Coordinates comprising a distance and two angles
物理 学の慣例 。一般的に用いられる 球面座標（ r 、 θ 、 φ ）は、（ ISO 80000-2:2019 ）：半径距離 r （原点からの 直線距離 ）、極角 θ （ シータ ）（正の極軸に対する角度）、方位角 φ （ ファイ ）（最初の子午面からの回転角）。 この記事では、この慣例に従います。 数学 において 、 球面座標系は 、距離と2つの角度を3つの 座標として用いて、 3次元空間 内の任意の点を指定する 。これらは
点と原点 と呼ばれる固定点を結ぶ線に沿った 半径 距離 r 。 この放射状線と与えられた 極軸 との間の極 角 θ ; [a] と 方位 角 φ は極軸の周りの放射状線の 回転角 である。 [b] (「物理学の慣例」に関する図を参照してください。)
半径が決まると、3つの座標（ r 、 θ 、 φ ）（3 組）は 球面 上の座標系となり 、通常は 球面極座標 と呼ばれます。 原点を通り、 極軸に 垂直な 平面（極角が 直角 ）は 基準面 （または 基準面 ）と呼ばれます。
用語 原点からの半径距離は、 半径 、 放射状線 、または 放射座標 とも呼ばれます。極角は、 傾斜角 、 天頂角 、 法線角 、または 緯度 と呼ばれることもあります。ユーザーは、傾斜角をその 補角 、つまり基準面 と放射状線の間、つまり基準面から放射状線に向かって上向きに（正のZ軸に向かって）測定された仰角 （ または 高度角 ）に置き換えることができます。俯角 は仰角の負の値です。 （図は「数学的慣例」ではなく「物理学的慣例」に関するものです。）
座標の組の命名順序と記号の使用法は、様々な情報源や分野によって異なります。この記事では、 物理学 でよく用いられるISO規則 [1] を用います。この規則では、命名組はラジアル距離、極角、方位角、または の順序で表されます 。（「物理学の規則」については図を参照してください。）一方、多くの数学の書籍やテキストでは、命名順序がラジアル距離、「方位角」、「極角」、または と異なっており、 記号θとφの用法と意味が入れ替わっています。原点からではなく Z 軸からの半径を表す r など、他の規則が用いられる場合もあります。 記号の意味を注意深く確認する必要があります。 ( r , θ , φ ) {\displaystyle (r,\theta ,\varphi )} ( ρ , θ , φ ) {\displaystyle (\rho ,\theta ,\varphi )} ( r , θ , φ ) {\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}
数学 の慣例 。球面座標 （ r 、 θ 、 φ ） は通常、半径距離 r 、方位角 θ 、極角 φ で表されます。 物理学の慣例 と比較して、 θ と φ の意味が 逆になっています 。「南」方向のx軸は描かれていますが、「北」方向のx軸は描かれていません。（物理学と同様に、円筒座標や2次元極座標の r の値との混同を避けるため、 r の代わりに ρ （ ロー ）がよく使用されます。） 地理座標系 の慣例によれば、位置は緯度、経度、高度（高度）で測定されます。 天体座標系には、異なる 基本平面 に基づき、様々な座標に異なる用語を用いる ものが数多く存在します 。数学で使用される球面座標系では、通常、 度 ではなく ラジアン が使用されます（90度は π ⁄ 2 ラジアンに等しいことに注意）。また、これらの 数学慣例 のシステムでは、方位角を 水平座標系 のように時計回り（つまり、北方向の X 軸、つまり0°から東方向の Y 軸、つまり+90°）ではなく、 反時計 回り（つまり、南方向のX軸、つまり180°から東方向のY軸、つまり+90°）で測定する場合があります 。 [ 2] （「数学慣例」の図を参照）。
物理学の慣習 における球面座標系は、 三次元空間 における 極座標系 の一般化と見ることができます。これはさらに高次元空間に拡張することができ、 超球面座標系 と呼ばれます 。
意味 球面座標系を定義するには、 空間上の原点 O と 、2つの直交方向、すなわち 天頂基準 方向と 方位基準 方向を指定する必要があります。これらの選択によって、通常、原点と x軸およびy軸 を含むものとして定義される基準面が決定されます。x軸とy軸はどちらも 方位基準 方向として指定できます。基準面は天頂方向に垂直（直交）であり、通常、天頂方向の「垂直方向」に対して「水平方向」と指定されます。点 P の球面座標は次のように定義されます。
半径 または 放射距離は 、 原点 Oから P までの ユークリッド距離 です 。 傾斜角 （ または 極角 ）は、天頂基準方向から線分 OP までの符号付き角度です。（ 傾斜角 の代わりに 仰角を 極角として使用することもできます。以下を参照してください。） 方位角 （ または 方位角）は、 方位基準 方向から基準平面上の 放射状線分 OP の直交投影まで測定された符号付き角度です。 方位角の符号は、 天頂を中心とする 正方向の回転角を指定することで決定されます。この選択は任意であり、座標系の定義の一部です。（傾斜角が0度または180度（= π ラジアン）の場合、方位角は任意です。半径が0度の場合、方位角と傾斜角はどちらも任意です。）
仰角 は 、xy基準面から放射状線分 OP までの符号付き角度で、正の角度は天頂基準に向かって上向きに指定されます。 仰角 は90度（= π / 2 ラジアン） から傾斜角を引いた値です 。つまり、傾斜角が60度（＝ π / 3 ラジアン）の場合、仰角は30度（＝ π / 6 ラジアン)。
線形代数 では 、 原点 O から点 Pへの ベクトルは 、しばしば P の 位置ベクトル と呼ばれます。
コンベンション 球面座標の表現方法とその記号の命名順序については、いくつかの異なる慣例が存在します。3組の数字は 、半径距離、極角（「傾斜」または「仰角」）、そして方位角を表します。これは物理学の慣例において一般的な方法であり、 ISO 規格 80000-2:2019 、そしてそれ以前の ISO規格31-11 (1992) で規定されています。 ( r , θ , φ ) {\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}
前述のとおり、特に明記しない限り、この記事では ISO の「物理学の慣例」について説明します。
しかし、一部の著者（数学者を含む）は、半径（または放射距離）に ρ （ロー）、傾斜（または仰角）に φ 、方位角に θ という記号を使用し、一方で半径に r を使い続ける著者も いる。これらはすべて「通常の極座標表記の論理的拡張」を提供している。 [3] 順序に関しては、方位角を 傾斜角（または仰角）の 前に並べる著者もいる。これらの選択の組み合わせによっては 、左手 座標系となる。標準的な「物理学の慣例」である3組の組は、方位角 に θ がよく使用される2次元 極座標 と3次元 円筒座標 の通常の表記法と矛盾する。 [3] ( r , θ , φ ) {\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}
角度は通常、 度 （°）または ラジアン （rad）で測定されます。360° = 2πrad です。度の使用は地理学、天文学、工学で最も一般的で、ラジアンは数学や 理論物理学 でよく使用されます。半径距離の単位は通常、文脈によって決まります。これは「単位球面」の応用例によく見られます（応用例を参照）。
この体系を物理的な三次元空間を表すために用いる場合、基準面上の基準方向（平面の「天頂」側から見た場合）から 反 時計回りに測定した方位角に正の角度を割り当てるのが慣例である。この慣習は特に地理座標において用いられ、「天頂」方向は 北であり、方位角（経度）の正の角度は 本初子午線 から東方向に測定される 。
