溶解性立方体

多項式関数 $x 4 + x 3 - x 2 - 7 x /4 - 1/2$ のグラフ（緑色）と、その解三次関数 $R 4 (y)$ のグラフ（赤色）です。両方の多項式の根も表示されています。

代数学において、レゾルベント 3 次多項式は、次数 4 の単項多項式から定義される、関連はあるものの異なる複数の3 次多項式のうちの 1 つです。

P(x)=x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}.

いずれの場合も:

レゾルベント3次方程式の係数は、 $P (x)$ の係数から、加算、減算、乗算のみを使用して得ることができます。
$P (x)$ のレゾルベント三次根を知っていると、 $P (x)$ 自身の根を見つけるのに役立ちます。そのため、「レゾルベント三次根」と呼ばれます。
多項式 $P (x)が$ 多重根を持つのは、その解決三次多項式が多重根を持つ場合のみである。

定義

$P (x)$ の係数が、その標数が $2$ とは異なる体 $k$ に属していると仮定する。言い換えれば、 $1 + 1 \neq 0 と$ なる体で作業していることになる。P $($ $x$ $)$ の根について言及する場合、それらは $k$ の何らかの拡大 $Kに属し、$ $P$ $($ $x$ $)$ は $K$ $[$ $x$ $]$ の線型因子に因数分解される。k が有理数体 Q である場合 $、$ K $は$ 複素数 $体$ $C$ または $代数$ 的数体 $Q$ となる。

場合によっては、レゾルベント 3 次の概念は、 $P (x)$ が抑圧された形式の 4 次である場合、つまり、 $a 3 = 0$ である場合にのみ定義されます。

$以下の4番目と5番目の定義も意味を成し、 k$ の特性が $2$ に等しい場合でも、これらのレゾルベント3次関数と $P (x)$ の関係は依然として有効であることに注意してください。

最初の定義

$P (x)$ が負の四次関数、つまり $a 3 = 0$ であるとする。P $(x)$ のレゾルベント三次関数の定義は以下 $で$ ある: ^[1]

R_{1}(y)=8y^{3}+8a_{2}y^{2}+(2{a_{2}}^{2}-8a_{0})y-{a_{1}}^{2}.

この定義の起源は、 $P$ $($ $x$ $)$ の根を求めるためにフェラーリ法を適用したことにあります。より正確には、

{\begin{aligned}P(x)=0&\Longleftrightarrow x^{4}+a_{2}x^{2}=-a_{1}x-a_{0}\\&\Longleftrightarrow \left(x^{2}+{\frac {a_{2}}{2}}\right)^{2}=-a_{1}x-a_{0}+{\frac {{a_{2}}^{2}}{4}}.\end{aligned}}

新たな未知数 $yを$ $x 2 + a 2 /2$ に加えます。すると次のようになります。

{\begin{aligned}\left(x^{2}+{\frac {a_{2}}{2}}+y\right)^{2}&=-a_{1}x-a_{0}+{\frac {{a_{2}}^{2}}{4}}+2x^{2}y+a_{2}y+y^{2}\\&=2yx^{2}-a_{1}x-a_{0}+{\frac {{a_{2}}^{2}}{4}}+a_{2}y+y^{2}.\end{aligned}}

この式が平方数である場合、それは

{\sqrt {2y}}\,x-{\frac {a_{1}}{2{\sqrt {2y}}}}.

