素数計算関数

Function representing the number of primes less than or equal to a given number

最初の60個の正の整数に対するπ ( n )の値

数学において、素数計算関数（すいぞうけいかん、英: prime-counting function）は、ある実数x以下の素数の個数を数える関数である。^{[1] [2]これは}π ( x )と表記される（ πとは無関係）。

時々見られる対称的な変形としてπ ₀ ( x )があり、これはx が素数の場合π ( x ) − 1 ⁄ 2に等しく、そうでない場合はπ ( x )に等しい。つまり、 xより小さい素数の個数に、 x が素数の場合、その半分を加えた数である。

成長率

数論で大きな関心を集めているのは、素数関数の成長率である。 ^{[3] [4]} 18 世紀末にガウスとルジャンドルは、およそ であると予想した。ここでlogは自然対数、つまり という意味で ある。このステートメントは素数定理である。同等のステートメントは である。ここでliは対数積分関数である。素数定理は、 1859 年にリーマンが導入したリーマンゼータ関数の特性を使用して、 1896 年にジャック・アダマールとシャルル・ド・ラ・ヴァレー・プーサンによって独立に初めて証明された。ゼータ関数や複素解析を使用しない素数定理の証明は、 1948 年頃にアトレ・セルバーグとポール・エルデシュによって（ほとんど独立に）発見された。 ^[5] $${\displaystyle {\frac {x}{\log x}}}$$ $${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\log x}}=1.}$$ $${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)}{\operatorname {li} (x)}}=1}$$

より正確な推定

1899年、ドゥ・ラ・ヴァレー・プーッサンは、ある正の定数aに対して^[6]が成り立つことを証明した。ここで、O (...)は大きなO表記である。 $${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {li} (x)+O\left(xe^{-a{\sqrt {\log x}}}\right)\quad {\text{as }}x\to \infty }$$

π ( x )のより正確な推定値も現在では知られている。例えば、2002年にケビン・フォードは^[7]を証明した。 $${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {li} (x)+O\left(x\exp \left(-0.2098(\log x)^{3/5}(\log \log x)^{-1/5}\right)\right).}$$

モッシングホフとトルッジアンはπ ( x )とli( x )の差の明確な上限を証明した^[8]。 $${\displaystyle {\bigl |}\pi (x)-\operatorname {li} (x){\bigr |}\leq 0.2593{\frac {x}{(\log x)^{3/4}}}\exp \left(-{\sqrt {\frac {\log x}{6.315}}}\right)\quad {\text{for }}x\geq 229.}$$

xの値が不当に大きくない場合、li( x )はπ ( x )よりも大きくなります。しかし、π ( x ) − li( x )は無限回符号が変化することが知られています。この点に関する議論は、Skewes の数を参照してください。

正確な形式

x > 1の場合、 π ₀ ( x ) = π ( x ) − ⁠とする。1/2⁠ xが素数の場合にはπ ₀ ( x ) = π ( x ) となり、そうでない場合には π 0 ( x ) = π ( x )となる。ベルンハルト・リーマンは著書『ある大きさより小さい素数の個数について』の中で、 π ₀ ( x )が^[9]と等しい

ゼータ関数の最初の200個の非自明な零点を用いたリーマンの明示的な公式

$${\displaystyle \pi _{0}(x)=\operatorname {R} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {R} (x^{\rho }),}$$ここで、 μ ( n )はメビウス関数、li( x )は対数積分関数、ρ はリーマンゼータ関数のすべての零点の添え字、li( x ^⁠ $${\displaystyle \operatorname {R} (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\operatorname {li} \left(x^{1/n}\right),}$$^ρ/n⁠ )分岐カットで評価されず、代わりにEi( ⁠ρ/n⁠ log x )で表され、Ei( x )は指数積分である。自明な零点を集め、リーマンゼータ関数の非自明な零点ρについてのみ和をとると、 π ₀ ( x )は^[10]で近似できる。 $${\displaystyle \pi _{0}(x)\approx \operatorname {R} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {R} \left(x^{\rho }\right)-{\frac {1}{\log x}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan {\frac {\pi }{\log x}}.}$$

