ゼータ関数の正規化

数学および理論物理学において、ゼータ関数正則化は、発散する和または積に有限値を割り当てる正則化法または総和可能性法の一種であり、特に自己随伴作用素の行列式や痕跡を定義するために用いられる。この手法は現在、物理学の問題に広く適用されているが、その起源は数論に現れる悪条件和に正確な意味を与えようとする試みにある。

意味

おそらく発散する級数a ₁ + a ₂ + ...の合計を定義するためのゼータ関数正規化と呼ばれるいくつかの異なる合計方法があります。

一つの方法は、 ζ _A (−1) が定義されている場合、そのゼータ正規化和を定義することである。ここで、ゼータ関数は、大きな Re( s ) に対して次の ように定義される。

${\displaystyle \zeta _{A}(s)={\frac {1}{a_{1}^{s}}}+{\frac {1}{a_{2}^{s}}}+\cdots }$

この和が収束する場合、また他の場所では解析接続によって収束する場合。

a _n = nの場合、ゼータ関数は通常のリーマンゼータ関数です。この方法は、シュリニヴァーサ・ラマヌジャンが1 + 2 + 3 + 4 + ⋯という級数を「和」してζ (−1) = −1/12とするために使用されました。

スティーブン ホーキング ( 1977 ) は、ラプラシアンの固有値がわかっている平坦空間では、分配関数に対応するゼータ関数を明示的に計算できることを示した。温度T  =  β ^{−1の平坦時空における体積}Vの大きな箱に含まれるスカラー場φを考えてみよう。分配関数は、箱の壁上でゼロで τ 内で周期βで周期的なτ  =  itを置くことで得られるユークリッド空間上のすべての場φ の経路積分によって定義される。この状況で、ホーキングは分配関数から場 φの放射のエネルギー、エントロピー、圧力を計算した。平坦空間の場合、物理量に現れる固有値は一般に既知であるが、曲がった空間の場合は未知であり、この場合には漸近的な方法が必要となる。

別の方法では、発散する可能性のある無限積a ₁ a ₂ .... を exp(−ζ′ _A (0)) と定義します。DB RayとIM Singer  ( 1971 ) はこれを用いて、固有値a ₁ , a _{2 , .... を}持つ正の自己随伴演算子A (彼らの応用ではリーマン多様体のラプラシアン) の行列式を定義しました。この場合、ゼータ関数は正式にはA ^{− s}のトレースです。S . MinakshisundaramとÅ。 Pleijel  ( 1949 ) は、 Aがコンパクト・リーマン多様体のラプラシアンであるとき、ミナクシシュンダラム・Pleijel ゼータ関数は 収束し、すべての複素数への有理型関数として解析接続を持つことを示し、 RT Seeley  ( 1967 ) はこれをコンパクト・リーマン多様体上の楕円型擬微分作用素Aに拡張した。したがって、そのような作用素に対しては、ゼータ関数の正則化を用いて行列式を定義できる。「解析的捩れ」 を参照。

ホーキング（1977）は、この考え方を用いて曲がった時空における経路積分を評価することを提案した。彼は、ブラックホールの地平線やド・ジッター背景といった曲がった背景における熱重力子と物質量子の分配関数を計算するために、ゼータ関数の正則化を研究した。これは、熱方程式の核の軌跡に対する逆メリン変換の関係を用いて行われた。

例

ゼータ関数の正規化が利用できる最初の例は、カシミール効果に現れます。これは、量子場のバルク寄与が3次元の平坦空間で発生します。この場合、リーマンゼータ関数の値を-3で計算する必要がありますが、これは明示的に発散します。しかし、s = -3まで解析的に接続することができ、うまくいけば極が存在しないため、式に有限の値を与えます。この正規化の詳細な例は、カシミール効果の詳細な例に関する記事に記載されています。そこでは、結果として得られる和は非常に明確にリーマンゼータ関数になります（そして、一見すると手品のように見える解析接続によって加法的無限大が除去され、物理的に意味のある有限数が残ります）。

ゼータ関数正則化の一例としては、量子場理論における粒子場のエネルギーの真空期待値の計算が挙げられます。より一般的には、ゼータ関数アプローチは、平坦時空と曲がった時空の両方において、エネルギー運動量テンソル全体を正則化するために用いることができます。 ^{[1] [2] [3]}

エネルギーの非調整値は、真空のすべての励起モードの ゼロ点エネルギーの合計によって与えられます。

${\displaystyle \langle 0|T_{00}|0\rangle =\sum _{n}{\frac {\hbar |\omega _{n}|}{2}}}$

