、 確率変数の 積分布 に似ているが同じではない。 [8] より一般的には、2つの独立確率変数 X と Y がそれぞれ、中央値が0で形状係数が である コーシー 分布 に従う場合 、次の式が成り立つ。 a {\displaystyle a} p X ( x | a ) = a π ( a 2 + x 2 ) {\displaystyle p_{X}(x|a)={\frac {a}{\pi (a^{2}+x^{2})}}} Z = X / Y {\displaystyle Z=X/Y} p Z ( z | a ) = 1 π 2 ( z 2 − 1 ) ln ( z 2 ) . {\displaystyle p_{Z}(z|a)={\frac {1}{\pi ^{2}(z^{2}-1)}}\ln(z^{2}).} a {\displaystyle a} W = X Y {\displaystyle W=XY} p W ( w | a ) = a 2 π 2 ( w 2 − a 4 ) ln ( w 2 a 4 ) . {\displaystyle p_{W}(w|a)={\frac {a^{2}}{\pi ^{2}(w^{2}-a^{4})}}\ln \left({\frac {w^{2}}{a^{4}}}\right).} a {\displaystyle a} b {\displaystyle b}
確率変数の比率分布は [16] である。 Z = X / Y {\displaystyle Z=X/Y} p Z ( z | a , b ) = a b π 2 ( b 2 z 2 − a 2 ) ln ( b 2 z 2 a 2 ) . {\displaystyle p_{Z}(z|a,b)={\frac {ab}{\pi ^{2}(b^{2}z^{2}-a^{2})}}\ln \left({\frac {b^{2}z^{2}}{a^{2}}}\right).} 確率変数の 積分 布は [16] である。 W = X Y {\displaystyle W=XY} p W ( w | a , b ) = a b π 2 ( w 2 − a 2 b 2 ) ln ( w 2 a 2 b 2 ) . {\displaystyle p_{W}(w|a,b)={\frac {ab}{\pi ^{2}(w^{2}-a^{2}b^{2})}}\ln \left({\frac {w^{2}}{a^{2}b^{2}}}\right).} 比率分布の結果は、積分布を次 のように置き換えることによって得られる。 b {\displaystyle b} 1 b . {\displaystyle {\frac {1}{b}}.}
Xが 標準正規分布を持ち、 Yが 標準一様分布を持つ 場合、 Z = X / Yは スラッシュ分布 と呼ばれる分布を持ち 、確率密度関数は φ( z )が標準正規分布の確率密度関数である。 [17] p Z ( z ) = { [ φ ( 0 ) − φ ( z ) ] / z 2 z ≠ 0 φ ( 0 ) / 2 z = 0 , {\displaystyle p_{Z}(z)={\begin{cases}\left[\varphi (0)-\varphi (z)\right]/z^{2}\quad &z\neq 0\\\varphi (0)/2\quad &z=0,\\\end{cases}}}
カイ二乗分布、ガンマ分布、ベータ分布 G を正規分布(0,1)、 Y と Zをそれぞれ 自由度 m と n を持つ カイ2乗分布 とし 、 すべて独立とする 。 f χ ( x , k ) = x k 2 − 1 e − x / 2 2 k / 2 Γ ( k / 2 ) {\displaystyle f_{\chi }(x,k)={\frac {x^{{\frac {k}{2}}-1}e^{-x/2}}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}}}
G Y / m ∼ t m {\displaystyle {\frac {G}{\sqrt {Y/m}}}\sim t_{m}} スチューデント の t 分布 Y / m Z / n = F m , n {\displaystyle {\frac {Y/m}{Z/n}}=F_{m,n}} すなわちフィッシャーの F検定 分布 Y Y + Z ∼ β ( m 2 , n 2 ) {\displaystyle {\frac {Y}{Y+Z}}\sim \beta ({\tfrac {m}{2}},{\tfrac {n}{2}})} ベータ 分布 Y Z ∼ β ′ ( m 2 , n 2 ) {\displaystyle {\frac {Y}{Z}}\sim \beta '({\tfrac {m}{2}},{\tfrac {n}{2}})} 標準 ベータプライム 分布 、 非心カイ二乗分布 、 およびが から 独立している 場合 、非心 F 分布 となり ます 。 V 1 ∼ χ ′ k 1 2 ( λ ) {\displaystyle V_{1}\sim {\chi '}_{k_{1}}^{2}(\lambda )} V 2 ∼ χ ′ k 2 2 ( 0 ) {\displaystyle V_{2}\sim {\chi '}_{k_{2}}^{2}(0)} V 1 {\displaystyle V_{1}} V 2 {\displaystyle V_{2}} V 1 / k 1 V 2 / k 2 ∼ F k 1 , k 2 ′ ( λ ) , {\displaystyle {\frac {V_{1}/k_{1}}{V_{2}/k_{2}}}\sim F'_{k_{1},k_{2}}(\lambda ),}
m n F m , n ′ = β ′ ( m 2 , n 2 ) {\displaystyle {\frac {m}{n}}F'_{m,n}=\beta '({\tfrac {m}{2}},{\tfrac {n}{2}})} または、フィッシャーの F 密度分布、 つまり自由度
が m、n の 2 つのカイ 2 乗の比の PDF を
定義します。 F m , n ′ = β ′ ( m 2 , n 2 , 1 , n m ) {\displaystyle F'_{m,n}=\beta '({\tfrac {m}{2}},{\tfrac {n}{2}},1,{\tfrac {n}{m}})} F m , n ′ {\displaystyle F'_{m,n}}
F 表に見られるフィッシャー密度のCDFは、 ベータプライム分布の 記事で定義されています。m = 3 、 n = 4、右側の裾に5%の確率を持つ F 検定表 を入力すると 、臨界値は6.59になります。これは積分値と一致します。 F 3 , 4 ( 6.59 ) = ∫ 6.59 ∞ β ′ ( x ; m 2 , n 2 , 1 , n m ) d x = 0.05 {\displaystyle F_{3,4}(6.59)=\int _{6.59}^{\infty }\beta '(x;{\tfrac {m}{2}},{\tfrac {n}{2}},1,{\tfrac {n}{m}})\,dx=0.05}
