ホモトピー群

Algebraic construct classifying topological spaces

数学において、ホモトピー群は代数位相幾何学において位相空間を分類するために使用されます。最初で最も単純なホモトピー群は基本群であり、 と表記され、空間内のループに関する情報を記録します。直感的に言えば、ホモトピー群は位相空間の 基本的な形状、つまり穴に関する情報を記録します。 ${\displaystyle \pi _{1}(X),}$

n次ホモトピー群を定義するには、 n次元球面（基点）から与えられた空間（基点 ）への基点保存写像をホモトピー類と呼ばれる同値類に集めます。2つの写像は、一方が他方に連続的に変形できる場合、ホモトピー的であると言えます。これらのホモトピー類は、基点 を持つ与えられた空間Xのn次ホモトピー群と呼ばれる群を形成します。異なるホモトピー群を持つ位相空間は同相になることはありませんが、同相ではない位相空間は同じホモトピー群を持つことができます。 ${\displaystyle \pi _{n}(X),}$

パスのホモトピーの概念はカミーユ・ジョーダンによって導入された。^[1]

導入

現代数学では、あるカテゴリーを研究する際に、そのカテゴリーに属するすべての対象に、その対象に関する十分な情報を保持しつつ、より単純な対象を関連付けるのが一般的です。ホモトピー群は、位相空間に群を関連付けるこのような方法です。

トーラス​

球体​

位相と群の結びつきにより、数学者は群論の知見を位相に応用することができます。例えば、2つの位相的対象が異なるホモトピー群を持つ場合、それらは同じ位相的構造を持つことはできません。これは、位相的な手段のみを用いて証明することが難しい場合があります。例えば、トーラスは球とは異なります。トーラスには「穴」がありますが、球には穴がありません。しかし、連続性（位相の基本概念）は局所的な構造のみを扱うため、明らかな大域的な違いを正式に定義することは困難な場合があります。しかし、ホモトピー群は大域的な構造に関する情報を持っています。

例について言えば、トーラスの第一ホモトピー群は、トーラスの普遍被覆がトーラスに写像するユークリッド平面であるため、成り立ちます。ここで、商は群や環ではなく、位相空間の範疇にあります。一方、球面は成り立ちます 。なぜなら、すべてのループは定数写像に縮約できるからです（この点と、より複雑なホモトピー群の例については、球面のホモトピー群を参照してください）。したがって、トーラスは球面と同相ではありません。 ${\displaystyle T}$ $${\displaystyle \pi _{1}(T)=\mathbb {Z} ^{2},}$$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle T\cong \mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}.}$ ${\displaystyle S^{2}}$ $${\displaystyle \pi _{1}\left(S^{2}\right)=0,}$$

意味

n球面 において基点aをとる。基点bを持つ空間Xに対して、基点a を基点bに写す写像のホモトピー類の集合を と 定義する。特に、同値類は球面の基点上で定数となるホモトピーによって与えられる。同様に、n立方体からXへの写像のホモトピー類の群を と定義し、この写像の境界をbとする。 ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle \pi _{n}(X)}$ $${\displaystyle f:S^{n}\to X\mid f(a)=b}$$ ${\displaystyle \pi _{n}(X)}$ ${\displaystyle g:[0,1]^{n}\to X}$

基本群における構成

ホモトピー類は群を形成する。群演算を定義するには、基本群において2つのループの積が次のように定義される ことを思い出す必要がある。 ${\displaystyle n\geq 1,}$ ${\displaystyle f\ast g}$ ${\displaystyle f,g:[0,1]\to X}$ $${\displaystyle f*g={\begin{cases}f(2t)&t\in \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]\\g(2t-1)&t\in \left[{\tfrac {1}{2}},1\right]\end{cases}}}$$

