セント（音楽）

1 セントは、短縮されたモノコードの半音に相当します。

オクターブは、線形周波数スケール (Hz) で測定すると指数関数的に増加します。

オクターブは、対数スケール (セント) で測定すると等間隔になります。

セントは、音楽の音程を表す対数的な単位です。十二音平均律では、 1オクターブを100セントずつの12の半音に分割します。セントは通常、小さな音程を表したり、イントネーションを確認したり、異なる調律法における同等の音程の大きさを比較したりするために使用されます。人間にとって、1セントは連続する音符の間では認識できないほど小さいです。

アレクサンダー・ジョン・エリスが述べたセントは、17世紀にフアン・カラムエル・イ・ロブコヴィッツが始めた対数による音程測定の伝統に従っている。 ^{[ a ]}エリスはロバート・ホルフォード・マクドウェル・ボサンケットの提案で、半音の100分の1を基準に測定することにした。エリスは世界中の楽器を広範囲に測定し、使用された音階を報告・比較するためにセントを使用し、^{[ 1 ]}さらにヘルマン・フォン・ヘルムホルツの『音の感覚について』の1875年版でこのシステムを説明し、利用した。これは音楽の音高と音程を表わし比較するための標準的な方法となった。^{[ 2 ] [ 3 ]} ${\displaystyle {\sqrt[{1200}]{2}}}$

歴史

1885年に芸術協会誌に掲載されたアレクサンダー・ジョン・エリスの論文「諸国民の音階について」^{[ 1 ]}は、様々な国の音階を比較対照することで探求するためのセントシステムを正式に導入しました。セントシステムはすでにエリスの著書『音高の歴史』で定義されており、エリスは次のように述べています。

「もし、隣接する音符の各ペアが等しい半音を形成し、その間に99個の他の音が挿入され、互いに正確に等しい間隔を形成すると仮定すると、オクターブを等しい半音の1200の等しい百分の一、または簡単に言えばセントに分割することになります。」^{[ 4 ]}

エリスは1880年の著書『音楽の音高の歴史』^{[ 5 ]}の中で音高を次のように 定義した。

「音が聞こえる間に空気の粒子が毎秒行う、前後に往復する二重または完全な振動の数」^{[ 6 ]}

彼は後に音楽のピッチを「特定の調律システムにおける他のすべての音のピッチを決定する、任意の音符のピッチ、またはV（「二重振動」の略）」と定義しました。^{[ 7 ]}彼は、これらの音符が連続して鳴らされると楽器の音階を形成し、任意の2つの音符間の音程は「小さい方の音符と大きい方の音符の比率、または大きい方の音符を小さい方の音符で割った分数」によって測定されると指摘しています。^{[ 8 ]}絶対音感と相対音感もこれらの比率に基づいて定義されました。^{[ 8 ]}

エリスは次のように指摘した。

「調律師の目的は、楽器全体を通して、隣接する2つの指の鍵盤に対応する2つの音符の音程を正確に一致させることです。この結果は平均律または調律と呼ばれ、現在ヨーロッパ全土で使用されているシステムです。」^{[ 9 ]}

彼はさらに、セント単位での比率の概算値を示し、次のように付け加えている。

「一般的なルールとして、最も近い整数セントを超える必要はありません。」^{[ 10 ]}

エリスはこの論文で、セントシステムの様々な国の音階への応用を紹介している。これには、（I. 七音階）古代ギリシャと近代ヨーロッパ、^{[ 11 ]}ペルシャ、アラビア、シリア、スコットランド高地、^{[ 12 ]}インド、^{[ 13 ]}シンガポール、^{[ 14 ]}ビルマ^{[ 15 ]}およびシャム^{[ 16 ]} 、 （II. 五音階）南太平洋、^{[ 17 ]}西アフリカ、^{[ 18 ]}ジャワ、^{[ 19 ]}中国^{[ 20 ]および日本[ 21 ]}が含まれる。そして彼は次のような結論に達している 。

「音階は一つではなく、『自然』でもなく、ヘルムホルツによって見事に解明された音楽の音の構成法則に必ずしも基づいているわけでもなく、非常に多様で、非常に人工的で、非常に気まぐれなものである」^{[ 22 ]}

使用

平均律(黒) とピタゴラス音程 (緑)の比較。周波数比と音程の値 (セント単位) の関係を示しています。

セントは、2つの周波数の比を表す単位です。平均律の半音（ピアノの隣り合う2つの鍵盤の音程）は、定義上100セントです。1オクターブ（周波数比が2:1の2つの音符）は12半音、つまり1200セントです。1セント離れた周波数の比は、 2 ^{1 ⁄ 1200} = ¹²⁰⁰ √ 2 、つまり2の1200乗根に等しく、およそ1.000 577 7895。したがって、周波数を1セント上げることは、元の周波数にこの定数を掛けることに相当します。周波数を1200セント上げると、周波数は2倍になり、オクターブになります。