任意の 形状パラメータ α 1 および α 2 を持ち、尺度パラメータが両方とも1に設定されているガンマ 分布 U および V 、つまり 、ここで 、 U ∼ Γ ( α 1 , 1 ) , V ∼ Γ ( α 2 , 1 ) {\displaystyle U\sim \Gamma (\alpha _{1},1),V\sim \Gamma (\alpha _{2},1)} Γ ( x ; α , 1 ) = x α − 1 e − x Γ ( α ) {\displaystyle \Gamma (x;\alpha ,1)={\frac {x^{\alpha -1}e^{-x}}{\Gamma (\alpha )}}}
U U + V ∼ β ( α 1 , α 2 ) , expectation = α 1 α 1 + α 2 U V ∼ β ′ ( α 1 , α 2 ) , expectation = α 1 α 2 − 1 , α 2 > 1 V U ∼ β ′ ( α 2 , α 1 ) , expectation = α 2 α 1 − 1 , α 1 > 1 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {U}{U+V}}&\sim \beta (\alpha _{1},\alpha _{2}),&{\text{ expectation }}&={\frac {\alpha _{1}}{\alpha _{1}+\alpha _{2}}}\\[1ex]{\frac {U}{V}}&\sim \beta '(\alpha _{1},\alpha _{2}),&{\text{ expectation }}&={\frac {\alpha _{1}}{\alpha _{2}-1}},\;\alpha _{2}>1\\[1ex]{\frac {V}{U}}&\sim \beta '(\alpha _{2},\alpha _{1}),&{\text{ expectation }}&={\frac {\alpha _{2}}{\alpha _{1}-1}},\;\alpha _{1}>1\end{aligned}}}
ならば 。ここで θ は速度パラメータで はなく スケール パラメータであることに注意してください。 U ∼ Γ ( x ; α , 1 ) {\displaystyle U\sim \Gamma (x;\alpha ,1)} θ U ∼ Γ ( x ; α , θ ) = x α − 1 e − x / θ θ k Γ ( α ) {\displaystyle \theta U\sim \Gamma (x;\alpha ,\theta )={\frac {x^{\alpha -1}e^{-x/\theta }}{\theta ^{k}\Gamma (\alpha )}}}
ならば 、 パラメータを1に
再スケールすると、 U ∼ Γ ( α 1 , θ 1 ) , V ∼ Γ ( α 2 , θ 2 ) {\displaystyle U\sim \Gamma (\alpha _{1},\theta _{1}),\;V\sim \Gamma (\alpha _{2},\theta _{2})} θ {\displaystyle \theta }
U θ 1 U θ 1 + V θ 2 = θ 2 U θ 2 U + θ 1 V ∼ β ( α 1 , α 2 ) {\displaystyle {\frac {\frac {U}{\theta _{1}}}{{\frac {U}{\theta _{1}}}+{\frac {V}{\theta _{2}}}}}={\frac {\theta _{2}U}{\theta _{2}U+\theta _{1}V}}\sim \beta (\alpha _{1},\alpha _{2})}
U θ 1 V θ 2 = θ 2 θ 1 U V ∼ β ′ ( α 1 , α 2 ) {\displaystyle {\frac {\frac {U}{\theta _{1}}}{\frac {V}{\theta _{2}}}}={\frac {\theta _{2}}{\theta _{1}}}{\frac {U}{V}}\sim \beta '(\alpha _{1},\alpha _{2})} したがって、 は 一般化 ベータプライム分布 を表します 。 U V ∼ β ′ ( α 1 , α 2 , 1 , θ 1 θ 2 ) and E [ U V ] = θ 1 θ 2 α 1 α 2 − 1 {\displaystyle {\frac {U}{V}}\sim \beta '(\alpha _{1},\alpha _{2},1,{\frac {\theta _{1}}{\theta _{2}}})\quad {\text{ and }}\operatorname {E} \left[{\frac {U}{V}}\right]={\frac {\theta _{1}}{\theta _{2}}}{\frac {\alpha _{1}}{\alpha _{2}-1}}} β ′ ( α , β , p , q ) {\displaystyle \beta '(\alpha ,\beta ,p,q)}
以上のことから、 ならばである ことは明らかである 。より明確に言えば、 ならば で ある
ので、 X ∼ β ′ ( α 1 , α 2 , 1 , 1 ) ≡ β ′ ( α 1 , α 2 ) {\displaystyle X\sim \beta '(\alpha _{1},\alpha _{2},1,1)\equiv \beta '(\alpha _{1},\alpha _{2})} θ X ∼ β ′ ( α 1 , α 2 , 1 , θ ) {\displaystyle \theta X\sim \beta '(\alpha _{1},\alpha _{2},1,\theta )} β ′ ( x ; α 1 , α 2 , 1 , R ) = 1 R β ′ ( x R ; α 1 , α 2 ) {\displaystyle \beta '(x;\alpha _{1},\alpha _{2},1,R)={\frac {1}{R}}\beta '({\frac {x}{R}};\alpha _{1},\alpha _{2})} U ∼ Γ ( α 1 , θ 1 ) , V ∼ Γ ( α 2 , θ 2 ) {\displaystyle U\sim \Gamma (\alpha _{1},\theta _{1}),V\sim \Gamma (\alpha _{2},\theta _{2})} U V ∼ 1 R β ′ ( x R ; α 1 , α 2 ) = ( x R ) α 1 − 1 ( 1 + x R ) α 1 + α 2 ⋅ 1 R B ( α 1 , α 2 ) , x ≥ 0 {\displaystyle {\frac {U}{V}}\sim {\frac {1}{R}}\beta '({\frac {x}{R}};\alpha _{1},\alpha _{2})={\frac {\left({\frac {x}{R}}\right)^{\alpha _{1}-1}}{\left(1+{\frac {x}{R}}\right)^{\alpha _{1}+\alpha _{2}}}}\cdot {\frac {1}{\;R\;B(\alpha _{1},\alpha _{2})}},\;\;x\geq 0} R = θ 1 θ 2 , B ( α 1 , α 2 ) = Γ ( α 1 ) Γ ( α 2 ) Γ ( α 1 + α 2 ) {\displaystyle R={\frac {\theta _{1}}{\theta _{2}}},\;\;\;B(\alpha _{1},\alpha _{2})={\frac {\Gamma (\alpha _{1})\Gamma (\alpha _{2})}{\Gamma (\alpha _{1}+\alpha _{2})}}}