基本群における合成の考え方は、最初のパスと2番目のパスを順に辿ること、あるいは等価的に、それらの2つの領域を合わせることである。n番目のホモトピー群に求める合成の概念も同じであるが、今度はくっつける領域が立方体となり、それらを面に沿って接着する必要がある。したがって、写像の和を次の式で 定義する。 ${\displaystyle f,g:[0,1]^{n}\to X}$ $${\displaystyle (f+g)(t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n})={\begin{cases}f(2t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n})&t_{1}\in \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]\\g(2t_{1}-1,t_{2},\ldots ,t_{n})&t_{1}\in \left[{\tfrac {1}{2}},1\right]\end{cases}}}$$

球面に関する対応する定義では、hで構成されるマップの合計を定義します。ここで、は赤道を縮小する2 つのn球面のくさび和からX へのマップであり、 hは最初の球面ではfとして定義され、 2 番目の球面ではgとして定義されている 2 つのn球面のくさび和からXへのマップです。 ${\displaystyle f+g}$ ${\displaystyle f,g:S^{n}\to X}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle S^{n}}$

ならばはアーベル的である。^[2]さらに、基本群と同様に、パス連結空間では、任意の2つの基点の選択によって同型な^[3]が生じる。 ${\displaystyle n\geq 2,}$ ${\displaystyle \pi _{n}}$ ${\displaystyle \pi _{n}.}$

ホモトピー群の定義を基点を省略して簡略化しようとする誘惑に駆られるが、これは単連結でない空間、たとえパス連結空間であっても通常はうまくいかない。球面からパス連結空間への写像のホモトピー類の集合はホモトピー群ではなく、本質的にはホモトピー群上の基本群の軌道の集合であり、一般には自然な群構造を持たない。

これらの困難を解決する方法として、フィルター空間およびn-立方体空間の高次ホモトピー群を定義することが挙げられます。これらはそれぞれ相対ホモトピー群およびn進ホモトピー群と関連しています。高次ホモトピー・ファン・カンペン定理は、ホモトピー群、さらにはホモトピー型に関する新たな情報を導くことを可能にします。より詳しい背景情報と参考文献については、「高次元群論」および以下の参考文献を参照してください。

ホモトピー群とホール

位相空間がd次元境界を持つ穴を持つ場合と、その位相空間がd次元球面を含み、その球面が連続的に一点に縮小できない場合とが同値である。これは、 定数関数にホモトピーでない写像が存在する場合とが同値である。これは、 Xのd次ホモトピー群が自明でない場合とが同値である。つまり、X がd 次元境界を持つ穴を持つ場合と、その位相空間がd次元境界を持つ穴を持つ場合とが同値である。 ${\textstyle S^{d}\to X}$ ${\displaystyle \pi _{d}(X)\not \cong 0}$

ファイバの長完全列

を基点保存セールファイブレーションとし、ファイバー、すなわちCW複体に関してホモトピーリフティング特性を持つ写像とする。Bはパス連結であるとする。すると、ホモトピー群の長完全列が存在する。 ${\displaystyle p:E\to B}$ ${\displaystyle F,}$ $${\displaystyle \cdots \to \pi _{n}(F)\to \pi _{n}(E)\to \pi _{n}(B)\to \pi _{n-1}(F)\to \cdots \to \pi _{0}(E)\to 0.}$$

ここで、 を含む写像は、が群ではないため群準同型ではありませんが、像が核 に等しいという意味で正確です。 ${\displaystyle \pi _{0}}$ ${\displaystyle \pi _{0}}$

例:ホップファイバ。BとEが等しいとします。pをホップファイバとします。これはファイバを持ちます。長完全列から ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle S^{3}.}$ ${\displaystyle S^{1}.}$ $${\displaystyle \cdots \to \pi _{n}(S^{1})\to \pi _{n}(S^{3})\to \pi _{n}(S^{2})\to \pi _{n-1}(S^{1})\to \cdots }$$

そして、に対しては、に対しては、特に、 ${\displaystyle \pi _{n}(S^{1})=0}$ ${\displaystyle n\geq 2,}$ ${\displaystyle \pi _{n}(S^{3})=\pi _{n}(S^{2})}$ ${\displaystyle n\geq 3.}$ ${\displaystyle \pi _{3}(S^{2})=\pi _{3}(S^{3})=\mathbb {Z} .}$

