測定（数学）

Generalization of mass, length, area and volume

非公式には、測度は、が の測度のサブセットである場合、 の測度がの測度以下であるという意味で単調であるという特性を持ちます。さらに、空集合の測度は0 である必要があります。簡単な例としては、測度としての体積 (オブジェクトが占める空間の大きさ) があります。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B.}$

数学において、測度の概念は、幾何学的な測度（長さ、面積、体積）や、大きさ、質量、事象の確率といった一般的な概念を一般化し、形式化したものです。一見異なる概念に見えるこれらの概念には多くの類似点があり、多くの場合、単一の数学的文脈で一緒に扱うことができます。測度は確率論や積分理論の基礎であり、電荷のように負の値をとるように一般化できます。測度の広範な一般化（スペクトル測度や射影値測度など）は、量子物理学や物理学全般で広く用いられています。

この概念の背後にある直感は、古代ギリシャ、アルキメデスが円の面積を計算しようとした時代にまで遡ります。^{[1] [2]}しかし、測度論が数学の一分野となったのは19世紀後半から20世紀初頭になってからのことでした。現代の測度論の基礎は、エミール・ボレル、アンリ・ルベーグ、ニコライ・ルーザン、ヨハン・ラドン、コンスタンタン・カラテオドリ、モーリス・フレシェといった著作によって築かれました。トーマス・W・ホーキンス・ジュニアによれば、「測度論の重要性が初めて認識されたのは、主に多重積分理論、特にカミーユ・ジョルダンの著作を通してでした。」^[3]

意味

測度の可算な加法性: 可算な分離和の測度は、各サブセットのすべての測度の合計と同じです。 ${\displaystyle \mu }$

を集合とし、 上のσ-代数とし、の部分集合が「測定可能」であるとする。から拡張実数直線への集合関数、すなわち実数直線 と、他のすべての（いわゆる有限）元よりもそれぞれ大きい、または小さい新しい（いわゆる無限）値 および を伴うものは、以下の条件が満たされるとき測度と呼ばれる。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$

• ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$
• 非否定性：すべての ${\displaystyle E\in \Sigma ,\ \ \mu (E)\geq 0}$
• 可算加法性（またはσ加法性）：における互いに素な2つの集合のすべての可算な集合に対して、 ${\displaystyle \{E_{k}\}_{k=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \Sigma }$ $${\displaystyle \mu {\left(\bigcup _{k=1}^{\infty }E_{k}\right)}=\sum _{k=1}^{\infty }\mu (E_{k})}$$

少なくとも1つの集合が有限測度を持つ場合、可算加法性により要件は自動的に満たされる。したがって、 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$ $${\displaystyle \mu (E)=\mu (E\cup \varnothing )=\mu (E)+\mu (\varnothing ),}$$ ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0.}$

を含む任意の合計は、つまり拡張実数のすべての場合 となることに注意してください。 ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle a+\infty =+\infty }$ ${\displaystyle a}$

非負の条件が破棄され、 が 、のいずれかにのみ等しくなる場合、つまり、2 つの異なる集合がそれぞれ、の測度を持たない場合、 は符号付き測度と呼ばれます。 ${\displaystyle \mu (E)}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \mu }$

ペアは可測空間と呼ばれ、 のメンバーは可測集合と呼ばれます。 ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle \Sigma }$

三つ組は 測度空間と呼ばれます。確率測度とは、総測度が1である測度です。つまり、確率空間とは、確率測度を持つ測度空間です。 ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle \mu (X)=1.}$

位相空間でもある測度空間については、測度と位相に対して様々な両立条件を課すことができる。解析学（そして多くの場合確率論）で実際に遭遇する測度のほとんどは、ラドン測度（通常はハウスドルフ空間上で定義される）である。局所コンパクトハウスドルフ空間を扱う場合、ラドン測度は、コンパクト台を持つ連続関数の局所凸位相ベクトル空間上の線型汎関数による同等の代替定義を持つ。このアプローチは、 Bourbaki (2004) をはじめとする多くの文献で採用されている。詳細については、ラドン測度に関する記事を参照のこと。