リーマン予想によれば、そのような非自明な零点はすべてRe( s ) = ⁠に沿って存在する。1/2⁠。

表のπ ( x )、⁠×/対数x ⁠、 そしてli( x )

表は、3つの関数π ( x )、⁠×/対数x⁠、 li( x )を10のべき乗で比較する。 ^{[3] [11]} [ ^{12]も参照。}

×	π ( x )	π ( x ) − ⁠×/対数x⁠	li( x ) − π ( x )	⁠×/π ( x )⁠	⁠×/対数x⁠  % エラー
10	4	0	2	2.500	−8.57%
10 2	25	3	5	4.000	+13.14%
10 3	168	23	10	5.952	+13.83%
10 4	1,229	143	17	8.137	+11.66%
10 5	9,592	906	38	10.425	+9.45%
10 6	78,498	6,116	130	12.739	+7.79%
10 7	664,579	44,158	339	15.047	+6.64%
10 8	5,761,455	332,774	754	17.357	+5.78%
10 9	50,847,534	2,592,592	1,701	19.667	+5.10%
10 10	4億5,505万2,511	20,758,029	3,104	21.975	+4.56%
10 11	4,118,054,813	1億6992万3159	11,588	24.283	+4.13%
10 12	37,607,912,018	1,416,705,193	38,263	26.590	+3.77%
10 13	346,065,536,839	11,992,858,452	108,971	28.896	+3.47%
10 14	3,204,941,750,802	102,838,308,636	314,890	31.202	+3.21%
10 15	29,844,570,422,669	891,604,962,452	1,052,619	33.507	+2.99%
10 16	279,238,341,033,925	7,804,289,844,393	3,214,632	35.812	+2.79%
10 17	2,623,557,157,654,233	68,883,734,693,928	7,956,589	38.116	+2.63%
10 18	24,739,954,287,740,860	612,483,070,893,536	21,949,555	40.420	+2.48%
10 19	234,057,667,276,344,607	5,481,624,169,369,961	99,877,775	42.725	+2.34%
10 20	2,220,819,602,560,918,840	49,347,193,044,659,702	2億2274万4644	45.028	+2.22%
10 21	21,127,269,486,018,731,928	446,579,871,578,168,707	597,394,254	47.332	+2.11%
10 22	201,467,286,689,315,906,290	4,060,704,006,019,620,994	1,932,355,208	49.636	+2.02%
10 23	1,925,320,391,606,803,968,923	37,083,513,766,578,631,309	7,250,186,216	51.939	+1.93%
10 24	18,435,599,767,349,200,867,866	339,996,354,713,708,049,069	17,146,907,278	54.243	+1.84%
10 25	176,846,309,399,143,769,411,680	3,128,516,637,843,038,351,228	55,160,980,939	56.546	+1.77%
10 26	1,699,246,750,872,437,141,327,603	28,883,358,936,853,188,823,261	155,891,678,121	58.850	+1.70%
10 27	16,352,460,426,841,680,446,427,399	267,479,615,610,131,274,163,365	508,666,658,006	61.153	+1.64%
10 28	157,589,269,275,973,410,412,739,598	2,484,097,167,669,186,251,622,127	1,427,745,660,374	63.456	+1.58%
10 29	1,520,698,109,714,272,166,094,258,063	23,130,930,737,541,725,917,951,446	4,551,193,622,464	65.759	+1.52%

素数関数π ( x )とその近似値の2つに対する比を示すグラフ、⁠×/対数x⁠とLi( x ) 。xが増加すると（ x軸は対数であることに注意）、両方の比率は 1 に近づきます。⁠の比率は×/対数x⁠ は上から非常にゆっくりと収束しますが、 Li( x )の比率は下からより速く収束します。

オンライン整数列百科事典では、π ( x )列はOEIS : A006880、π ( x ) − ⁠の列である。 ×/対数x⁠はシーケンスOEIS :A057835であり、 li( x ) −π ( x )はシーケンスOEIS :A057752です。