被覆空間の場合、ファイバーが離散的であれば、 はに対して同型であり、 はすべての正の に対して に単射的に埋め込み、の埋め込みに対応するのサブグループは、ファイバーの元と一対一の剰余類を持ちます。 ${\displaystyle \pi _{n}(E)}$ ${\displaystyle \pi _{n}(B)}$ ${\displaystyle n>1,}$ ${\displaystyle \pi _{n}(E)}$ ${\displaystyle \pi _{n}(B)}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle \pi _{1}(B)}$ ${\displaystyle \pi _{1}(E)}$

ファイバ化がマッピングファイバである場合、または双対的に、共ファイバ化がマッピングコーンである場合、結果として得られる正確な（または双対的に、共正確な）シーケンスはPuppe シーケンスによって与えられます。

均質空間と球

球面を同質空間として実現する方法は数多くあり、これらはリー群のホモトピー群を計算したり、球面からなる空間上の主束を分類したりするための優れたツールを提供します。

特殊直交群

が連結であるので、の低階ホモトピー群を計算する長完全列を与えるファイブレーション^[4]が存在する。特に、 $${\displaystyle \mathrm {SO} (n-1)\to \mathrm {SO} (n)\to \mathrm {SO} (n)/\mathrm {SO} (n-1)\cong S^{n-1}}$$ $${\displaystyle \cdots \to \pi _{i}(\mathrm {SO} (n-1))\to \pi _{i}(\mathrm {SO} (n))\to \pi _{i}\left(S^{n-1}\right)\to \pi _{i-1}(\mathrm {SO} (n-1))\to \cdots }$$ ${\displaystyle \pi _{i}(\mathrm {SO} (n-1))\cong \pi _{i}(\mathrm {SO} (n))}$ ${\displaystyle i<n-1,}$ ${\displaystyle S^{n-1}}$ ${\displaystyle (n-2)}$

$${\displaystyle \mathrm {SO} (3)\to \mathrm {SO} (4)\to S^{3}}$$の下側ホモトピー群は明示的に計算できる。とがあるので、に対するファイブレーションが存在する。 これと、ポストニコフ系を用いて計算できるという事実を用いると、長完全列が得られる。 ${\displaystyle \mathrm {SO} (3)\cong \mathbb {RP} ^{3},}$ $${\displaystyle \mathbb {Z} /2\to S^{n}\to \mathbb {RP} ^{n}}$$ ${\displaystyle \pi _{i}(\mathrm {SO} (3))\cong \pi _{i}(S^{3})}$ ${\displaystyle i>1.}$ ${\displaystyle \pi _{4}\left(S^{3}\right)=\mathbb {Z} /2,}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\cdots \to {}&\pi _{4}(\mathrm {SO} (3))\to \pi _{4}(\mathrm {SO} (4))\to \pi _{4}(S^{3})\to \\\to {}&\pi _{3}(\mathrm {SO} (3))\to \pi _{3}(\mathrm {SO} (4))\to \pi _{3}(S^{3})\to \\\to {}&\pi _{2}(\mathrm {SO} (3))\to \pi _{2}(\mathrm {SO} (4))\to \pi _{2}(S^{3})\to \cdots \\\end{aligned}}}$$

となるので、また、接続写像が自明であるため、中央の行は次式を与える。また、 2次元捩れを持つことも分かる。 ${\displaystyle \pi _{2}\left(S^{3}\right)=0}$ ${\displaystyle \pi _{2}(\mathrm {SO} (4))=0.}$ ${\displaystyle \pi _{3}(\mathrm {SO} (4))\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \pi _{4}\left(S^{3}\right)=\mathbb {Z} /2\to \mathbb {Z} =\pi _{3}\left(\mathbb {RP} ^{3}\right)}$ ${\displaystyle \pi _{4}(\mathrm {SO} (4))}$