ここで、はエネルギー運動量テンソルの零成分であり、その和（積分となる場合もある）はすべての（正および負の）エネルギーモードにわたって拡張されると理解される。絶対値は、エネルギーが正であると仮定していることを想起させる。この和は、書き方によっては、通常は無限大となる（は典型的にはnについて線形である）。この和は、次のように 正規化することができる。 ${\displaystyle T_{00}}$ ${\displaystyle \omega _{n}}$ ${\displaystyle \omega _{n}}$

${\displaystyle \langle 0|T_{00}(s)|0\rangle =\sum _{n}{\frac {\hbar |\omega _{n}|}{2}}|\omega _{n}|^{-s}}$

ここで、 sは複素数としてとられるパラメータです。sが4より大きい実数（3次元空間の場合）の場合、和は明らかに有限であり、したがって理論的に評価できる場合が多くあります 。

ゼータ正則化は、物理系の様々な対称性を保存するような方法で用いられることが多いため有用である。ゼータ関数正則化は、共形場理論、繰り込み、そして弦理論における臨界時空次元の固定に用いられる。また、量子磁性理論^{[5]を含む凝縮系物理学の様々な分野[4]}でも用いられる。

他の正規化との関係

ゼータ関数正則化は次元正則化と同等である。^[6]しかし、ゼータ関数正則化の主な利点は、次元正則化が失敗した場合、例えば計算の中に行列やテンソルがある場合に使用できることである。 ${\displaystyle \epsilon _{i,j,k}}$

ディリクレ級数との関係

ゼータ関数正規化は、算術関数f ( n ) 上の任意の和に解析的な構造を与える。このような和はディリクレ級数として知られている。正規化された形式は

${\displaystyle {\tilde {f}}(s)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)n^{-s}}$

は、和の発散を複素s平面上の単純な極に変換する。数値計算では、ゼータ関数正規化は収束が非常に遅いため不適切である。数値計算目的であれば、より速く収束する和は指数正規化であり、次式で表される。

${\displaystyle F(t)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)e^{-tn}.}$

これはfのZ 変換と呼ばれることもあり、z  = exp(− t ) とします。指数正規化とゼータ正規化の解析構造は関連しています。指数和をローラン級数として展開すると

${\displaystyle F(t)={\frac {a_{N}}{t^{N}}}+{\frac {a_{N-1}}{t^{N-1}}}+\cdots }$

ゼータ系列は次のような構造を持つことが分かる。

${\displaystyle {\tilde {f}}(s)={\frac {a_{N}}{s-N}}+\cdots .}$

指数関数型レギュレータとゼータ関数型レギュレータの構造はメリン変換によって関連付けられます。ガンマ関数の積分表現を利用することで、一方を他方に変換することができます。

${\displaystyle \Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }t^{s-1}e^{-t}\,dt}$

それがアイデンティティにつながる

${\displaystyle \Gamma (s){\tilde {f}}(s)=\int _{0}^{\infty }t^{s-1}F(t)\,dt}$

指数関数とゼータ関数の関係を解明し、s 平面の極をローラン級数の発散項に変換します。

熱核正規化

合計

${\displaystyle f(s)=\sum _{n}a_{n}e^{-s|\omega _{n}|}}$

は熱核または熱核正規化和と呼ばれることもあります。この名称は、が熱核の固有値として理解されることがあるという考えに由来しています。数学では、このような和は一般化ディリクレ級数として知られており、平均化のために用いられることはアーベル平均として知られています。これはラプラス・スティルチェス変換と密接に関連しており、 ${\displaystyle \omega _{n}}$

${\displaystyle f(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}\,d\alpha (t)}$

ここではステップ関数であり、ステップはである。このような級数の収束については多くの定理が存在する。例えば、ハーディ・リトルウッドのタウバー定理によれば、^[7] ${\displaystyle \alpha (t)}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle t=|\omega _{n}|}$

${\displaystyle L=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log \vert \sum _{k=1}^{n}a_{k}\vert }{|\omega _{n}|}}}$

の級数は半平面上で収束し、半平面上の任意のコンパクト部分集合上で一様収束する。物理学へのほぼすべての応用において、 ${\displaystyle f(s)}$ ${\displaystyle \Re (s)>L}$ ${\displaystyle \Re (s)>L}$ ${\displaystyle L=0}$

