LOCC

LOCCパラダイム：当事者間で粒子をコヒーレントに交換することは許可されない。局所操作と古典通信のみが許可される。

LOCC（ローカル操作と古典的通信）は、システムの一部でローカル（積）操作が実行され、その操作の結果が別の部分に古典的に「通信」され、そこで通常は受信した情報に基づいて別のローカル操作が実行される、量子情報理論の手法です。

数学的性質

LOCC演算の集合の正式な定義は、後続の局所演算が一般にそれ以前の古典的通信のすべてに依存することと、通信ラウンド数が無制限であるという事実のために複雑である。任意の有限数に対して、古典的通信のラウンドで達成できるLOCC演算の集合を定義できる。この集合はが増加すると必ず大きくなるため、無限ラウンドの限界を定義する際には注意が必要である。特に、集合LOCCは位相的に閉じていない。つまり、LOCCで任意に近似できる量子演算が存在するが、それ自体はLOCCではない。^{[ 1 ]} ${\displaystyle r\geq 1}$ ${\displaystyle \operatorname {LOCC} _{r}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$

1ラウンドLOCCは量子計器であり、その場合、トレース非増加完全正値写像（CPM）はすべての測定結果に対して局所的である。すなわち、写像においてのみトレース保存されないサイトが1つ存在する。これは、そのサイトの当事者が（局所的な）計器を適用し、古典的な結果を他のすべての当事者に伝えることで計器が実現され、その後、各当事者は（ を条件として）トレース保存（決定論的）局所量子演算を実行することを意味する。 ${\displaystyle \operatorname {LOCC} _{1}}$ ${\displaystyle \left\{{\mathcal {E}}_{x}\right\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{x}=\bigotimes _{j}({\cal {E}}_{x}^{j})}$ ${\displaystyle j=K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{x}^{K}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{x}=\bigotimes _{j\not =K}({\cal {T_{j}^{x}}})\otimes {\cal {E}}_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \left\{{\mathcal {E}}_{x}^{K}\right\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\cal {T}}_{x}^{j}}$

は、ある操作に-操作を続けて実行することで実現できる操作として再帰的に定義されます。ここでは、後続の操作を実行する側が前のラウンドの結果に依存することが許容されます。さらに、「粗視化」、つまり（すべてのラウンドの）測定結果にエンコードされた古典情報の一部を破棄することも許容されます。 ${\displaystyle \operatorname {LOCC} _{r}}$ ${\displaystyle \operatorname {LOCC} _{r-1}}$ ${\displaystyle \operatorname {LOCC} _{1}}$

すべての演算の和集合は で表され、LOCC ラウンドを重ねるごとにより良く近似できるインストゥルメントを含みます。その位相閉包は、そのようなすべての演算を含みます。 ${\displaystyle \operatorname {LOCC} _{r}}$ ${\displaystyle \operatorname {LOCC} _{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle {\overline {\operatorname {LOCC} }}_{\mathbb {N} }}$

これらの集合はすべて異なることが示される：^{[ 1 ]}

${\displaystyle \operatorname {LOCC} _{r}\subset \operatorname {LOCC} _{r+1}\subset \operatorname {LOCC} _{\mathbb {N} }\subset {\overline {\operatorname {LOCC} }}_{\mathbb {N} }}$

すべてのLOCC演算の集合は、すべての分離可能な演算の集合に含まれます。すべての積形式を持つ クラウス演算子を使用して記述できるすべての演算が含まれます。つまり、 ${\displaystyle \operatorname {SEP} }$ ${\displaystyle \operatorname {SEP} }$

${\displaystyle {\cal {E}}(\rho )=\sum _{l}K_{1}^{l}\otimes K_{2}^{l}\dots \otimes K_{N}\rho (K_{1}^{l}\otimes K_{2}^{l}\dots \otimes K_{N})^{\dagger },}$

