Function whose domain is the positive integers
数論 において 、 算術関数 、 算術関数 、または 数論的関数 [1] [2] は、一般に、 定義 域が 正の整数 の集合であり 、値域が 複素数 の 部分集合である 関数 です。 [3] [4] [5]ハーディとライトは、算術関数が「 n の何らかの算術的性質を表現する」 という要件を定義に含めています。 [6]この定義に当てはまらない、より広いクラスの数論的関数、例えば 素数計算関数が あります 。この記事では、両方のクラスの関数へのリンクを提供します
算術関数の例としては、 正の整数 nにおける値が n の約数の個数に等しい 除数関数 があります。
算術関数はしばしば極めて不規則です（表を参照）が、ラマヌジャンの和 に関する級数展開を持つものもあります 。
乗法関数と加法関数 算術関数 a は
すべての自然数m と nに対して a ( mn )= a ( m )+ a ( n ) 場合 、完全に加法的 です。 すべての自然数mとn に対してa (1)=1かつ a ( mn )= a ( m ) a ( n ) 場合、 完全 に乗法的です 。 2つの整数 n は、 最大公約数 が1である場合、 つまり両方を割り切る 素数 が存在しない場合に 互いに素で あると呼ばれます。
すると、算術関数 a は
互いに素なすべての自然数 m と nに対して、 a ( mn ) = a ( m ) + a ( n ) であるとき 、加法的です 。 互いに素な すべての自然数 mと n に対して、 a (1) = 1 かつ a ( mn ) = a ( m ) a ( n ) である とき 。
表記 In this article, ∑ p f ( p ) {\textstyle \sum _{p}f(p)} ∏ p f ( p ) {\textstyle \prod _{p}f(p)} prime numbers : ∑ p f ( p ) = f ( 2 ) + f ( 3 ) + f ( 5 ) + ⋯ {\displaystyle \sum _{p}f(p)=f(2)+f(3)+f(5)+\cdots } ∏ p f ( p ) = f ( 2 ) f ( 3 ) f ( 5 ) ⋯ . {\displaystyle \prod _{p}f(p)=f(2)f(3)f(5)\cdots .} ∑ p k f ( p k ) {\textstyle \sum _{p^{k}}f(p^{k})} ∏ p k f ( p k ) {\textstyle \prod _{p^{k}}f(p^{k})} prime powers with strictly positive exponent (so k = 0 ∑ p k f ( p k ) = ∑ p ∑ k > 0 f ( p k ) = f ( 2 ) + f ( 3 ) + f ( 4 ) + f ( 5 ) + f ( 7 ) + f ( 8 ) + f ( 9 ) + ⋯ . {\displaystyle \sum _{p^{k}}f(p^{k})=\sum _{p}\sum _{k>0}f(p^{k})=f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(7)+f(8)+f(9)+\cdots .}
The notations ∑ d ∣ n f ( d ) {\textstyle \sum _{d\mid n}f(d)} ∏ d ∣ n f ( d ) {\textstyle \prod _{d\mid n}f(d)} n , including 1 and n . For example, if n = 12 ∏ d ∣ 12 f ( d ) = f ( 1 ) f ( 2 ) f ( 3 ) f ( 4 ) f ( 6 ) f ( 12 ) . {\displaystyle \prod _{d\mid 12}f(d)=f(1)f(2)f(3)f(4)f(6)f(12).}
これらの表記は組み合わせることができます。 およびは、和または積が n のすべての素因数にわたることを意味します 。たとえば、 n = 18 の場合、 となり 、同様に および は、和または積が n を 割り切る すべての素数累乗にわたることを意味します 。たとえば、 n = 24
の場合、 ∑ p ∣ n f ( p ) {\textstyle \sum _{p\mid n}f(p)} ∏ p ∣ n f ( p ) {\textstyle \prod _{p\mid n}f(p)} ∑ p ∣ 18 f ( p ) = f ( 2 ) + f ( 3 ) , {\displaystyle \sum _{p\mid 18}f(p)=f(2)+f(3),} ∑ p k ∣ n f ( p k ) {\textstyle \sum _{p^{k}\mid n}f(p^{k})} ∏ p k ∣ n f ( p k ) {\textstyle \prod _{p^{k}\mid n}f(p^{k})} ∏ p k ∣ 24 f ( p k ) = f ( 2 ) f ( 3 ) f ( 4 ) f ( 8 ) . {\displaystyle \prod _{p^{k}\mid 24}f(p^{k})=f(2)f(3)f(4)f(8).}
Ω( n ), ω （ n ), ν p n ) – 素数累乗分解 算術の基本定理は 、任意の 正の整数 n は 素数の累乗の積として一意に表すことができると述べています。 ここで、 p 1 < p 2 < ... < p k は素数であり、 a j は正の整数です。(1 は空積によって与えられます。) n = p 1 a 1 ⋯ p k a k {\displaystyle n=p_{1}^{a_{1}}\cdots p_{k}^{a_{k}}}
これをすべての素数の無限積として書くと便利な場合が多くあります。ただし、有限数を除くすべての素数は指数がゼロです。p進値νp(n)を、nを割り切る素数pの最大のべき乗の指数と定義します 。 つまり 、 p が pi の いずれ か で ある 場合、 νp ( n ) = ai となり 、 それ 以外の場合は 0 となります。すると、 n = ∏ p p ν p ( n ) . {\displaystyle n=\prod _{p}p^{\nu _{p}(n)}.}
上記の用語で、 オメガ関数 ω とΩは次のように定義されます。
ω (n ) = k ,
Ω(n ) = a 1 + a 2 + ... + a k
To avoid repetition, formulas for the functions listed in this article are, whenever possible, given in terms of n and the corresponding p i a i ω , and Ω.
Multiplicative functions
σ k n ), τ (n ), d (n ) – divisor sumsσk n ) k th powers of the positive divisors of n , including 1 and n , where k is a complex number.