しかし平等

\left({\sqrt {2y}}\,x-{\frac {a_{1}}{2{\sqrt {2y}}}}\right)^{2}=2yx^{2}-a_{1}x-a_{0}+{\frac {{a_{2}}^{2}}{4}}+a_{2}y+y^{2}

は以下と同等である

{\frac {{a_{1}}^{2}}{8y}}=-a_{0}+{\frac {{a_{2}}^{2}}{4}}+a_{2}y+y^{2}{\text{,}}

$これはR 1 (y)$ = 0という主張と同じことです。

$y 0 が$ $R 1 (y)$ の根である場合、上記の計算の結果、 $P (x)$ の根は多項式の根である。

x^{2}-{\sqrt {2y_{0}}}\,x+{\frac {a_{2}}{2}}+y_{0}+{\frac {a_{1}}{2{\sqrt {2y_{0}}}}}

多項式の根とともに

x^{2}+{\sqrt {2y_{0}}}\,x+{\frac {a_{2}}{2}}+y_{0}-{\frac {a_{1}}{2{\sqrt {2y_{0}}}}}.

$もちろん、 y 0 = 0$ の場合にはこれは意味をなさないが、 $R$ $1$ $($ $y$ $)$ の定数項は $-$ $a$ $1$ $2$ であるため、 $0が$ $R$ $1$ $($ $y$ $)$ の根となるのは $a$ $1$ $= 0$ のときのみであり、この場合、 $P$ $($ $x$ $)の根は$ 二次方程式の式を使用して求めることができる。

2番目の定義

もう一つの定義^{[1] （} $P (x)$ が負の4次関数であると仮定）は

R_{2}(y)=8y^{3}-4a_{2}y^{2}-8a_{0}y+4a_{2}a_{0}-{a_{1}}^{2}

この定義の起源は前回と似ています。今回は、まず以下のことを行います。

{\begin{aligned}P(x)=0&\Longleftrightarrow x^{4}=-a_{2}x^{2}-a_{1}x-a_{0}\\&\Longleftrightarrow (x^{2}+y)^{2}=-a_{2}x^{2}-a_{1}x-a_{0}+2yx^{2}+y^{2}\end{aligned}}

そして、前の計算と同様の計算により、この最後の式が平方となるのは、

8y^{3}-4a_{2}y^{2}-8a_{0}y+4a_{2}a_{0}-{a_{1}}^{2}=0{\text{.}}

簡単な計算でわかるように

R_{2}\left(y+{\frac {a_{2}}{2}}\right)=R_{1}(y).

3番目の定義

もう一つの定義^[2]^[3]（ここでも $P (x)$ が負の4次関数であると仮定）は

R_{3}(y)=y^{3}+2a_{2}y^{2}+({a_{2}}^{2}-4a_{0})y-{a_{1}}^{2}{\text{.}}

この定義の起源は、四次方程式を解く別の方法、すなわちデカルト法にあります。P $(x) の$ 根を、2つの単項二次多項式 $x 2 + αx + β$ と $x 2 - αx + γ$ の積として表そうとすると、

P(x)=(x^{2}+\alpha x+\beta )(x^{2}-\alpha x+\gamma )\Longleftrightarrow \left\{{\begin{array}{l}\beta +\gamma -\alpha ^{2}=a_{2}\\\alpha (-\beta +\gamma )=a_{1}\\\beta \gamma =a_{0}.\end{array}}\right.

$このシステムのα \neq0$ の解が存在する場合（ $α1 \neq0$ の場合、これは任意の解に対して自動的に真となることに注意）、前のシステムは以下と同等である $。$

\left\{{\begin{array}{l}\beta +\gamma =a_{2}+\alpha ^{2}\\-\beta +\gamma ={\frac {a_{1}}{\alpha }}\\\beta \gamma =a_{0}.\end{array}}\right.

最初の2つの方程式の帰結として、

\beta ={\frac {1}{2}}\left(a_{2}+\alpha ^{2}-{\frac {a_{1}}{\alpha }}\right)

そして

\gamma ={\frac {1}{2}}\left(a_{2}+\alpha ^{2}+{\frac {a_{1}}{\alpha }}\right).

