カスティリアーノ法

カルロ・アルベルト・カスティリアーノにちなんで名付けられたカスティリアーノ法は、エネルギーの偏微分に基づいて線形弾性系の変位を求める方法です。エネルギーの変化は、原因となる力と結果として生じる変位の積に等しいことを思い出すと、基本的な概念は容易に理解できるでしょう。したがって、原因となる力は、エネルギーの変化を結果として生じる変位で割ったものに等しくなります。あるいは、結果として生じる変位は、エネルギーの変化を原因となる力で割ったものに等しくなります。偏微分は、原因となる力と結果として生じる変位をエネルギーの変化に関連付けるために必要です。

カスティリアーノの定理

カスティリアーノの第一定理 – 弾性構造における力について

カスティリアーノの力の計算方法は、彼の第一定理を応用したもので、次のように述べられています。

_{弾性構造のひずみエネルギーが一般化変位 q i}の関数として表せる場合、一般化変位に対するひずみエネルギーの偏微分は一般化力 Q _iを与えます。

方程式形式では、U $は$ ひずみエネルギーです。 $Q_{i}={\frac {\partial U}{\partial q_{i}}}$

カスティリアーノの第二定理 – 線形弾性構造における変位について

カスティリアーノの変位計算法は、彼の第 2 定理を応用したもので、次のようになります。

_{線形弾性構造のひずみエネルギーが一般化力 Q i}の関数として表せる場合、一般化力に対するひずみエネルギーの偏微分は、 Q _iの方向の一般化変位 q _iを与えます。

上記のように、2 番目の定理も数学的に表現できます。 $q_{i}={\frac {\partial U}{\partial Q_{i}}}$

力-変位曲線が非線形の場合は、ひずみエネルギーの代わりに補完ひずみエネルギーを使用する必要があります。^[1]

例

端に荷重がかかっている細い直線の片持ち梁の場合、端の変位はカスティリアーノの第 2 定理によって求められます。 $P$ $\delta$

$\delta ={\frac {\partial U}{\partial P}}$ $\delta ={\frac {\partial }{\partial P}}\int _{0}^{L}{{\frac {M^{2}(x)}{2EI}}dx}={\frac {\partial }{\partial P}}\int _{0}^{L}{{\frac {(Px)^{2}}{2EI}}dx}$ ここで、はヤング率、は断面積の二次モーメント、は端からの距離にある点における内部モーメントを表す式です。積分は次のように求められます。 $E$ $I$ $M(x)=Px$ $x$ ${\begin{aligned}\delta &={\frac {\partial }{\partial P}}\int _{0}^{L}{{\frac {P^{2}x^{2}}{2EI}}dx}={\frac {\partial }{\partial P}}{\frac {P^{2}L^{3}}{6EI}}\\&={\frac {PL^{3}}{3EI}}.\end{aligned}}$

結果は、端部荷重を受ける片持ち梁に与えられた標準式です。

カスティリアーノの定理は、ひずみエネルギーが有限である場合に適用されます。これはの場合に当てはまります。^[2]はエネルギーの位数（＝エネルギーの最高導関数）であり、はディラックのデルタ（単一の力、）の指数であり、は空間の次元です。2次方程式、には2つのディラックのデルタ、、力、、転位が含まれ、4次方程式、には4つのディラックのデルタ、力、モーメント、曲げ、転位が含まれます。 $m-i>n/2$ $m=1,2$ $i=0,1,2,3$ $i=0$ $n=1,2,3$ $m=1$ $i=0$ $i=1$ $m=2$ $i=0$ $i=1$ $i=2$ $i=3$

例: プレートに単一の力が加わっている場合、不等式は成立せず、、においても成立しません。また、膜 (ラプラス) 、、または Reissner-Mindlin プレートにも適用されません。一般に、Castigliano の定理はおよびの問題には適用されません。例外はキルヒホッフプレートです。これはのためです。しかし、モーメントはキルヒホッフプレートのエネルギーをオーバーフローさせます。問題では、のとき、ひずみエネルギーは有限です。 $m=1,n=2$ $i=0$ $1-0\ngtr 2/2$ $3-D$ $m=1,n=3,1-0\ngtr 3/2$ $m=1,n=2,i=0$ $m=1,n=2,i=0$ $2-D$ $3-D$ $m=2,n=2,i=0$ $2-0>2/2$ $i=1$ $2-1\ngtr 2/2$ $1-D$ $m-i>1/2$

メナブレアの定理にも同様の制約が課せられます。2が成立することが必要です。これは支持反力、単力、モーメントの順序です。キルヒホッフ板と（支持反力としての単力）を除き、点支持が存在するとエネルギーが無限大になるため、一般には成立しません。 $m-i>n/$ $i$ $i=0$ $i=1$ $i=0$ $2-D$ $3-D$

外部リンク

カルロ・アルベルト・カスティリアーノ
カスティリアーノ法：いくつかの例（ドイツ語）

参考文献

^ 材料強度の歴史、Stephen P. Timoshenko、1993年、Dover Publications、ニューヨーク
^ 現代的観点からの静力学と影響関数、ハートマン、ヤーン、第1章35ソボレフの埋め込み定理、第2版、2021年、シュプリンガー、p.71

[1] 材料強度の歴史、Stephen P. Timoshenko、1993年、Dover Publications、ニューヨーク

[2] 現代的観点からの静力学と影響関数、ハートマン、ヤーン、第1章35ソボレフの埋め込み定理、第2版、2021年、シュプリンガー、p.71