主要な大会 座標セット順序 対応するローカル地理的方向 （ Z 、 X 、 Y ） 右利き/左利き ( r , θ inc , φ az,right ) （ 使用 ） 右 （ r 、 φ az、右 、 θ el ） （ 上 、 東 、 北 ） 右 （ r 、 θ el 、 φ az、右 ） （ U 、 N 、 E ） 左
注: 東経 ( E )、北緯 ( N ) 、上向き ( U )。 ( U , S , E ) の場合、 方位 角は 南 から 東 へ 反時計回りに 測定されます 。
ユニークな座標 任意の球面座標3つ組（または組）は、 3次元空間の1点を指定します。逆に言えば、任意の1点には、無限に多くの同等の球面座標が存在します。つまり、ユーザーは角度自体を変更することなく、つまり点を変更することなく、角度の測定値に任意の回転数を加減することができます。多くの状況では、負の半径距離を使用すると便利です。慣例的に は、 任意の r 、 θ 、 φ に対してまたは と 同等です 。さらに、 は と同等です 。 ( r , θ , φ ) {\displaystyle (r,\theta ,\varphi )} ( − r , θ , φ ) {\displaystyle (-r,\theta ,\varphi )} ( r , θ + 180 ∘ , φ ) {\displaystyle (r,\theta {+}180^{\circ },\varphi )} ( r , 90 ∘ − θ , φ + 180 ∘ ) {\displaystyle (r,90^{\circ }{-}\theta ,\varphi {+}180^{\circ })} ( r , − θ , φ ) {\displaystyle (r,-\theta ,\varphi )} ( r , θ , φ + 180 ∘ ) {\displaystyle (r,\theta ,\varphi {+}180^{\circ })}
各点に対して一意の球面座標系を定義する必要がある場合は、ユーザーは各座標の 範囲（間隔 ）を制限する必要があります。一般的な選択肢は次のとおりです。
半径距離: r ≥ 0, 極角: 0° ≤ θ ≤ 180° 、または 0 rad ≤ θ ≤ π rad 、 方位角 : 0° ≤ φ < 360° 、または 0 rad ≤ φ < 2 π rad 。 しかし、方位角 φ は 、区間 [0°、360°) ではなく、通常は 半開区間 (−180°、+180°] 、または (− π 、+ π ] ラジアンに制限されます。これは、地理経度の標準的な規則です。
極角 θ の場合、傾斜角の範囲（間隔）は [0°, 180°]であり、これは標高の範囲（間隔） [−90°, +90°] に相当します 。地理学では、緯度は標高です。
これらの制約があっても、極角（傾斜角）が0°または180°（仰角が-90°または+90°）の場合、方位角は任意です。また、 r が0の場合、方位角と極角はどちらも任意です。座標を一意に定義するために、ユーザーは（これらの場合）任意の座標を0に設定するという規則を適用できます。
プロット 球座標( r 、 θ 、 φ ) （ θ は傾斜）から任意のドットをプロットするには 、 ユーザーは次のようにします。 まず、原点から天頂基準方向（Z軸）に r 単位移動します。次に、指定された 方位角基準方向（つまり、X軸またはY軸のいずれか、上記の定義を参照） から 原点を中心に 方位角（ φ ）の量だけ回転させます。最後に、Z軸 から角度 θ の量だけ回転させます 。
アプリケーション 数学の慣例 において 、地球儀は 単位球 を示し、 点 P (赤)、その半径距離 r (赤、ラベルなし)、方位角 θ (ラベルなし)、極 傾斜角 φ (ラベルなし)の 組 の座標を示します。原点から 天頂軸に沿った球面上方向の半径距離には、値 1、つまり 1 が割り当てられます。+ この画像では、 r は 4/6、つまり 0.67 (1) に等しいように見えます。つまり、6 つの「入れ子になったシェル」のうち 4 つが球面にあります。方位角 θ は、方位基準 x 軸から 反時計回りに 回転すると、正の 90° に等しく、傾斜 φ は、天頂軸から回転すると 30° に等しいように見えます。(天頂軸から y 軸への「完全な」回転、つまり傾斜は 90° であることに注意してください)。 平面上で二次元 直交座標系が 有用であり、幅広い用途があるのと同様に、球面上では二次元球面座標系が有用です。例えば、 直交座標系で x 2 + y 2 + z 2 = c 2 という方程式で表される球面は、 球面座標系では r = c という単純な方程式 で表すことができます 。（この座標系（ 数学的慣例に従って示されている）では、球面は 単位球 として扱われ 、半径は1に設定され、通常は無視できます。図を参照してください。）
この（単位球面）簡略化は、回転行列 などのオブジェクトを扱う際にも有用です 。球面座標は、球面内部の 体積積分 、集中した質量または電荷を取り囲む位置エネルギー場、惑星の大気圏における全球気象シミュレーションなど、点を中心にある程度の対称性を持つシステムの解析にも有用です。
ここに示す産業用スピーカー の出力パターンは、 6つの周波数で取得した球面極座標プロットを使用しています。 スピーカー の出力パターンを3次元モデリングすることで、 その性能を予測することができます。パターンは周波数によって大きく変化するため、幅広い周波数範囲で取得した複数の極座標プロットが必要です。極座標プロットは、多くのスピーカーが低周波数域で無指向性を示す傾向があることを示すのに役立ちます。
球面座標の重要な応用として、多くの物理問題で生じる2つの 偏微分方程式 （ ラプラス方程式 と ヘルムホルツ方程式 ）における 変数分離が挙げられます。これらの方程式の解の角度部分は 球面調和関数 の形をとります 。もう一つの応用は 人間工学設計 です。ここで、 r は静止した人の腕の長さであり、角度は腕が伸びる方向を表します。球面座標系は、3D ゲーム開発 において、プレイヤーの位置を中心にカメラを回転させるためにもよく使用されます [4]。
地理学では 地理座標系 では、傾斜角の代わりに 仰角（または 緯度 ）を使用し、範囲（別名、 領域 ） が −90° ≤ φ ≤ 90°で、 赤道 面から北に回転します 。緯度（すなわち、 緯度の 角度 ）は、地球の中心から測定（回転）した 地心緯度 （ ψ 、 q 、 φ ′、 φ c 、 φ g など様々に指定）または 観測者の 局所的な鉛直線から測定（回転）した 測地緯度 （通常は φ で指定）のいずれかです。極角（傾斜）は 90° から緯度を引いたもので、範囲は 0 から 180° であり、地理学では 余緯度 と呼ばれます。
地球上の特定の位置の 方位角（または 経度 ）は、一般的にλで表され、従来の基準 子午線 （最も一般的には IERS基準子午線 ）からの東西の度数で測定されます 。したがって、その定義域（または範囲）は -180° ≤ λ ≤ 180° であり、与えられた値は通常「東」または「西」で示されます。 地球 またはその他の固体 天体上の位置の場合、基準面は通常 、自転軸 に垂直な面とされます 。
地理学者は、 半径距離 r の代わりに、例えば 平均海面 のような、ある局所的な基準面（ 鉛直基準面）からの 高度 または高度を一般的に使用します。必要に応じて、高度に地球の半径 （約6,360 ± 11 km（3,952 ± 7 マイル）を加えることで、半径距離を計算できます 。
しかし、現代の地理座標系は非常に複雑であり、これらの単純な公式で示される位置は数キロメートルの誤差が生じる可能性があります。 緯度、経度 、 高度の正確な標準的な意味は現在、 世界測地系 （WGS）によって定義されており 、極における地球の平坦化（約21キロメートルまたは13マイル）をはじめとする多くの詳細が考慮されています。
惑星座標系では、 地理座標系に類似した定式化が使用されます。