$3番目の式でβ$ と $γ$ をこれらの値に置き換えると、次の式が得られます。

\left(a_{2}+\alpha ^{2}\right)^{2}-{\frac {{a_{1}}^{2}}{\alpha ^{2}}}=4a_{0}{\text{,}}

$これはα 2が$ $R 3 (y)$ の根であるという主張と等価です。つまり、 $R 3 (y)の根を知ることは、$ $P (x)$ の根を決定するのに役立ちます。

ご了承ください

R_{3}(y)=R_{1}\left({\frac {y}{2}}\right){\text{.}}

4番目の定義

さらに別の定義としては^{[4]がある。}

R_{4}(y)=y^{3}-a_{2}y^{2}+(a_{1}a_{3}-4a_{0})y+4a_{0}a_{2}-{a_{1}}^{2}-a_{0}{a_{3}}^{2}.

実際、 $P (x)の根が$ $α 1 、 α 2 、 α 3$ 、 $α 4$ であれば、

R_{4}(y)={\bigl (}y-(\alpha _{1}\alpha _{2}+\alpha _{3}\alpha _{4}){\bigr )}{\bigl (}y-(\alpha _{1}\alpha _{3}+\alpha _{2}\alpha _{4}){\bigr )}{\bigl (}y-(\alpha _{1}\alpha _{4}+\alpha _{2}\alpha _{3}){\bigr )}{\text{,}}

Vieta の公式から次の事実が得られます。つまり、R ₄ ( y ) は、 $α 1 α 2 + α 3 α 4$ 、 $α 1 α 3 + α 2 α 4$ 、および $α 1 α 4 + α 2 α 3$ を根とするモニック多項式です。

それは簡単にわかる

\alpha _{1}\alpha _{2}+\alpha _{3}\alpha _{4}-(\alpha _{1}\alpha _{3}+\alpha _{2}\alpha _{4})=(\alpha _{1}-\alpha _{4})(\alpha _{2}-\alpha _{3}){\text{,}}

\alpha _{1}\alpha _{3}+\alpha _{2}\alpha _{4}-(\alpha _{1}\alpha _{4}+\alpha _{2}\alpha _{3})=(\alpha _{1}-\alpha _{2})(\alpha _{3}-\alpha _{4}){\text{,}}

\alpha _{1}\alpha _{2}+\alpha _{3}\alpha _{4}-(\alpha _{1}\alpha _{4}+\alpha _{2}\alpha _{3})=(\alpha _{1}-\alpha _{3})(\alpha _{2}-\alpha _{4}){\text{.}}

したがって、 $P (x)が$ 重根を持つのは、 $R 4 (y)$ が重根を持つ場合のみである。より正確には、 $P (x)$ と $R 4 (y)$ は同じ判別式を持つ。

$P (x)$ が負の多項式である場合、

{\begin{aligned}R_{4}(y)&=y^{3}-a_{2}y^{2}-4a_{0}y+4a_{0}a_{2}-{a_{1}}^{2}\\&=R_{2}\left({\frac {y}{2}}\right){\text{.}}\end{aligned}}

第五の定義

さらに別の定義は^[5]^[6]

R_{5}(y)=y^{3}-2a_{2}y^{2}+({a_{2}}^{2}+a_{3}a_{1}-4a_{0})y+{a_{1}}^{2}-a_{3}a_{2}a_{1}+{a_{3}}^{2}a_{0}{\text{.}}

$上で述べたように、 P (x)$ の根が $α 1 、 α 2 、 α 3$ 、 $α 4$ である場合、

R_{5}(y)={\bigl (}y-(\alpha _{1}+\alpha _{2})(\alpha _{3}+\alpha _{4}){\bigr )}{\bigl (}y-(\alpha _{1}+\alpha _{3})(\alpha _{2}+\alpha _{4}){\bigr )}{\bigl (}y-(\alpha _{1}+\alpha _{4})(\alpha _{2}+\alpha _{3}){\bigr )}{\text{,}}