σ 1 (n )n , is usually denoted by σ (n )
正の数のゼロ乗は1なので、 σ 0 ( n )は n の（正の）約数の個数です 。これは通常、 d ( n ) または τ ( n ) （ドイツの Teiler = 約数）と表記されます。
σ k ( n ) = ∏ i = 1 ω ( n ) p i ( a i + 1 ) k − 1 p i k − 1 = ∏ i = 1 ω ( n ) ( 1 + p i k + p i 2 k + ⋯ + p i a i k ) . {\displaystyle \sigma _{k}(n)=\prod _{i=1}^{\omega (n)}{\frac {p_{i}^{(a_{i}+1)k}-1}{p_{i}^{k}-1}}=\prod _{i=1}^{\omega (n)}\left(1+p_{i}^{k}+p_{i}^{2k}+\cdots +p_{i}^{a_{i}k}\right).}
2番目の 積で k = 0 とすると、 τ ( n ) = d ( n ) = ( 1 + a 1 ) ( 1 + a 2 ) ⋯ ( 1 + a ω ( n ) ) . {\displaystyle \tau (n)=d(n)=(1+a_{1})(1+a_{2})\cdots (1+a_{\omega (n)}).}
φ （ n ） - オイラー・トーシェント関数 φ ( n ) はオイラーのトーシェント関数であり、 n と互いに素である n 以下の正の整数の個数です 。 φ ( n ) = n ∏ p ∣ n ( 1 − 1 p ) = n ( p 1 − 1 p 1 ) ( p 2 − 1 p 2 ) ⋯ ( p ω ( n ) − 1 p ω ( n ) ) . {\displaystyle \varphi (n)=n\prod _{p\mid n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)=n\left({\frac {p_{1}-1}{p_{1}}}\right)\left({\frac {p_{2}-1}{p_{2}}}\right)\cdots \left({\frac {p_{\omega (n)}-1}{p_{\omega (n)}}}\right).}
J k （ n ） - ジョルダン・トーシェント関数 ジョルダン・トーシェント関数 J k ( n ) は、すべてn 以下の正の整数 k n ( k + 1) 組 を形成するものの個数です。これはオイラーのトーシェントφ ( n ) = J 1 ( n ) の一般化です 。 J k ( n ) = n k ∏ p ∣ n ( 1 − 1 p k ) = n k ( p 1 k − 1 p 1 k ) ( p 2 k − 1 p 2 k ) ⋯ ( p ω ( n ) k − 1 p ω ( n ) k ) . {\displaystyle J_{k}(n)=n^{k}\prod _{p\mid n}\left(1-{\frac {1}{p^{k}}}\right)=n^{k}\left({\frac {p_{1}^{k}-1}{p_{1}^{k}}}\right)\left({\frac {p_{2}^{k}-1}{p_{2}^{k}}}\right)\cdots \left({\frac {p_{\omega (n)}^{k}-1}{p_{\omega (n)}^{k}}}\right).}
μ （ n ) – メビウス関数 μ ( n ) は、メビウスの反転 のために重要です 。 以下の§ ディリクレ畳み込みを 参照してください。 μ ( n ) = { ( − 1 ) ω ( n ) = ( − 1 ) Ω ( n ) if ω ( n ) = Ω ( n ) 0 if ω ( n ) ≠ Ω ( n ) . {\displaystyle \mu (n)={\begin{cases}(-1)^{\omega (n)}=(-1)^{\Omega (n)}&{\text{if }}\;\omega (n)=\Omega (n)\\0&{\text{if }}\;\omega (n)\neq \Omega (n).\end{cases}}}
これは、 μ ( 1 ) = 1 を意味します。(Ω ( 1 ) = ω ( 1 ) = 0 であるため。)
τ （ n ) – ラマヌジャン・タウ関数 τ ( n ) は、その 生成関数の恒等 式 ∑ n ≥ 1 τ ( n ) q n = q ∏ n ≥ 1 ( 1 − q n ) 24 . {\displaystyle \sum _{n\geq 1}\tau (n)q^{n}=q\prod _{n\geq 1}(1-q^{n})^{24}.}
n のどのような「算術的性質 」を「表現」しているのかを正確に言うのは難しいですが、 [7] （ τ ( n ) は モジュラー判別 関数 の q 展開における n 番目のフーリエ係数の ( 2π ) −12 倍）です。 [8] 乗法関数であり、特定の σ k ( n ) 関数と r k ( n ) 関数を含む恒等式に現れるため、算術関数に含まれます（これらも モジュラー形式 の展開における係数であるため ） 。
c q （ n ） - ラマヌジャン和 cq ( n ) 、ラマヌジャン和 は 、原始 q 乗根 の n 乗の和です c q ( n ) = ∑ gcd ( a , q ) = 1 1 ≤ a ≤ q e 2 π i a q n . {\displaystyle c_{q}(n)=\sum _{\stackrel {1\leq a\leq q}{\gcd(a,q)=1}}e^{2\pi i{\tfrac {a}{q}}n}.}
複素数の和（ q のほとんどの値に対して無理数）として定義されていますが、整数です。nの値が固定されている場合、qについて乗法的です。
q と が 互いに素 で ある 場合 、 c q ( n ) c r ( n ) = c q r ( n ) . {\displaystyle c_{q}(n)c_{r}(n)=c_{qr}(n).}
ψ （ n ） - デデキント・プサイ関数 モジュラー関数 の理論で使用されるデデキント・プサイ関数は、 次 の 式で定義されます。 ψ ( n ) = n ∏ p | n ( 1 + 1 p ) . {\displaystyle \psi (n)=n\prod _{p|n}\left(1+{\frac {1}{p}}\right).}
完全に乗法的関数
λ （ n ） - リウヴィル関数 リウヴィル関数であるλ ( n ) は、次のように定義されます。 λ ( n ) = ( − 1 ) Ω ( n ) . {\displaystyle \lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)}.}
χ （ n ） - 文字 すべての ディリクレ指標 χ ( n ) は完全に乗法的です。2つの指標には特別な表記法あります。
主 指標 (mod n )は 、 χ0 ( a ) (または χ1 ( a ))で表されます 。これは次のように定義されます χ 0 ( a ) = { 1 if gcd ( a , n ) = 1 , 0 if gcd ( a , n ) ≠ 1. {\displaystyle \chi _{0}(a)={\begin{cases}1&{\text{if }}\gcd(a,n)=1,\\0&{\text{if }}\gcd(a,n)\neq 1.\end{cases}}}
2次の指標 （mod n ） は、奇数 nの場合は ヤコビ記号 で表されます（偶数 n の場合は定義されません ）。 ( a n ) = ( a p 1 ) a 1 ( a p 2 ) a 2 ⋯ ( a p ω ( n ) ) a ω ( n ) . {\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)=\left({\frac {a}{p_{1}}}\right)^{a_{1}}\left({\frac {a}{p_{2}}}\right)^{a_{2}}\cdots \left({\frac {a}{p_{\omega (n)}}}\right)^{a_{\omega (n)}}.}
この式には ルジャンドル記号 が含まれ 、すべての整数 a とすべての奇数の素数 p に対して
次のように定義されます。 ( a p ) {\displaystyle ({\tfrac {a}{p}})} ( a p ) = { 0 if a ≡ 0 ( mod p ) , + 1 if a ≢ 0 ( mod p ) and for some integer x , a ≡ x 2 ( mod p ) − 1 if there is no such x . {\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)={\begin{cases}\;\;\,0&{\text{if }}a\equiv 0{\pmod {p}},\\+1&{\text{if }}a\not \equiv 0{\pmod {p}}{\text{ and for some integer }}x,\;a\equiv x^{2}{\pmod {p}}\\-1&{\text{if there is no such }}x.\end{cases}}}
空積の通常の慣例に従い、 ( a 1 ) = 1. {\displaystyle \left({\frac {a}{1}}\right)=1.}
加法関数
ω （ n ) – 異なる素因数 ω ( n )は、上記で n を 割り切る異なる素数の個数として定義され 、加法性があります（ 素数オメガ関数を 参照）。
完全に加法的な関数
Ω( n ) – 素因数 Ω ( n ) は、上記でn の素因数の重複度数として定義され 、完全に加法性があります（ 素数オメガ関数を 参照）。
固定された素数p に対して 、 ν p ( n )は、上記で n を割り切る p の最大べき乗の指数として定義され 、完全に加法性があります。
対数微分 ld ( n ) = D ( n ) n = ∑ p prime p ∣ n v p ( n ) p {\displaystyle \operatorname {ld} (n)={\frac {D(n)}{n}}=\sum _{\stackrel {p\mid n}{p{\text{ prime}}}}{\frac {v_{p}(n)}{p}}} ここで は 算術微分です。 D ( n ) {\displaystyle D(n)}