天文学では 一連の 天文座標系は、いくつかの 基本面 からの仰角を測定するために使用されます 。これらの基準面には、観測者の 地平線 、 銀河赤道（ 天の川銀河 の自転によって定義される ）、天の 赤道（ 地球の自転 によって定義される ）、 黄道 面（地球の 太陽 の周りの軌道によって定義される）、地 赤道面（ 太陽 の瞬間方向に対して垂直な面 ）が含まれます。
座標系の変換 球面座標系は数ある 3 次元座標系のうちの 1 つに過ぎないため、球面座標系と他の座標系の間で座標を変換するための方程式が存在します。
直交座標 ISO規約における点の球座標（つまり、物理学では半径 r 、傾斜 θ 、方位角 φ ）は、その 直交座標 （ x 、 y 、 z ） から次の式で 得られる。
r = x 2 + y 2 + z 2 θ = arccos z x 2 + y 2 + z 2 = arccos z r = { arctan x 2 + y 2 z if z > 0 π + arctan x 2 + y 2 z if z < 0 + π 2 if z = 0 and x 2 + y 2 ≠ 0 undefined if x = y = z = 0 φ = sgn ( y ) arccos x x 2 + y 2 = { arctan ( y x ) if x > 0 , arctan ( y x ) + π if x < 0 and y ≥ 0 , arctan ( y x ) − π if x < 0 and y < 0 , + π 2 if x = 0 and y > 0 , − π 2 if x = 0 and y < 0 , undefined if x = 0 and y = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\\theta &=\arccos {\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}=\arccos {\frac {z}{r}}={\begin{cases}\arctan {\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}&{\text{if }}z>0\\\pi +\arctan {\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}&{\text{if }}z<0\\+{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}z=0{\text{ and }}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\neq 0\\{\text{undefined}}&{\text{if }}x=y=z=0\\\end{cases}}\\\varphi &=\operatorname {sgn}(y)\arccos {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\text{if }}x>0,\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y\geq 0,\\\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y<0,\\+{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y>0,\\-{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y<0,\\{\text{undefined}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0.\end{cases}}\end{aligned}}}
逆 正接は φ = arctan と表される y / × は、 上記の式と同様に、 ( x , y ) の正しい象限を考慮して適切に定義する必要があります 。atan2 に関する記事を参照して ください 。
あるいは、この変換は、直交座標から極座標への 2つの連続した変換と考えることもできる 。1つ目は、直交座標 xy 平面における ( x , y )から ( R , φ ) への変換 （ここで、 Rは rの xy 平面へ の投影）であり 、2つ目は直交座標 zR 平面における ( z , R )から ( r , θ ) への変換である。 φ と θ の正しい象限は、 平面直交座標から極座標への変換が正しいことから導かれる。
これらの式は、2つの系が同じ原点を持ち、球面基準面が直交座標系 xy 平面であること、 θが z 方向からの傾斜であること 、方位角が直交座標系 x軸から測定されること（ y軸は φ = +90° となる こと ）を前提としています。θ が 天頂からの傾斜ではなく基準面からの仰角を測定する場合、上記のarccosはarcsinとなり、以下の cos θ と sin θ は逆になります。
逆に、直交座標は球面座標（ 半径 r 、 傾斜 θ 、 方位角 φ ）から次のように求めることができる。ここで r∈ [ 0 ,∞) 、 θ∈ [ 0, π ] 、 φ∈ [0,2π ) である 。 x = r sin θ cos φ , y = r sin θ sin φ , z = r cos θ . {\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\sin \theta \,\cos \varphi ,\\y&=r\sin \theta \,\sin \varphi ,\\z&=r\cos \theta .\end{aligned}}}
円筒座標 円筒座標 （ 軸 半径 ρ 、 方位角 φ 、 仰角 z ）は、次の式によって
球面座標（ 中心半径 r 、 傾斜角 θ 、 方位角 φ ）に変換できる。
r = ρ 2 + z 2 , θ = arctan ρ z = arccos z ρ 2 + z 2 , φ = φ . {\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}},\\\theta &=\arctan {\frac {\rho }{z}}=\arccos {\frac {z}{\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}},\\\varphi &=\varphi .\end{aligned}}}
逆に、球座標は次式によって円筒座標に変換できる。
ρ = r sin θ , φ = φ , z = r cos θ . {\displaystyle {\begin{aligned}\rho &=r\sin \theta ,\\\varphi &=\varphi ,\\z&=r\cos \theta .\end{aligned}}}
これらの式では、2 つのシステムが同じ原点と基準面を持ち、方位角 φ を同じ軸から同じ方向に測定し、球面角 θ が 円筒形の z 軸からの傾斜であると仮定しています。
楕円体座標 球面座標の修正版を使用して、直交座標で楕円体を扱うことも可能です。
Pをレベルセットで指定された楕円体とする
a x 2 + b y 2 + c z 2 = d . {\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=d.}
ISO規約におけるP内の点の修正球面座標（つまり、物理学では 半径 r 、 傾斜 θ 、 方位角 φ ）は、その 直交座標 （ x 、 y 、 z ） から次の式で 得られる。