と。すべての操作がLOCCであるわけではない。 ${\displaystyle \sum _{l}K_{1}^{l}\otimes K_{2}^{l}\dots \otimes K_{N}(K_{1}^{l}\otimes K_{2}^{l}\dots \otimes K_{N})^{\dagger }=1}$ ${\displaystyle \operatorname {SEP} }$

${\displaystyle {\overline {\operatorname {LOCC} }}_{\mathbb {N} }\subset \operatorname {SEP} ,}$

つまり、無限回の通信を行っても局所的に実装できない例がある。^{[ 1 ]}

LOCC は、エンタングルメントのリソース理論における「自由操作」です。LOCC では分離可能な状態からエンタングルメントを生成することはできません。また、ローカル パーティがすべての LOCC 操作を実行できることに加えて、いくつかのエンタングルメント状態も備えている場合は、LOCC 単独の場合よりも多くの操作を実現できます。

例

LOCC 操作は、状態の準備、状態の識別、およびエンタングルメント変換に役立ちます。

国家の準備

アリスとボブは、積状態 の量子系を与えられる。彼らの課題は、分離可能な状態 を生成することである。局所操作だけでは、 に存在する（古典的な）相関を生成できないため、これは達成できない。しかし、LOCC（1回の通信）を用いれば、 を準備することができる。アリスは、表裏がそれぞれ50%の確率で出る、バイアスのないコインを投げ、コインが「裏」であれば量子ビットを（ に）反転し、そうでなければそのままにする。アリスはコイン投げの結果（古典的な情報）をボブに送り、ボブも「裏」というメッセージを受け取った場合、量子ビットを反転する。結果として得られる状態は である。一般に、LOCC操作のみを用いて、積状態からすべての分離可能な状態（そして、これらの状態のみ）を準備することができる。 ^{[ 1 ]} ${\displaystyle |00\rangle =|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}}$ ${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}|00\rangle \langle 00|+{\frac {1}{2}}|11\rangle \langle 11|}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle |1\rangle _{A}}$ ${\displaystyle \rho }$

国家による差別

二部または多部ヒルベルト空間上の2つの量子状態が与えられたとき、それが2つ（あるいはそれ以上）の可能な状態のうちのどちらであるかを決定することが課題となる。簡単な例として、2つのベル状態を考える。 ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\cal {H}}={\cal {H}}_{A}\otimes {\cal {H}}_{B}\otimes \dots {\cal {H}}_{Z}}$ ${\displaystyle \psi _{1},\psi _{2}}$

${\displaystyle |\psi _{1}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}+|1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}\right)}$

${\displaystyle |\psi _{2}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}+|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}\right)}$

2量子ビットシステムが分離されていて、最初の量子ビットがアリスに、2 番目がボブに与えられるとします。通信がなければ、アリスとボブは 2 つの状態を区別できません。なぜなら、すべてのローカル測定において、すべての測定統計がまったく同じである (両方の状態は同じ縮約密度行列を持つ) ためです。たとえば、アリスが最初の量子ビットを測定し、結果 0 を取得するとします。この結果は、2 つのケースのそれぞれで等しく発生する可能性 (確率 50%) があるため、アリスは自分が与えられたベル対に関する情報をまったく得られず、ボブが何らかの測定を実行する場合にも同じことが当てはまります。しかし、アリスが自分の結果を古典チャネルを介してボブに送信するとします。これでボブは自分の結果と自分の結果を比較でき、それらが同じであれば、与えられた対は であったと結論付けることができます。これは、これが共同測定結果 を可能にするためのみです。したがって、LOCC と 2 つの測定により、これら 2 つの状態を完全に区別できます。グローバル（非局所的またはエンタングルメント）測定では、（結合ヒルベルト空間上の）単一の測定でこれら 2 つの（相互に直交する）状態を区別するのに十分であることに注意してください。 ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}}$

LOCC操作では区別できない量子状態が存在する。^{[ 2 ]}

エンタングルメント変換

LOCCは積状態からエンタングル状態を生成することはできませんが、エンタングル状態を別のエンタングル状態に変換することは可能です。LOCCへの制限により、可能な変換は大幅に制限されます。