乗法性も加法性もありません
π （ x )、Π( x ), ϑ （ x ), ψ （ x ) – 素数計算関数 これらの重要な関数（算術関数ではない）は、非負の実引数に対して定義され、 素数定理 の様々な記述や証明で使用されます。これらは、乗法でも加法でもない算術関数の和関数です（すぐ下の主要セクションを参照）。
素数カウント関数である π ( x )は、 xを 超えない素数の個数です。これは 、素数の 特性関数 の和関数です。 π ( x ) = ∑ p ≤ x 1 {\displaystyle \pi (x)=\sum _{p\leq x}1}
関連する関数は、素数の重みを1、素数の平方数の重みを1/2、立方数の重みを1/3などとして、素数の累乗をカウントします。これは、ある素数の k 乗である整数に対して1/ k の値を、他の整数に対して0の値
を取る算術関数の和関数です Π ( x ) = ∑ p k ≤ x 1 k . {\displaystyle \Pi (x)=\sum _{p^{k}\leq x}{\frac {1}{k}}.}
チェビシェフ関数である ϑ ( x ) と ψ ( x )は、 x を超えない素数の自然対数の和として定義されます ϑ ( x ) = ∑ p ≤ x log p , {\displaystyle \vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p,} ψ ( x ) = ∑ p k ≤ x log p . {\displaystyle \psi (x)=\sum _{p^{k}\leq x}\log p.}
2番目のチェビシェフ関数 ψ ( x ) は、すぐ下のフォン・マンゴルト関数の和関数です。
Λ( n ) – フォン・マンゴルト関数 フォン・マンゴルト関数であるΛ( n ) は、引数 n が素数 p k の冪でない限り0です。素数p kの場合は、素数 p の自然対数です。 Λ ( n ) = { log p if n = 2 , 3 , 4 , 5 , 7 , 8 , 9 , 11 , 13 , 16 , … = p k is a prime power 0 if n = 1 , 6 , 10 , 12 , 14 , 15 , 18 , 20 , 21 , … is not a prime power . {\displaystyle \Lambda (n)={\begin{cases}\log p&{\text{if }}n=2,3,4,5,7,8,9,11,13,16,\ldots =p^{k}{\text{ is a prime power}}\\0&{\text{if }}n=1,6,10,12,14,15,18,20,21,\dots \;\;\;\;{\text{ is not a prime power}}.\end{cases}}}
p （ n ) – 分配関数 p ( n ) 、分配関数は、 nを 表す方法の数です。 ただし、同じ被加数が異なる順序で表された2つの表現は、異なるものとしてカウントされません。 p ( n ) = | { ( a 1 , a 2 , … a k ) : 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ⋯ ≤ a k ∧ n = a 1 + a 2 + ⋯ + a k } | . {\displaystyle p(n)=\left|\left\{(a_{1},a_{2},\dots a_{k}):0<a_{1}\leq a_{2}\leq \cdots \leq a_{k}\;\land \;n=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{k}\right\}\right|.}
λ （ n ) – カーマイケル関数 カーマイケル関数であるλ ( n ) は、 すべての n に対して互いに素 と なる最小の正の数です 。 同様に、 nを 法とする整数の乗法群 の元の順序の 最小公倍数 です a λ ( n ) ≡ 1 ( mod n ) {\displaystyle a^{\lambda (n)}\equiv 1{\pmod {n}}}
奇数の素数のべき乗、および2と4の場合、 λ ( n )は n のオイラートーシェント関数に等しくなります 。4より大きい2のべき乗の場合、 n のオイラートーシェント関数の半分に等しくなります。 一般的な nの場合、 n の各素数のべき乗因数の λ の最小公倍数です 。 λ ( n ) = { ϕ ( n ) if n = 2 , 3 , 4 , 5 , 7 , 9 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 25 , 27 , … 1 2 ϕ ( n ) if n = 8 , 16 , 32 , 64 , … {\displaystyle \lambda (n)={\begin{cases}\;\;\phi (n)&{\text{if }}n=2,3,4,5,7,9,11,13,17,19,23,25,27,\dots \\{\tfrac {1}{2}}\phi (n)&{\text{if }}n=8,16,32,64,\dots \end{cases}}} λ ( p 1 a 1 p 2 a 2 … p ω ( n ) a ω ( n ) ) = lcm [ λ ( p 1 a 1 ) , λ ( p 2 a 2 ) , … , λ ( p ω ( n ) a ω ( n ) ) ] . {\displaystyle \lambda (p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}\dots p_{\omega (n)}^{a_{\omega (n)}})=\operatorname {lcm} [\lambda (p_{1}^{a_{1}}),\;\lambda (p_{2}^{a_{2}}),\dots ,\lambda (p_{\omega (n)}^{a_{\omega (n)}})].}
h （ n ) – 類数 類数関数h ( n ) は、判別式 n を持つ有理数の代数的拡大のイデアル 類群 の位数です 。一般に同じ判別式を持つ拡大が多数存在するため、表記法は曖昧です。 古典的な例については、 二次体 と 円分体
r k （ n ) – の和 k 平方 r k ( n ) は、 n を k の平方和として表す 方法の数です 。ただし、加数の順序または平方根の符号のみが異なる表現は、異なる表現としてカウントされます。 r k ( n ) = | { ( a 1 , a 2 , … , a k ) : n = a 1 2 + a 2 2 + ⋯ + a k 2 } | {\displaystyle r_{k}(n)=\left|\left\{(a_{1},a_{2},\dots ,a_{k}):n=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{k}^{2}\right\}\right|}
D （ n ) – 算術微分 ヘヴィサイド記法 を用いると 、 算術微分 D ( n ) は次のような関数である。
D ( n ) = 1 {\displaystyle D(n)=1} n が 素数であり 、 D ( m n ) = m D ( n ) + D ( m ) n {\displaystyle D(mn)=mD(n)+D(m)n} （ 積の法則 ）
和関数 算術関数 a ( n ) が与えられた場合、その 和関数 A ( x ) は 次 のように定義され、Aは実変数の関数とみなすことができます。正の整数 m が与えられた場合、 A は 開区間 m < x < m + 1 に沿って一定であり、 a ( m ) ≠ 0 となる各整数で ジャンプ不連続を持ちます。 A ( x ) := ∑ n ≤ x a ( n ) . {\displaystyle A(x):=\sum _{n\leq x}a(n).}
このような関数は級数や積分で表されることが多いため、点ごとの収束を達成するには、不連続点における値を左右の値の平均として定義するのが一般的です。 A 0 ( m ) := 1 2 ( ∑ n < m a ( n ) + ∑ n ≤ m a ( n ) ) = A ( m ) − 1 2 a ( m ) . {\displaystyle A_{0}(m):={\frac {1}{2}}\left(\sum _{n<m}a(n)+\sum _{n\leq m}a(n)\right)=A(m)-{\frac {1}{2}}a(m).}
算術関数の個々の値は、上記の例のほとんどがそうであるように、大きく変動することがあります。和関数はこれらの変動を「平滑化」します。場合によっては、大きな x に対して和関数の漸近的な挙動が見られる こと が あり ます
この現象の古典的な例 [9]は、 nの 約数の個数である d ( n ) の加法関数である約数加法関数 によって示されます 。 lim inf n → ∞ d ( n ) = 2 {\displaystyle \liminf _{n\to \infty }d(n)=2} lim sup n → ∞ log d ( n ) log log n log n = log 2 {\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {\log d(n)\log \log n}{\log n}}=\log 2} lim n → ∞ d ( 1 ) + d ( 2 ) + ⋯ + d ( n ) log ( 1 ) + log ( 2 ) + ⋯ + log ( n ) = 1. {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {d(1)+d(2)+\cdots +d(n)}{\log(1)+\log(2)+\cdots +\log(n)}}=1.}
算術関数の平均位数 は 、漸近的に同じ加法関数を持ち、したがって「平均して」同じ値を取る、より単純またはよりよく理解された関数です。g が f の平均位数であるとは、 ∑ n ≤ x f ( n ) ∼ ∑ n ≤ x g ( n ) {\displaystyle \sum _{n\leq x}f(n)\sim \sum _{n\leq x}g(n)}
xが 無限大に近づくにつれて 、上記の例は d ( n )が平均位数log( n )を持つことを示しています。 [10]