インスタンス

いくつかの重要な対策をここに挙げます。

• 計数尺度は、 = 要素の数で定義されます ${\displaystyle \mu (S)}$ ${\displaystyle S.}$
• 上のルベーグ測度は、 の区間を含むσ代数上の完全な並進不変測度であり、これらの特性を持つ他のすべての測度はルベーグ測度を拡張します。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mu ([0,1])=1}$
• ユークリッド平面上の単位円上の区間の弧長は、それらが生成する -代数上の測度に拡張されます。区間の弧長は区間が支える角度に等しいため、これは角度測度と呼ばれることがあります。この測度は円を保存する回転に対して不変です。同様に、双曲角測度はスクイーズ写像に対して不変です。 ${\displaystyle \sigma }$
• 局所コンパクト位相群のハール測度。例えば、はそのような群であり、そのハール測度はルベーグ測度である。単位円（ の乗法群の部分群として見た場合）の場合、そのハール測度は角度測度である。離散群の場合、計数測度はハール測度である。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$
• すべての（擬似）リーマン多様体 には、局所座標で のように見える標準測度があり、は通常のルベーグ測度です。 ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle \mu _{g}}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\left|\det g\right|}}d^{n}x}$ ${\displaystyle d^{n}x}$
• ハウスドルフ測度は、ルベーグ測度を非整数次元の集合、特にフラクタル集合に一般化したものです。
• あらゆる確率空間は、空間全体で値1をとる（したがって、そのすべての値は単位区間[0, 1]内に存在する）測度を生じます。このような測度は確率測度または確率分布と呼ばれます。例としては、確率分布の一覧を参照してください。
• ディラック測度 δ a ₍ディラックのデルタ関数を参照) はδ _a ( S ) = χ _S (a)で与えられ、ここでχ _Sは の指示関数です。集合の測度は、その点が含まれている場合は 1 、含まれていない場合は 0 です。 ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle a}$

さまざまな理論で使用される他の「名前の付いた」測度には、ボレル測度、ジョルダン測度、エルゴード測度、ガウス測度、ベール測度、ラドン測度、ヤング測度、ローブ測度などがあります。

物理学における測度の例としては、質量の空間分布（例えば重力ポテンシャルを参照）や、その他の非負の示量的性質（保存則を参照）が挙げられます。これらの値は保存されるか保存されないかのいずれかです。負の値は符号付き測度となります。詳細は後述の「一般化」を参照してください。

• リウヴィル測度は、シンプレクティック多様体上の自然体積形式としても知られ、古典的な統計力学やハミルトン力学で役立ちます。
• ギブス測度は統計力学において広く使用されており、多くの場合、標準集団という名前で使用されています。

基本的なプロパティ

を尺度とします。 ${\displaystyle \mu }$

単調性

とが測定可能な集合である場合、 ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle E_{2}}$ ${\displaystyle E_{1}\subseteq E_{2}}$ $${\displaystyle \mu (E_{1})\leq \mu (E_{2}).}$$

可算和集合と可算積集合の測定

可算な劣加法性

（必ずしも互いに素ではない）測定可能な集合の任意の可算な 列 に対して、 ${\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3},\ldots }$ ${\displaystyle E_{n}}$ ${\displaystyle \Sigma :}$ $${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu (E_{i}).}$$

下からの連続性

が増加する測定可能な集合（つまり）である場合、集合の和集合は測定可能であり、 ${\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3},\ldots }$ ${\displaystyle E_{1}\subseteq E_{2}\subseteq E_{3}\subseteq \ldots }$ ${\displaystyle E_{n}}$ $${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)~=~\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i})=\sup _{i\geq 1}\mu (E_{i}).}$$

上からの継続

が減少する測定可能な集合（つまり）である場合、集合の交差は測定可能である。さらに、 のうち少なくとも1つが有限測度である 場合、 ${\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3},\ldots }$ ${\displaystyle E_{1}\supseteq E_{2}\supseteq E_{3}\supseteq \ldots }$ ${\displaystyle E_{n}}$ ${\displaystyle E_{n}}$ $${\displaystyle \mu \left(\bigcap _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i})=\inf _{i\geq 1}\mu (E_{i}).}$$

この性質は、少なくとも1つが有限測度を持つという仮定がなければ偽である。例えば、すべての集合が無限ルベーグ測度を持つが、その共通部分は空である集合に対して、この性質は成り立つ。 ${\displaystyle E_{n}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle E_{n}=[n,\infty )\subseteq \mathbb {R} ,}$