π (10 ²⁴ )の値はもともと、リーマン予想を仮定してJ. Buethe、J. Franke、A. Jost、T. Kleinjungによって計算されました。^[13]その後、DJ Platt による計算で無条件に検証されました。^[14] π (10 ²⁵ )の値も同じ 4 人の著者によって計算されました。^[15] π (10 ²⁶ ) の値はDB Staple によって計算されました。^[16]この表のその他の以前の項目もすべて、その作業の一部として検証されました。

^{1027、1028、1029}の値は、それぞれ2015^{年、 [17]}、2020年、^[18]、2022年、^[19]にDavid BaughとKim Walischによって発表されました。

評価アルゴリズムπ ( x )

π ( x )を見つける簡単な方法は、xが大きすぎない場合に、エラトステネスのふるいを使用してx以下の素数を生成し、それらを数えることです。

π ( x )を求めるより複雑な方法は、ルジャンドルによるものです（包含排他原理を使用）。xが与えられ、p ₁、p ₂、…、p _{n が}異なる素数である場合、 x以下の整数でどのp _iでも割り切れない整数の数は

${\displaystyle \lfloor x\rfloor -\sum _{i}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}}}\right\rfloor +\sum _{i<j}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}p_{j}}}\right\rfloor -\sum _{i<j<k}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}p_{j}p_{k}}}\right\rfloor +\cdots }$

（ここで⌊ x ⌋は床関数を表す）。したがって、この数は

${\displaystyle \pi (x)-\pi \left({\sqrt {x}}\right)+1}$

p ₁、p ₂、…、p _nがxの平方根以下の素数である場合。

マイセル・レーマーアルゴリズム

1870年から1885年にかけて発表された一連の論文の中で、エルンスト・マイセルはπ ( x )を評価する実用的な組み合わせ論的方法を記述（および使用）した。p 1 _、p ₂、…、p _nを最初のn個の素数とし、任意のi ≤ nに対してp _iのいずれにも割り切れないm以下の自然数の個数をΦ( m、n )で表す。すると、

${\displaystyle \Phi (m,n)=\Phi (m,n-1)-\Phi \left({\frac {m}{p_{n}}},n-1\right).}$

自然数mが与えられ、n = π ( ³ √ m )かつμ = π ( √ m ) − nとすると、

${\displaystyle \pi (m)=\Phi (m,n)+n(\mu +1)+{\frac {\mu ^{2}-\mu }{2}}-1-\sum _{k=1}^{\mu }\pi \left({\frac {m}{p_{n+k}}}\right).}$

このアプローチを使用して、マイセルはπ ( x )を計算しました。xは次のようになります。5 × 10 ⁵、 10 ⁶、 10 ⁷、および 10 ⁸。

1959年、デリック・ヘンリー・レーマーはマイセルの方法を拡張し、簡略化した。実数mと自然数nおよびkに対して、P _k ( m , n )を、 m以下でp _nより大きいk個の素因数を持つ数の個数と定義する。さらに、P ₀ ( m , n ) = 1とおく。すると、

${\displaystyle \Phi (m,n)=\sum _{k=0}^{+\infty }P_{k}(m,n)}$

ここで、和は実際には有限個の非零項しか持たない。y^{を 3} √ m ≤ y ≤ √ mを満たす整数とし、n = π ( y )とおく。すると、 k ≥ 3のとき、 P ₁ ( m , n ) = π ( m ) − nとなり、P _k ( m , n ) = 0 となる。したがって、

${\displaystyle \pi (m)=\Phi (m,n)+n-1-P_{2}(m,n)}$

P ₂ ( m , n )の計算は次のようにして得られる。

${\displaystyle P_{2}(m,n)=\sum _{y<p\leq {\sqrt {m}}}\left(\pi \left({\frac {m}{p}}\right)-\pi (p)+1\right)}$

ここで、合計は素数になります。

一方、Φ( m , n )の計算は次の規則に従って行うことができます。

1. ${\displaystyle \Phi (m,0)=\lfloor m\rfloor }$
2. ${\displaystyle \Phi (m,b)=\Phi (m,b-1)-\Phi \left({\frac {m}{p_{b}}},b-1\right)}$

