圏論とその 数学 への応用 において 、 零個の対象 を持つ 圏 における 有限個の対象集合の 重 積は、 積 と 余積の 両方である 。 前加法圏 においては、積と余積の概念は有限個の対象集合に対して一致する。 [1] 重積は、 加群の有限直和 の一般化である。
意味 C を 射がゼロ である 圏 とする 。C 内のオブジェクト A 1 , ..., A n の有限（空の可能性もある）集合が与えられたとき 、 それらの 副積は C 内の オブジェクト と射 がゼロである 。 A 1 ⊕ ⋯ ⊕ A n {\textstyle A_{1}\oplus \dots \oplus A_{n}}
p k : A 1 ⊕ ⋯ ⊕ A n → A k {\textstyle p_{k}\!:A_{1}\oplus \dots \oplus A_{n}\to A_{k}} C （ 射影 射影 ） i k : A k → A 1 ⊕ ⋯ ⊕ A n {\textstyle i_{k}\!:A_{k}\to A_{1}\oplus \dots \oplus A_{n}} （ 埋め込み 射 ） 満足のいく
p k ∘ i k = 1 A k {\textstyle p_{k}\circ i_{k}=1_{A_{k}}} 、および の恒等射 A k , {\displaystyle A_{k},} p l ∘ i k = 0 {\textstyle p_{l}\circ i_{k}=0} の 零射 は A k → A l , {\displaystyle A_{k}\to A_{l},} k ≠ l , {\displaystyle k\neq l,} そして、
( A 1 ⊕ ⋯ ⊕ A n , p k ) {\textstyle \left(A_{1}\oplus \dots \oplus A_{n},p_{k}\right)} は 、 および A k , {\textstyle A_{k},} ( A 1 ⊕ ⋯ ⊕ A n , i k ) {\textstyle \left(A_{1}\oplus \dots \oplus A_{n},i_{k}\right)} は 、 A k . {\textstyle A_{k}.} C が前加法的で、最初の2つの条件が成り立つ 場合、最後の2つの条件はそれぞれ n > 0 の場合と等価である 。[2] 空、あるいは 零項 積は常に カテゴリの 終端対象であり、空余積は常にカテゴリの 始端対象 である。したがって、空、あるいは零項双積は常に 零対象 である。 i 1 ∘ p 1 + ⋯ + i n ∘ p n = 1 A 1 ⊕ ⋯ ⊕ A n {\textstyle i_{1}\circ p_{1}+\dots +i_{n}\circ p_{n}=1_{A_{1}\oplus \dots \oplus A_{n}}}
例 アーベル群 のカテゴリでは、双積は常に存在し、 直和 によって与えられる 。 [3] 零対象は 自明群 である。
同様に、 体 上の ベクトル空間のカテゴリ にも重積が存在する。重積は再び直和であり、零対象は 自明なベクトル空間 である。
より一般的には、 環 上の 加群のカテゴリ に双積が存在します。
一方、 群のカテゴリ には二重積は存在しない。 [4] ここで、積は 直積で あるが、余積は 自由積 である。
また、集合の圏 には双積は存在しません 。なぜなら、積は 直積 で与えられ、余積は 互いに素な和 で与えられるからです。この圏には零対象はありません。
ブロック行列代数は 行列 のカテゴリにおける二重積に依存します 。 [5]
プロパティ カテゴリ C 内のオブジェクト A と B のすべてのペアに対して二重積が存在し 、 C にゼロ オブジェクトがある場合、すべての有限二重積が存在するため、 C は デカルト モノイド カテゴリ とコ デカルト モノイド カテゴリの 両方になります。 A ⊕ B {\textstyle A\oplus B}
あるオブジェクトA 1 、 A 2 のペアに対して 積 と余積が両方存在する場合、 次のような 唯一の射が存在する。 A 1 × A 2 {\textstyle A_{1}\times A_{2}} A 1 ∐ A 2 {\textstyle A_{1}\coprod A_{2}} f : A 1 ∐ A 2 → A 1 × A 2 {\textstyle f:A_{1}\coprod A_{2}\to A_{1}\times A_{2}}
p k ∘ f ∘ i k = 1 A k , ( k = 1 , 2 ) {\displaystyle p_{k}\circ f\circ i_{k}=1_{A_{k}},\ (k=1,2)} p l ∘ f ∘ i k = 0 {\displaystyle p_{l}\circ f\circ i_{k}=0} [ 説明 が必要 ] k ≠ l . {\textstyle k\neq l.} したがって、 fが 同型 である 場合にのみ、 副積が存在することになります 。 A 1 ⊕ A 2 {\textstyle A_{1}\oplus A_{2}}
Cが 前加法圏 ならば 、 すべての有限積は二積であり、すべての有限余積は二積である。例えば、 が存在するならば、 次のような 唯一の射が存在する。 A 1 × A 2 {\textstyle A_{1}\times A_{2}} i k : A k → A 1 × A 2 {\textstyle i_{k}:A_{k}\to A_{1}\times A_{2}}
p k ∘ i k = 1 A k , ( k = 1 , 2 ) {\displaystyle p_{k}\circ i_{k}=1_{A_{k}},\ (k=1,2)} p l ∘ i k = 0 {\displaystyle p_{l}\circ i_{k}=0} のために k ≠ l . {\textstyle k\neq l.} が余積、つまり副積でもある ことを確認するために、 何らかのオブジェクト に対する射があると仮定します 。定義する と、 は から へ の射であり 、 に対しても射です 。 A 1 × A 2 {\textstyle A_{1}\times A_{2}} f k : A k → X , k = 1 , 2 {\textstyle f_{k}:A_{k}\to X,\ k=1,2} X {\textstyle X} f := f 1 ∘ p 1 + f 2 ∘ p 2 . {\textstyle f:=f_{1}\circ p_{1}+f_{2}\circ p_{2}.} f {\textstyle f} A 1 × A 2 {\textstyle A_{1}\times A_{2}} X {\textstyle X} f ∘ i k = f k {\textstyle f\circ i_{k}=f_{k}} k = 1 , 2 {\textstyle k=1,2}
この場合、常に
i 1 ∘ p 1 + i 2 ∘ p 2 = 1 A 1 × A 2 . {\textstyle i_{1}\circ p_{1}+i_{2}\circ p_{2}=1_{A_{1}\times A_{2}}.} 加法 圏とは、すべての有限な双積が存在する 前加法圏 である 。特に、 アーベル圏 においては双積は常に存在する。
参考文献 ^ ボルセ、4-5 ^ サンダース・マックレーン著『働く数学者のためのカテゴリー』第2版、194ページ。 ^ ボルセ、8 ^ ボルセ、7 ^ HD Macedo、JN Oliveira、「線形代数の型付け：二積指向アプローチ」、Science of Computer Programming、第78巻、第11号、2013年11月1日、2160-2191ページ、 ISSN 0167-6423、 doi ：10.1016/j.scico.2012.07.012。 