球束への応用

ミルナー^[5]は、この事実を用いて特に上の3次元球面束を分類し、 に同相で微分同相ではないミルナー球面と呼ばれる滑らかな多様体である異種球面を発見した。任意の球面束は-ベクトル束から構成でき、ベクトル束 は向き付けられたリーマン多様体の構造を持つことができるため、群 の構造を持つ点に注意されたい。 ${\displaystyle \pi _{3}(\mathrm {SO} (4))=\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle S^{4},}$ ${\displaystyle S^{7},}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (4)}$ ${\displaystyle S^{3}}$

複素射影空間

単位球面がファイバリングである。 このシーケンスは、すべての場合の単純連結性を示すために使用できる。 $${\displaystyle S^{1}\to S^{2n+1}\to \mathbb {CP} ^{n}}$$ ${\displaystyle S^{2n+1}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n+1}.}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle n.}$

計算方法

ホモトピー群の計算は、代数位相幾何学で学ぶ他のホモトピー不変量よりも一般にはるかに困難です。基本群のザイフェルト・ファン・カンペン定理や特異ホモロジーおよびコホモロジーの除去定理とは異なり、空間をより小さな空間に分割してホモトピー群を計算する簡単な方法は知られていません。しかし、1980年代に開発された、高次ホモトピー群のファン・カンペン型定理を用いた手法により、ホモトピー型やホモトピー群に関する新たな計算が可能になりました。結果の例については、EllisとMikhailovによる2010年の論文^{[6]を参照してください。}

トーラス空間など、一部の空間では、すべての高次ホモトピー群（つまり、2次元以上のホモトピー群）が自明です。これらはいわゆる非球面空間です。しかし、球面のホモトピー群の計算に関する熱心な研究にもかかわらず、2次元空間においてさえ、完全なリストは知られていません。1の4次元ホモトピー群を計算するだけでも、定義から想像されるよりもはるかに高度な技術が必要です。特に、セールスペクトル列はまさにこの目的のために構築されました。 ${\displaystyle S^{2}}$

n連結空間の特定のホモトピー群は、ヒューレヴィッツの定理を介してホモロジー群と比較することで計算できます。

ホモトピー群を計算する方法のリスト

• ファイバのホモトピー群の長い正確な列。
• Hurewicz の定理。これにはいくつかのバージョンがあります。
• Blakers–Massey の定理、ホモトピー群の除去としても知られています。
• フロイデンタールの懸架定理、ホモトピー群の除去の系。

相対ホモトピー群

ホモトピー群の有用な一般化として、 Aが次の部分空間である対に対する相対ホモトピー群と呼ばれるものがある。 ${\displaystyle \pi _{n}(X),}$ ${\displaystyle \pi _{n}(X,A)}$ ${\displaystyle (X,A),}$ ${\displaystyle X.}$

この構成は、包含に対して各ホモトピー群上に誘導写像が存在するという観察に基づいているが、これは一般には単射ではない。実際、核の元は代表を考え、基底ホモトピーを定数写像に写すことでわかる。言い換えれば、他の境界成分への制限は自明である。したがって、以下の構成が得られる。 ${\displaystyle i:(A,x_{0})\hookrightarrow (X,x_{0}),}$ ${\displaystyle i_{*}:\pi _{n}(A)\to \pi _{n}(X)}$ ${\displaystyle f:I^{n}\to X}$ ${\displaystyle F:I^{n}\times I\to X}$ ${\displaystyle x_{0},}$ ${\displaystyle H_{I^{n}\times 1}=f,}$ ${\displaystyle I^{n+1}}$

このような群の元は、境界をAに持ち込む基底写像のホモトピー類である。2つの写像がAに対してホモトピーであるとは、それらが基底点保存ホモトピーによってホモトピーであり、 ⁠ ⁠内の各pと⁠内のtに対して、元がAに含まれる場合を言う。通常のホモトピー群は、 が基底点を含む単一写像である特殊なケースに対して復元される点に注意されたい。 ${\displaystyle D^{n}\to X}$ ${\displaystyle S^{n-1}}$ ${\displaystyle f,g}$ ${\displaystyle F:D_{n}\times [0,1]\to X}$ ${\displaystyle S^{n-1}}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle F(p,t)}$ ${\displaystyle A=\{x_{0}\}}$

