誘導放出

Release of a photon triggered by another

レーザー光は誘導放出放射線の一種です。

誘導放出とは、特定の周波数の入射光子が励起原子電子（またはその他の励起分子状態）と相互作用し、低いエネルギー準位へと低下させる過程です。解放されたエネルギーは電磁場へと伝達され、入射波の光子と周波数、偏光、および移動方向がすべて一致する新しい光子を生成します。これは、外部電磁場に関係なく、高いエネルギー状態にある各原子／振動子に固有の速度で発生する自然放出とは対照的です。

アメリカ物理学会によると、誘導放出現象を初めて正しく予測したのはアルバート・アインシュタインで、1916年に始まる一連の論文で、現在アインシュタイン B 係数と呼ばれているものに結実しました。アインシュタインの研究は、メーザーとレーザーの理論的基礎となりました。^{[1] [2] [3] [4]}このプロセスは、吸収された光子のエネルギーが、低エネルギーレベルから高エネルギーレベルへの同一だが逆の原子遷移を引き起こす原子吸収と形式的には同一です。熱平衡状態の通常の媒体では、高エネルギー状態よりも低エネルギー状態の電子の方が多いため、吸収が誘導放出を上回ります。しかし、反転分布が存在すると、誘導放出の速度が吸収の速度を上回り、正味の光増幅が達成されます。このようなゲイン媒体は、光共振器とともに、レーザーまたはメーザーの心臓部です。フィードバック機構がないため、レーザー増幅器や超発光源も誘導放出に基づいて機能します。

概要

電子と電磁場との相互作用は、化学と物理学を理解する上で重要です。古典的な見方では、原子核を周回する電子のエネルギーは、原子核から遠い軌道ほど大きくなります。しかし、量子力学的な効果により、電子は軌道上で離散的な位置を取ることになります。そのため、電子は原子の特定のエネルギー準位に存在し、そのうちの2つを以下に示します。

電子が光（光子）または熱（フォノン）からエネルギーを吸収すると、入射エネルギー量子を受け取ります。しかし、遷移は上に示した2つのエネルギー準位間の離散的なエネルギー準位間でのみ可能です。これが輝線と吸収線につながります。

電子が低いエネルギー準位から高いエネルギー準位へと励起された場合、その状態が永久に続くことはまずありません。励起状態の電子は、その遷移を特徴付ける特定の時定数に従って、占有されていない低いエネルギー準位へと崩壊することがあります。このような電子が外部からの影響を受けずに崩壊し、光子を放出することを「自然放出」と呼びます。放出された光子の位相と方向はランダムです。このような励起状態にある原子を多数含む物質は、狭いスペクトル（1つの光の波長を中心とする）の放射を生じる可能性がありますが、個々の光子は共通の位相関係を持たず、ランダムな方向に放射されます。これが蛍光と熱放射のメカニズムです。

遷移に関連する周波数の外部電磁場は、吸収されることなく原子の量子力学的状態に影響を与えることができます。原子内の電子が 2 つの定常状態 (どちらも双極子場を示さない) 間で遷移すると、双極子場を持つ遷移状態に入り、小さな電気双極子のように動作し、この双極子が特性周波数で振動します。この周波数の外部電場に応じて、電子がこの遷移状態に入る確率が大幅に増加します。したがって、2 つの定常状態間の遷移の速度は、自然放出の速度よりも速くなります。高エネルギー状態から低エネルギー状態への遷移により、入射光子と同じ位相と方向を持つ追加の光子が生成されます。これが誘導放出のプロセスです。

歴史

誘導放出は、古い量子論の枠組みの中でアルバート・アインシュタインが発見した理論的発見であり、放出は電磁場の量子である光子の観点から説明される。^{[5] [6]}誘導放出は、光子や量子力学を参照せずに、古典的なモデルでも発生する可能性がある。^{[7] [非一次資料が必要]}（レーザー § 歴史も参照のこと。）物理学教授でMIT-ハーバード超冷原子センター所長のダニエル・クレップナーによると、アインシュタインの放射理論は時代を先取りしており、現代の量子電気力学と量子光学の理論を数十年も先取りしていた。^[8]

数学モデル

誘導放出は、2つの電子エネルギー状態、すなわち、それぞれエネルギーE ₁とE ₂を持つ低レベル状態（おそらく基底状態）（1）と励起状態（2）のいずれかにある原子を考慮することによって、数学的にモデル化することができます。

原子が励起状態にある場合、自然放出過程によって低い状態へと崩壊し、2つの状態間のエネルギー差を光子として放出することがあります。光子の周波数は ν ₀、エネルギーはhν ₀で、次式で与えられます。ここでhはプランク定数です。 $${\displaystyle E_{2}-E_{1}=h\,\nu _{0}}$$

