異時点間CAPM

数理ファイナンスにおいて、ロバート・C・マートン^[1]によって考案された異時点間資本資産価格モデル（ICAPM ）は、資本資産価格モデル（CAPM）の代替モデルです。これは、富を状態変数とする線形ファクターモデルであり、将来の収益または所得の分布の変化を予測します。

ICAPMでは、投資家は複数の不確実性に直面しながら、生涯にわたる消費決定を下します。ICAPMと標準的なCAPMの主な違いは、投資家が消費不足や将来の投資機会セットの変化に対してヘッジを行っているという事実を考慮した追加の状態変数です。

連続時間バージョン

マートンは均衡状態にある連続時間市場を考察する。状態変数(X)はブラウン運動に従う。

${\displaystyle dX=\mu dt+sdZ}$

投資家はフォン・ノイマン・モルゲンシュテルンの効用を最大化します。

${\displaystyle E_{o}\left\{\int _{o}^{T}U[C(t),t]dt+B[W(T),T]\right\}}$

ここで、Tは時間範囲であり、B[W(T),T]は富(W)からの効用である。

投資家は資産(W)に関して以下の制約条件を持つ。資産iへの投資ウェイトをWとすると、以下の式が成り立つ。 ${\displaystyle w_{i}}$

${\displaystyle W(t+dt)=[W(t)-C(t)dt]\sum _{i=0}^{n}w_{i}[1+r_{i}(t+dt)]}$

資産iの収益率はどこにあるか。富の変化は次のようになる。 ${\displaystyle r_{i}}$

${\displaystyle dW=-C(t)dt+[W(t)-C(t)dt]\sum w_{i}(t)r_{i}(t+dt)}$

この問題を解くには動的計画法を使うことができます。例えば、一連の離散時間問題を考えてみましょう。

${\displaystyle \max E_{0}\left\{\sum _{t=0}^{T-dt}\int _{t}^{t+dt}U[C(s),s]ds+B[W(T),T]\right\}}$

次にテイラー展開を行うと次のようになります。

${\displaystyle \int _{t}^{t+dt}U[C(s),s]ds=U[C(t),t]dt+{\frac {1}{2}}U_{t}[C(t^{*}),t^{*}]dt^{2}\approx U[C(t),t]dt}$

ここで、t と t+dt の間の値です。 ${\displaystyle t^{*}}$

リターンがブラウン運動に従うと仮定すると：

${\displaystyle r_{i}(t+dt)=\alpha _{i}dt+\sigma _{i}dz_{i}}$

と：

${\displaystyle E(r_{i})=\alpha _{i}dt\quad ;\quad E(r_{i}^{2})=var(r_{i})=\sigma _{i}^{2}dt\quad ;\quad cov(r_{i},r_{j})=\sigma _{ij}dt}$

次に、2 次以上の項を消去します。

${\displaystyle dW\approx [W(t)\sum w_{i}\alpha _{i}-C(t)]dt+W(t)\sum w_{i}\sigma _{i}dz_{i}}$

ベルマン方程式を使用して、問題を言い換えることができます。

${\displaystyle J(W,X,t)=max\;E_{t}\left\{\int _{t}^{t+dt}U[C(s),s]ds+J[W(t+dt),X(t+dt),t+dt]\right\}}$

前述の富の制約に従います。

伊藤の補題を用いると次のように書き直すことができる。

${\displaystyle dJ=J[W(t+dt),X(t+dt),t+dt]-J[W(t),X(t),t+dt]=J_{t}dt+J_{W}dW+J_{X}dX+{\frac {1}{2}}J_{XX}dX^{2}+{\frac {1}{2}}J_{WW}dW^{2}+J_{WX}dXdW}$

期待値：

${\displaystyle E_{t}J[W(t+dt),X(t+dt),t+dt]=J[W(t),X(t),t]+J_{t}dt+J_{W}E[dW]+J_{X}E(dX)+{\frac {1}{2}}J_{XX}var(dX)+{\frac {1}{2}}J_{WW}var[dW]+J_{WX}cov(dX,dW)}$

いくつかの代数^[2]を経て 、次の目的関数が得られます。

${\displaystyle max\left\{U(C,t)+J_{t}+J_{W}W[\sum _{i=1}^{n}w_{i}(\alpha _{i}-r_{f})+r_{f}]-J_{W}C+{\frac {W^{2}}{2}}J_{WW}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}w_{i}w_{j}\sigma _{ij}+J_{X}\mu +{\frac {1}{2}}J_{XX}s^{2}+J_{WX}W\sum _{i=1}^{n}w_{i}\sigma _{iX}\right\}}$

ここで、リスクフリーリターンは、第一階の条件である。 ${\displaystyle r_{f}}$

${\displaystyle J_{W}(\alpha _{i}-r_{f})+J_{WW}W\sum _{j=1}^{n}w_{j}^{*}\sigma _{ij}+J_{WX}\sigma _{iX}=0\quad i=1,2,\ldots ,n}$

行列形式では、次のようになります。

${\displaystyle (\alpha -r_{f}{\mathbf {1} })={\frac {-J_{WW}}{J_{W}}}\Omega w^{*}W+{\frac {-J_{WX}}{J_{W}}}cov_{rX}}$

ここで、は期待収益のベクトル、は収益の共分散行列、単位元ベクトルは収益と状態変数間の共分散です。最適な重みは次のとおりです。 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle {\mathbf {1} }}$ ${\displaystyle cov_{rX}}$

${\displaystyle {\mathbf {w} ^{*}}={\frac {-J_{W}}{J_{WW}W}}\Omega ^{-1}(\alpha -r_{f}{\mathbf {1} })-{\frac {J_{WX}}{J_{WW}W}}\Omega ^{-1}cov_{rX}}$

異時点間モデルはCAPMと同じウェイトを与えていることに注意してください。期待収益率は以下のように表すことができます。

${\displaystyle \alpha _{i}=r_{f}+\beta _{im}(\alpha _{m}-r_{f})+\beta _{ih}(\alpha _{h}-r_{f})}$

ここで、m は市場ポートフォリオであり、ha は状態変数をヘッジするためのポートフォリオです。

参照

• 異時点間のポートフォリオ選択

参考文献

1. ロバート・マートン (1973). 「異時点間資本資産価格モデル」.エコノメトリカ. 41 (5): 867– 887. doi :10.2307/1913811. JSTOR  1913811.
2. : ${\displaystyle E(dW)=-C(t)dt+W(t)\sum w_{i}(t)\alpha _{i}dt}$

   ${\displaystyle var(dW)=[W(t)-C(t)dt]^{2}var[\sum w_{i}(t)r_{i}(t+dt)]=W(t)^{2}\sum _{i=1}\sum _{i=1}w_{i}w_{j}\sigma _{ij}dt}$

   ${\displaystyle \sum _{i=o}^{n}w_{i}(t)\alpha _{i}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}(t)[\alpha _{i}-r_{f}]+r_{f}}$

• マートン, RC, (1973), 異時点間資本資産価格モデル. Econometrica 41, Vol. 41, No. 5. (1973年9月), pp. 867–887
• ユージン・F・ファーマ著「マルチファクター・ポートフォリオの効率性とマルチファクター資産価格設定」（金融・定量分析ジャーナル）、第31巻第4号、1996年12月

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