その他の特性

完全

測定可能な集合は、次の場合、空集合と呼ばれます。空集合の部分集合は無視可能な集合と呼ばれます。無視可能な集合は測定可能である必要はありませんが、測定可能な無視可能な集合はすべて自動的に空集合になります。すべての無視可能な集合が測定可能である場合、測定は完全であると呼ばれます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu (X)=0.}$

測度は、測定可能な集合から無視できる集合だけ異なる部分集合のσ代数を考えることによって、完全な測度に拡張することができる。つまり、ととの対称差が空集合に含まれるようなものである。 ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mu (Y)}$ ${\displaystyle \mu (X).}$

「エッジを落とす」

が -測定可能である場合、ほぼすべての^[4]に対してこの性質はルベーグ積分と関連して使用される。 ${\displaystyle f:X\to [0,+\infty ]}$ ${\displaystyle (\Sigma ,{\cal {B}}([0,+\infty ]))}$ $${\displaystyle \mu \{x\in X:f(x)\geq t\}=\mu \{x\in X:f(x)>t\}}$$ ${\displaystyle t\in [-\infty ,\infty ].}$

証拠

とはどちらもの単調非増加関数なので、どちらも最大で可算個の不連続点を持ち、したがってルベーグ測度に関してほぼあらゆる場所で連続です。 ならば、となり、希望どおりとなります。 ${\displaystyle F(t):=\mu \{x\in X:f(x)>t\}}$ ${\displaystyle G(t):=\mu \{x\in X:f(x)\geq t\}}$ ${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle t<0}$ ${\displaystyle \{x\in X:f(x)\geq t\}=X=\{x\in X:f(x)>t\},}$ ${\displaystyle F(t)=G(t),}$

が成り立つような場合、単調性は が成り立つことを意味する。すべての に対してが成り立つなら、これで終わりなので、そうでないと仮定する。すると、の左側に無限大（ の場合にのみ成り立つ）かつ右側に有限であるような が唯一存在する。上記のように議論すると、のとき となる。同様に、のときとなる。 ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mu \{x\in X:f(x)>t\}=+\infty }$ $${\displaystyle \mu \{x\in X:f(x)\geq t\}=+\infty ,}$$ ${\displaystyle F(t)=G(t),}$ ${\displaystyle \mu \{x\in X:f(x)>t\}=+\infty }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t_{0}\in \{-\infty \}\cup [0,+\infty )}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t_{0}\geq 0}$ ${\displaystyle \mu \{x\in X:f(x)\geq t\}=+\infty }$ ${\displaystyle t<t_{0}.}$ ${\displaystyle t_{0}\geq 0}$ ${\displaystyle F\left(t_{0}\right)=+\infty }$ ${\displaystyle F\left(t_{0}\right)=G\left(t_{0}\right).}$

に対して、が に収束する単調非減少シーケンスであるとします。 の要素の単調非増加シーケンスには、少なくとも1つの有限に測定可能なコンポーネントがあり、上記の連続性により、 であることが保証されます 。が の連続点である場合、右辺はに等しくなります。 はほぼすべての場所で連続であるため、これで証明が完了します。 ${\displaystyle t>t_{0},}$ ${\displaystyle t_{n}}$ ${\displaystyle t.}$ ${\displaystyle \{x\in X:f(x)>t_{n}\}}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle \{x\in X:f(x)\geq t\}=\bigcap _{n}\{x\in X:f(x)>t_{n}\}.}$$ $${\displaystyle \mu \{x\in X:f(x)\geq t\}=\lim _{t_{n}\uparrow t}\mu \{x\in X:f(x)>t_{n}\}.}$$ ${\displaystyle \lim _{t_{n}\uparrow t}F\left(t_{n}\right)}$ ${\displaystyle F(t)=\mu \{x\in X:f(x)>t\}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle F}$

加法性

測度は可算加法的であることが要求されます。しかし、この条件は次のように強化できます。任意の集合と任意の非負集合（ただし ）に対して、 を定義します。つまり、 の和を、有限個の の和の最大値と定義します。 ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$ $${\displaystyle \sum _{i\in I}r_{i}=\sup \left\lbrace \sum _{i\in J}r_{i}:|J|<\infty ,J\subseteq I\right\rbrace .}$$ ${\displaystyle r_{i}}$