エンタングルメント変換

ニールセン^{[ 3 ]}は、二部量子系のある純粋状態がLOCCのみを用いて別の純粋状態に変換できるかどうかを判断するための一般条件を導出した。詳細は前述の論文を参照のこと。ここでは結果の概要を示す。

次元ヒルベルト空間内の粒子状態とシュミット分解を持つ2つの粒子を考える ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\phi \rangle }$

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i}{\sqrt {\omega _{i}}}|i_{A}\rangle \otimes |i_{B}\rangle }$

${\displaystyle |\phi \rangle =\sum _{i}{\sqrt {\omega _{i}'}}|i_{A}'\rangle \otimes |i_{B}'\rangle }$

はシュミット係数として知られています。これらを最大から最小の順序で並べると（つまり、）、 は局所演算のみを使用してに変換できます。ただし、の範囲のすべてに対して であることが必要です。 ${\displaystyle {\sqrt {\omega _{i}}}}$ ${\displaystyle \omega _{1}>\omega _{d}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\phi \rangle }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 1\leq k\leq d}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\omega _{i}\leq \sum _{i=1}^{k}\omega _{i}'}$

より簡潔な表記では：

${\displaystyle |\psi \rangle \rightarrow |\phi \rangle \quad {\text{iff}}\quad \omega \prec \omega '}$

これは、局所操作によってエンタングルメントの尺度を増加させることができないという条件よりも、より制約の厳しい条件である。と が同じ量のエンタングルメントを持つ可能性は十分にあるが、一方を他方に変換することは不可能であり、どちらのシュミット係数セットも他方を主成分としないため、どちらの方向への変換も不可能である。 が大きい の場合、すべてのシュミット係数がゼロでない場合、一方の係数セットが他方を主成分とする確率は無視できるほど小さくなる。したがって、 が大きい の場合、任意の状態がLOCCを介して別の状態に変換される確率は無視できるほど小さくなる。 ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\phi \rangle }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$

これまで説明した操作は決定論的であり、つまり100%の確率で成功する。確率的変換で満足できる場合、LOCCを用いることでさらに多くの変換が可能となる。^{[ 4 ]}これらの操作は確率的LOCC（SLOCC）と呼ばれる。特に多変数状態の場合、SLOCCによる変換可能性は、関係する状態のエンタングルメント特性に関する定性的な洞察を得るために研究されている。^{[ 5 ]}

LOCCを超えて：触媒変換

エンタングルメント状態がリソースとして利用可能であれば、LOCCと組み合わせることで、はるかに多様な変換が可能になります。これは、これらのリソース状態がプロセスで消費されない場合（例えば量子テレポーテーションの場合のように）でも同様です。このような変換はエンタングルメント触媒と呼ばれます。^{[ 6 ]}この手順では、LOCCでは不可能な初期状態から最終状態への変換が、初期状態と「触媒状態」のテンソル積を取り、この状態が変換プロセスの最後にも利用可能であることを条件とすることで可能になります。つまり、触媒状態は変換によって変化せず、その後除去することができ、目的の最終状態だけが残ります。以下の状態を考えてみましょう。 ${\displaystyle |c\rangle }$

${\displaystyle |\psi \rangle ={\sqrt {0.4}}|00\rangle +{\sqrt {0.4}}|11\rangle +{\sqrt {0.1}}|22\rangle +{\sqrt {0.1}}|33\rangle }$

${\displaystyle |\phi \rangle ={\sqrt {0.5}}|00\rangle +{\sqrt {0.25}}|11\rangle +{\sqrt {0.25}}|22\rangle }$

${\displaystyle |c\rangle ={\sqrt {0.6}}\mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.4}}\mid \downarrow \downarrow \rangle }$

これらの状態はシュミット分解の形式で降順で記述される。と係数の和を比較する。 ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\phi \rangle }$