再びVieta の公式の結果として。つまり、 $R 5 (y)$ は、その根が $(α 1 + α 2)(α 3 + α 4)$ 、 $(α 1 + α 3)(α 2 + α 4)$ 、および $(α 1 +$ $α$ $4$ $)($ $α$ $2$ $+$ $α$ $3$ $)であるモニック$ $多項式$ $です$ 。

それは簡単にわかる

(\alpha _{1}+\alpha _{2})(\alpha _{3}+\alpha _{4})-(\alpha _{1}+\alpha _{3})(\alpha _{2}+\alpha _{4})=-(\alpha _{1}-\alpha _{4})(\alpha _{2}-\alpha _{3}){\text{,}}

(\alpha _{1}+\alpha _{2})(\alpha _{3}+\alpha _{4})-(\alpha _{1}+\alpha _{4})(\alpha _{2}+\alpha _{3})=-(\alpha _{1}-\alpha _{3})(\alpha _{2}-\alpha _{4}){\text{,}}

(\alpha _{1}+\alpha _{3})(\alpha _{2}+\alpha _{4})-(\alpha _{1}+\alpha _{4})(\alpha _{2}+\alpha _{3})=-(\alpha _{1}-\alpha _{2})(\alpha _{3}-\alpha _{4}){\text{.}}

$したがって、 R 4 (y)$ の場合と同様に、 $P (x)$ が重根を持つのは、 $R 5 (y)$ が重根を持つ場合と同値である。より正確には、 $P (x)$ と $R 5 (y)は同じ判別式を持つ。これは、$ $R 5 (y + a 2)$ = $- R 4 (- y)$ という事実からも導かれる。

$P (x)$ が負の多項式である場合、

{\begin{aligned}R_{5}(y)&=y^{3}-2a_{2}y^{2}+({a_{2}}^{2}-4a_{0})y+{a_{1}}^{2}\\&=-R_{3}(-y)\\&=-R_{1}\left(-{\frac {y}{2}}\right){\text{.}}\end{aligned}}

アプリケーション

四次方程式を解く

$上記では、この多項式が押下多項式である場合、R1(y)$ 、 $R2(y)$ 、 $R3(y)を用いて$ $P (x)$ の根を求めることができることを説明しました。一般的なケースでは、押下多項式 $P (x - a3 / 4)$ の根を求めれば十分です。この多項式の各根 $x 0$ に対して、 $x 0 - a 3/4は$ $P ($ $x$ $)$ $の$ 根です。

4次多項式の因数分解

4次多項式 $P (x)が$ $k$ $[$ $x$ $]$ で約分可能な場合、それは2つの2次多項式の積、または1次多項式と3次多項式の積です。この2番目の可能性は、 $P$ $($ $x$ $)が$ $k$ に根を持つ場合にのみ発生します。 $P$ $($ $x$ $) が$ 2つの2次多項式の積として表せるかどうかを判断するために、簡単のため、 $P$ $($ $x$ $)$ が減数多項式であると仮定します。そして、上で述べたように、ある $α$ $\in$ $k$ に対して、分解可能な3次多項式 $R$ $3$ $($ $y$ $)が$ $α$ $2$ の形の非零根を持つ場合、そのような分解が存在することになります。

これを使って、 $R [x]$ において、実根を持たないすべての4次多項式は、2つの2次多項式の積として表せることを証明できます。そのような多項式を $P (x)とします。$ 一般性を失うことなく、 $P (x)$ が単項式であると仮定できます。また、一般性を失うことなく、 $P ( x ) が既約多項式であると仮定することもできます。なぜなら、 P ( x - a 3 /4) が2つの2次多項式の積として表すことができ、かつこの多項式が既約多項式である場合に限り、 P (x) が$ $2 つの 2 次多項式の$ 積として表せるからです。すると、 $R 3 (y)$ = $y 3 + 2 a 2 y 2 + (a 22 - 4 a 0) y - a 12$ となります。次の2つの場合があります。