ディリクレ畳み込み 算術関数 a ( n ) が与えられ、複素数 s に対して、対応する ディリクレ級数 によって定義される関数 F a ( s ) とします（ 収束します ）。 [11] F a ( s ) は a ( n )の 生成関数 と呼ばれます。すべての n に対して定数関数 a ( n ) = 1に対応する最も単純な級数は、 リーマンゼータ関数 ζ ( s ) です 。 F a ( s ) := ∑ n = 1 ∞ a ( n ) n s . {\displaystyle F_{a}(s):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}.}
メビウス関数の生成関数はゼータ関数の逆である ζ ( s ) ∑ n = 1 ∞ μ ( n ) n s = 1 , ℜ s > 1. {\displaystyle \zeta (s)\,\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}=1,\;\;\Re s>1.}
2つの算術関数 a と b 、およびそれぞれの生成関数 F a ( s ) と F b ( s ) を考えます。積 F a ( s ) F b ( s ) は次のように計算できます。 F a ( s ) F b ( s ) = ( ∑ m = 1 ∞ a ( m ) m s ) ( ∑ n = 1 ∞ b ( n ) n s ) . {\displaystyle F_{a}(s)F_{b}(s)=\left(\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {a(m)}{m^{s}}}\right)\left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {b(n)}{n^{s}}}\right).}
c ( n ) が で定義されている
場合、 である ことを示すのは簡単な演習です。 c ( n ) := ∑ i j = n a ( i ) b ( j ) = ∑ i ∣ n a ( i ) b ( n i ) , {\displaystyle c(n):=\sum _{ij=n}a(i)b(j)=\sum _{i\mid n}a(i)b\left({\frac {n}{i}}\right),} F c ( s ) = F a ( s ) F b ( s ) . {\displaystyle F_{c}(s)=F_{a}(s)F_{b}(s).}
この関数 cは a と b の ディリクレ畳み込み と呼ばれ 、 と表記されます 。 a ∗ b {\displaystyle a*b}
特に重要なケースは、すべてのn に対して定数関数 a ( n ) = 1との畳み込みであり 、これは生成関数にゼータ関数を乗じることに相当します。 g ( n ) = ∑ d ∣ n f ( d ) . {\displaystyle g(n)=\sum _{d\mid n}f(d).}
ゼータ関数の逆関数を乗じると、 メビウスの反転 公式が得られます。 f ( n ) = ∑ d ∣ n μ ( n d ) g ( d ) . {\displaystyle f(n)=\sum _{d\mid n}\mu \left({\frac {n}{d}}\right)g(d).}
f が乗法関数である場合、 g も乗法関数です。f が 完全に乗法関数である 場合、 g は乗法関数ですが、完全に乗法関数である場合もそうでない場合もあります。
関数間の関係 算術関数同士、そして解析関数、特にべき乗、根、指数関数、対数関数とを結び付ける公式は数多くあります。「除数和恒等式」のページには、算術関数を含む 恒等式 の、より一般化された関連例が数多く含まれています。
いくつか例を挙げます。
ディリクレ畳み込み ∑ δ ∣ n μ ( δ ) = ∑ δ ∣ n λ ( n δ ) | μ ( δ ) | = { 1 if n = 1 0 if n ≠ 1 {\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\mu (\delta )=\sum _{\delta \mid n}\lambda \left({\frac {n}{\delta }}\right)|\mu (\delta )|={\begin{cases}1&{\text{if }}n=1\\0&{\text{if }}n\neq 1\end{cases}}} ここで λ はリウヴィル関数である。 [12] ∑ δ ∣ n φ ( δ ) = n . {\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\varphi (\delta )=n.} [13] φ ( n ) = ∑ δ ∣ n μ ( n δ ) δ = n ∑ δ ∣ n μ ( δ ) δ . {\displaystyle \varphi (n)=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)\delta =n\sum _{\delta \mid n}{\frac {\mu (\delta )}{\delta }}.} メビウスの反転 ∑ d ∣ n J k ( d ) = n k . {\displaystyle \sum _{d\mid n}J_{k}(d)=n^{k}.} [14] J k ( n ) = ∑ δ ∣ n μ ( n δ ) δ k = n k ∑ δ ∣ n μ ( δ ) δ k . {\displaystyle J_{k}(n)=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)\delta ^{k}=n^{k}\sum _{\delta \mid n}{\frac {\mu (\delta )}{\delta ^{k}}}.} メビウスの反転 ∑ δ ∣ n δ s J r ( δ ) J s ( n δ ) = J r + s ( n ) {\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\delta ^{s}J_{r}(\delta )J_{s}\left({\frac {n}{\delta }}\right)=J_{r+s}(n)} [15] ∑ δ ∣ n φ ( δ ) d ( n δ ) = σ ( n ) . {\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\varphi (\delta )d\left({\frac {n}{\delta }}\right)=\sigma (n).} [ 16] [17] ∑ δ ∣ n | μ ( δ ) | = 2 ω ( n ) . {\displaystyle \sum _{\delta \mid n}|\mu (\delta )|=2^{\omega (n)}.} [18] | μ ( n ) | = ∑ δ ∣ n μ ( n δ ) 2 ω ( δ ) . {\displaystyle |\mu (n)|=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)2^{\omega (\delta )}.} メビウスの反転 ∑ δ ∣ n 2 ω ( δ ) = d ( n 2 ) . {\displaystyle \sum _{\delta \mid n}2^{\omega (\delta )}=d(n^{2}).} 2 ω ( n ) = ∑ δ ∣ n μ ( n δ ) d ( δ 2 ) . {\displaystyle 2^{\omega (n)}=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)d(\delta ^{2}).} メビウスの反転 ∑ δ ∣ n d ( δ 2 ) = d 2 ( n ) . {\displaystyle \sum _{\delta \mid n}d(\delta ^{2})=d^{2}(n).} d ( n 2 ) = ∑ δ ∣ n μ ( n δ ) d 2 ( δ ) . {\displaystyle d(n^{2})=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)d^{2}(\delta ).} メビウスの反転 ∑ δ ∣ n d ( n δ ) 2 ω ( δ ) = d 2 ( n ) . {\displaystyle \sum _{\delta \mid n}d\left({\frac {n}{\delta }}\right)2^{\omega (\delta )}=d^{2}(n).} ∑ δ ∣ n λ ( δ ) = { 1 if n is a square 0 if n is not square. {\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\lambda (\delta )={\begin{cases}&1{\text{ if }}n{\text{ is a square }}\\&0{\text{ if }}n{\text{ is not square.}}\end{cases}}} ここで、λは リウヴィル関数 です。 ∑ δ ∣ n Λ ( δ ) = log n . {\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\Lambda (\delta )=\log n.} [19] Λ ( n ) = ∑ δ ∣ n μ ( n δ ) log ( δ ) . {\displaystyle \Lambda (n)=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)\log(\delta ).} メビウスの反転
平方和 すべての場合 （ ラグランジュの四平方定理 ） k ≥ 4 , r k ( n ) > 0. {\displaystyle k\geq 4,\;\;\;r_{k}(n)>0.}
r 2 ( n ) = 4 ∑ d ∣ n ( − 4 d ) , {\displaystyle r_{2}(n)=4\sum _{d\mid n}\left({\frac {-4}{d}}\right),} [20] ここで、 クロネッカー記号は 次の値を持ちます