${\displaystyle k}$	${\displaystyle |\psi \rangle }$	${\displaystyle |\phi \rangle }$
0	0.4	0.5
1	0.8	0.75
2	0.9	1.0
3	1.0	1.0

表では、 の場合は赤色、 の場合は緑色、 の場合は白色が残ります。表を作成した後、の方向の色を見ることで、 と が変換可能かどうかを簡単に確認できます。がすべて緑または白の場合、 はLOCCによってに変換でき、 がすべて赤または白の場合、 はLOCCによってに変換できます。表に赤と緑の両方の色が示されている場合、状態は変換できません。 ${\displaystyle \sum _{i=0}^{k}\omega _{i}>\sum _{i=0}^{k}\omega '_{i}}$ ${\displaystyle \sum _{i=0}^{k}\omega _{i}<\sum _{i=0}^{k}\omega '_{i}}$ ${\displaystyle \sum _{i=0}^{k}\omega _{i}=\sum _{i=0}^{k}\omega '_{i}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\phi \rangle }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\phi \rangle }$ ${\displaystyle |\phi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

ここで、製品の状態について考えてみましょう。 ${\displaystyle |\psi \rangle |c\rangle }$ ${\displaystyle |\phi \rangle |c\rangle }$

${\displaystyle {\begin{aligned}|\psi \rangle |c\rangle &={\sqrt {0.24}}|00\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.24}}|11\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.16}}|00\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle +{\sqrt {0.16}}|11\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle \\&+{\sqrt {0.06}}|22\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.06}}|33\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.04}}|22\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle +{\sqrt {0.04}}|33\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle \end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|\phi \rangle |c\rangle &={\sqrt {0.30}}|00\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.20}}|00\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle +{\sqrt {0.15}}|11\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.15}}|22\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle \\&+{\sqrt {0.10}}|11\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle +{\sqrt {0.10}}|22\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle \end{aligned}}}$

同様に、次の表を作成します。

${\displaystyle k}$	${\displaystyle |\psi \rangle |c\rangle }$	${\displaystyle |\phi \rangle |c\rangle }$
0	0.24	0.30
1	0.48	0.50
2	0.64	0.65
3	0.80	0.80
4	0.86	0.90
5	0.92	1.00
6	0.96	1.00
7	1.00	1.00

方向の色はすべて緑または白であるため、ニールセンの定理によれば、LOCCによって変換可能である。変換後、触媒状態は除去される。最終的にLOCCによって、 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle |\psi \rangle |c\rangle }$ ${\displaystyle |\phi \rangle |c\rangle }$ ${\displaystyle |c\rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle {\overset {|c\rangle }{\rightarrow }}|\phi \rangle }$

系と触媒の相関が許容される場合、二者間の純粋状態間の触媒変換はエンタングルメントエントロピーによって特徴付けられる。^{[ 7 ]}より詳細には、純粋状態が触媒LOCCによって別の純粋状態に変換できるのは、次の場合のみである。 ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\phi \rangle }$

${\displaystyle S(\psi ^{A})\geq S(\phi ^{A})}$、

ここで、 はフォン・ノイマンエントロピー、 およびはそれぞれおよびの縮約状態である。一般に、この変換は正確ではないが、任意の精度で実行できる。系と触媒との間の相関の量も任意に小さくすることができる。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \psi ^{A}}$ ${\displaystyle \phi ^{A}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\phi \rangle }$

より広範な変換は、量子電池を用いることで実現できる。^{[ 8 ] [ 9 ]}これらは量子触媒に似た、変換プロセス中に導入される補助的なシステムであり、手順の完了後もエンタングルメントが保持されるという条件がある。量子電池を組み込むことでLOCCの範囲が大幅に拡張され、量子状態を操作する能力が向上する。初期状態の同一のコピーが多数存在する漸近領域では、このアプローチにより、任意の2つのエンタングルメント状態間の可逆的な相互変換が可能になる。^{[ 9 ]}これにより、エンタングルメント操作の第二法則が定式化され、^{[ 9 ]}熱力学の第二法則に類似している。これまで、エンタングルメント操作の第二法則につながる枠組みの存在は、量子情報科学における主要な未解決問題として特定されてきた。^{[ 10 ]}

