最初の基本形

ドット積によって誘導される3D面の内積

微分幾何学において、第一基本形式は、三次元ユークリッド空間における曲面の接空間上の内積であり、 R ³の内積から正準的に誘導される。これにより、曲面の曲率や長さ、面積といった計量特性を、周囲の空間と整合した方法で計算することができる。第一基本形式はローマ数字Iで表される。 $${\displaystyle \mathrm {I} (x,y)=\langle x,y\rangle .}$$

意味

X ( u , v )をパラメトリック曲面とする。2つの接ベクトルの内積は、E、F、Gが第1基本形式の係数である。 $${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {I} (aX_{u}+bX_{v},cX_{u}+dX_{v})\\[5pt]={}&ac\langle X_{u},X_{u}\rangle +(ad+bc)\langle X_{u},X_{v}\rangle +bd\langle X_{v},X_{v}\rangle \\[5pt]={}&Eac+F(ad+bc)+Gbd,\end{aligned}}}$$

最初の基本形式は対称行列として表すことができます。 $${\displaystyle \mathrm {I} (x,y)=x^{\mathsf {T}}{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}y}$$

さらなる表記

最初の基本形式が 1 つの引数のみで記述されている場合、それはそのベクトルとそれ自身の内積を表します。 $${\displaystyle \mathrm {I} (v)=\langle v,v\rangle =|v|^{2}}$$

第一基本形は、計量テンソルの現代的な記法で書かれることが多い。係数はg _ijと表記される。 $${\displaystyle \left(g_{ij}\right)={\begin{pmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{21}&g_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}}$$

このテンソルの成分は、接線ベクトルX ₁とX ₂のスカラー積として計算されます。i 、j = 1、2の場合です。以下の例を参照してください。 $${\displaystyle g_{ij}=\langle X_{i},X_{j}\rangle }$$

長さと面積の計算

第一基本形式は、曲面の計量特性を完全に記述する。したがって、曲面上の曲線の長さや曲面上の領域の面積を計算することができる。線分要素 dsは、第一基本形式の係数を用いて次のように表される。 $${\displaystyle ds^{2}=E\,du^{2}+2F\,du\,dv+G\,dv^{2}\,.}$$

dA = | X _u × X _v | du dvで与えられる古典的な面積要素は、ラグランジュの恒等式を用いて第一基本形式で表すことができる。 $${\displaystyle dA=|X_{u}\times X_{v}|\ du\,dv={\sqrt {\langle X_{u},X_{u}\rangle \langle X_{v},X_{v}\rangle -\left\langle X_{u},X_{v}\right\rangle ^{2}}}\,du\,dv={\sqrt {EG-F^{2}}}\,du\,dv.}$$

例: 球面上の曲線

R ³の単位球面上の球面曲線は、次のようにパラメータ化できます。X ( u , v )をuとvについて微分すると、次の式が得られます。最初の基本形式の係数は、偏導関数のドット積を取ることで求められます。 $${\displaystyle X(u,v)={\begin{bmatrix}\cos u\sin v\\\sin u\sin v\\\cos v\end{bmatrix}},\ (u,v)\in [0,2\pi )\times [0,\pi ].}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}X_{u}&={\begin{bmatrix}-\sin u\sin v\\\cos u\sin v\\0\end{bmatrix}},\\[5pt]X_{v}&={\begin{bmatrix}\cos u\cos v\\\sin u\cos v\\-\sin v\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}E&=X_{u}\cdot X_{u}=\sin ^{2}v\\F&=X_{u}\cdot X_{v}=0\\G&=X_{v}\cdot X_{v}=1\end{aligned}}}$$それで： $${\displaystyle {\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin ^{2}v&0\\0&1\end{bmatrix}}.}$$

球面上の曲線の長さ

単位球面の赤道は、tが0から2πの範囲にあるパラメータ化された曲線で表されます。線分要素を用いてこの曲線の長さを計算することができます。 $${\displaystyle (u(t),v(t))=(t,{\tfrac {\pi }{2}})}$$

$${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\sqrt {E\left({\frac {du}{dt}}\right)^{2}+2F{\frac {du}{dt}}{\frac {dv}{dt}}+G\left({\frac {dv}{dt}}\right)^{2}}}\,dt=\int _{0}^{2\pi }\left|\sin v\right|\,dt=2\pi \sin {\tfrac {\pi }{2}}=2\pi }$$

球面上の領域の面積

面積要素は単位球の面積を計算するために使用できます。

$${\displaystyle \int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {EG-F^{2}}}\ du\,dv=\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\sin v\,du\,dv=2\pi {\Big [}{-\cos v}{\Big ]}_{0}^{\pi }=4\pi }$$

ガウス曲率

表面のガウス曲率は次のように表されます 。ここで、 L、M、Nは第2基本形式の係数です。 $${\displaystyle K={\frac {\det \mathrm {I\!I} _{p}}{\det \mathrm {I} _{p}}}={\frac {LN-M^{2}}{EG-F^{2}}},}$$

ガウスの定理（Theorema egregium）は、曲面のガウス曲率は第一基本形式とその導関数のみで表すことができるため、Kは事実上、曲面の固有不変量となることを述べています。第一基本形式を用いたガウス曲率の明示的な表現は、ブリオスキの公式によって与えられます。

参照

• 計量テンソル
• 第二基本形
• 第三基本形態
• トートロジー的な一形式
• グラム行列

外部リンク

• 第一基本形 — Wolfram MathWorldより

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