レイリー分布 X 、 Yが レイリー分布 から独立に抽出された 場合 、比 Z = X / Y は分布に従う [18] f r ( r ) = ( r / σ 2 ) e − r 2 / 2 σ 2 , r ≥ 0 {\displaystyle f_{r}(r)=(r/\sigma ^{2})e^{-r^{2}/2\sigma ^{2}},\;\;r\geq 0}
f z ( z ) = 2 z ( 1 + z 2 ) 2 , z ≥ 0 {\displaystyle f_{z}(z)={\frac {2z}{(1+z^{2})^{2}}},\;\;z\geq 0} であり、累積
分布関数 は レイリー分布の唯一のパラメータはスケーリングである。 の分布は で あり、累積
分布関数は F z ( z ) = 1 − 1 1 + z 2 = z 2 1 + z 2 , z ≥ 0 {\displaystyle F_{z}(z)=1-{\frac {1}{1+z^{2}}}={\frac {z^{2}}{1+z^{2}}},\;\;\;z\geq 0} Z = α X / Y {\displaystyle Z=\alpha X/Y} f z ( z , α ) = 2 α z ( α + z 2 ) 2 , z > 0 {\displaystyle f_{z}(z,\alpha )={\frac {2\alpha z}{(\alpha +z^{2})^{2}}},\;\;z>0} F z ( z , α ) = z 2 α + z 2 , z ≥ 0 {\displaystyle F_{z}(z,\alpha )={\frac {z^{2}}{\alpha +z^{2}}},\;\;\;z\geq 0}
分数ガンマ分布（カイ、カイ二乗、指数、レイリー、ワイブルを含む） 一般 化ガンマ分布 は
f ( x ; a , d , r ) = r Γ ( d / r ) a d x d − 1 e − ( x / a ) r x ≥ 0 ; a , d , r > 0 {\displaystyle f(x;a,d,r)={\frac {r}{\Gamma (d/r)a^{d}}}x^{d-1}e^{-(x/a)^{r}}\;x\geq 0;\;\;a,\;d,\;r>0}
これには、分数べきを含む、正規分布、ガンマ分布、カイ分布、カイ二乗分布、指数分布、レイリー分布、仲上分布、ワイブル分布が含まれます。ここで、 aは速度パラメータではなく 尺度パラメータ であり 、 d は形状パラメータであることに注意してください。
もし U ∼ f ( x ; a 1 , d 1 , r ) , V ∼ f ( x ; a 2 , d 2 , r ) are independent, and W = U / V {\displaystyle U\sim f(x;a_{1},d_{1},r),\;\;V\sim f(x;a_{2},d_{2},r){\text{ are independent, and }}W=U/V} その後 [19] g ( w ) = r ( a 1 a 2 ) d 2 B ( d 1 r , d 2 r ) w − d 2 − 1 ( 1 + ( a 2 a 1 ) − r w − r ) d 1 + d 2 r , w > 0 {\textstyle g(w)={\frac {r\left({\frac {a_{1}}{a_{2}}}\right)^{d_{2}}}{B\left({\frac {d_{1}}{r}},{\frac {d_{2}}{r}}\right)}}{\frac {w^{-d_{2}-1}}{\left(1+\left({\frac {a_{2}}{a_{1}}}\right)^{-r}w^{-r}\right)^{\frac {d_{1}+d_{2}}{r}}}},\;\;w>0}
どこ B ( u , v ) = Γ ( u ) Γ ( v ) Γ ( u + v ) {\displaystyle B(u,v)={\frac {\Gamma (u)\Gamma (v)}{\Gamma (u+v)}}}
異なるスケーリング係数の混合モデル化 上記の比率では、ガンマ サンプル U 、 V の サンプル サイズは異なる場合がありますが、 等しいスケーリングで 同じ分布から抽出される必要があります 。 α 1 , α 2 {\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2}} x α − 1 e − x / θ θ k Γ ( α ) {\displaystyle {\frac {x^{\alpha -1}e^{-x/\theta }}{\theta ^{k}\Gamma (\alpha )}}} θ {\displaystyle \theta }
U と V のスケールが異なる場合 、変数変換によって修正ランダム比pdfを決定できます。 ここで 任意の値とし、上記より、 とします 。 X = U U + V = 1 1 + B {\displaystyle X={\frac {U}{U+V}}={\frac {1}{1+B}}} U ∼ Γ ( α 1 , θ ) , V ∼ Γ ( α 2 , θ ) , θ {\displaystyle U\sim \Gamma (\alpha _{1},\theta ),V\sim \Gamma (\alpha _{2},\theta ),\theta } X ∼ B e t a ( α 1 , α 2 ) , B = V / U ∼ B e t a ′ ( α 2 , α 1 ) {\displaystyle X\sim \mathrm {Beta} (\alpha _{1},\alpha _{2}),B=V/U\sim \mathrm {Beta} '(\alpha _{2},\alpha _{1})}
V を任意に再スケールし 、定義する Y ∼ U U + φ V = 1 1 + φ B , 0 ≤ φ ≤ ∞ {\displaystyle Y\sim {\frac {U}{U+\varphi V}}={\frac {1}{1+\varphi B}},\;\;0\leq \varphi \leq \infty }
となり、 Y に代入する と 、 B = 1 − X X {\displaystyle B={\frac {1-X}{X}}} Y = X φ + ( 1 − φ ) X {\displaystyle Y={\frac {X}{\varphi +(1-\varphi )X}}} d Y / d X = φ ( φ + ( 1 − φ ) X ) 2 {\displaystyle dY/dX={\frac {\varphi }{(\varphi +(1-\varphi )X)^{2}}}}