( − 4 n ) = { + 1 if n ≡ 1 ( mod 4 ) − 1 if n ≡ 3 ( mod 4 ) 0 if n is even . {\displaystyle \left({\frac {-4}{n}}\right)={\begin{cases}+1&{\text{if }}n\equiv 1{\pmod {4}}\\-1&{\text{if }}n\equiv 3{\pmod {4}}\\\;\;\;0&{\text{if }}n{\text{ is even}}.\\\end{cases}}} 下記の類数のセクションに r 3 の式がある。 ここで ν = ν 2 ( n ) 。 [21] [22] [23] ここで [24] r 4 ( n ) = 8 ∑ 4 ∤ d d ∣ n d = 8 ( 2 + ( − 1 ) n ) ∑ 2 ∤ d d ∣ n d = { 8 σ ( n ) if n is odd 24 σ ( n 2 ν ) if n is even , {\displaystyle r_{4}(n)=8\sum _{\stackrel {d\mid n}{4\,\nmid \,d}}d=8(2+(-1)^{n})\sum _{\stackrel {d\mid n}{2\,\nmid \,d}}d={\begin{cases}8\sigma (n)&{\text{if }}n{\text{ is odd }}\\24\sigma \left({\frac {n}{2^{\nu }}}\right)&{\text{if }}n{\text{ is even }}\end{cases}},} r 6 ( n ) = 16 ∑ d ∣ n χ ( n d ) d 2 − 4 ∑ d ∣ n χ ( d ) d 2 , {\displaystyle r_{6}(n)=16\sum _{d\mid n}\chi \left({\frac {n}{d}}\right)d^{2}-4\sum _{d\mid n}\chi (d)d^{2},} χ ( n ) = ( − 4 n ) . {\displaystyle \chi (n)=\left({\frac {-4}{n}}\right).}
関数 σ k * ( n ) を次のように定義する [25] σ k ∗ ( n ) = ( − 1 ) n ∑ d ∣ n ( − 1 ) d d k = { ∑ d ∣ n d k = σ k ( n ) if n is odd ∑ 2 ∣ d d ∣ n d k − ∑ 2 ∤ d d ∣ n d k if n is even . {\displaystyle \sigma _{k}^{*}(n)=(-1)^{n}\sum _{d\mid n}(-1)^{d}d^{k}={\begin{cases}\sum _{d\mid n}d^{k}=\sigma _{k}(n)&{\text{if }}n{\text{ is odd }}\\\sum _{\stackrel {d\mid n}{2\,\mid \,d}}d^{k}-\sum _{\stackrel {d\mid n}{2\,\nmid \,d}}d^{k}&{\text{if }}n{\text{ is even}}.\end{cases}}}
つまり、 n が奇数の場合、 σ k * ( n )は n の約数の k 乗の和 、つまり σ k ( n ) であり、 n が 偶数の 場合、 n の偶数約数の k 乗の和から n の奇数約数の k 乗の和 を引いたものである 。
r 8 ( n ) = 16 σ 3 ∗ ( n ) . {\displaystyle r_{8}(n)=16\sigma _{3}^{*}(n).} [24] [26] xが 整数でない場合、ラマヌジャンの τ ( x ) = 0 という規則を採用する。
r 24 ( n ) = 16 691 σ 11 ∗ ( n ) + 128 691 { ( − 1 ) n − 1 259 τ ( n ) − 512 τ ( n 2 ) } {\displaystyle r_{24}(n)={\frac {16}{691}}\sigma _{11}^{*}(n)+{\frac {128}{691}}\left\{(-1)^{n-1}259\tau (n)-512\tau \left({\frac {n}{2}}\right)\right\}}
約数和畳み込み ここで「畳み込み」は「ディリクレ畳み込み」ではなく、 2つのべき級数の 積の係数の公式を指します 。
( ∑ n = 0 ∞ a n x n ) ( ∑ n = 0 ∞ b n x n ) = ∑ i = 0 ∞ ∑ j = 0 ∞ a i b j x i + j = ∑ n = 0 ∞ ( ∑ i = 0 n a i b n − i ) x n = ∑ n = 0 ∞ c n x n . {\displaystyle \left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}x^{n}\right)=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}x^{i+j}=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right)x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}.} この数列は、 数列 a n と b n の畳み込み または コーシー積 と呼ばれます 。
これらの公式は、解析的に（ アイゼンシュタイン級数 を参照）または初等的な方法によって 証明することができます。 [28] c n = ∑ i = 0 n a i b n − i {\displaystyle c_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}}
σ 3 ( n ) = 1 5 { 6 n σ 1 ( n ) − σ 1 ( n ) + 12 ∑ 0 < k < n σ 1 ( k ) σ 1 ( n − k ) } . {\displaystyle \sigma _{3}(n)={\frac {1}{5}}\left\{6n\sigma _{1}(n)-\sigma _{1}(n)+12\sum _{0<k<n}\sigma _{1}(k)\sigma _{1}(n-k)\right\}.} [29] σ 5 ( n ) = 1 21 { 10 ( 3 n − 1 ) σ 3 ( n ) + σ 1 ( n ) + 240 ∑ 0 < k < n σ 1 ( k ) σ 3 ( n − k ) } . {\displaystyle \sigma _{5}(n)={\frac {1}{21}}\left\{10(3n-1)\sigma _{3}(n)+\sigma _{1}(n)+240\sum _{0<k<n}\sigma _{1}(k)\sigma _{3}(n-k)\right\}.} [30] σ 7 ( n ) = 1 20 { 21 ( 2 n − 1 ) σ 5 ( n ) − σ 1 ( n ) + 504 ∑ 0 < k < n σ 1 ( k ) σ 5 ( n − k ) } = σ 3 ( n ) + 120 ∑ 0 < k < n σ 3 ( k ) σ 3 ( n − k ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{7}(n)&={\frac {1}{20}}\left\{21(2n-1)\sigma _{5}(n)-\sigma _{1}(n)+504\sum _{0<k<n}\sigma _{1}(k)\sigma _{5}(n-k)\right\}\\&=\sigma _{3}(n)+120\sum _{0<k<n}\sigma _{3}(k)\sigma _{3}(n-k).\end{aligned}}} [30] [31] σ 9 ( n ) = 1 11 { 10 ( 3 n − 2 ) σ 7 ( n ) + σ 1 ( n ) + 480 ∑ 0 < k < n σ 1 ( k ) σ 7 ( n − k ) } = 1 11 { 21 σ 5 ( n ) − 10 σ 3 ( n ) + 5040 ∑ 0 < k < n σ 3 ( k ) σ 5 ( n − k ) } . {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{9}(n)&={\frac {1}{11}}\left\{10(3n-2)\sigma _{7}(n)+\sigma _{1}(n)+480\sum _{0<k<n}\sigma _{1}(k)\sigma _{7}(n-k)\right\}\\&={\frac {1}{11}}\left\{21\sigma _{5}(n)-10\sigma _{3}(n)+5040\sum _{0<k<n}\sigma _{3}(k)\sigma _{5}(n-k)\right\}.\end{aligned}}} [29] [32] τ ( n ) = 65 756 σ 11 ( n ) + 691 756 σ 5 ( n ) − 691 3 ∑ 0 < k < n σ 5 ( k ) σ 5 ( n − k ) , {\displaystyle \tau (n)={\frac {65}{756}}\sigma _{11}(n)+{\frac {691}{756}}\sigma _{5}(n)-{\frac {691}{3}}\sum _{0<k<n}\sigma _{5}(k)\sigma _{5}(n-k),} ここで、 τ ( n ) はラマヌジャン関数です。 [33] [34] σ k ( n ) （自然数 k の場合）と τ ( n ) は整数であるため、上記の公式は関数の合同性 [35] を証明するために使用できます。 いくつかの例については、 ラマヌジャンのタウ関数を 参照してください
p (0) = 1 と設定して、分割関数の定義域を拡張します。
p ( n ) = 1 n ∑ 1 ≤ k ≤ n σ ( k ) p ( n − k ) . {\displaystyle p(n)={\frac {1}{n}}\sum _{1\leq k\leq n}\sigma (k)p(n-k).} [36]この再帰式は p ( n ) を計算するために使用できます 。