レーマーはIBM 701を使ってπ（10^ ⁹）の正しい値を計算することができたが、 π（10 ^{^10}）の正しい値は1だけ間違っていた。 ^[20]

この方法は、ラガリアス、ミラー、オドリツコ、デレグリーズ、リヴァットによってさらに改良された。^[21]

その他の素数計算関数

他の素数カウント関数も、操作が便利なため使用されます。

リーマンの素数冪関数

リーマンの素数冪関数は通常、Π ₀ ( x )またはJ ₀ ( x )と表記される。これは⁠1/n⁠ は素数p ^{nの乗で、} π ( x )の不連続点では両辺の中間の値をとります。この追加された詳細は、この関数が逆メリン変換によって定義できるためです。

正式には、 Π ₀ ( x )を次のように定義する。

${\displaystyle \Pi _{0}(x)={\frac {1}{2}}\left(\sum _{p^{n}<x}{\frac {1}{n}}+\sum _{p^{n}\leq x}{\frac {1}{n}}\right)\ }$

ここで、各合計の変数pは、指定された制限内のすべての素数の範囲にわたります。

次のように書くこともできる。

${\displaystyle \ \Pi _{0}(x)=\sum _{n=2}^{x}{\frac {\Lambda (n)}{\log n}}-{\frac {\Lambda (x)}{2\log x}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\pi _{0}\left(x^{1/n}\right)}$

ここでΛはフォン・マンゴルト関数であり、

${\displaystyle \pi _{0}(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\pi (x-\varepsilon )+\pi (x+\varepsilon )}{2}}.}$

メビウスの反転公式は次のように表される。

${\displaystyle \pi _{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\ \Pi _{0}\left(x^{1/n}\right),}$

ここでμ ( n )はメビウス関数である。

リーマンゼータ関数の対数とフォンマンゴルト関数 Λの関係を知っており、ペロンの公式を用いると、

${\displaystyle \log \zeta (s)=s\int _{0}^{\infty }\Pi _{0}(x)x^{-s-1}\,\mathrm {d} x}$

チェビシェフ関数

チェビシェフ関数は素数または素数べき乗p ^nをlog pで重み付けします。

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (x)&=\sum _{p\leq x}\log p\\\psi (x)&=\sum _{p^{n}\leq x}\log p=\sum _{n=1}^{\infty }\vartheta \left(x^{1/n}\right)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n).\end{aligned}}}$

x ≥ 2の場合、^[22]

${\displaystyle \vartheta (x)=\pi (x)\log x-\int _{2}^{x}{\frac {\pi (t)}{t}}\,\mathrm {d} t}$

そして

${\displaystyle \pi (x)={\frac {\vartheta (x)}{\log x}}+\int _{2}^{x}{\frac {\vartheta (t)}{t\log ^{2}(t)}}\mathrm {d} t.}$

素数関数の公式

素数関数の公式には、算術公式と解析公式の2種類があります。素数関数の解析公式は、素数定理を証明するために最初に用いられました。これはリーマンとマンゴルトの研究に由来し、一般に明示公式として知られています。^[23]

2番目のチェビシェフ関数 ψは次の式で表されます。

${\displaystyle \psi _{0}(x)=x-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-\log 2\pi -{\frac {1}{2}}\log \left(1-x^{-2}\right),}$

どこ

${\displaystyle \psi _{0}(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\psi (x-\varepsilon )+\psi (x+\varepsilon )}{2}}.}$

ここで、ρはリーマンゼータ関数の臨界帯における零点であり、 ρの実部は0 と 1 の間です。この式はxが 1 より大きい値、つまり関心領域に対して有効です。根の和は条件付き収束であり、虚部の絶対値が増加する順に取る必要があります。自明な根の和は、この式の最後の減数となることに注意してください。

Π ₀ ( x )についてはより複雑な式となる。

${\displaystyle \Pi _{0}(x)=\operatorname {li} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {li} \left(x^{\rho }\right)-\log 2+\int _{x}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{t\left(t^{2}-1\right)\log t}}.}$