あるいは、励起状態の原子が周波数ν ₀の電場によって摂動を受けると、同じ周波数で同位相の光子をさらに放出し、外部電場を増強して、原子を低エネルギー状態に置くことがあります。このプロセスは誘導放出として知られています。

このような原子群において、励起状態にある原子の数をN ₂とすると、誘導放出の発生率は次式で表されます。ここで、比例定数B _{21は、その特定の遷移における}アインシュタインのB係数として知られており、ρ ( ν ) は周波数νにおける入射場の放射密度です。したがって、放出率は励起状態にある原子の数N ₂と入射光子の密度に比例します。 $${\displaystyle {\frac {\partial N_{2}}{\partial t}}=-{\frac {\partial N_{1}}{\partial t}}=-B_{21}\,\rho (\nu )\,N_{2}}$$

同時に、原子吸収のプロセスが起こり、電子を低い状態から高い状態へと上昇させながら、場からエネルギーを奪います。その速度は誘導放出速度の負の逆数と正確に一致します。 $${\displaystyle {\frac {\partial N_{2}}{\partial t}}=-{\frac {\partial N_{1}}{\partial t}}=B_{12}\,\rho (\nu )\,N_{1}.}$$

したがって、吸収率は低い状態N ₁にある原子の数に比例します。B係数は、量子力学における双極子近似と時間依存摂動論を用いて次のように計算できます。^{[9] [10]}ここで、Bは周波数νにおけるエネルギー分布に対応します。B係数は、使用するエネルギー分布関数の選択によって変化する可能性がありますが、エネルギー分布関数とそれに対応するB係数の積は同じです。 $${\displaystyle B_{ab}={\frac {e^{2}}{6\epsilon _{0}\hbar ^{2}}}|\langle a|{\vec {r}}|b\rangle |^{2}}$$

アインシュタインはプランクの法則の形から、この遷移の係数は誘導放出の係数と同一でなければならないことを示した。 ^[要出典] $${\displaystyle B_{12}=B_{21}.}$$

このように、吸収と誘導放出は逆の過程であり、速度は多少異なります。これを別の視点から見ると、誘導放出または吸収の正味の量を単一の過程と見なすこともできます。この複合過程によるE _2からE ₁への遷移の正味速度は、上記に示したそれぞれの速度を足し合わせることで求められます。 $${\displaystyle {\frac {\partial N_{1}^{\text{net}}}{\partial t}}=-{\frac {\partial N_{2}^{\text{net}}}{\partial t}}=B_{21}\,\rho (\nu )\,(N_{2}-N_{1})=B_{21}\,\rho (\nu )\,\Delta N.}$$

したがって、光子エネルギーhνにこの正味遷移率を乗じた値に等しい正味の電力が電場に放出される。この値が正の数、つまり正味の誘導放出を示すためには、励起状態の原子数が下準位の原子数より多くなければならない： 。そうでなければ、正味の吸収が生じ、波の電力は媒質を通過する際に減少する。この特殊な条件は反転分布として知られており、レーザーの利得媒質において必ず生じる、かなり珍しい条件である。 ${\displaystyle \Delta N>0}$ ${\displaystyle N_{2}>N_{1}}$

日常的な光源（自然放出光に依存する）と比較した誘導放出の注目すべき特徴は、放出された光子が入射光子と同じ周波数、位相、偏光、伝播方向を持つことです。したがって、関与する光子は互いにコヒーレントです。したがって、反転分布（）が存在する場合、入射光の光増幅が起こります。 ${\displaystyle \Delta N>0}$

誘導放出によって生成されるエネルギーは常に、それを刺激した場の正確な周波数で発生しますが、上記のレート方程式は、遷移エネルギーに対応する特定の光周波数における励起のみを指します。誘導放出（または自然放出）の強度からオフセットされた周波数では、いわゆる線形状に従って強度が減少します。原子または分子の共鳴に影響を与える均一な広がりのみを考慮すると、スペクトル線形状関数はローレンツ分布で表されます。ここで、は半値全幅、つまりFWHM帯域 幅です。 ${\displaystyle \nu _{0}}$ ${\displaystyle \nu _{0}}$ $${\displaystyle g'(\nu )={1 \over \pi }{(\Gamma /2) \over (\nu -\nu _{0})^{2}+(\Gamma /2)^{2}}}$$ ${\displaystyle \Gamma }$

ロレンツ関数の直線形状のピーク値は直線の中心で発生する。直線形状関数は、その値が1となるように正規化することができる。ロレンツ関数の場合、 ${\displaystyle \nu =\nu _{0}}$ ${\displaystyle \nu _{0}}$ $${\displaystyle g(\nu )={g'(\nu ) \over g'(\nu _{0})}={(\Gamma /2)^{2} \over (\nu -\nu _{0})^{2}+(\Gamma /2)^{2}}.}$$