x = 1 a r sin θ cos φ , y = 1 b r sin θ sin φ , z = 1 c r cos θ , r 2 = a x 2 + b y 2 + c z 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {1}{\sqrt {a}}}r\sin \theta \,\cos \varphi ,\\y&={\frac {1}{\sqrt {b}}}r\sin \theta \,\sin \varphi ,\\z&={\frac {1}{\sqrt {c}}}r\cos \theta ,\\r^{2}&=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}.\end{aligned}}}
無限小体積要素は次のように与えられる。
d V = | ∂ ( x , y , z ) ∂ ( r , θ , φ ) | d r d θ d φ = 1 a b c r 2 sin θ d r d θ d φ = 1 a b c r 2 d r d Ω . {\displaystyle \mathrm {d} V=\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}\right|\,dr\,d\theta \,d\varphi ={\frac {1}{\sqrt {abc}}}r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi ={\frac {1}{\sqrt {abc}}}r^{2}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \Omega .}
平方根係数は、 列から定数を引き出すことができる 行列式の特性から生じます。
| k a b c k d e f k g h i | = k | a b c d e f g h i | . {\displaystyle {\begin{vmatrix}ka&b&c\\kd&e&f\\kg&h&i\end{vmatrix}}=k{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}.}
球座標における積分と微分 球座標における単位ベクトル 次の式 (Iyanaga 1977)では、 物理学の慣例 に従い、余緯度 θ が正の z 軸からの傾斜であると仮定しています 。
( r , θ , φ )から ( r + d r , θ + d θ , φ + d φ ) への 微小変位の 線 要素 は、
それぞれ r 、 θ 、 φ の増加する方向の 局所直交 単位ベクトル であり 、 x̂ 、 ŷ 、 ẑ は直交座標の単位ベクトルである。この右手座標3つ組への線形変換は 回転行列 である。 d r = d r r ^ + r d θ θ ^ + r sin θ d φ φ ^ , {\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {r} =\mathrm {d} r\,{\hat {\mathbf {r} }}+r\,\mathrm {d} \theta \,{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+r\sin {\theta }\,\mathrm {d} \varphi \,\mathbf {\hat {\boldsymbol {\varphi }}} ,} r ^ = sin θ cos φ x ^ + sin θ sin φ y ^ + cos θ z ^ , θ ^ = cos θ cos φ x ^ + cos θ sin φ y ^ − sin θ z ^ , φ ^ = − sin φ x ^ + cos φ y ^ {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {r} }}&=\sin \theta \cos \varphi \,{\hat {\mathbf {x} }}+\sin \theta \sin \varphi \,{\hat {\mathbf {y} }}+\cos \theta \,{\hat {\mathbf {z} }},\\{\hat {\boldsymbol {\theta }}}&=\cos \theta \cos \varphi \,{\hat {\mathbf {x} }}+\cos \theta \sin \varphi \,{\hat {\mathbf {y} }}-\sin \theta \,{\hat {\mathbf {z} }},\\{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}&=-\sin \varphi \,{\hat {\mathbf {x} }}+\cos \varphi \,{\hat {\mathbf {y} }}\end{aligned}}} R = ( sin θ cos φ sin θ sin φ − cos θ cos θ cos φ cos θ sin φ − sin θ − sin φ cos φ − 0 ) . {\displaystyle R={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi &\sin \theta \sin \varphi &{\hphantom {-}}\cos \theta \\\cos \theta \cos \varphi &\cos \theta \sin \varphi &-\sin \theta \\-\sin \varphi &\cos \varphi &{\hphantom {-}}0\end{pmatrix}}.}
これは直交座標から球面座標への変換を与え、その逆は逆行列によって与えられます。注意：行列は 直交行列 です。つまり、その逆行列は単に 転置行列 です。
したがって、直交座標単位ベクトルは球面座標単位ベクトルと次の関係があります。 [ x ^ y ^ z ^ ] = [ sin θ cos φ cos θ cos φ − sin φ sin θ sin φ cos θ sin φ − cos φ cos θ − sin θ − 0 ] [ r ^ θ ^ φ ^ ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {x}} \\\mathbf {\hat {y}} \\\mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \cos \varphi &\cos \theta \cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &\cos \theta \sin \varphi &{\hphantom {-}}\cos \varphi \\\cos \theta &-\sin \theta &{\hphantom {-}}0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\hat {r}}}\\{\boldsymbol {\hat {\theta }}}\\{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}\end{bmatrix}}}
微分直線要素を証明するための公式の一般的な形は [5] であり
、すなわち、 の変化は、 個々の座標の変化に対応する個々の変化に分解される。 d r = ∑ i ∂ r ∂ x i d x i = ∑ i | ∂ r ∂ x i | ∂ r ∂ x i | ∂ r ∂ x i | d x i = ∑ i | ∂ r ∂ x i | d x i x ^ i , {\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {r} =\sum _{i}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}\,\mathrm {d} x_{i}=\sum _{i}\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}\right|{\frac {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}{\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}\right|}}\,\mathrm {d} x_{i}=\sum _{i}\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}\right|\,\mathrm {d} x_{i}\,{\hat {\boldsymbol {x}}}_{i},} r {\displaystyle \mathbf {r} }