上の測度が-加法的であるとは、任意のおよび任意の非結合集合族に対して次が成り立つ場合です。 2 番目の条件は、空集合のイデアルが -完全である という記述と同等です。 ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \lambda <\kappa }$ ${\displaystyle X_{\alpha },\alpha <\lambda }$ $${\displaystyle \bigcup _{\alpha \in \lambda }X_{\alpha }\in \Sigma }$$ $${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{\alpha \in \lambda }X_{\alpha }\right)=\sum _{\alpha \in \lambda }\mu \left(X_{\alpha }\right).}$$ ${\displaystyle \kappa }$

シグマ有限測度

測度空間は、 が有限実数（ ではなく）である場合に有限測度と呼ばれます。非零有限測度は、任意の有限測度が確率測度に比例するという意味で確率測度に類似しています。測度は、 が有限測度の測度を持つ可算な集合の和集合に分解できる場合、σ有限測度と呼ばれます。同様に、測度空間内の集合は、それが有限測度を持つ集合の可算な和集合である場合、 σ有限測度を持つと言われます。 ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle \mu (X)}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\frac {1}{\mu (X)}}\mu .}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X}$

たとえば、標準的なルベーグ測度を持つ実数はσ 有限ですが、有限ではありません。すべての整数の閉区間を考えると、そのような区間は可算個存在し、それぞれが測度 1 を持ち、それらの和集合が実数直線全体となります。あるいは、実数の有限集合それぞれにその集合内の点の数を割り当てる計数測度を持つ実数を考えてみましょう。この測度空間は σ 有限ではありません。なぜなら、有限測度を持つすべての集合には有限個の点しか含まれず、実数直線全体を覆うにはそのような集合が非可算個必要になるからです。σ 有限測度空間には、非常に便利な特性がいくつかあり、この点で σ 有限性は位相空間のリンデレフ特性に例えることができます。^{[独自の研究? ]}測度空間が「非可算測度」を持つ可能性があるという考えを漠然と一般化したものと考えることもできます。 ${\displaystyle [k,k+1]}$ ${\displaystyle k;}$

厳密に地域化可能な対策

半有限測度

を集合とし、を上のシグマ代数とし、を上の測度とすると、が半有限であるとは、すべての^[5]に対して成り立つことを意味する。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\cal {A}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\cal {A}}.}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle A\in \mu ^{\text{pre}}\{+\infty \},}$ ${\displaystyle {\cal {P}}(A)\cap \mu ^{\text{pre}}(\mathbb {R} _{>0})\neq \emptyset .}$

半有限測度はシグマ有限測度を一般化します。これにより、シグマ有限測度には成立するが任意測度には成立しない測度論のいくつかの重要な定理は、ほとんど修正を加えることなく半有限測度にも成立するように拡張できます。(To-do: このような定理の例を追加する。トークページを参照。)

基本的な例

• すべてのシグマ有限測度は半有限です。
• と仮定し、すべてについて仮定する ${\displaystyle {\cal {A}}={\cal {P}}(X),}$ ${\displaystyle f:X\to [0,+\infty ],}$ ${\displaystyle \mu (A)=\sum _{a\in A}f(a)}$ ${\displaystyle A\subseteq X.}$
  • がシグマ有限であることと、それがすべてに対してであることは同値であり、が可算であることは同値である。が半有限であることと、それがすべてに対してであることは同値である^[6] ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle f(x)<+\infty }$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f^{\text{pre}}(\mathbb {R} _{>0})}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle f(x)<+\infty }$ ${\displaystyle x\in X.}$
  • 上記（つまり はを数えて測る）から、 を数えて測ることは ${\displaystyle f=X\times \{1\}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\cal {P}}(X)}$ ${\displaystyle {\cal {P}}(X)}$
    • が可算である場合に限り、シグマ有限であり、 ${\displaystyle X}$
    • 半有限（可算かどうかは関係ない）。（したがって、任意の非可算集合の冪集合上の計数測度は、シグマ有限ではない半有限測度の例を示す。） ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\cal {P}}(X)}$ ${\displaystyle X,}$
• が完全な可分計量であるとし、が誘導するボレルシグマ代数をとすると、ハウスドルフ測度は半有限である。^[7] ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\cal {B}}}$ ${\displaystyle d,}$ ${\displaystyle s\in \mathbb {R} _{>0}.}$ ${\displaystyle {\cal {H}}^{s}|{\cal {B}}}$
• は完全な可分計量であり、はによって誘導されるボレルシグマ代数であり、パッキング測度は半有限である。^[8] ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\cal {B}}}$ ${\displaystyle d,}$ ${\displaystyle s\in \mathbb {R} _{>0}.}$ ${\displaystyle {\cal {H}}^{s}|{\cal {B}}}$