Xを Y に 変換する と f Y ( Y ) = f X ( X ) | d Y / d X | = β ( X , α 1 , α 2 ) φ / [ φ + ( 1 − φ ) X ] 2 {\displaystyle f_{Y}(Y)={\frac {f_{X}(X)}{|dY/dX|}}={\frac {\beta (X,\alpha _{1},\alpha _{2})}{\varphi /[\varphi +(1-\varphi )X]^{2}}}}
ついに X = φ Y 1 − ( 1 − φ ) Y {\displaystyle X={\frac {\varphi Y}{1-(1-\varphi )Y}}} f Y ( Y , φ ) = φ [ 1 − ( 1 − φ ) Y ] 2 β ( φ Y 1 − ( 1 − φ ) Y , α 1 , α 2 ) , 0 ≤ Y ≤ 1 {\displaystyle f_{Y}(Y,\varphi )={\frac {\varphi }{[1-(1-\varphi )Y]^{2}}}\beta {\left({\frac {\varphi Y}{1-(1-\varphi )Y}},\alpha _{1},\alpha _{2}\right)},\;\;\;0\leq Y\leq 1}
したがって、 次 の よう に分布する。 U ∼ Γ ( α 1 , θ 1 ) {\displaystyle U\sim \Gamma (\alpha _{1},\theta _{1})} V ∼ Γ ( α 2 , θ 2 ) {\displaystyle V\sim \Gamma (\alpha _{2},\theta _{2})} Y = U U + V {\displaystyle Y={\frac {U}{U+V}}} f Y ( Y , φ ) {\displaystyle f_{Y}(Y,\varphi )} φ = θ 2 θ 1 {\displaystyle \varphi ={\frac {\theta _{2}}{\theta _{1}}}}
Y の分布は ここでは区間[0,1]に限定されている。これを一般化するには、 次の
ようにスケーリングすればよい。 Y ∼ f Y ( Y , φ ) {\displaystyle Y\sim f_{Y}(Y,\varphi )}
Θ Y ∼ f Y ( Y , φ , Θ ) {\displaystyle \Theta Y\sim f_{Y}(Y,\varphi ,\Theta )}
どこ f Y ( Y , φ , Θ ) = φ / Θ [ 1 − ( 1 − φ ) Y / Θ ] 2 β ( φ Y / Θ 1 − ( 1 − φ ) Y / Θ , α 1 , α 2 ) , 0 ≤ Y ≤ Θ {\displaystyle f_{Y}(Y,\varphi ,\Theta )={\frac {\varphi /\Theta }{[1-(1-\varphi )Y/\Theta ]^{2}}}\beta \left({\frac {\varphi Y/\Theta }{1-(1-\varphi )Y/\Theta }},\alpha _{1},\alpha _{2}\right),\;\;\;0\leq Y\leq \Theta }
Θ Y {\displaystyle \Theta Y} 次は、 Θ U U + φ V {\displaystyle {\frac {\Theta U}{U+\varphi V}}}
ベータ分布からのサンプルの逆数 2 つの変数の比率分布ではありませんが、1 つの変数に対する次の恒等式は便利です。
もし そうなら X ∼ β ( α , β ) {\displaystyle X\sim \beta (\alpha ,\beta )} x = X 1 − X ∼ β ′ ( α , β ) {\displaystyle \mathbf {x} ={\frac {X}{1-X}}\sim \beta '(\alpha ,\beta )} 後者 の2つの式を組み合わせる と、 Y ∼ β ′ ( α , β ) {\displaystyle \mathbf {Y} \sim \beta '(\alpha ,\beta )} y = 1 Y ∼ β ′ ( β , α ) {\displaystyle y={\frac {1}{\mathbf {Y} }}\sim \beta '(\beta ,\alpha )} もし そうなら 。 X ∼ β ( α , β ) {\displaystyle X\sim \beta (\alpha ,\beta )} x = 1 X − 1 ∼ β ′ ( β , α ) {\displaystyle \mathbf {x} ={\frac {1}{X}}-1\sim \beta '(\beta ,\alpha )} もし そうなら Y ∼ β ′ ( α , β ) {\displaystyle \mathbf {Y} \sim \beta '(\alpha ,\beta )} y = Y 1 + Y ∼ β ( α , β ) {\displaystyle y={\frac {\mathbf {Y} }{1+\mathbf {Y} }}\sim \beta (\alpha ,\beta )} 推論
1 1 + Y = Y − 1 Y − 1 + 1 ∼ β ( β , α ) {\displaystyle {\frac {1}{1+\mathbf {Y} }}={\frac {\mathbf {Y} ^{-1}}{\mathbf {Y} ^{-1}+1}}\sim \beta (\beta ,\alpha )}
1 + Y ∼ { β ( β , α ) } − 1 {\displaystyle 1+\mathbf {Y} \sim \{\;\beta (\beta ,\alpha )\;\}^{-1}} 、サンプルの逆数の分布 。 β ( β , α ) {\displaystyle \beta (\beta ,\alpha )} もし そうなら そして U ∼ Γ ( α , 1 ) , V ∼ Γ ( β , 1 ) {\displaystyle U\sim \Gamma (\alpha ,1),V\sim \Gamma (\beta ,1)} U V ∼ β ′ ( α , β ) {\displaystyle {\frac {U}{V}}\sim \beta '(\alpha ,\beta )} U / V 1 + U / V = U V + U ∼ β ( α , β ) {\displaystyle {\frac {U/V}{1+U/V}}={\frac {U}{V+U}}\sim \beta (\alpha ,\beta )}
さらなる結果は逆分布の 記事で見ることができます 。
が平均μ の独立した指数確率変数である 場合 、 X − Y は平均 0 でスケール μの 二重指数 確率変数です 。 X , Y {\displaystyle X,\;Y}
二項分布 この結果はKatzら [20]によって導き出された。
