適切な地図

あらゆるコンパクトの原像がコンパクトであるという性質を持つ位相空間間の写像

数学において、位相空間間の関数は、コンパクト部分集合の逆像がコンパクトであるとき、固有写像と呼ばれる。^[1]代数幾何学において、類似の概念は固有写像と呼ばれる。

意味

「真関数」には、複数の競合する定義があります。ある研究者は、 2つの位相空間間の関数が におけるすべてのコンパクト集合の逆像がにおいてコンパクトである場合に真関数と呼ぶことがあります。また、写像が連続かつコンパクトファイバーで閉じている場合、つまり、連続閉写像であり、 におけるすべての点の逆像がコンパクトである場合に真関数と呼ぶこともあります。が局所コンパクトでハウスドルフである場合、2つの定義は同値です。 ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$

同等性の部分的証明

が閉写像であるとし、そのような写像はすべての に対してコンパクト ( において ) です。が のコンパクト部分集合であるとすると、がコンパクトであることを示すことが残っています。 ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y\in Y.}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle f^{-1}(K)}$ を の開被覆とします。すると、すべての に対して、これも の開被覆になります。後者はコンパクトであると仮定されているので、有限部分被覆を持ちます。言い換えると、任意の に対して、 となる有限部分集合が存在し、その集合は で閉じており、その下の像はで閉じています。なぜなら、 は閉写像だからです。したがって、集合は で開いています。従って、 には点 が含まれます。ここで、はコンパクトであると仮定されているので、となる点は有限個存在します。さらに、集合は有限集合の有限和であり、有限集合を形成します。 ${\displaystyle \left\{U_{a}:a\in A\right\}}$ ${\displaystyle f^{-1}(K).}$ ${\displaystyle k\in K}$ ${\displaystyle f^{-1}(k).}$ ${\displaystyle k\in K,}$ ${\displaystyle \gamma _{k}\subseteq A}$ ${\displaystyle f^{-1}(k)\subseteq \cup _{a\in \gamma _{k}}U_{a}.}$ ${\displaystyle X\setminus \cup _{a\in \gamma _{k}}U_{a}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle V_{k}=Y\setminus f\left(X\setminus \cup _{a\in \gamma _{k}}U_{a}\right)}$$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle V_{k}}$ ${\displaystyle k.}$ ${\displaystyle K\subseteq \cup _{k\in K}V_{k}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle k_{1},\dots ,k_{s}}$ ${\displaystyle K\subseteq \cup _{i=1}^{s}V_{k_{i}}.}$ ${\displaystyle \Gamma =\cup _{i=1}^{s}\gamma _{k_{i}}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ これで、次の式が成り立ち、有限のサブカバーが見つかり、これで証明が完了します。 ${\displaystyle f^{-1}(K)\subseteq f^{-1}\left(\cup _{i=1}^{s}V_{k_{i}}\right)\subseteq \cup _{a\in \Gamma }U_{a}}$ ${\displaystyle f^{-1}(K),}$

がハウスドルフであり、局所コンパクト・ハウスドルフである場合、真 は普遍的に閉じていることと同値である。写像が普遍的に閉じているとは、任意の位相空間に対して写像が閉じていることである。 がハウスドルフである場合、これは任意の写像に対して引き戻しが閉じていることを要求することと同値であり、これは が の閉部分空間であるという事実から導かれる。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle f\times \operatorname {id} _{Z}:X\times Z\to Y\times Z}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z\to Y}$ ${\displaystyle X\times _{Y}Z\to Z}$ ${\displaystyle X\times _{Y}Z}$ ${\displaystyle X\times Z.}$

とが距離空間である場合の同等の、おそらくより直感的な定義は次のとおりです。位相空間内の点の無限列が無限に脱出するとは、任意のコンパクトセットに対して有限個の点のみがそこに含まれる場合です。連続写像が適切であるとは、任意の点の列が無限に脱出する場合、その列が無限に脱出する場合に限ります。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \{p_{i}\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \left\{p_{i}\right\}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \left\{f\left(p_{i}\right)\right\}}$ ${\displaystyle Y.}$

プロパティ

• コンパクト空間からハウスドルフ空間へのすべての連続写像は、適切かつ閉じています。
• すべての射影固有写像はコンパクト被覆写像である。
  • 写像がコンパクト被覆と呼ばれるのは、任意のコンパクト部分集合に対して、 ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle K\subseteq Y}$ ${\displaystyle C\subseteq X}$ ${\displaystyle f(C)=K.}$
• 位相空間がコンパクトであるためには、その空間から単一の点への写像が適切である必要があります。
• が適切な連続写像であり、がコンパクトに生成されたハウスドルフ空間（これには第一可算または局所コンパクトであるハウスドルフ空間が含まれる）である場合、は閉じている。^[2] ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$

一般化

位相空間の適切な写像の概念をロケールとトポイに一般化することは可能です（Johnstone 2002を参照）。

参照

• ほぼオープンな地図 - オープンな地図と同等の条件を満たす地図
• 開写像と閉写像 – 開（または閉）部分集合を開（または閉）部分集合に送る関数
• 完全写像 – 連続した閉射影写像で、その各ファイバーもコンパクト集合である
• トポロジー用語集

引用

1. Lee 2012、610ページ、上記提案A.53。
2. Palais, Richard S. (1970). 「真写像が閉じている場合」.アメリカ数学会誌. 24 (4): 835– 836. doi : 10.1090/s0002-9939-1970-0254818-x . MR  0254818.

参考文献

• ブルバキ、ニコラ（1998年）.一般位相幾何学. 第5章～10章. 数学の原論. ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 978-3-540-64563-4. MR  1726872。
• ジョンストン、ピーター（2002年）『象のスケッチ：トポス理論大要』オックスフォード：オックスフォード大学出版局、ISBN 0-19-851598-7。特にセクションC3.2「適切な地図」
• ブラウン、ロナルド(2006). 『位相幾何学と群論』 ノースカロライナ州: Booksurge . ISBN 1-4196-2722-8。特にp. 90「適切な地図」とセクション3.6の練習問題。
• ブラウン、ロナルド(1973). 「逐次的に適切な写像と逐次コンパクト化」.ロンドン数学会誌. 第2シリーズ. 7 (3): 515– 522. doi :10.1112/jlms/s2-7.3.515.
• Lee, John M. (2012). 『滑らかな多様体入門』 .大学院数学テキスト. 第218巻（第2版）. ニューヨーク・ロンドン: Springer-Verlag . ISBN 978-1-4419-9981-8. OCLC  808682771。

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