関連する例

零測度はシグマ有限であり、したがって半有限である。さらに、零測度は明らかに以下である。これらの2つの性質を満たす最大の測度が存在することが示される。 ${\displaystyle \mu .}$

定理（半有限部分）^[9] —上の任意の測度に対して、上の半有限測度のうち、最大元以下のものが存在する。 ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\cal {A}},}$ ${\displaystyle {\cal {A}}}$ ${\displaystyle \mu ,}$ ${\displaystyle \mu _{\text{sf}}.}$

の半有限部分とは、上記の定理で定義された半有限測度を意味します。半有限部分については、一部の著者が定義として捉えるかもしれない、明確で分かりやすい式をいくつか示します。 ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu _{\text{sf}}}$

• ${\displaystyle \mu _{\text{sf}}=(\sup\{\mu (B):B\in {\cal {P}}(A)\cap \mu ^{\text{pre}}(\mathbb {R} _{\geq 0})\})_{A\in {\cal {A}}}.}$^[9]
• ${\displaystyle \mu _{\text{sf}}=(\sup\{\mu (A\cap B):B\in \mu ^{\text{pre}}(\mathbb {R} _{\geq 0})\})_{A\in {\cal {A}}}\}.}$^[10]
• ${\displaystyle \mu _{\text{sf}}=\mu |_{\mu ^{\text{pre}}(\mathbb {R} _{>0})}\cup \{A\in {\cal {A}}:\sup\{\mu (B):B\in {\cal {P}}(A)\}=+\infty \}\times \{+\infty \}\cup \{A\in {\cal {A}}:\sup\{\mu (B):B\in {\cal {P}}(A)\}<+\infty \}\times \{0\}.}$^[11]

が半有限なので、が半有限ならば が半有限となる。また、 が半有限ならば が半有限であることも明らかである。 ${\displaystyle \mu _{\text{sf}}}$ ${\displaystyle \mu =\mu _{\text{sf}}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu =\mu _{\text{sf}}.}$

非例

零測度ではない測度はすべて半有限ではありません。（ここで、測度とは、範囲が にある測度のことです。 ）以下に、零測度ではない測度の例を示す。 ${\displaystyle 0-\infty }$ ${\displaystyle 0-\infty }$ ${\displaystyle \{0,+\infty \}}$ ${\displaystyle (\forall A\in {\cal {A}})(\mu (A)\in \{0,+\infty \}).}$ ${\displaystyle 0-\infty }$

• が空でない場合、が上の - 代数である場合、が零関数でない場合、が測度であることが示されます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\cal {A}}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f:X\to \{0,+\infty \}}$ ${\displaystyle \mu =(\sum _{x\in A}f(x))_{A\in {\cal {A}}}.}$ ${\displaystyle \mu }$
  • ${\displaystyle \mu =\{(\emptyset ,0)\}\cup ({\cal {A}}\setminus \{\emptyset \})\times \{+\infty \}.}$^[12]
    • ${\displaystyle X=\{0\},}$ ${\displaystyle {\cal {A}}=\{\emptyset ,X\},}$ ${\displaystyle \mu =\{(\emptyset ,0),(X,+\infty )\}.}$^[13]
• を非可算とし、を上の -代数とし、をの可算元とし、を測度とすることが示される。 ^[5] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\cal {A}}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\cal {C}}=\{A\in {\cal {A}}:A{\text{ is countable}}\}}$ ${\displaystyle {\cal {A}},}$ ${\displaystyle \mu ={\cal {C}}\times \{0\}\cup ({\cal {A}}\setminus {\cal {C}})\times \{+\infty \}.}$ ${\displaystyle \mu }$