これを今回のケースに適用するには、 各座標における変化を計算する必要がある。ここで用いる慣例では、 r {\displaystyle \mathbf {r} } r = [ r sin θ cos φ r sin θ sin φ r cos θ ] , x 1 = r , x 2 = θ , x 3 = φ . {\displaystyle \mathbf {r} ={\begin{bmatrix}r\sin \theta \,\cos \varphi \\r\sin \theta \,\sin \varphi \\r\cos \theta \end{bmatrix}},x_{1}=r,x_{2}=\theta ,x_{3}=\varphi .}
したがって、 ∂ r ∂ r = [ sin θ cos φ sin θ sin φ cos θ ] = r ^ , ∂ r ∂ θ = [ r cos θ cos φ r cos θ sin φ − r sin θ ] = r θ ^ , ∂ r ∂ φ = [ − r sin θ sin φ − r sin θ cos φ 0 ] = r sin θ φ ^ . {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial r}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \,\cos \varphi \\\sin \theta \,\sin \varphi \\\cos \theta \end{bmatrix}}=\mathbf {\hat {r}} ,\quad {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}={\begin{bmatrix}r\cos \theta \,\cos \varphi \\r\cos \theta \,\sin \varphi \\-r\sin \theta \end{bmatrix}}=r\,{\hat {\boldsymbol {\theta }}},\quad {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \varphi }}={\begin{bmatrix}-r\sin \theta \,\sin \varphi \\{\hphantom {-}}r\sin \theta \,\cos \varphi \\0\end{bmatrix}}=r\sin \theta \,\mathbf {\hat {\boldsymbol {\varphi }}} .}
望ましい係数はこれらのベクトルの大きさである： [5] | ∂ r ∂ r | = 1 , | ∂ r ∂ θ | = r , | ∂ r ∂ φ | = r sin θ . {\displaystyle \left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial r}}\right|=1,\quad \left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right|=r,\quad \left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \varphi }}\right|=r\sin \theta .}
（定数）半径r の球面上の θ から θ + d θ まで、また φから φ + d φ まで 張られる 面 要素 は、 d S r = ‖ ∂ r ∂ θ × ∂ r ∂ φ ‖ d θ d φ = | r θ ^ × r sin θ φ ^ | d θ d φ = r 2 sin θ d θ d φ . {\displaystyle \mathrm {d} S_{r}=\left\|{\frac {\partial {\mathbf {r} }}{\partial \theta }}\times {\frac {\partial {\mathbf {r} }}{\partial \varphi }}\right\|\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =\left|r{\hat {\boldsymbol {\theta }}}\times r\sin \theta {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}\right|\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi ~.}
したがって、微分 立体角 は d Ω = d S r r 2 = sin θ d θ d φ . {\displaystyle \mathrm {d} \Omega ={\frac {\mathrm {d} S_{r}}{r^{2}}}=\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi .}
極角 θ が一定の曲面（原点を頂点とする円錐）の曲面要素は d S θ = r sin θ d φ d r . {\displaystyle \mathrm {d} S_{\theta }=r\sin \theta \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} r.}
方位角φ 一定面（垂直半平面） の表面要素は d S φ = r d r d θ . {\displaystyle \mathrm {d} S_{\varphi }=r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta .}
r から r + d r 、 θ から θ + d θ 、 φ から φ + d φ に 及ぶ 体積 要素は、 偏微分 ヤコビ行列 の 行列式 によって指定され 、 すなわち J = ∂ ( x , y , z ) ∂ ( r , θ , φ ) = ( sin θ cos φ r cos θ cos φ − r sin θ sin φ sin θ sin φ r cos θ sin φ − r sin θ cos φ cos θ − r sin θ − 0 ) , {\displaystyle J={\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi &r\cos \theta \cos \varphi &-r\sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &r\cos \theta \sin \varphi &{\hphantom {-}}r\sin \theta \cos \varphi \\\cos \theta &-r\sin \theta &{\hphantom {-}}0\end{pmatrix}},} d V = | ∂ ( x , y , z ) ∂ ( r , θ , φ ) | d r d θ d φ = r 2 sin θ d r d θ d φ = r 2 d r d Ω . {\displaystyle \mathrm {d} V=\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}\right|\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \Omega ~.}