ピーター・グスタフ・ルジューン・ディリクレは、 二次数体 の 類数 h とヤコビ記号を関連付ける公式を発見しました。 [37]
整数 D は、二次数体の 判別式 である場合、 基本判別式 と呼ばれます。これは、 D ≠ 1 であり、a) D が 平方数 で D ≡ 1 (mod 4) であるか、b) D ≡ 0 (mod 4)、 D /4 が平方数で D /4 ≡ 2 または 3 (mod 4) である場合と同等です。 [38]
クロネッカー記号を 定義することにより、 ヤコビ記号を拡張し、「分母」に偶数を受け入れるようにします。 ( a 2 ) = { 0 if a is even ( − 1 ) a 2 − 1 8 if a is odd. {\displaystyle \left({\frac {a}{2}}\right)={\begin{cases}\;\;\,0&{\text{ if }}a{\text{ is even}}\\(-1)^{\frac {a^{2}-1}{8}}&{\text{ if }}a{\text{ is odd. }}\end{cases}}}
このとき、 D < -4 が基本判別式である場合 [39] [40] h ( D ) = 1 D ∑ r = 1 | D | r ( D r ) = 1 2 − ( D 2 ) ∑ r = 1 | D | / 2 ( D r ) . {\displaystyle {\begin{aligned}h(D)&={\frac {1}{D}}\sum _{r=1}^{|D|}r\left({\frac {D}{r}}\right)\\&={\frac {1}{2-\left({\tfrac {D}{2}}\right)}}\sum _{r=1}^{|D|/2}\left({\frac {D}{r}}\right).\end{aligned}}}
r 3 と h を関連付ける公式もあります 。ここでも、 D を 基本判別式、 D < -4 とします。すると [41] r 3 ( | D | ) = 12 ( 1 − ( D 2 ) ) h ( D ) . {\displaystyle r_{3}(|D|)=12\left(1-\left({\frac {D}{2}}\right)\right)h(D).}
をn 番目の 調和数 とします 。 すると H n = 1 + 1 2 + 1 3 + ⋯ + 1 n {\displaystyle H_{n}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}}
σ ( n ) ≤ H n + e H n log H n {\displaystyle \sigma (n)\leq H_{n}+e^{H_{n}}\log H_{n}} は、リーマン予想が 真である場合にのみ、すべての自然数 n に対して真である 。 [42] リーマン予想は、 n > 5040 の任意の値に対して、 （γは オイラー・マスケローニ定数 ） という命題にも相当します。これは ロビンの定理 です。 σ ( n ) < e γ n log log n {\displaystyle \sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n}
∑ p ν p ( n ) = Ω ( n ) . {\displaystyle \sum _{p}\nu _{p}(n)=\Omega (n).} ψ ( x ) = ∑ n ≤ x Λ ( n ) . {\displaystyle \psi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n).} [43] Π ( x ) = ∑ n ≤ x Λ ( n ) log n . {\displaystyle \Pi (x)=\sum _{n\leq x}{\frac {\Lambda (n)}{\log n}}.} [44] e θ ( x ) = ∏ p ≤ x p . {\displaystyle e^{\theta (x)}=\prod _{p\leq x}p.} [45] e ψ ( x ) = lcm [ 1 , 2 , … , ⌊ x ⌋ ] . {\displaystyle e^{\psi (x)}=\operatorname {lcm} [1,2,\dots ,\lfloor x\rfloor ].} [46]
メノンの恒等式 1965年 、P・ケサヴァ・メノンは [47] を証明した。 ∑ gcd ( k , n ) = 1 1 ≤ k ≤ n gcd ( k − 1 , n ) = φ ( n ) d ( n ) . {\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}\gcd(k-1,n)=\varphi (n)d(n).}
これは多くの数学者によって一般化されています。例えば、
B・スリー [48] ∑ gcd ( k 1 , n ) = 1 1 ≤ k 1 , k 2 , … , k s ≤ n gcd ( k 1 − 1 , k 2 , … , k s , n ) = φ ( n ) σ s − 1 ( n ) . {\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k_{1},k_{2},\dots ,k_{s}\leq n}{\gcd(k_{1},n)=1}}\gcd(k_{1}-1,k_{2},\dots ,k_{s},n)=\varphi (n)\sigma _{s-1}(n).} N・ラオ [49] ここで 、a 1 、 a 2 、…、 a s は整数であり、gcd( a 1 、 a 2 、…、 a s 、 n ) = 1となる ∑ gcd ( k 1 , k 2 , … , k s , n ) = 1 1 ≤ k 1 , k 2 , … , k s ≤ n gcd ( k 1 − a 1 , k 2 − a 2 , … , k s − a s , n ) s = J s ( n ) d ( n ) , {\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k_{1},k_{2},\dots ,k_{s}\leq n}{\gcd(k_{1},k_{2},\dots ,k_{s},n)=1}}\gcd(k_{1}-a_{1},k_{2}-a_{2},\dots ,k_{s}-a_{s},n)^{s}=J_{s}(n)d(n),} ラースロー・フェイェシュ・トート [50] ここで、 m 1 と m 2 は奇数であり、 m = lcm( m 1 , m 2 )である ∑ gcd ( k , m ) = 1 1 ≤ k ≤ m gcd ( k 2 − 1 , m 1 ) gcd ( k 2 − 1 , m 2 ) = φ ( n ) ∑ d 2 ∣ m 2 d 1 ∣ m 1 φ ( gcd ( d 1 , d 2 ) ) 2 ω ( lcm ( d 1 , d 2 ) ) , {\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq m}{\gcd(k,m)=1}}\gcd(k^{2}-1,m_{1})\gcd(k^{2}-1,m_{2})=\varphi (n)\sum _{\stackrel {d_{1}\mid m_{1}}{d_{2}\mid m_{2}}}\varphi (\gcd(d_{1},d_{2}))2^{\omega (\operatorname {lcm} (d_{1},d_{2}))},} 実際、 fが 任意の算術関数 [51] [52] である場合、
は ディリクレ畳み込みを表します。 ∑ gcd ( k , n ) = 1 1 ≤ k ≤ n f ( gcd ( k − 1 , n ) ) = φ ( n ) ∑ d ∣ n ( μ ∗ f ) ( d ) φ ( d ) , {\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}f(\gcd(k-1,n))=\varphi (n)\sum _{d\mid n}{\frac {(\mu *f)(d)}{\varphi (d)}},} ∗ {\displaystyle *}
その他 m と n が それぞれ異なる、奇数で正であるとする 。このとき、ヤコビ記号は 二次の相互 法則を満たす。 ( m n ) ( n m ) = ( − 1 ) ( m − 1 ) ( n − 1 ) / 4 . {\displaystyle \left({\frac {m}{n}}\right)\left({\frac {n}{m}}\right)=(-1)^{(m-1)(n-1)/4}.}
D ( n ) を算術微分と する。対数微分については、 算術微分を 参照 。 D ( n ) n = ∑ p prime p ∣ n v p ( n ) p . {\displaystyle {\frac {D(n)}{n}}=\sum _{\stackrel {p\mid n}{p{\text{ prime}}}}{\frac {v_{p}(n)}{p}}.}
λ ( n ) をリウヴィル関数と する。すると
| λ ( n ) | μ ( n ) = λ ( n ) | μ ( n ) | = μ ( n ) , {\displaystyle |\lambda (n)|\mu (n)=\lambda (n)|\mu (n)|=\mu (n),} および λ ( n ) μ ( n ) = | μ ( n ) | = μ 2 ( n ) . {\displaystyle \lambda (n)\mu (n)=|\mu (n)|=\mu ^{2}(n).} λ ( n ) をカーマイケル関数とする。すると
λ ( n ) ∣ ϕ ( n ) . {\displaystyle \lambda (n)\mid \phi (n).} さらに、 λ ( n ) = ϕ ( n ) if and only if n = { 1 , 2 , 4 ; 3 , 5 , 7 , 9 , 11 , … (that is, p k , where p is an odd prime) ; 6 , 10 , 14 , 18 , … (that is, 2 p k , where p is an odd prime) . {\displaystyle \lambda (n)=\phi (n){\text{ if and only if }}n={\begin{cases}1,2,4;\\3,5,7,9,11,\ldots {\text{ (that is, }}p^{k}{\text{, where }}p{\text{ is an odd prime)}};\\6,10,14,18,\ldots {\text{ (that is, }}2p^{k}{\text{, where }}p{\text{ is an odd prime)}}.\end{cases}}} n を法とする整数の乗法群 と n を法とする原始根を 参照 。