$a 1 \neq 0$ の場合、 $R 3 (0)$ = $- a 12 < 0$ となる。 $y が$ 十分に大きい場合、 $R 3 (y) > 0となるので、$ 中間値定理により、 $R$ $3$ $($ $y$ $) は$ $y$ $0$ $> 0$ となる根 $y$ $0を持つ。したがって、$ $α$ = $\sqrt$ $y$ $0$ とすることができる。
$a 1$ = $0$ のとき、 $R 3 (y)$ = $y 3 + 2 a 2 y 2 + (a 22 - 4 a 0) y$ となる。この多項式の根は $0$ と、二次多項式 $y 2 + 2 a 2 y + a 22 - 4 a 0$ の根である。a 2 2 − 4 a 0 < 0 のとき $、この多項式の 2 つの$ 根の積は $0より小さいので、$ $0$ より大きい根（ $- a 2 + 2 \sqrt a 0$ $）を持ち、 αを$ その根の平方根としてとることができる。そうでない場合、 $a 22 - 4 a 0 \geq 0$ となり、

P(x)=\left(x^{2}+{\frac {a_{2}+{\sqrt {{a_{2}}^{2}-4a_{0}}}}{2}}\right)\left(x^{2}+{\frac {a_{2}-{\sqrt {{a_{2}}^{2}-4a_{0}}}}{2}}\right){\text{.}}

より一般的には、 $k が$ 実閉体であるとき、 $kに根を持たないすべての4次多項式は、$ $k [x]$ の2つの2次多項式の積として表すことができます。実際、この命題は一階述語論理で表すことができ、 $R$ に対して成り立つこのような命題は、任意の実閉体に対しても成り立ちます。

同様のアプローチを用いて、四次多項式 $P$ $($ $x$ $) \in$ $Q$ $[$ $x$ $]$ が既約か否か、また既約ならばより次数の小さい多項式の積としてどのように表現するかを決定するアルゴリズム^{[ 2] を得ることができる。ここでも、} $P$ $($ $x$ $)$ は単項式かつ減項式であると仮定する。この場合、 $P$ $($ $x$ $)$ が既約であるためには、以下の条件のうち少なくとも1つが満たされる必要がある。

多項式 $P (x)には有理根があります（これは$ 有理根定理を使用して決定できます）。
解決立方関数 $R 3 (y)$ は、何らかの非零有理数 $αに対して$ $α 2$ の形の根を持ちます（これも有理根定理を使用して決定できます）。
数 $a 22 - 4 a 0$ は有理数の平方であり、 $a 1$ = $0$ です。

確かに：

$P (x)$ が有理根 $r$ を持つ場合、 $P (x)は$ $Q$ $[$ $x$ $]$ の 3 次多項式による $x - r$ の積であり、これは多項式長除法またはルフィニの定理によって決定できます。
$α$ $2 が$ $R$ $3$ $($ $y$ $)$ の根となるような有理数 $α \neq 0が存在する場合、$ $P$ $($ $x$ $) を$ $Q$ $[$ $x$ $]$ の2つの二次多項式の積として表す方法が上で示されました。
最後に、3番目の条件が成り立ち、 $δ \in Q が$ $δ 2$ = $a$ $2$ $2$ $- 4$ $a$ $0$ となる場合、 $P$ $($ $x$ $)$ = $($ $x$ $2$ $+ ($ $a$ $2$ $+$ $δ$ $)/2)($ $x$ $2$ $+ ($ $a$ $2$ $-$ $δ$ $)/2)$ となります。

既約4次多項式のガロア群

既約四次多項式 $P (x)$ のレゾルベントキュービックは、そのガロア群 $G$ 、すなわち $P$ $($ $x$ $)$ の分解体のガロア群を決定するために用いることができる。m $を$ レゾルベントキュービックの分解体の $k$ 上の次数とする（ $R$ $4$ $($ $y$ $)$ または $R$ $5$ $($ $y$ $)$ のいずれでもよく、これらは同じ分解体を持つ）。このとき、群 $Gは$ 対称群 $S$ $4$ の部分群となる。より正確には、次の式が成り立つ：^[4]