これらの群は、に対してはアーベル群であるが、に対しては交差加群の上群を形成し、下群は ${\displaystyle n\geq 3}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle \pi _{1}(A).}$

また、プッペ列を介して得られる相対ホモトピー群の長い正確な列も存在する。

${\displaystyle \cdots \to \pi _{n}(A)\to \pi _{n}(X)\to \pi _{n}(X,A)\to \pi _{n-1}(A)\to \cdots }$

関連する概念

ホモトピー群はホモトピー理論の基礎であり、モデル圏の発展を促した。単体集合に対して抽象ホモトピー群を定義することが可能である。

ホモトピー群は位相空間における「穴」を表現できる点でホモトピー群に似ています。しかし、ホモトピー群はしばしば非常に複雑で計算が困難です。対照的に、ホモトピー群は可換です（高次のホモトピー群も同様です）。位相空間が与えられたとき、そのn番目のホモトピー群は で表され、n番目のホモロジー群はまたはで表されます。 ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \pi _{n}(X),}$ ${\displaystyle H_{n}(X)}$ ${\displaystyle H_{n}(X;\mathbb {Z} ).}$

参照

• 繊維化
• ホップファイブレーション
• ホップ不変量
• 結び目理論
• ホモトピー類
• 球面のホモトピー群
• 位相不変量
• 係数付きホモトピー群
• 尖ったセット

注記

1. マリー・エネモン カミーユ・ジョルダン
2. この証明として、2次元以上では、2つのホモトピーは互いの周りを「回転」できることに注意する。エックマン・ヒルトンの議論を参照。
3. Allen Hatcher#Booksのセクション4.1を参照。
4. Husemoller, Dale (1994).ファイバー束. 大学院数学テキスト. 第20巻. Springer. p. 89. doi : 10.1007/978-1-4757-2261-1 . ISBN 978-1-4757-2263-5。
5. ミルナー、ジョン (1956). 「7次元球面に同相な多様体について」Annals of Mathematics . 64 (2): 399– 405. doi :10.2307/1969983. JSTOR  1969983.
6. Ellis, Graham J.; Mikhailov, Roman (2010). 「分類空間の余極限」. Advances in Mathematics . 223 (6): 2097– 2113. arXiv : 0804.3581 . doi : 10.1016/j.aim.2009.11.003 . MR  2601009.

参考文献

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• ロナルド・ブラウン、フィリップ・J・ヒギンズ、ラファエル・シベラ、「非アーベル代数的位相幾何学：フィルター空間、交差複体、立方ホモトピー群」、EMS数学論文集第15巻、703ページ、ヨーロッパ数学協会、チューリッヒ、2011年。doi : 10.4171/083 MR  2841564
• エドゥアルド・チェフ(1932)、「HöherDimensione Homotopiegruppen」、国際数学コングレス、チューリッヒ。
• ハッチャー、アレン（2002）、代数的位相幾何学、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-79540-1
• 「ホモトピー群」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• Hopf, Heinz (1931)、「Über die Abbildungen der dreiDimensionen Sphäre auf die Kugelfläche」、Mathematische Annalen、104 (1): 637– 665、doi :10.1007/BF01457962。
• カンプス、クラウス・H.; ポーター、ティモシー (1997).抽象ホモトピーと単純ホモトピー理論. ニュージャージー州リバーエッジ: World Scientific Publishing. doi :10.1142/9789812831989. ISBN 981-02-1602-5. MR  1464944。
• 戸田 宏(1962).球面のホモトピー群における合成法. Annals of Mathematics Studies. 第49巻. プリンストン大学出版局. ISBN 0-691-09586-8. MR  0143217。 {{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)
• ホワイトヘッド、ジョージ・ウィリアム(1978). ホモトピー理論の要素. 大学院数学テキスト. 第61巻（第3版）. ニューヨーク-ベルリン: シュプリンガー出版社. pp. xxi+744. ISBN 978-0-387-90336-1. MR  0516508。

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