関与する非例

半有限でない測度は、特定の集合に制限されると非常にワイルドになります。^{[注 1]}あらゆる測度は、その一部（ワイルドな部分）が取り除かれると、ある意味で半有限になります。 ${\displaystyle 0-\infty }$

— A. MukherjeaとK. Pothoven著『実解析と関数解析、パートA：実解析』（1985年）

定理（ルター分解）^{[14] [15]} —上の任意の測度に対して、上のある半有限測度に対してとなるような測度が存在する。実際、そのような測度の中には最小の測度が存在する。また、 ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\cal {A}},}$ ${\displaystyle 0-\infty }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle {\cal {A}}}$ ${\displaystyle \mu =\nu +\xi }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle {\cal {A}}.}$ ${\displaystyle \xi ,}$ ${\displaystyle \mu _{0-\infty }.}$ ${\displaystyle \mu =\mu _{\text{sf}}+\mu _{0-\infty }.}$

の部分は、上記の定理で定義された測度を意味すると言います。 の明示的な式は次のとおりです。 ${\displaystyle \mathbf {0-\infty } }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu _{0-\infty }}$ ${\displaystyle \mu _{0-\infty }}$ ${\displaystyle \mu _{0-\infty }=(\sup\{\mu (B)-\mu _{\text{sf}}(B):B\in {\cal {P}}(A)\cap \mu _{\text{sf}}^{\text{pre}}(\mathbb {R} _{\geq 0})\})_{A\in {\cal {A}}}.}$

半有限測度に関する結果

• をまたはとし、 とすると、が半有限であること、かつ が単射であることに限る。^{[16] [17] （この結果は の}双対空間の研究において重要である。） ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle T:L_{\mathbb {F} }^{\infty }(\mu )\to \left(L_{\mathbb {F} }^{1}(\mu )\right)^{*}:g\mapsto T_{g}=\left(\int fgd\mu \right)_{f\in L_{\mathbb {F} }^{1}(\mu )}.}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle L^{1}=L_{\mathbb {F} }^{1}(\mu )}$
• をまたはとし、を上の測度における収束の位相とすると、が半有限であれば、かつがハウスドルフであれば、その限りではない。[ 18 ] ^{[ 19]} ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle {\cal {T}}}$ ${\displaystyle L_{\mathbb {F} }^{0}(\mu ).}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\cal {T}}}$
• (ジョンソン)を集合とし、を上のシグマ代数とし、を上の測度とし、を集合とし、を上のシグマ代数とし、を上の測度とします。が両方とも測度でない場合、およびが両方とも半有限であるためには、すべてのおよびに対して かつ である必要があります。 (ここで、は Berberian '65 の定理 39.1 で定義された測度です。^[20] ) ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\cal {A}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\cal {A}},}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\cal {B}}}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle {\cal {B}}.}$ ${\displaystyle \mu ,\nu }$ ${\displaystyle 0-\infty }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle (\mu \times _{\text{cld}}\nu )}$ ${\displaystyle (A\times B)=\mu (A)\nu (B)}$ ${\displaystyle A\in {\cal {A}}}$ ${\displaystyle B\in {\cal {B}}.}$ ${\displaystyle \mu \times _{\text{cld}}\nu }$

ローカライズ可能な対策

局所化可能な測度は半有限測度の特殊なケースであり、シグマ有限測度の一般化です。

を集合とし、を上のシグマ代数とし、を上の測度とする。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\cal {A}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\cal {A}}.}$

• またはとすると は局所化可能であり、その場合、は単射である（ 「 」である場合に限る）^{[21] [17]} ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle T:L_{\mathbb {F} }^{\infty }(\mu )\to \left(L_{\mathbb {F} }^{1}(\mu )\right)^{*}:g\mapsto T_{g}=\left(\int fgd\mu \right)_{f\in L_{\mathbb {F} }^{1}(\mu )}.}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle L_{\mathbb {F} }^{\infty }(\mu )}$ ${\displaystyle L_{\mathbb {F} }^{1}(\mu )^{*}}$

s有限測度

測度が有限測度の可算和である場合、その測度はs有限であると言われる。s有限測度はシグマ有限測度よりも一般性が高く、確率過程理論に応用されている。

測定不可能な集合

選択公理が正しいと仮定すると、ユークリッド空間のすべての部分集合がルベーグ測定可能というわけではないことが証明できます。そのような集合の例には、ヴィタリ集合や、ハウスドルフのパラドックスおよびバナッハ・タルスキーのパラドックスによって仮定された非測定集合が含まれます。