したがって、から離れた周波数における誘導放出は、 この係数によって減少する。実際には、不均一な広がりによって線形状が広がることもあり、最も顕著な原因は、ある温度における気体中の速度分布に起因するドップラー効果である。これはガウス分布を示し、線形状関数のピーク強度を低下させる。実際的な問題では、完全な線形状関数は、関係する個々の線形状関数の畳み込みによって計算できる。したがって、光増幅は、周波数において入射光場に次式で与えられる割合でパワーを加える。 ${\displaystyle \nu _{0}}$ ${\displaystyle \nu }$ $${\displaystyle P=h\nu \,g(\nu )\,B_{21}\,\rho (\nu )\,\Delta N.}$$

誘導放出断面積

誘導放出断面積は $${\displaystyle \sigma _{21}(\nu )=A_{21}{\frac {\lambda ^{2}}{8\pi n^{2}}}g'(\nu )}$$

• A _21はアインシュタインのA係数であり、
• λは真空中の波長であり、
• nは媒質の屈折率（無次元）であり、
• g ′( ν ) はスペクトル線形状関数である。

光増幅

誘導放出は光増幅の物理的メカニズムとなり得る。外部エネルギー源が基底状態にある原子の50%以上を励起状態へ遷移させると、いわゆる反転分布が形成される。適切な周波数の光が反転した媒質を通過すると、光子は基底状態にある原子に吸収されるか、励起された原子を刺激して同じ周波数、位相、方向の光子をさらに放出する。励起状態にある原子の数が基底状態にある原子の数よりも多くなるため、入力強度が増幅される。

反転分布は、立方メートル当たりの原子数で表すと、

${\displaystyle \Delta N_{21}=N_{2}-{g_{2} \over g_{1}}N_{1}}$

ここで、g ₁とg _{2はそれぞれエネルギーレベル 1 と 2 の}縮退です。

小信号利得方程式

誘導放出の強度（ワット/平方メートル）は次の微分方程式によって決まります。

${\displaystyle {dI \over dz}=\sigma _{21}(\nu )\cdot \Delta N_{21}\cdot I(z)}$

強度I ( z )が十分に小さく、反転分布の大きさに有意な影響を与えない限り、この式は次のように簡略化される。

${\displaystyle {dI \over dz}=\gamma _{0}(\nu )\cdot I(z)}$

どこ

${\displaystyle \gamma _{0}(\nu )=\sigma _{21}(\nu )\cdot \Delta N_{21}}$

は小信号利得係数（単位はラジアン/メートル）である。変数分離法を用いてこの微分方程式を解くことができる。

${\displaystyle {dI \over I(z)}=\gamma _{0}(\nu )\cdot dz}$

統合すると次のようになります:

${\displaystyle \ln \left({I(z) \over I_{in}}\right)=\gamma _{0}(\nu )\cdot z}$

または

${\displaystyle I(z)=I_{in}e^{\gamma _{0}(\nu )z}}$

どこ

${\displaystyle I_{in}=I(z=0)\,}$入力信号の光強度（ワット/平方メートル）です。

彩度強度

飽和強度I _Sは、光増幅器の利得が小信号利得のちょうど半分に低下する入力強度として定義されます。飽和強度は次のように計算できます。

${\displaystyle I_{S}={h\nu \over \sigma (\nu )\cdot \tau _{S}}}$

どこ

${\displaystyle h}$はプランク定数であり、

${\displaystyle \tau _{\text{S}}}$は飽和時定数であり、増幅に関連するエネルギーレベル間のさまざまな遷移の自然放出寿命に依存します。

${\displaystyle \nu }$周波数はHzです

の最小値は共鳴時に発生し^[11] 、その場合断面積は最大となる。この最小値は以下の通りである。 ${\displaystyle I_{\text{S}}(\nu )}$ ${\displaystyle \sigma (\nu )}$

${\displaystyle I_{\text{sat}}={\frac {\pi }{3}}{hc \over \lambda ^{3}\tau _{S}}}$

自然な線幅 を持つ単純な 2 レベル原子の場合、飽和時間定数 です。 ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \tau _{\text{S}}=\Gamma ^{-1}}$

一般的なゲイン方程式

入力強度に関係なく適用されるゲイン方程式の一般的な形は、ゲイン媒体内の位置zの関数としての強度Iの一般微分方程式から導かれます。

${\displaystyle {dI \over dz}={\gamma _{0}(\nu ) \over 1+{\bar {g}}(\nu ){I(z) \over I_{S}}}\cdot I(z)}$