2 つの音の周波数と周波数がわかっている場合、 からまでの音程を測定するセントの数は次のようになります。 ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle f_{2}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle f_{2}}$

${\displaystyle c=1200\cdot \log _{2}\left({\frac {f_{2}}{f_{1}}}\right)}$

同様に、 からまでの区間のセント数がわかっている場合、 は次のようになります。 ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle f_{2}}$ ${\displaystyle f_{2}}$

${\displaystyle f_{2}=f_{1}\times 2^{\frac {c}{1200}}\,.}$

純正律と平均律における長三度の比較

純正律における長三度の周波数比は5:4、つまり約386セントですが、平均律では400セントになります。この14セントの差は半音の約7分の1であり、はっきりと聞き取れるほど大きく、メーントーン音階でピリオド・オーセンティックな演奏を訓練された音楽家にとっては、明らかに不協和音として聞こえます。

区分線形近似

xが0から1 ⁄ 12に増加すると、関数2 ^xはほぼ直線的に増加します。1.000 00から1.059 46となり、区分線形近似が可能である。したがって、セントは対数スケールを表すが、小さな間隔（100セント未満）は線形関係1 + 1で 大まかに近似できる。0.000 5946は真の指数関係 2  ^{c ⁄ 1200}の代わりに使用されます。丸め誤差は が 0 または 100 のときにゼロであり、 = 50 （正しい値は 2 ^{1 ⁄ 24}  ≅ ） のときに約 0.72 セント高くなります。 ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$1.029 30は1 + 0.000 5946  × 50 ≅ 1.02973）。この誤差は人間の耳に聞こえる範囲をはるかに下回っており、この区分線形近似はほとんどの実用目的に適しています。

人間の知覚

ユニゾン (青) とセント (赤) の波形は、実質的に区別がつきません。

人間が何セントまで知覚できるかを定めることは困難であり、その精度は人によって大きく異なります。ある著者は、人間は約5～6セントの音程差を識別できると述べています。^{[ 23 ]} 知覚可能な音程の閾値は、専門的にはJND（ Just Vitability Difference ）と呼ばれ、周波数、振幅、音色によっても変化します。ある研究では、音質の変化によって、学生音楽家が適切な音程から±12セントずれた音程を音程外れとして認識する能力が低下しました。^{[ 24 ]} また、音調の文脈が増えると、聞き手は音程をより正確に判断できるようになることも明らかになっています。^{[ 25 ]}「旋律的な文脈では、数セント未満の音程は人間の耳には知覚できませんが、和声では、ごくわずかな変化が拍や和音の粗さに大きな変化をもたらす可能性があります。」^{[ 26 ]}

ビブラートのかかった音程を聞くと、人間は平均周波数を音程の中心として知覚するという証拠がある。^{[ 27 ]}シューベルトのアヴェ・マリアの現代演奏に関するある研究では、ビブラートの幅は通常±34セントから±123セントの範囲で、平均は±71セントであり、ヴェルディのオペラ・アリアではより大きな変動が見られた。^{[ 28 ]}

正常な成人は、25セント程度の小さな音程差を非常に確実に認識することができます。しかし、失音楽症の成人は、100セント未満の音程差を認識するのが難しく、場合によっては100セント以上の音程差を認識するのに苦労することがあります。^{[ 29 ]}

対数による区間の他の表現

オクターブ

対数による音程の表現は、対数自体と同じくらい古い歴史を持っています。対数は1614年にネイピア卿によって発明されました。^{[ 30 ]} 1647年には早くも、フアン・カラムエル・イ・ロブコヴィッツ（1606-1682）がアタナシウス・キルヒャーへの手紙の中で、音楽における2を底とする対数の使用について述べています。^{[ 31 ]}この底では、オクターブは1、半音は1/12などで表されるのです。

ヘプタメリド

ジョゼフ・ソヴールは、1701年に著した『音響と音楽の原理』の中で、10を底とする対数の使用を提案した。これはおそらく表が利用可能だったためだろう。彼は小数点以下3桁で計算される対数を用いた。10を底とする2の対数はおよそ0.301に等しく、ソヴールはこれを1000倍して1オクターブの単位を301としている。より扱いやすい単位にするために、彼は7/301で1/43オクターブの単位を得ることを提案している。^{[ b ]}こうしてオクターブは43の部分に分割され、「メリド」と呼ばれる。メリドはさらに7つの部分に分割され、「ヘプタメリド」と呼ばれる。ソヴールはまた、各ヘプタメリドをさらに10に分割する可能性も構想したが、実際にはそのような微細な単位は用いていない。^{[ 32 ]}