繰り返しますが、この式はx > 1の場合に有効です。一方、ρはゼータ関数の非自明な零点であり、絶対値に従って順序付けられています。最初の項li( x )は通常の対数積分関数です。2番目の項の式li( x ^ρ )はEi( ρ log x )とみなされます。ここでEiは、負の実数から複素平面への指数積分関数の解析接続であり、正の実数に沿って分岐切断があります。最終的な積分は、自明な零点に関する級数に等しくなります。

${\displaystyle \int _{x}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{t\left(t^{2}-1\right)\log t}}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{t\log t}}\left(\sum _{m}t^{-2m}\right)\,\mathrm {d} t=\sum _{m}\int _{x}^{\infty }{\frac {t^{-2m}}{t\log t}}\,\mathrm {d} t\,\,{\overset {\left(u=t^{-2m}\right)}{=}}-\sum _{m}\operatorname {li} \left(x^{-2m}\right)}$

したがって、メビウスの反転公式は^[10]となる。

${\displaystyle \pi _{0}(x)=\operatorname {R} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {R} \left(x^{\rho }\right)-\sum _{m}\operatorname {R} \left(x^{-2m}\right)}$

x > 1 の場合に有効であり、

${\displaystyle \operatorname {R} (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\operatorname {li} \left(x^{1/n}\right)=1+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(\log x\right)^{k}}{k!k\zeta (k+1)}}}$

はリーマンのR関数^[24]であり、μ ( n )はメビウス関数である。後者の級数はグラム級数として知られている。^{[25] [26]} log x < x はすべてのx > 0に対して成り立つので、この級数はe ^xの級数と比較するとすべての正のxに対して収束する。グラム級数における非自明なゼロ寄与についての対数は、log x ^ρではなくρ log xとして評価されるべきである。

フォルクマー・ボルネマンは、リーマンゼータ関数のすべての零点が単純であるという予想を仮定すると、次のように なることを証明した。 ^{[27] [注1]}

${\displaystyle \operatorname {R} \left(e^{-2\pi t}\right)={\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}t^{-2k-1}}{(2k+1)\zeta (2k+1)}}+{\frac {1}{2}}\sum _{\rho }{\frac {t^{-\rho }}{\rho \cos {\frac {\pi \rho }{2}}\zeta '(\rho )}}}$

ここでρはリーマンゼータ関数の非自明な零点を通り、t > 0である。

π ₀ ( x )の公式における非自明なゼータ零点の和はπ ₀ ( x )の変動を記述し、残りの項は素数関数の「滑らかな」部分を与えるので[ ^{28] 、}

${\displaystyle \operatorname {R} (x)-\sum _{m=1}^{\infty }\operatorname {R} \left(x^{-2m}\right)}$

x > 1のときのπ ( x )の良好な推定値として。実際、第2項はx → ∞のときに0に近づくのに対し、「ノイズ」部分の振幅は経験的に約⁠√ ×/対数x⁠、 π ( x )をR( x )だけでも同様であり、素数の分布の変動は関数

${\displaystyle {\bigl (}\pi _{0}(x)-\operatorname {R} (x){\bigr )}{\frac {\log x}{\sqrt {x}}}.}$

不平等

ラマヌジャン^[29]は不等式

${\displaystyle \pi (x)^{2}<{\frac {ex}{\log x}}\pi \left({\frac {x}{e}}\right)}$

十分に大きいxの値すべてに対して成り立ちます。

π ( x )に関する便利な不等式をいくつか示します。

${\displaystyle {\frac {x}{\log x}}<\pi (x)<1.25506{\frac {x}{\log x}}\quad {\text{for }}x\geq 17.}$

左の不等式はx ≥ 17で成立し、右の不等式はx > 1で成立する。定数 1.25506 は30 ⁠ログ113/113⁠小数点以下5桁までπ ( x ) ⁠対数x/×⁠はx = p ₃₀ = 113で最大値をとる。 ^[30]