ここで、は飽和強度です。これを解くには、まず変数である強度Iと位置zを分離するために方程式を変形します。 ${\displaystyle I_{S}}$

${\displaystyle {dI \over I(z)}\left[1+{\bar {g}}(\nu ){I(z) \over I_{S}}\right]=\gamma _{0}(\nu )\cdot dz}$

両辺を積分すると、

${\displaystyle \ln \left({I(z) \over I_{in}}\right)+{\bar {g}}(\nu ){I(z)-I_{in} \over I_{S}}=\gamma _{0}(\nu )\cdot z}$

または

${\displaystyle \ln \left({I(z) \over I_{in}}\right)+{\bar {g}}(\nu ){I_{in} \over I_{S}}\left({I(z) \over I_{in}}-1\right)=\gamma _{0}(\nu )\cdot z}$

増幅器のゲインGは、位置zにおける光強度Iを入力強度で割ったものとして定義されます。

${\displaystyle G=G(z)={I(z) \over I_{in}}}$

この定義を前の式に代入すると、一般的なゲイン式が得られます。

${\displaystyle \ln \left(G\right)+{\bar {g}}(\nu ){I_{in} \over I_{S}}\left(G-1\right)=\gamma _{0}(\nu )\cdot z}$

小信号近似

入力信号が飽和強度に比べて小さい特殊なケース、言い換えれば、

${\displaystyle I_{in}\ll I_{S}\,}$

一般的な利得方程式は小信号利得を次のように与える。

${\displaystyle \ln(G)=\ln(G_{0})=\gamma _{0}(\nu )\cdot z}$

または

${\displaystyle G=G_{0}=e^{\gamma _{0}(\nu )z}}$

これは小信号ゲインの式と同一です（上記参照）。

大信号漸近挙動

大きな入力信号の場合、

${\displaystyle I_{in}\gg I_{S}\,}$

ゲインは1に近づく

${\displaystyle G\rightarrow 1}$

そして、一般的なゲイン方程式は線形漸近線に近づきます。

${\displaystyle I(z)=I_{in}+{\gamma _{0}(\nu )\cdot z \over {\bar {g}}(\nu )}I_{S}}$

参照

• 吸収
• アクティブレーザー媒体
• レーザー（歴史セクションを含む）
• レーザー科学
• ラビサイクル
• 自然放出
• STED顕微鏡
• アインシュタイン係数

参考文献

1. Tretkoff, Ernie (2005年8月). 「今月の物理学史：アインシュタインが誘導放出を予測」アメリカ物理学会ニュース. 14 (8) . 2022年6月1日閲覧。
2. ストラウマン、ノーバート（2017年3月23日）「1916年のアインシュタイン：「放射線の量子論について」」". arXiv : 1703.08176 [physics.hist-ph].
3. ヘクト、ジェフ (2021年8月15日). 「レーザー」.ブリタニカ百科事典. 2022年6月1日閲覧。
4. ストーン、A. ダグラス（2013年10月6日）『アインシュタインと量子：勇敢なシュヴァーベン人の探求』（初版）プリンストン大学出版局。ISBN 978-0691139685. 2022年6月1日閲覧。
5. アインシュタイン、A (1916)。 「放射と吸収の量理論」。Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft。18 : 318–323。書誌コード:1916DPhyG..18..318E。
6. アインシュタイン、A (1917)。 「Zur Quantentheorie der Strahlung」。物理的ツァイツシュリフト。18 : 121–128。Bibcode :1917PhyZ...18..121E。
7. Fain, B.; Milonni, PW (1987). 「古典的刺激放出」. Journal of the Optical Society of America B. 4 ( 1): 78. Bibcode :1987JOSAB...4...78F. doi :10.1364/JOSAB.4.000078.
8. Kleppner, Daniel (2005年2月1日). 「アインシュタインの放射線論を再読する」 . Physics Today . 58 (2): 30– 33. Bibcode :2005PhT....58b..30K. doi :10.1063/1.1897520 . 2022年6月1日閲覧。
9. Hilborn, Robert (2002). 「アインシュタイン係数、断面積、f値、双極子モーメントなど」(PDF) .
10. セグレ、カルロ. 「アインシュタイン係数 - 量子論の基礎II（PHYS 406）」（PDF） . p. 32.
11. Foot, CJ (2005). 原子物理学. オックスフォード大学出版局. p. 142. ISBN 978-0-19-850695-9。

• サレー、バハー EA およびタイヒ、マルビン カール (1991)。フォトニクスの基礎。ニューヨーク：ジョン・ワイリー＆サンズ。ISBN 0-471-83965-5。
• アラン・コーニー（1977年）『原子およびレーザー分光法』オックスフォード：オックスフォード大学出版局、ISBN 0-19-921145-0。 ISBN 978-0-19-921145-6。

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