一般化

特定の目的のためには、値が非負の実数や無限大に制限されない「測度」を持つことが有用です。例えば、（符号付き）実数に値を持つ可算加法集合関数は符号測度と呼ばれ、複素数に値を持つそのような関数は複素測度と呼ばれます。ただし、複素測度は必然的に有限変化であるため、複素測度には有限符号測度が含まれますが、例えばルベーグ測度は含まれません。

バナッハ空間に値をとる測度は広く研究されてきた。^[22]ヒルベルト空間への自己随伴射影の集合に値をとる測度は射影値測度と呼ばれ、関数解析においてスペクトル定理の計算に用いられる。非負の値をとる通常の測度を一般化測度と区別する必要がある場合には、正測度という用語が用いられる。正測度は円錐結合に対しては閉じているが、一般線型結合に対しては閉じていない。一方、符号付き測度は正測度の線型閉包である。より一般的には位相ベクトル空間における測度論を参照のこと。

もう1つの一般化は有限加法測度であり、これは内容とも呼ばれます。これは測度と同じですが、可算加法性ではなく有限加法性のみを必要とする点が異なります。歴史的には、この定義が最初に使用されました。一般に、有限加法測度はバナッハ極限、の双対、ストーン–チェフのコンパクト化などの概念と関連していることがわかっています。これらはすべて、何らかの形で選択公理と結びついています。内容は、幾何学的測度論の特定の技術的問題において依然として有用であり、これがバナッハ測度の理論です。 ${\displaystyle L^{\infty }}$

電荷は両方向への一般化であり、有限に加法的な符号付き測度です。^[23]（有界電荷に関する情報については、 baスペースを参照してください。ここで、電荷が有界であると言うのは、その範囲がRの有界な部分集合であることを意味します。）

参照

• 数学ポータル

• アーベル・フォン・ノイマン代数
• ほぼどこでも
• カラテオドリーの拡張定理
• コンテンツ（測度論）
• フビニの定理
• ファトゥの補題
• ファジィ測度理論
• 幾何学的測度理論
• ハウスドルフ測度
• 内測
• ルベーグ積分
• ルベーグ測度
• ローレンツ空間
• リフティング理論
• 測定可能な基数
• 測定可能な機能
• ミンコフスキー含有量
• 外側の測定
• 製品測定
• 推進策
• 通常の測定
• ベクトル測定
• 評価（測度理論）
• ボリューム形式

注記

1. 定義を言い換える一つの方法は、 が半有限である場合、かつその場合のみ となります。この言い換えを否定すると、 が半有限でない場合、かつその場合のみ であることがわかります。このようなセットごとに、 によって誘導される部分空間シグマ代数によって誘導される部分空間測度、つまり の前記部分空間シグマ代数への制限は、ゼロ測度ではない測度です。 ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (\forall A\in \mu ^{\text{pre}}\{+\infty \})(\exists B\subseteq A)(0<\mu (B)<+\infty ).}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (\exists A\in \mu ^{\text{pre}}\{+\infty \})(\forall B\subseteq A)(\mu (B)\in \{0,+\infty \}).}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle 0-\infty }$

参考文献

• Robert G. Bartle (1995) 『積分要素とルベーグ測度』、Wiley Interscience。
• バウアー、ハインツ(2001)、「測定と積分理論」、ベルリン: de Gruyter、ISBN 978-3110167191
• ベア、HS（2001）、ルベーグ積分入門、サンディエゴ：アカデミックプレス、ISBN 978-0120839711
• ベルベリアン、スターリングK (1965). 『測度と積分』マクミラン.
• ボガチェフ、ウラジミール・I.（2006）、測度論、ベルリン：シュプリンガー、ISBN 978-3540345138
• ブルバキ、ニコラス (2004)、Integration I、Springer Verlag、ISBN 3-540-41129-1第3章
• ダドリー、リチャード・M. (2002). 『実解析と確率』 ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0521007542。
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• テシュル、ジェラルド、『実解析のトピックス』（講義ノート）
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参考文献

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外部リンク

• 「測定」数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• チュートリアル: 測度論入門

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