例えば、関数 f ( r , θ , φ )は、 R 3 のすべての点について三重積分 によって 積分できる。 ∫ 0 2 π ∫ 0 π ∫ 0 ∞ f ( r , θ , φ ) r 2 sin θ d r d θ d φ . {\displaystyle \int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^{\pi }\int \limits _{0}^{\infty }f(r,\theta ,\varphi )r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi ~.}
このシステムにおけるデル演算子は 、 スカラー場の 勾配 と ラプラシアン について次の式を導き、 ベクトル場 の 発散 と 回転 について次の式を導きます 。 ∇ f = ∂ f ∂ r r ^ + 1 r ∂ f ∂ θ θ ^ + 1 r sin θ ∂ f ∂ φ φ ^ , ∇ 2 f = 1 r 2 ∂ ∂ r ( r 2 ∂ f ∂ r ) + 1 r 2 sin θ ∂ ∂ θ ( sin θ ∂ f ∂ θ ) + 1 r 2 sin 2 θ ∂ 2 f ∂ φ 2 = ( ∂ 2 ∂ r 2 + 2 r ∂ ∂ r ) f + 1 r 2 sin θ ∂ ∂ θ ( sin θ ∂ ∂ θ ) f + 1 r 2 sin 2 θ ∂ 2 ∂ φ 2 f , {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla f&={\partial f \over \partial r}{\hat {\mathbf {r} }}+{1 \over r}{\partial f \over \partial \theta }{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+{1 \over r\sin \theta }{\partial f \over \partial \varphi }{\hat {\boldsymbol {\varphi }}},\\[8pt]\nabla ^{2}f&={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}\\[8pt]&=\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\right)f+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)f+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}f~,\\[8pt]\end{aligned}}}
∇ ⋅ A = 1 r 2 ∂ ∂ r ( r 2 A r ) + 1 r sin θ ∂ ∂ θ ( sin θ A θ ) + 1 r sin θ ∂ A φ ∂ φ , {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} ={\frac {1}{r^{2}}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}A_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta A_{\theta }\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial A_{\varphi } \over \partial \varphi },} ∇ × A = 1 r sin θ [ ∂ ∂ θ ( A φ sin θ ) − ∂ A θ ∂ φ ] r ^ + 1 r [ 1 sin θ ∂ A r ∂ φ − ∂ ∂ r ( r A φ ) ] θ ^ + 1 r [ ∂ ∂ r ( r A θ ) − ∂ A r ∂ θ ] φ ^ , {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {A} ={}&{\frac {1}{r\sin \theta }}\left[{\partial \over \partial \theta }\left(A_{\varphi }\sin \theta \right)-{\partial A_{\theta } \over \partial \varphi }\right]{\hat {\mathbf {r} }}\\[4pt]&{}+{\frac {1}{r}}\left[{1 \over \sin \theta }{\partial A_{r} \over \partial \varphi }-{\partial \over \partial r}\left(rA_{\varphi }\right)\right]{\hat {\boldsymbol {\theta }}}\\[4pt]&{}+{\frac {1}{r}}\left[{\partial \over \partial r}\left(rA_{\theta }\right)-{\partial A_{r} \over \partial \theta }\right]{\hat {\boldsymbol {\varphi }}},\end{aligned}}}
さらに、直交座標における逆ヤコビアンは 球面座標系における 計量 テンソル は です。 J − 1 = ( x r y r z r x z r 2 x 2 + y 2 y z r 2 x 2 + y 2 − ( x 2 + y 2 ) r 2 x 2 + y 2 − y x 2 + y 2 x x 2 + y 2 0 ) . {\displaystyle J^{-1}={\begin{pmatrix}{\dfrac {x}{r}}&{\dfrac {y}{r}}&{\dfrac {z}{r}}\\\\{\dfrac {xz}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\dfrac {yz}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\dfrac {-\left(x^{2}+y^{2}\right)}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}\\\\{\dfrac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{\dfrac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0\end{pmatrix}}.} g = J T J {\displaystyle g=J^{T}J}
球座標における距離 球面座標では、2点が与えられ、 その方位座標を φとすると、2点間の距離は [6] のように表される。 r = ( r , θ , φ ) , r ′ = ( r ′ , θ ′ , φ ′ ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {r} }&=(r,\theta ,\varphi ),\\{\mathbf {r} '}&=(r',\theta ',\varphi ')\end{aligned}}} D = r 2 + r ′ 2 − 2 r r ′ ( sin θ sin θ ′ cos ( φ − φ ′ ) + cos θ cos θ ′ ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {D} }&={\sqrt {r^{2}+r'^{2}-2rr'(\sin {\theta }\sin {\theta '}\cos {(\varphi -\varphi ')}+\cos {\theta }\cos {\theta '})}}\end{aligned}}}