$m = 1$ （つまり、 $k$ の3次因数が線形因数に分解される場合）の場合、 $Gは$ ${e 、(12)(34)、(13)(24)、(14)(23)$ }群である。
$m = 2$ の場合（つまり、レゾルベント 3 次関数が $k$ に 1 つの根を持ち、重複度まで1 つの根だけを持つ場合）、 $G を$ 決定するために、レゾルベント 3 次関数の根を体 $k$ に付加した後でも $P$ $($ $x$ $)$ がまだ既約かどうかを決定できます。既約でない場合、 $Gは$ 位数4の巡回群です。より正確には、 G は $S$ $4$ $の 6 つの4$ 巡回のいずれかによって生成される 3 つの巡回部分群の 1 つです。まだ既約である場合、 $G$ は位数 $8の$ $S$ $4$ の 3 つの部分群の 1 つであり、各部分群は位数 $8$ の二面体群と同型です。
$m = 3$ の場合、 $Gは$ 交代群 $A 4$ です。
$m = 6$ の場合、 $G$ はグループ $S 4$ 全体です。

参照

レゾルベント（ガロア理論）

参考文献

^ ab Tignol, Jean-Pierre (2016)、「四次方程式」、ガロア代数方程式理論（第2版）、World Scientific、ISBN 978-981-4704-69-4、Zbl 1333.12001
^ ab Brookfield, G. (2007), 「Factoring quartic polynomials: A lost art」（PDF） , Mathematics Magazine , 80 (1): 67– 70, doi :10.1080/0025570X.2007.11953453, JSTOR 27642994, S2CID 53375377, Zbl 1227.97040, 2015年2月21日時点のオリジナル（PDF）よりアーカイブ
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^ ab Kaplansky, Irving (1972)、「Fields: Cubic and quartic equations」、Fields and Rings、Chicago Lectures in Mathematics (第2版)、シカゴ大学出版局、ISBN 0-226-42451-0、Zbl 1001.16500
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^ van der Waerden、Bartel Leendert (1991)、「ガロア理論: 2 次、3 次、および 4 次の方程式」、代数、vol. 1 (第 7 版)、シュプリンガー版、ISBN 0-387-97424-5、Zbl 0724.12001

[Tignol-1] Tignol, Jean-Pierre (2016)、「四次方程式」、ガロア代数方程式理論（第2版）、World Scientific、ISBN 978-981-4704-69-4、Zbl 1333.12001

[Brookfield-2] Brookfield, G. (2007), 「Factoring quartic polynomials: A lost art」（PDF） , Mathematics Magazine , 80 (1): 67– 70, doi :10.1080/0025570X.2007.11953453, JSTOR 27642994, S2CID 53375377, Zbl 1227.97040, 2015年2月21日時点のオリジナル（PDF）よりアーカイブ

[3] Hartshorne, Robin (1997)、「構成問題と体拡張：3次方程式と4次方程式」、Geometry: Euclid and Beyond、Springer-Verlag、ISBN 0-387-98650-2、Zbl 0954.51001

[Kaplanski-4] Kaplansky, Irving (1972)、「Fields: Cubic and quartic equations」、Fields and Rings、Chicago Lectures in Mathematics (第2版)、シカゴ大学出版局、ISBN 0-226-42451-0、Zbl 1001.16500

[5] Rotman、Joseph (1998)、「二次関数、三次関数、および四次関数のガロア群」、ガロア理論(第 2 版)、Springer-Verlag、ISBN 0-387-98541-7、Zbl 0924.12001

[6] van der Waerden、Bartel Leendert (1991)、「ガロア理論: 2 次、3 次、および 4 次の方程式」、代数、vol. 1 (第 7 版)、シュプリンガー版、ISBN 0-387-97424-5、Zbl 0724.12001