プロニー

19世紀初頭、ガスパール・ド・プロニーは平均律における半音に相当する対数単位を基数として提案した。 ^{[ 33 ]}アレクサンダー・ジョン・エリスは1880年に、自身が記録あるいは計算した多数の音高標準について記述しており、プロニーでは小数点第2位、すなわち半音の1/100の精度で示しており、^{[ 34 ]}基準点として採用された理論上の音高370Hzとの間隔を示している。^{[ 35 ]} ${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2}}}$

センチトーン

センチトーン（またはイリング）は、音楽の音程（2 ^{1 ⁄ 600}）で、2セント（2 ^{2 ⁄ 1200}）に等しい^{[ 36 ] [ 37 ]}。（ ${\displaystyle {\sqrt[{600}]{2}}}$遊ぶ^ⓘ）は、Widogast Iring のDie reine Stimmung in der Musikオクターブあたり 600 段階とされ、後にJoseph YasserA Theory of Evolving Tonalityで100 段階として平均律の全音。

アイリングは、グラード/ヴェルクマイスター（1.96セント、ピタゴラスコンマあたり12 ）とシズマ（1.95セント）がほぼ同じ（1オクターブあたり約614ステップ）であり、どちらも1オクターブあたり600ステップ（2セント）で近似できることに注目しました。^{[ 38 ]}ヤセルはデシトーン、センチトーン、ミリトーン（全音あたり10、100、1000ステップ = 1オクターブあたり60、600、6000ステップ = 20、2、0.2セント）を推奨しました。^{[ 39 ] [ 40 ]}

例えば、平均律完全五度＝700セント＝175.6サバール＝583.3ミリオクターブ＝350センチトーン。^{[ 41 ]}

センチトーン	セント
1センチトーン	2セント
0.5センチトーン	1セント
2 1 ⁄ 600	2 1 ⁄ 1200
半音あたり50	半音あたり100
全音あたり100	全音あたり200

サバール

サバール^{[ 42 ]}は1902年にオーギュスト・ギユマンによって提唱され、^{[ 43 ]}はフェリックス・サバール（1791-1841）にちなんで名付けられたが 、サバールは対数による間隔測定の可能性については全く考えていなかった。サバール自身による提唱であることは、後にいくつかのアングロサクソン文献に現れた^{[ 44 ] [ 45 ] 。}

ギュイマンは最初にサバールを10進対数そのものとして定義し、1サバールは10の位の対数（10/1）であり、ミリサバールは10を底とする対数の1000倍であるとしました。これは後にサバールそのものとされました。^{[ 46 ]}

サバールは小数点以下の桁数を限定せずに記述されているため、その単位の値は資料によって異なる。小数点以下の桁数が5の場合、2の10を底とする対数は0.30103となり、1オクターブあたり301.03サバールとなる。^{[ 47 ]}この値は、1/301または1/300オクターブに丸められることが多い。^{[ 48 ] [ 49 ]}

サウンドファイル

以下のオーディオファイルは様々な音程を演奏します。いずれの場合も、最初に演奏される音は中央Cです。次の音はCより指定されたセント値だけ高い音です。最後に、2つの音は同時に演奏されます。

ピッチ差のJNDは5～6セントであることに注意してください。別々に演奏した場合、音の違いは聞き取れないかもしれませんが、一緒に演奏すると、うなり音が聞こえる場合があります（例えば、中央のCと10セント高い音を演奏した場合など）。特定の瞬間において、2つの波形は、その瞬間的な位相関係に応じて、強め合ったり弱めたりします。ピアノ調律師は、2本の弦を同時に鳴らした際のうなり音のタイミングを計測することで、調律の正確さを検証することがあります。

中央Cと1セント上を演奏する^ⓘ、ビート周波数 = 0.16Hz中央Cと10.06セント上を演奏する^ⓘ、ビート周波数 = 1.53 Hz 中央Cと25セント上を演奏する^ⓘ、ビート周波数 = 3.81 Hz

参照

• 程度
• グラディアン
• 微分音
• ラジアン

参考文献

脚注

1. カラムエルは1647年にアタナシウス・キルヒャーに宛てた手紙の中で、音楽における二進対数の利用可能性について言及している。この用法は1739年のレオンハルト・オイラーに帰せられることが多い（二進対数を参照）。アイザック・ニュートンは1665年に半音（ ^12√2 ）を底とする音楽の対数を記述し、ガスパール・ド・プロニーは1832年に同様のことをしている。ジョセフ・ソヴールは1701年に、フェリックス・サバールは19世紀前半に、オクターブを301または301.03の単位で分割した。Barbieri 1987、pp. 145–168およびスティグラーの人名法則を参照。
2. 301 は 7 または 43 でのみ割り切れます。

引用

1. エリス 1885、485-527ページ。
2. Benson 2007、p. 166：現代文学で最も頻繁に用いられるシステム。
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出典

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外部リンク

• セント換算：整数比からセントへの変換 2017年4月22日、 Wayback Machineにアーカイブ[整数に丸め]
• セント変換: さまざまな機能を備えたオンラインユーティリティ

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