歴史

熱核法とゼータ関数正規化法を用いて正規化された級数の収束性と同値性を確立した初期の研究の多くは、1916年にGHハーディとJEリトルウッドによって行われ^[8] 、カーン・メリン積分の応用に基づいています。この研究は、数論に現れる様々な定義の曖昧な条件付き収束和の値を得るために行われました。

物理問題における調節因子としての応用という点では、ホーキング（1977）に先立ち、J・スチュアート・ダウカーとレイモンド・クリッチリーは1976年に量子物理問題のためのゼータ関数正則化法を提案した。^[9]エミリオ・エリザルデらも、積分に対するゼータ正則化に基づく手法を提案している。ここで、は調節因子であり、発散積分は極限内の数値に依存する（再正規化を参照）。また、次元正則化や解析正則化などの他の正則化とは異なり、ゼータ正則化には対抗項がなく、有限の結果しか与えない。 ${\displaystyle \int _{a}^{\infty }x^{m-s}dx}$ ${\displaystyle x^{-s}}$ ${\displaystyle \zeta (s-m)}$ ${\displaystyle s\to 0}$

参照

• 生成関数 – 形式的冪級数
• ペロンの公式 – 算術関数の和の公式
• 再正規化 – 無限大を扱うために物理学で用いられる手法
• 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯  – 発散級数
• 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯  – 発散級数
• 解析的捩れ – ホモトピー同値多様体を区別できる多様体の位相不変量
• ラマヌジャンの和 – 発散する無限級数を合計するための数学的手法
• ミナクシスンダラム – プレイジェルのゼータ関数
• ゼータ関数（演算子）

参考文献

• ^ Tom M. Apostol、「数論におけるモジュラー関数とディリクレ級数」、Springer-Verlag New York。（第8章を参照。）
• ^ A. Bytsenko、G. Cognola、E. Elizalde、V. Moretti、S. Zerbini、「量子場の解析的側面」、World Scientific Publishing、2003年、 ISBN 981-238-364-6
• ^ GH HardyとJE Littlewood、「リーマンゼータ関数理論と素数分布理論への貢献」、Acta Mathematica、41（1916）pp. 119–196。（例えば、定理2.12を参照）
• ホーキング, SW (1977)、「曲がった時空における経路積分のゼータ関数正規化」、Communications in Mathematical Physics、55 (2): 133– 148、Bibcode : 1977CMaPh..55..133H、doi : 10.1007/BF01626516、ISSN  0010-3616、MR  0524257、S2CID  121650064
• ^ V. Moretti、「直接Z関数アプローチと曲がった時空における1ループ応力テンソルの再正規化」、Phys. Rev.D 56、7797（1997）。
• Minakshisundaram, S.; Pleijel, Å. (1949)「リーマン多様体上のラプラス作用素の固有関数のいくつかの性質」、Canadian Journal of Mathematics、1 (3): 242– 256、doi : 10.4153/CJM-1949-021-5、ISSN  0008-414X、MR  0031145
• Ray, DB; Singer, IM (1971)、「R-ねじれとリーマン多様体上のラプラシアン」、Advances in Mathematics、7 (2): 145– 210、doi : 10.1016/0001-8708(71)90045-4、MR  0295381
• 「ゼータ関数法による正則化」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• Seeley, RT (1967), 「​​楕円演算子の複素べき乗」, Calderón, Alberto P. (編), Singular Integrals (Proc. Sympos. Pure Math., Chicago, Ill., 1966) , Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, vol. 10, Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp.  288– 307, ISBN 978-0-8218-1410-9、MR  0237943
• ^ Dowker, JS; Critchley, R. (1976), 「ド・シッター空間における有効ラグランジアンとエネルギー・運動量テンソル」, Physical Review D , 13 (12): 3224– 3232, Bibcode : 1976PhRvD..13.3224D , doi : 10.1103/PhysRevD.13.3224
• ^ D. Fermi, L. Pizzocchero, 「局所ゼータ正規化とスカラーカシミール効果。積分カーネルに基づく一般的なアプローチ」、World Scientific Publishing、ISBN 978-981-3224-99-5（ハードカバー）、ISBN 978-981-3225-01-5(電子ブック)。土井：10.1142/10570 (2017)。

• ^ D. SchumayerとDAW Hutchinson、「リーマン予想の物理学」、Rev. Mod. Phys. 83、307（2011年）。
• ^ V. Yu. Irkhin、「低次元ハイゼンベルク磁性体：リーマンゼータ関数の正則化」、Physics Letters A 561, 130967 (2025); "arXiv:2509.13977"

「 https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Zeta_function_regularization&oldid=1312222024」から取得