運動学 球座標では、点または粒子の位置（ 3つの と書く方が適切ですが）は [7] と書くことができます。 その速度は [7] で
、加速度は [7]です。 ( r , θ , φ ) {\displaystyle (r,\theta ,\varphi )} r = r r ^ . {\displaystyle \mathbf {r} =r\mathbf {\hat {r}} .} v = d r d t = r ˙ r ^ + r θ ˙ θ ^ + r φ ˙ sin θ φ ^ {\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}={\dot {r}}\mathbf {\hat {r}} +r\,{\dot {\theta }}\,{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+r\,{\dot {\varphi }}\sin \theta \,\mathbf {\hat {\boldsymbol {\varphi }}} } a = d v d t = + ( r ¨ − r θ ˙ 2 − r φ ˙ 2 sin 2 θ ) r ^ + ( r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙ − r φ ˙ 2 sin θ cos θ ) θ ^ + ( r φ ¨ sin θ + 2 r ˙ φ ˙ sin θ + 2 r θ ˙ φ ˙ cos θ ) φ ^ {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} ={}&{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}\\[1ex]={}&{\hphantom {+}}\;\left({\ddot {r}}-r\,{\dot {\theta }}^{2}-r\,{\dot {\varphi }}^{2}\sin ^{2}\theta \right)\mathbf {\hat {r}} \\&{}+\left(r\,{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}\,{\dot {\theta }}-r\,{\dot {\varphi }}^{2}\sin \theta \cos \theta \right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}\\&{}+\left(r{\ddot {\varphi }}\,\sin \theta +2{\dot {r}}\,{\dot {\varphi }}\,\sin \theta +2r\,{\dot {\theta }}\,{\dot {\varphi }}\,\cos \theta \right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}\end{aligned}}}
角 運動量 は、
質量 です 。φが定数の場合 、 または θ = L = r × p = r × m v = m r 2 ( − φ ˙ sin θ θ ^ + θ ˙ φ ^ ) {\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {r} \times m\mathbf {v} =mr^{2}\left(-{\dot {\varphi }}\sin \theta \,\mathbf {\hat {\boldsymbol {\theta }}} +{\dot {\theta }}\,{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}\right)} m {\displaystyle m} π / 2 、これは 極座標でのベクトル計算 に帰着します。
対応する 角運動量演算子は 、上記の位相空間再定式化から次のように導かれる。 L = − i ℏ r × ∇ = i ℏ ( θ ^ sin ( θ ) ∂ ∂ ϕ − ϕ ^ ∂ ∂ θ ) . {\displaystyle \mathbf {L} =-i\hbar ~\mathbf {r} \times \nabla =i\hbar \left({\frac {\hat {\boldsymbol {\theta }}}{\sin(\theta )}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}-{\hat {\boldsymbol {\phi }}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\right).}
トルクは次のように与えられる [7] τ = d L d t = r × F = − m ( 2 r r ˙ φ ˙ sin θ + r 2 φ ¨ sin θ + 2 r 2 θ ˙ φ ˙ cos θ ) θ ^ + m ( r 2 θ ¨ + 2 r r ˙ θ ˙ − r 2 φ ˙ 2 sin θ cos θ ) φ ^ {\displaystyle \mathbf {\tau } ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} =-m\left(2r{\dot {r}}{\dot {\varphi }}\sin \theta +r^{2}{\ddot {\varphi }}\sin {\theta }+2r^{2}{\dot {\theta }}{\dot {\varphi }}\cos {\theta }\right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}+m\left(r^{2}{\ddot {\theta }}+2r{\dot {r}}{\dot {\theta }}-r^{2}{\dot {\varphi }}^{2}\sin \theta \cos \theta \right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}}
運動 エネルギー は次のように与えられる [7] E k = 1 2 m [ ( r ˙ ) 2 + ( r θ ˙ ) 2 + ( r φ ˙ sin θ ) 2 ] {\displaystyle E_{k}={\frac {1}{2}}m\left[\left({\dot {r}}\right)^{2}+\left(r{\dot {\theta }}\right)^{2}+\left(r{\dot {\varphi }}\sin \theta \right)^{2}\right]}
参照
注記
参考文献 ^ 「ISO 80000-2:2019 数量及び単位 – パート2：数学」 ISO . 2020年5月19日. pp. 20– 21. 項目番号2-17.3 . 2020年8月12日 閲覧 。 ^ Duffett-Smith、P および Zwart、J、p. 34. ^ ab Eric W. Weisstein (2005年10月26日). 「球座標」. MathWorld . 2010年1月15日 閲覧。 ^ 「ビデオゲームの数学：極座標表記と球面座標表記」。 アカデミー・オブ・インタラクティブ・エンターテイメント（AIE） . 2022年2月16日 閲覧 。 ^ ab 「球面座標における線要素（dl）の導出/図」。Stack Exchange 。2011年10月21日。 ^ 「球座標における2点間の距離」。 ^ abcde Reed, Bruce Cameron (2019). Keplerian ellipses : the physics of the gravitational two-body problem . Morgan & Claypool Publishers, Institute of Physics. San Rafael [California] (40 Oak Drive, San Rafael, CA, 94903, US). ISBN 978-1-64327-470-6 . OCLC 1104053368. {{cite book }}: CS1 maint: location (link ) CS1 maint: location missing publisher (link )