および 、が独立である と 仮定します 。 とします 。 X ∼ Binomial ( n , p 1 ) {\displaystyle X\sim {\text{Binomial}}(n,p_{1})} Y ∼ Binomial ( m , p 2 ) {\displaystyle Y\sim {\text{Binomial}}(m,p_{2})} X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} T = X / n Y / m {\displaystyle T={\frac {X/n}{Y/m}}}
すると 、 は平均 と分散で近似的に正規分布します 。 log ( T ) {\displaystyle \log(T)} log ( p 1 / p 2 ) {\displaystyle \log(p_{1}/p_{2})} ( 1 / p 1 ) − 1 n + ( 1 / p 2 ) − 1 m {\displaystyle {\frac {(1/p_{1})-1}{n}}+{\frac {(1/p_{2})-1}{m}}}
二項比分布は臨床試験において重要です。Tの分布が上記のように分かっていれば 、 与えられた比が純粋に偶然に生じる確率、すなわち偽陽性試験の確率を推定することができます。二項比の異なる近似値の堅牢性を比較した論文は数多くあります。 [ 要出典 ]
ポアソン分布と切断ポアソン分布 ポアソン変数の比 R = X/Yにおいて、 Y が有限確率でゼロとなるため R は未定義となるという 問題があります。これに対処するために、 Y のゼロサンプルを無視した、打ち切り比 R' = X/Y'を 検討します。さらに、多くの医療調査では、XとYの両方のゼロサンプルの信頼性に体系的な問題があり、いずれにしてもゼロサンプルを無視することが賢明な場合があります。
ポアソン分布のヌル標本が である確率は 、左切断ポアソン分布の一般的なpdfは e − λ {\displaystyle e^{-\lambda }} p ~ x ( x ; λ ) = 1 1 − e − λ e − λ λ x x ! , x ∈ 1 , 2 , 3 , ⋯ {\displaystyle {\tilde {p}}_{x}(x;\lambda )={\frac {1}{1-e^{-\lambda }}}{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{x}}{x!}},\;\;\;x\in 1,2,3,\cdots }
コーエン [21]によれば、 n回 の独立試行に対する 多次元切断確率密度関数は
p ~ ( x 1 , x 2 , … , x n ; λ ) = 1 ( 1 − e − λ ) n ∏ i = 1 n e − λ λ x i x i ! , x i ∈ 1 , 2 , 3 , ⋯ {\displaystyle {\tilde {p}}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n};\lambda )={\frac {1}{\left(1-e^{-\lambda }\right)^{n}}}\prod _{i=1}^{n}{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{x_{i}}}{x_{i}!}},\;\;\;x_{i}\in 1,2,3,\cdots } そして対数尤度は 微分すると次の
ようになり 、ゼロにすると最大尤度推定値が得られる。 L = ln ( p ~ ) = − n ln ( 1 − e − λ ) − n λ + ln ( λ ) ∑ i = 1 n x i − ln ∏ i = 1 n ( x i ! ) , x i ∈ 1 , 2 , 3 , ⋯ {\displaystyle L=\ln({\tilde {p}})=-n\ln \left(1-e^{-\lambda }\right)-n\lambda +\ln(\lambda )\sum _{i=1}^{n}x_{i}-\ln \prod _{i=1}^{n}(x_{i}!),\;\;\;x_{i}\in 1,2,3,\cdots } d L d λ = − n 1 − e − λ + 1 λ ∑ i = 1 n x i {\displaystyle {\frac {dL}{d\lambda }}={\frac {-n}{1-e^{-\lambda }}}+{\frac {1}{\lambda }}\sum _{i=1}^{n}x_{i}} λ ^ ML {\displaystyle {\hat {\lambda }}_{\text{ML}}}
λ ^ ML 1 − e − λ ^ ML = 1 n ∑ i = 1 n x i = x ¯ {\displaystyle {\frac {{\hat {\lambda }}_{\text{ML}}}{1-e^{-{\hat {\lambda }}_{\text{ML}}}}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}={\bar {x}}}
となるので 、切り捨て最尤推定 値は、切り捨て分布と切り捨てられていない分布の両方に対して正しいものの、切り捨てられた平均値は切り捨てられていない平均値に比べて大きく偏っている ことに注意してください。しかしながら、 は前の式の 標本平均を通じてのみデータに依存する ため、 は に対して 十分 な統計量 である と思われます。これは、従来の ポアソン分布 の手法と一致しています 。 λ ^ → 0 {\displaystyle {\hat {\lambda }}\to 0} x ¯ → 1 {\displaystyle {\bar {x}}\to 1} λ {\displaystyle \lambda } x ¯ {\displaystyle {\bar {x}}} x ¯ {\displaystyle {\bar {x}}} λ {\displaystyle \lambda } λ ^ M L {\displaystyle {\hat {\lambda }}_{ML}} x ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i {\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}
閉じた形式の解が存在しない場合は、切り捨てられた の次の近似値が 範囲全体にわたって有効です 。 λ {\displaystyle \lambda } 0 ≤ λ ≤ ∞ ; 1 ≤ x ¯ ≤ ∞ {\displaystyle 0\leq \lambda \leq \infty ;\;1\leq {\bar {x}}\leq \infty }
λ ^ = x ¯ − e − ( x ¯ − 1 ) − 0.07 ( x ¯ − 1 ) e − 0.666 ( x ¯ − 1 ) + ε , | ε | < 0.006 {\displaystyle {\hat {\lambda }}={\bar {x}}-e^{-({\bar {x}}-1)}-0.07({\bar {x}}-1)e^{-0.666({\bar {x}}-1)}+\varepsilon ,\;\;\;|\varepsilon |<0.006}