ピエール・デュサールは2010年に次のように証明した。^[31]

${\displaystyle {\frac {x}{\log x-1}}<\pi (x)<{\frac {x}{\log x-1.1}}\quad {\text{for }}x\geq 5393{\text{ and }}x\geq 60184,{\text{ respectively.}}}$

最近では、デュサートは^[32] （定理5.1）で次のこと を証明した。

${\displaystyle {\frac {x}{\log x}}\left(1+{\frac {1}{\log x}}+{\frac {2}{\log ^{2}x}}\right)\leq \pi (x)\leq {\frac {x}{\log x}}\left(1+{\frac {1}{\log x}}+{\frac {2}{\log ^{2}x}}+{\frac {7.59}{\log ^{3}x}}\right),}$

それぞれx ≥ 88789および x > 1の場合。

逆に、n番目の素数p _nの近似値は、

${\displaystyle p_{n}=n\left(\log n+\log \log n-1+{\frac {\log \log n-2}{\log n}}+O\left({\frac {(\log \log n)^{2}}{(\log n)^{2}}}\right)\right).}$

n番目の素数に関するいくつかの不等式を示します。下限はDusart (1999) ^[33]によるもので、上限はRosser (1941) ^{[34]によるものです。}

${\displaystyle n(\log n+\log \log n-1)<p_{n}<n(\log n+\log \log n)\quad {\text{for }}n\geq 6.}$

左の不等式はn ≥ 2のときに成立し、右の不等式はn ≥ 6のときに成立する。時々見られる変形は、 より単純な下限値である^[35] ${\displaystyle \log n+\log \log n=\log(n\log n).}$

${\displaystyle n\log n<p_{n},}$

これはn ≥ 1の場合に成り立ちますが、上記の下限はn > e ^e ≈15.154の場合にさらに厳しくなります。

2010年にデュサートは^[31]（命題6.7と6.6） を証明した。

${\displaystyle n\left(\log n+\log \log n-1+{\frac {\log \log n-2.1}{\log n}}\right)\leq p_{n}\leq n\left(\log n+\log \log n-1+{\frac {\log \log n-2}{\log n}}\right),}$

それぞれn ≥ 3およびn ≥ 688383の場合。

2024年に、アクラー^[36]は、これをさらに厳格化し（式1.12と1.13）、次の形式の境界値を用いた。

${\displaystyle f(n,g(w))=n\left(\log n+\log \log n-1+{\frac {\log \log n-2}{\log n}}-{\frac {g(\log \log n)}{2\log ^{2}n}}\right)}$

それを証明する

${\displaystyle f(n,w^{2}-6w+11.321)\leq p_{n}\leq f(n,w^{2}-6w)}$

n ≥ 2およびn ≥ 3468の場合、それぞれ成立する。下限値は妥当性を変えずにf ( n , w ² )と簡略化することもできる。上限値はn ≥ 46254381の場合、 f ( n , w ² − 6 w + 10.667)と厳格化できる。

他にも様々な複雑さの境界が存在する。^{[37] [38] [39]}

リーマン予想

リーマン予想はπ ( x )の推定値の誤差に非常に厳しい境界を課すことを意味し、したがって素数の分布はより規則的になる。

${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {li} (x)+O({\sqrt {x}}\log {x}).}$

具体的には、^[40]

${\displaystyle |\pi (x)-\operatorname {li} (x)|<{\frac {\sqrt {x}}{8\pi }}\,\log {x},\quad {\text{for all }}x\geq 2657.}$

デュデック（2015）は、リーマン予想は、すべてのx ≥ 2に対して、次を満たす 素数pが存在することを証明した。

${\displaystyle x-{\frac {4}{\pi }}{\sqrt {x}}\log x<p\leq x.}$

参照

• ベルトランの公理
• オッパーマンの予想
• ラマヌジャン素数

参考文献

1. バッハ、エリック、シャリット、ジェフリー (1996).アルゴリズム的数論. MIT出版. 第1巻 234ページ 8.8節. ISBN 0-262-02405-5。
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注記

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外部リンク

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