参照

• 量子テレポーテーション
• 拡張不可能な製品ベース

参考文献

1. Chitambar, E.; Leung, D.; Mancinska, L.; Ozols, M.; Winter, A. (2012). 「LOCCについてずっと知りたかったことすべて（でも聞くのが怖かった）」. Commun. Math. Phys . 328 (1): 303. arXiv : 1210.4583 . Bibcode : 2014CMaPh.328..303C . doi : 10.1007/s00220-014-1953-9 . S2CID  118478457 .
2. Charles H. Bennett; David P. DiVincenzo; Christopher A. Fuchs; Tal Mor; Eric Rains; Peter W. Shor; John A. Smolin; William K. Wootters (1999). 「量子非局所性（エンタングルメントなし）」. Phys. Rev. A . 59 (2): 1070– 1091. arXiv : quant-ph/9804053 . Bibcode : 1999PhRvA..59.1070B . doi : 10.1103/PhysRevA.59.1070 . S2CID 15282650 . 
3. MA Nielsen (1999). 「エンタングルメント変換のクラスの条件」. Phys. Rev. Lett . 83 (2): 436– 439. arXiv : quant-ph/9811053 . Bibcode : 1999PhRvL..83..436N . doi : 10.1103/PhysRevLett.83.436 . S2CID 17928003 . 
4. ギフレ・ビダル (2000)。 「絡みモノトーン」。Ｊ．Ｍｏｄ．オプション。47 ( 2–3 ): 355. arXiv : quant-ph/9807077。Bibcode : 2000JMOp...47..355V。土井: 10.1080/09500340008244048。S2CID 119347961。 
5. G. Gour; NR Wallach (2013). 「すべての有限次元の多部間エンタングルメントの分類」. Phys. Rev. Lett . 111 (6) 060502. arXiv : 1304.7259 . Bibcode : 2013PhRvL.111f0502G . doi : 10.1103/ PhysRevLett.111.060502 . PMID 23971544. S2CID 1570745 .  
6. D. Jonathan; MB Plenio (1999). 「エンタングルメントを利用した純粋量子状態の局所操作」. Phys. Rev. Lett . 83 (17): 3566– 3569. arXiv : quant-ph/9905071 . Bibcode : 1999PhRvL..83.3566J . doi : 10.1103/PhysRevLett.83.3566 . S2CID 392419 . 
7. Kondra, Tulja Varun; Datta, Chandan; Streltsov, Alexander (2021-10-05). 「純粋エンタングル状態の触媒的変換」. Physical Review Letters . 127 (15) 150503. arXiv : 2102.11136 . Bibcode : 2021PhRvL.127o0503K . doi : 10.1103/PhysRevLett.127.150503 . PMID 34678004 . S2CID 237532098 .  
8. Alhambra, Álvaro M. (2019). 「エンタングルメント変動定理」 . Physical Review A. 100 ( 1) 012317. arXiv : 1709.06139 . doi : 10.1103/PhysRevA.100.012317 .
9. Ganardi, Ray; Kondra, Tulja Varun; Ng, Nelly HY; Streltsov, Alexander (2025-07-02). 「エンタングルメントバッテリーによるエンタングルメント操作の第二法則」. Physical Review Letters . 135 : 010202. arXiv : 2405.10599 . doi : 10.1103/kl56-p2vb .
10. 「可逆的なエンタングルメント操作 - 量子未解決問題」 。 2024年12月7日閲覧。

さらに読む

• https://quantiki.org/wiki/locc-operations
• Nielsen MA (1999). 「エンタングルメント変換のクラスの条件」. Phys. Rev. Lett . 83 (2): 436– 439. arXiv : quant-ph/9811053 . Bibcode : 1999PhRvL..83..436N . doi : 10.1103/physrevlett.83.436 . S2CID  17928003 .

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