これを、単純に である非切り捨てバージョンと比較します。 は 左切り捨てモデルです が、 は非切り捨てモデルを使用しているにもかかわらず、 比率を取ること は有効な操作です。 λ ^ = x ¯ {\displaystyle {\hat {\lambda }}={\bar {x}}} R = λ ^ X / λ ^ Y {\displaystyle R={\hat {\lambda }}_{X}/{\hat {\lambda }}_{Y}} λ ^ X {\displaystyle {\hat {\lambda }}_{X}} λ ^ Y {\displaystyle {\hat {\lambda }}_{Y}}
（および クラメール・ラオ境界 ） の 漸近大分散は n λ {\displaystyle n\lambda } λ ^ {\displaystyle {\hat {\lambda }}} V a r ( λ ^ ) ≥ − ( E [ δ 2 L δ λ 2 ] λ = λ ^ ) − 1 {\displaystyle \mathbb {Var} ({\hat {\lambda }})\geq -\left(\mathbb {E} \left[{\frac {\delta ^{2}L}{\delta \lambda ^{2}}}\right]_{\lambda ={\hat {\lambda }}}\right)^{-1}}
ここで L を代入すると次の式が得られる。 そして 上の式から代入するとコーエンの分散推定値が得られる。 δ 2 L δ λ 2 = − n [ x ¯ λ 2 − e − λ ( 1 − e − λ ) 2 ] {\displaystyle {\frac {\delta ^{2}L}{\delta \lambda ^{2}}}=-n\left[{\frac {\bar {x}}{\lambda ^{2}}}-{\frac {e^{-\lambda }}{(1-e^{-\lambda })^{2}}}\right]} x ¯ {\displaystyle {\bar {x}}} V a r ( λ ^ ) ≥ λ ^ n ( 1 − e − λ ^ ) 2 1 − ( λ ^ + 1 ) e − λ ^ {\displaystyle \mathbb {Var} ({\hat {\lambda }})\geq {\frac {\hat {\lambda }}{n}}{\frac {(1-e^{-{\hat {\lambda }}})^{2}}{1-({\hat {\lambda }}+1)e^{-{\hat {\lambda }}}}}}
n回の 試行 に基づく 平均の点推定値の分散は、 nが 無限大に増加するにつれて漸近的にゼロに減少する。小さい場合、これは 例えば
Springael [22] の切断pdf分散から乖離する。Springaelは、このセクションの冒頭に示した左切断pdfにおいて、 n サンプルに対する分散を引用している 。Cohenは、pdfの分散に対する推定値の分散は、 大きい場合 （100%効率）の1から、0に近づくにつれて（50%効率）2までの範囲になることを示した 。 λ {\displaystyle \lambda } λ {\displaystyle \lambda } V a r ( λ ) = λ / n 1 − e − λ [ 1 − λ e − λ 1 − e − λ ] {\displaystyle \mathbb {Var} (\lambda )={\frac {\lambda /n}{1-e^{-\lambda }}}\left[1-{\frac {\lambda e^{-\lambda }}{1-e^{-\lambda }}}\right]} V a r ( λ ^ ) / V a r ( λ ) {\displaystyle \mathbb {Var} ({\hat {\lambda }})/\mathbb {Var} (\lambda )} λ {\displaystyle \lambda } λ {\displaystyle \lambda }
これらの平均および分散パラメータ推定値は、 X の平行推定値と併せて、ポアソン比の正規近似または二項近似に適用できます。試行からのサンプルはポアソン過程に適合しない可能性があります。ポアソン打ち切りに関する詳細な議論はDietzとBohning [23]によるものであり、Wikipediaには ゼロ打ち切りポアソン分布に関する 項目があります 。
ダブルロマックス分布 この分布は2つのラプラス分布 の比である 。 [24] X と Y を標準ラプラス分布に 従う同一確率変数とし、 z = X / Yとすると、 z の確率分布 は
f ( x ) = 1 2 ( 1 + | z | ) 2 {\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\left(1+|z|\right)^{2}}}}
X と Y の平均を a とする と、標準二重ロマックス分布は aを 中心に対称になります。
この分布には無限の平均と分散があります。
Z が 標準の二重 Lomax 分布を持つ 場合、1/ Z も標準の二重 Lomax 分布を持ちます。
標準の Lomax 分布は単峰性で、ラプラス分布よりも裾が重くなります。
0 < a < 1 の場合、 a 番目のモーメントが存在します。
Λ = | X | | X + Y | {\displaystyle \Lambda ={\frac {|\mathbf {X} |}{|\mathbf {X} +\mathbf {Y} |}}} E ( Z a ) = Γ ( 1 + a ) Γ ( 1 − a ) {\displaystyle E(Z^{a})={\frac {\Gamma (1+a)}{\Gamma (1-a)}}}
ここで Γは ガンマ関数 です 。
多変量解析における比率分布 比分布は 多変量解析 にも現れる。 [25] ランダム行列 X と Yが ウィシャート分布 に従う場合、 行列式 の比は
φ = | X | | Y | {\displaystyle \varphi ={\frac {|\mathbf {X} |}{|\mathbf {Y} |}}}
は独立したF 個の確率変数の積に比例する。X と Y が 独立した標準化 ウィシャート分布 に従う場合 、比は ウィルクスのラムダ分布 に従う 。 Λ = | X | | X + Y | {\displaystyle \Lambda ={\frac {|\mathbf {X} |}{|\mathbf {X} +\mathbf {Y} |}}}
ウィシャート行列分布に関して、が 標本ウィシャート行列であり、ベクトルが 任意だが統計的に独立である場合、ミュアヘッド [26] の系3.2.9は次のように述べている
。 S ∼ W p ( Σ , ν + 1 ) {\displaystyle S\sim W_{p}(\Sigma ,\nu +1)} V {\displaystyle V} V T S V V T Σ V ∼ χ ν 2 . {\displaystyle {\frac {V^{T}SV}{V^{T}\Sigma V}}\sim \chi _{\nu }^{2}.}