2 ω ( n ) ≤ d ( n ) ≤ 2 Ω ( n ) . {\displaystyle 2^{\omega (n)}\leq d(n)\leq 2^{\Omega (n)}.} [53] [54] 6 π 2 < ϕ ( n ) σ ( n ) n 2 < 1. {\displaystyle {\frac {6}{\pi ^{2}}}<{\frac {\phi (n)\sigma (n)}{n^{2}}}<1.} [55] c q ( n ) = μ ( q gcd ( q , n ) ) ϕ ( q gcd ( q , n ) ) ϕ ( q ) = ∑ δ ∣ gcd ( q , n ) μ ( q δ ) δ . {\displaystyle {\begin{aligned}c_{q}(n)&={\frac {\mu \left({\frac {q}{\gcd(q,n)}}\right)}{\phi \left({\frac {q}{\gcd(q,n)}}\right)}}\phi (q)\\&=\sum _{\delta \mid \gcd(q,n)}\mu \left({\frac {q}{\delta }}\right)\delta .\end{aligned}}} [56] [ 57 ] に留意 ϕ ( q ) = ∑ δ ∣ q μ ( q δ ) δ . {\displaystyle \phi (q)=\sum _{\delta \mid q}\mu \left({\frac {q}{\delta }}\right)\delta .} c q ( 1 ) = μ ( q ) . {\displaystyle c_{q}(1)=\mu (q).} c q ( q ) = ϕ ( q ) . {\displaystyle c_{q}(q)=\phi (q).} ∑ δ ∣ n d 3 ( δ ) = ( ∑ δ ∣ n d ( δ ) ) 2 . {\displaystyle \sum _{\delta \mid n}d^{3}(\delta )=\left(\sum _{\delta \mid n}d(\delta )\right)^{2}.} [58]これを 1 3 + 2 3 + 3 3 + ... + n 3 = (1 + 2 + 3 + ... + n ) 2 と比較。 d ( u v ) = ∑ δ ∣ gcd ( u , v ) μ ( δ ) d ( u δ ) d ( v δ ) . {\displaystyle d(uv)=\sum _{\delta \mid \gcd(u,v)}\mu (\delta )d\left({\frac {u}{\delta }}\right)d\left({\frac {v}{\delta }}\right).} [59] σ k ( u ) σ k ( v ) = ∑ δ ∣ gcd ( u , v ) δ k σ k ( u v δ 2 ) . {\displaystyle \sigma _{k}(u)\sigma _{k}(v)=\sum _{\delta \mid \gcd(u,v)}\delta ^{k}\sigma _{k}\left({\frac {uv}{\delta ^{2}}}\right).} [60] τ ( u ) τ ( v ) = ∑ δ ∣ gcd ( u , v ) δ 11 τ ( u v δ 2 ) , {\displaystyle \tau (u)\tau (v)=\sum _{\delta \mid \gcd(u,v)}\delta ^{11}\tau \left({\frac {uv}{\delta ^{2}}}\right),} ここで τ ( n ) はラマヌジャン関数である。 [61]
いくつかの算術関数の最初の100個の値 n 因数分解 φ ( n ) ω ( n ) Ω ( n λ ( n ) μ( n ) Λ(n ) π (n )σ 0 (n )σ 1 (n )σ 2 (n )r 2 (n )r 3 (n )r 4 (n )1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 4 6 8 2 2 1 1 1 −1 −1 0.69 1 2 3 5 4 12 24 3 3 2 1 1 −1 −1 1.10 2 2 4 10 0 8 32 4 22 2 1 2 1 0 0.69 2 3 7 21 4 6 24 5 5 4 1 1 −1 −1 1.61 3 2 6 26 8 24 48 6 2 · 3 2 2 2 1 1 0 3 4 12 50 0 24 96 7 7 6 1 1 −1 −1 1.95 4 2 8 50 0 0 64 8 23 4 1 3 −1 0 0.69 4 4 15 85 4 12 24 9 32 6 1 2 1 0 1.10 4 3 13 91 4 30 104 10 2 · 5 4 2 2 1 1 0 4 4 18 130 8 24 144 11 11 10 1 1 −1 −1 2.40 5 2 12 122 0 24 96 12 22 · 3 4 2 3 −1 0 0 5 6 28 210 0 8 96 13 13 12 1 1 −1 −1 2.56 6 2 14 170 8 24 112 14 2 · 7 6 2 2 1 1 0 6 4 24 250 0 48 192 15 3 · 5 8 2 2 1 1 0 6 4 24 260 0 0 192 16 24 8 1 4 1 0 0.69 6 5 31 341 4 6 24 17 17 16 1 1 −1 −1 2.83 7 2 18 290 8 48 144 18 2 · 32 6 2 3 −1 0 0 7 6 39 455 4 36 312 19 19 18 1 1 −1 −1 2.94 8 2 20 362 0 24 160 20 22 · 5 8 2 3 −1 0 0 8 6 42 546 8 24 144 21 3 · 7 12 2 2 1 1 0 8 4 32 500 0 48 256 22 2 · 11 10 2 2 1 1 0 8 4 36 610 0 24 288 23 23 22 1 1 −1 −1 3.14 9 2 24 530 0 0 192 24 23 · 3 8 2 4 1 0 0 9 8 60 850 0 24 96 25 52 20 1 2 1 0 1.61 9 3 31 651 12 30 248 26 2 · 13 12 2 2 1 1 0 9 4 42 850 8 72 336 27 33 18 1 3 −1 0 1.10 9 4 40 820 0 32 320 28 22 · 7 12 2 3 −1 0 0 9 6 56 1050 0 0 192 29 29 28 1 1 −1 −1 3.37 10 2 30 842 8 72 240 30 2 · 3 · 5 8 3 3 −1 −1 0 10 8 72 1300 0 48 576 31 31 30 1 1 −1 −1 3.43 11 2 32 962 0 0 256 32 25 16 1 5 −1 0 0.69 11 6 63 1365 4 12 24 33 3 · 11 20 2 2 1 1 0 11 4 48 1220 0 48 384 34 2 · 17 16 2 2 1 1 0 11 4 54 1450 8 48 432 35 5 · 7 24 2 2 1 1 0 11 4 48 1300 0 48 384 36 22 · 32 12 2 4 1 0 0 11 9 91 1911 4 30 312 37 37 36 1 1 −1 −1 3.61 12 2 38 1370 8 24 304 38 2 · 19 18 2 2 1 1 0 12 4 60 1810 0 72 480 39 3 · 13 24 2 2 1 1 0 12 4 56 1700 0 0 448 40 23 · 5 16 2 4 1 0 0 12 8 90 2210 8 24 144 41 41 40 1 1 −1 −1 3.71 13 2 42 1682 8 96 336 42 2 · 3 · 7 12 3 3 −1 −1 0 13 8 96 2500 0 48 768 43 43 42 1 1 −1 −1 3.76 14 2 44 1850 0 24 352 44 22 · 11 20 2 3 −1 0 0 14 6 84 2562 0 24 288 45 32 · 5 24 2 3 −1 0 0 14 6 78 2366 8 72 624 46 2 · 23 22 2 2 1 1 0 14 4 72 2650 0 48 576 47 47 46 1 1 −1 −1 3.85 15 2 48 2210 0 0 384 48 24 · 3 16 2 5 −1 0 0 15 10 124 3410 0 8 96 49 72 42 1 2 1 0 1.95 15 3 57 2451 4 54 456 50 2 · 52 20 2 3 −1 0 0 15 6 93 3255 12 84 744 51 3 · 17 32 2 2 1 1 0 15 4 72 2900 0 48 576 52 22 · 13 24 2 3 −1 0 0 15 6 98 3570 8 24 336 53 53 52 1 1 −1 −1 3.97 16 2 54 2810 8 72 432 54 2 · 33 18 2 4 1 0 0 16 8 120 4100 0 96 960 55 5 · 11 40 2 2 1 1 0 16 4 72 3172 0 0 576 56 2 3 ・7 24 2 4 1 0 0 16 8 120 4250 0 48 192 57 3・19 36 2 2 1 1 0 16 4 80 3620 0 48 640 58 2・29 28 2 2 1 1 0 16 4 90 4210 8 24 720 59 59 58 1 1 −1 −1 4.08 17 2 60 3482 0 72 480 60 2 ・2 ・3・5 16 3 4 1 0 0 17 12 168 5460 0 0 576 61 61 60 1 1 −1 −1 4.11 18 2 62 3722 8 72 