参考文献 彌永章吉；川田幸義（1977）。 数学百科事典 。 MITプレス。 ISBN 978-0262090162 。 モースPM 、 フェシュバッハH （1953） 『理論物理学の方法、第1部 』ニューヨーク：マグロウヒル、p.658、 ISBN 0-07-043316-X 。 LCCN 52011515。 Margenau H , Murphy GM (1956). 『物理と化学の数学 』 ニューヨーク: D. van Nostrand. pp. 177–178. LCCN 55010911. Korn GA, Korn TM (1961). 科学者とエンジニアのための数学ハンドブック . ニューヨーク: McGraw-Hill. pp. 174– 175. LCCN 59014456. ASIN B0000CKZX7. ザウアー R、ザボー I (1967)。 Ingenieurs の数学 。ニューヨーク: Springer Verlag。 95 ～ 96 ページ。LCCN 67025285 。 Moon P, Spencer DE (1988). 「球座標 (r, θ, ψ)」. 場の理論ハンドブック（座標系、微分方程式、およびその解を含む ）（訂正第2版、第3刷）. ニューヨーク: Springer-Verlag. pp. 24–27 (表1.05). ISBN 978-0-387-18430-2 。 Duffett-Smith P, Zwart J (2011). 『電卓とスプレッドシートを使った実践天文学』第4版 . ニューヨーク: Cambridge University Press. p. 34. ISBN 978-0521146548 。
外部リンク 「球座標」、 数学百科事典 、 EMSプレス 、2001 [1994] MathWorldによる球面座標の説明 座標コンバーター – 極座標、直交座標、球座標を変換します
![{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla f&={\partial f \over \partial r}{\hat {\mathbf {r} }}+{1 \over r}{\partial f \over \partial \theta }{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+{1 \over r\sin \theta }{\partial f \over \partial \varphi }{\hat {\boldsymbol {\varphi }}},\\[8pt]\nabla ^{2}f&={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}\\[8pt]&=\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\right)f+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)f+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}f~,\\[8pt]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c085b5d702755a656ad961a224d007f50c7dfe76)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {A} ={}&{\frac {1}{r\sin \theta }}\left[{\partial \over \partial \theta }\left(A_{\varphi }\sin \theta \right)-{\partial A_{\theta }\over \partial \varphi }\right]{\hat {\mathbf {r} }}\\[4pt]&{}+{\frac {1}{r}}\left[{1 \over \sin \theta }{\partial A_{r} \over \partial \varphi }-{\partial \over \partial r}\left(rA_{\varphi }\right)\right]{\hat {\boldsymbol {\theta }}}\\[4pt]&{}+{\frac {1}{r}}\left[{\partial \over \partial r}\left(rA_{\theta }\right)-{\partial A_{r} \over \partial \theta }\right]{\hat {\boldsymbol {\varphi }}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c2477820afa14dd84fdaba95b49d463fba1ee65)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} ={}&{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}\\[1ex]={}&{\hphantom {+}}\;\left({\ddot {r}}-r\,{\dot {\theta }}^{2}-r\,{\dot {\varphi }}^{2}\sin ^{2}\theta \right)\mathbf {\hat {r}} \\&{}+\left(r\,{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}\,{\dot {\theta }}-r\,{\dot {\varphi }}^{2}\sin \theta \cos \theta \right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}\\&{}+\left(r{\ddot {\varphi }}\,\sin \theta +2{\dot {r}}\,{\dot {\varphi }}\,\sin \theta +2r\,{\dot {\theta }}\,{\dot {\varphi }}\,\cos \theta \right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}\end{整列}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb548d3f8b0f22d189e8bca1bd0c6e4815908bb0)
![{\displaystyle E_{k}={\frac {1}{2}}m\left[\left({\dot {r}}\right)^{2}+\left(r{\dot {\theta}}\right)^{2}+\left(r{\dot {\varphi}}\sin \theta \right)^{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/635f4dc13b75d1e1b4fe939530265e5408b97921)