標本数の1つの不一致は、標本共分散を形成する際に標本平均を推定することから生じており、これは コクランの定理 の結果である。同様に、 これはミュアヘッドの定理3.2.12である。 [26] V T Σ − 1 V V T S − 1 V ∼ χ ν − p + 1 2 , {\displaystyle {\frac {V^{T}\Sigma ^{-1}V}{V^{T}S^{-1}V}}\sim \chi _{\nu -p+1}^{2},}
参照
注記 ^ ただし、 と は それぞれ 対数 正規分布に従うものの、二変量対数正規分布に従うわけではないことに注意してください。2022年6月8日現在、Wikipediaの「 コピュラ（確率論） 」の記事には、二変量正規分布に従うわけではない、ガンベルコピュラと共存する2つの正規分布の密度分布と等高線図が掲載されています。 X 1 {\displaystyle X_{1}} X 2 {\displaystyle X_{2}}
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外部リンク 
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![{\displaystyle \operatorname {E} [(UV)^{p}]=\operatorname {E} [U^{p}]\;\;\operatorname {E} [V^{p}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9149cfa34e27efa89667271f15f27fac5697b7dd)
![{\displaystyle \operatorname {E} [(X/Y)^{p}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7171539fbc3f6d567bf2a5ab705e9bfe62cc713)
![{\displaystyle \オペレータ名 {E} [(XZ)^{p}]=\オペレータ名 {E} [X^{p}]\;\オペレータ名 {E} [Y^{-p}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67fd6c76e269bb6cabfb1d29e854131542afb6ef)
![{\textstyle \operatorname {E} [Y^{-p}]=\int _{0}^{\infty }y^{-p}f_{y}(y)\,dy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89f6be5e9c237765257548caf7e099b708d0e387)
![{\displaystyle \operatorname {E} [Z^{p}]=\operatorname {E} [Y^{-p}]={\frac {\Gamma (\beta -p)}{\Gamma (\beta )}},\;p<\beta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/183100f28d21720a9011434eef53b9547324ef47)
![{\displaystyle \operatorname {E} [(X/Y)^{p}]=\operatorname {E} [X^{p}]\;\operatorname {E} [Y^{-p}]={\frac {\Gamma (\alpha +p)}{\Gamma (\alpha )}}{\frac {\Gamma (\beta -p)}{\Gamma (\beta )}},\;p<\beta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c849e320d085f73f456cbe534de3cd5f86cbf83)
![{\displaystyle \operatorname {E} [R^{p}]={\frac {\mathrm {B} (\alpha +p,\beta -p)}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09d4192aa7f63361b7a98afcbf8dce1db21cad90)
![{\displaystyle \operatorname {E} [R^{p}]={\frac {\Gamma (\alpha +p)\Gamma (\beta -p)}{\Gamma (\alpha +\beta )}}{\Bigg /}{\frac {\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}{\Gamma (\alpha +\beta )}}={\frac {\Gamma (\alpha +p)\Gamma (\beta -p)}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f797f5d402ccf536ea7024ac64455eccfc959112)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X/Y)&=\operatorname {E} ([X/Y]^{2})-\operatorname {E^{2}} (X/Y)\\&=\operatorname {E} (X^{2})\operatorname {E} (1/Y^{2})-\operatorname {E} ^{2}(X)\operatorname {E} ^{2}(1/Y)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a0f882624693351c91d81e4e9c4bfb12fa1bdb2)
![{\displaystyle [0,2\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/348d40bf3f8b7e1c00c4346440d7e2e4f0cc9b91)
![{\displaystyle p_{Z}^{\dagger }(z)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{\frac {p}{\mathrm {erf} [q]}}{\frac {1}{r}}{\frac {1+{\frac {p^{2}}{q^{2}}}{\frac {z}{r}}}{\left(1+{\frac {p^{2}}{q^{2}}}\left[{\frac {z}{r}}\right]^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}e^{-{\frac {p^{2}\left({\frac {z}{r}}-1\right)^{2}}{1+{\frac {p^{2}}{q^{2}}}\left[{\frac {z}{r}}\right]^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/760ef876570625a8e20783d35a0a77d275a0dd4c)
![{\displaystyle x/y\in [r,r+\delta ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/704f8600b0cdc241fbe2ba308a02114da721ea16)