496 62 2・31 30 2 2 1 1 0 18 4 96 4810 0 96 768 63 3・ 2 ・7 36 2 3 −1 0 0 18 6 104 4550 0 0 832 64 2 ・6 32 1 6 1 0 0.69 18 7 127 5461 4 6 24 65 5・13 48 2 2 1 1 0 18 4 84 4420 16 96 672 66 2・3・11 20 3 3 −1 −1 0 18 8 144 6100 0 96 1152 67 67 66 1 1 −1 −1 4.20 19 2 68 4490 0 24 544 68 2・ 2 ・17 32 2 3 −1 0 0 19 6 126 6090 8 48 432 69 3・23 44 2 2 1 1 0 19 4 96 5300 0 96 768 70 2・5・7 24 3 3 −1 −1 0 19 8 144 6500 0 48 1152 71 71 70 1 1 −1 −1 4.26 20 2 72 5042 0 0 576 72 2 3 · 3 2 24 2 5 −1 0 0 20 12 195 7735 4 36 312 73 73 72 1 1 −1 −1 4.29 21 2 74 5330 8 48 592 74 2 · 37 36 2 2 1 1 0 21 4 114 6850 8 120 912 75 3 · 5 2 40 2 3 −1 0 0 21 6 124 6510 0 56 992 76 2 2 · 19 36 2 3 −1 0 0 21 6 140 7602 0 24 480 77 7 · 11 60 2 2 1 1 0 21 4 96 6100 0 96 768 78 2 · 3 · 13 24 3 3 −1 −1 0 21 8 168 8500 0 48 1344 79 79 78 1 1 −1 −1 4.37 22 2 80 6242 0 0 640 80 2 4 · 5 32 2 5 −1 0 0 22 10 186 8866 8 24 144 81 3 4 54 1 4 1 0 1.10 22 5 121 7381 4 102 968 82 2・41 40 2 2 1 1 0 22 4 126 8410 8 48 1008 83 83 82 1 1 −1 −1 4.42 23 2 84 6890 0 72 672 84 2・ 2 ・3・7 24 3 4 1 0 0 23 12 224 10500 0 48 768 85 5・17 64 2 2 1 1 0 23 4 108 7540 16 48 864 86 2・43 42 2 2 1 1 0 23 4 132 9250 0 120 1056 87 3・29 56 2 2 1 1 0 23 4 120 8420 0 0 960 88 2 3 · 11 40 2 4 1 0 0 23 8 180 10370 0 24 288 89 89 88 1 1 −1 −1 4.49 24 2 90 7922 8 144 720 90 2 · 3 2 · 5 24 3 4 1 0 0 24 12 234 11830 8 120 1872 91 7 · 13 72 2 2 1 1 0 24 4 112 8500 0 48 896 92 2 2 · 23 44 2 3 −1 0 0 24 6 168 11130 0 0 576 93 3 · 31 60 2 2 1 1 0 24 4 128 9620 0 48 1024 94 2 · 47 46 2 2 1 1 0 24 4 144 11050 0 96 1152 95 5 · 19 72 2 2 1 1 0 24 4 120 9412 0 0 960 96 2 5 · 3 32 2 6 1 0 0 24 12 252 13650 0 24 96 97 97 96 1 1 −1 −1 4.57 25 2 98 9410 8 48 784 98 2 · 7 2 42 2 3 −1 0 0 25 6 171 12255 4 108 1368 99 3 2 · 11 60 2 3 −1 0 0 25 6 156 11102 0 72 1248 100 2 2 · 5 2 40 2 4 1 0 0 25 9 217 13671 12 30 744 n 因数分解 φ ( n ) ω ( n ) Ω ( n 𝜆 ( n ) 𝜇( n ) Λ(n ) π (n )σ 0 (n )σ 1 (n )σ 2 (n )r 2 (n )r 3 (n )r 4 (n )
Notes ^ Long (1972, p. 151) ^ Pettofrezzo & Byrkit (1970, p. 58) ^ Niven & Zuckerman, 4.2. ^ Nagell, I.9. ^ Bateman & Diamond, 2.1. ^ Hardy & Wright, intro. to Ch. XVI ^ Hardy, Ramanujan , § 10.2 ^ Apostol, Modular Functions ... , § 1.15, Ch. 4, and ch. 6 ^ Hardy & Wright, §§ 18.1–18.2 ^ Gérald Tenenbaum (1995). Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory . Cambridge studies in advanced mathematics. Vol. 46. Cambridge University Press . pp. 36– 55. ISBN 0-521-41261-7 . ^ Hardy & Wright, § 17.6 は、収束性に注意を払わずに、純粋に形式的な方法で母関数の理論を構築する方法を示しています。 ^ Hardy & Wright, Thm. 263 ^ Hardy & Wright, Thm. 63 ^ Jordanのトーティエント関数 の参考文献を参照 ^ Holden et al. 外部リンク この式はGegenbauerの ^ ハーディ＆ライト、Thm. 288–290 ^ 外部リンクのDineva、prop. 4 ^ ハーディ＆ライト、Thm. 264 ^ ハーディ＆ライト、Thm. 296 ^ ハーディ＆ライト、Thm. 278 ^ ハーディ＆ライト、Thm. 386 ^ ハーディ、 ラマヌジャン 、式9.1.2、9.1.3 ^ コブリッツ、Ex. III.5.2 ^ ハーディ＆ライト、§ 20.13 ^ ハーディ、 ラマヌジャン 、§ 9.7 ^ ハーディ、 ラマヌジャン 、§ 9.13 ^ ハーディ、 ラマヌジャン 、§ 9.17 ^ ウィリアムズ、ch. 13; Huard, et al. (外部リンク) ^ ラマヌジャン、 ある算術関数について 、表IV; 論文 、146ページ ^ コブリッツ、例 III.2.8 ^ コブリッツ、例 III.2.3 ^ コブリッツ、例 III.2.2 ^ コブリッツ、例 III.2.4 ^ アポストル、 『モジュラー関数… 』、例 6.10 ^ アポストル、 『モジュラー関数… 』、第6章 例 10 ^ GH Hardy, S. Ramannujan、 『組合せ解析における漸近的公式』 、§ 1.3；ラマンヌジャン、 『論文集』、 279 ページ ^ ランダウ、168ページでは、ディリクレだけでなくガウスにも功績を認めています。 ^ コーエン、定義 5.1.2 ^ コーエン 、訂正 5.3.13 ^ より複雑な公式については、エドワーズ、§ 9.5 の演習を参照してください。 ^ コーエン、命題 5.3.10 ^ 約数関数 を参照してください 。 ^ ハーディ＆ライト、式 22.1.2 ^ 素数関数を 参照してください 。 ^ ハーディ＆ライト、式 22.1.1 ^ ハーディ＆ライト、式 22.1.3 ^ ラースロー・トート、 「メノンの恒等式と算術和… 」、式1 ^ トート、式5 ^ トート、式3 ^ トート、式35 ^ トート、式2 ^ トートは、メノンが1965年に乗法的な f について、そしてV. Sita Ramaiahが一般の f についてこれを証明したと述べています。 ^ ハーディ ・ラマヌジャン 、式3.10.3 ^ ハーディ＆ライト、§22.13 ^ ハーディ＆ライト、Thm. 329 ^ ハーディ＆ライト、Thm. 271, 272 ^ ハーディ＆ライト、式16.3.1 ^ ラマヌジャン、 『解析的数論におけるいくつかの公式 』、式(C)； 論文集 、133ページ。脚注によると、ハーディはラマヌジャンに、この式は1857年のリウヴィルの論文にも登場すると伝えたという。 ^ ラマヌジャン、 『解析的数論におけるいくつかの公式 』、式(F)； 論文集 、134ページ ^ アポストル、 『モジュラー関数… 』 、第6章、式4 ^ アポストル、 『モジュラー関数… 』、第6章、式3
参考文献
参考文献
外部リンク 「算術関数」、 数学百科事典 、 EMS Press 、2001 [1994] マシュー・ホールデン、マイケル・オリソン、マイケル・ヴァーブル オイラーのトーティエント関数のさらなる一般化 Huard、Ou、Spearman、Williams。約数関数を含む特定の畳み込み和の初等的評価 Dineva、Rosica。オイラーのトーティエント、メビウス、および約数関数。Wayback Machineに2021年1月16日にアーカイブ László Tóth。メノンの恒等式と多変数関数を表す算術和
![{\displaystyle \lambda(p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}\dots p_{\omega(n)}^{a_{\omega(n)}})=\operatorname {lcm} [\lambda(p_{1}^{a_{1}}),\;\lambda(p_{2}^{a_{2}}),\dots ,\lambda(p_{\omega(n)}^{a_{\omega(n)}})].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a328e8f19a1bc0835ea2e412cb2ce6c4d71d4a51)
![{\displaystyle e^{\psi (x)}=\operatorname {lcm} [1,2,\dots ,\lfloor x\rfloor ].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f0671a33f6f269f9f767e7b72dc0383a7fc7c82)