![{\displaystyle {\begin{aligned}f_{z}(z_{r},z_{i})&={\frac {1-|\rho |^{2}}{\pi \sigma _{x}^{2}\sigma _{y}^{2}}}\left({\frac {|z|^{2}}{\sigma _{x}^{2}}}+{\frac {1}{\sigma _{y}^{2}}}-2{\frac {\rho _{r}z_{r}-\rho _{i}z_{i}}{\sigma _{x}\sigma _{y}}}\right)^{-2}\\[1ex]&={\frac {1-|\rho |^{2}}{\pi \sigma _{x}^{2}\sigma _{y}^{2}}}\left(\;\;\left|{\frac {z}{\sigma _{x}}}-{\frac {\rho ^{*}}{\sigma _{y}}}\right|^{2}+{\frac {1-|\rho |^{2}}{\sigma _{y}^{2}}}\right)^{-2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19a9dd0b94623afcfdf488dd1216dfb8e6a3b2e5)
![{\displaystyle p_{Z}(z)={\begin{cases}\left[\varphi (0)-\varphi (z)\right]/z^{2}\quad &z\neq 0\\\varphi (0)/2\quad &z=0,\\\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/498e4c4f1b1dc7cef7b95dd72db44fa7117fa41a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {U}{U+V}}&\sim \beta (\alpha _{1},\alpha _{2}),&{\text{期待値}}&={\frac {\alpha _{1}}{\alpha _{1}+\alpha _{2}}}\\[1ex]{\frac {U}{V}}&\sim \beta '(\alpha _{1},\alpha _{2}),&{\text{期待値}}&={\frac {\alpha _{1}}{\alpha _{2}-1}},\;\alpha _{2}>1\\[1ex]{\frac {V}{U}}&\sim \beta '(\alpha _{2},\alpha _{1}),&{\text{期待値}}&={\frac {\alpha _{2}}{\alpha _{1}-1}},\;\alpha _{1}>1\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6107d9b36bd0ea9c228ded6b0af2e56a6e622f5c)
![{\displaystyle {\frac {U}{V}}\sim \beta '(\alpha _{1},\alpha _{2},1,{\frac {\theta _{1}}{\theta _{2}}})\quad {\text{ および }}\operatorname {E} \left[{\frac {U}{V}}\right]={\frac {\theta _{1}}{\theta _{2}}}{\frac {\alpha _{1}}{\alpha _{2}-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/191d3f44ba22b870d622d6f4736e5c49f63f7ece)
![{\displaystyle f_{Y}(Y)={\frac {f_{X}(X)}{|dY/dX|}}={\frac {\beta (X,\alpha _{1},\alpha _{2})}{\varphi /[\varphi +(1-\varphi )X]^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2d4f4aca532e9dffd0e39495cd1f3f0f2e961b8)
![{\displaystyle f_{Y}(Y,\varphi )={\frac {\varphi }{[1-(1-\varphi )Y]^{2}}}\beta {\left({\frac {\varphi Y}{1-(1-\varphi )Y}},\alpha _{1},\alpha _{2}\right)},\;\;\;0\leq Y\leq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d13c2cd22626247619b503d34228258861f2f3e)
![{\displaystyle f_{Y}(Y,\varphi ,\Theta )={\frac {\varphi /\Theta }{[1-(1-\varphi )Y/\Theta ]^{2}}}\beta \left({\frac {\varphi Y/\Theta }{1-(1-\varphi )Y/\Theta }},\alpha _{1},\alpha _{2}\right),\;\;\;0\leq Y\leq \Theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69d2227af45c98a5fe264bacbd94b8119e6728d7)
![{\displaystyle \mathbb {Var} ({\hat {\lambda }})\geq -\left(\mathbb {E} \left[{\frac {\delta ^{2}L}{\delta \lambda ^{2}}}\right]_{\lambda ={\hat {\lambda }}}\right)^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48c158b23e75d9fda80844a9340b3de19e20a75d)
![{\displaystyle {\frac {\delta ^{2}L}{\delta \lambda ^{2}}}=-n\left[{\frac {\bar {x}}{\lambda ^{2}}}-{\frac {e^{-\lambda }}{(1-e^{-\lambda })^{2}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25d08fb02fe61e2bc49dfc51bacefce9a92533b0)
![{\displaystyle \mathbb {Var} (\lambda )={\frac {\lambda /n}{1-e^{-\lambda }}}\left[1-{\frac {\lambda e^{-\lambda }}{1-e^{-\lambda }}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67d5b4a7490a4da12f5d1e255df20fdc384d95fd)
