合計

Addition of several numbers or other values

数学において、和とは、加数または被加数と呼ばれる数の列を加算することです。結果はそれらの和または合計です。数以外にも、関数、ベクトル、行列、多項式、そして一般に「+」で表される演算が定義されているあらゆる種類の数学的オブジェクトの要素など、他の種類の値も加算できます。

無限列の和は級数と呼ばれます。これには極限の概念が含まれており、この記事では扱いません

明示的な数列の和は、加算の連続として表されます。例えば、[1, 2, 4, 2]の和は1 + 2 + 4 + 2と表され、結果は9、つまり1 + 2 + 4 + 2 = 9になります。加算は結合法則と可換法則に従うため、括弧は必要なく、加数の順序に関係なく結果は同じです。加数が1つの数列の和は、加数そのものになります。空数列（要素のない数列）の和は、慣例により0になります

多くの場合、数列の要素は、規則的なパターンを通して、数列内の位置の関数として定義されます。単純なパターンの場合、長い数列の和は、ほとんどの被加数を省略記号に置き換えて表すことができます。たとえば、最初の100個の自然数の和は、1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 99 + 100と書くことができます。それ以外の場合、和はΣ表記法を使用して表されます。ここで、は拡大された大文字のギリシャ文字シグマです。たとえば、最初のn個の自然数の和は次のように表すことができます。 ${\textstyle \sum }$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i.}$

長い和、および可変長の和（省略記号またはΣ表記法で定義）の場合、結果の閉じた形式を見つけることは一般的な問題です。たとえば、^[a]

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}.}$

このような式が常に存在するわけではありませんが、多くの和の式が発見されており、最も一般的で基本的な式のいくつかをこの記事の残りの部分にリストします。

表記法

大文字シグマ表記法

シグマ（Σ）和記法の説明

数学表記では、多くの類似項の和を簡潔に表す記号、すなわちギリシャ文字シグマ を拡大した和記号 が用いられる。 [ 1 ]これ^はと定義される。ここでiは「和のインデックス」または「ダミー変数」であり、^[2] a _iは和の各項を表すインデックス付き変数である。mは「和の下限値」であり、nは「和の上限値」である。和記号の下の「 i = m 」は、インデックスiが最初はmに等しいことを意味する。インデックスiは、各項が進むごとに 1 ずつ増加し、i = nで停止する。^{[b]これは「} i = mからnまでのa _iの和」と読みます。ただし、表記法によっては、和の上限値にインデックスを含めたり、 または のように下限値のインデックスを省略したりする場合があります。^[3]シグマ表記の変形では、境界値の範囲を省略し、ダミー変数のみを表すもの（ ）があります。^[4]以下は平方和を表す例です。一般に、あいまいさが生じない限り任意の変数を和のインデックスとして使用できますが、最も一般的なものには、、^[c]、、などの文字が含まれます。 は、和の上限を表す場合にも使用されます。^[5]あるいは、文脈が十分に明らかな場合は、和の定義から和のインデックスと境界値が省略されることがあります。 これは特に、インデックスが 1 からnまでの場合に当てはまります。 たとえば、 と書くことができます。^[6] ${\textstyle \sum }$ $${\displaystyle \sum _{i\mathop {=} m}^{n}a_{i}=a_{m}+a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots +a_{n-1}+a_{n}}$$ ${\textstyle \sum _{i=m}^{i=n}a_{i}}$ ${\textstyle \sum _{m}^{n}a_{i}}$ ${\textstyle \sum _{i}a_{i}}$ $${\displaystyle \sum _{i=3}^{6}i^{2}=3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}=86.}$$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle \sum a_{i}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}}$

この表記法の一般化はよく使用され、任意の論理条件が与えられ、その条件を満たすすべての値について和が取られます。例えば、は指定された範囲内のすべての（整数）について和を表す別の表記法です 。 ^[5]同様に、は集合内のすべての要素について和であり、^{[7] [8]}はを割り切るすべての正の整数について和です。^[d] ${\textstyle \sum _{0\leq k<100}f(k)}$ ${\textstyle \sum _{k=0}^{99}f(k),}$ ${\displaystyle f(k)}$ ${\displaystyle k}$ ${\textstyle \sum _{x\mathop {\in } S}f(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\textstyle \sum _{d\,|\,n}\;\mu (d)}$ ${\displaystyle \mu (d)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle n}$

多くのシグマ表記法の使用を一般化する方法もあります。例えば、二重の和を、異なるダミー変数を持つ2つのシグマ表記法として書きます。両方のシグマ表記法の値域が同じであることを考慮すると、二重のシグマ表記法を1つの表記法にまとめることができるため、二重の和は と書き直されます。^[9] ${\textstyle \sum _{i=\ell }^{n}\sum _{j=m}^{k}a_{i,j}}$ ${\textstyle \sum _{i=m}^{n}\sum _{j=m}^{n}a_{i,j}=\sum _{i,j=m}^{n}a_{i,j}}$

用語有限級数は、上記の和について議論する際に使用されることがあります。無限級数、上限は無限大 ため、和の結果がある場合は収束し、そうでない場合は発散します。無限級数のシグマ表記法における上限は、 と表記することもできます。^[9] ${\textstyle \sum _{i=m}^{\infty }a_{i}}$ ${\textstyle \sum _{i\geq 0}a_{i}}$

関連して、同様の表記法が数列 の積にも使用され、の代わりにギリシャ文字の大文字πの拡大形である が使用されます。^[10] ${\textstyle \prod }$ ${\textstyle \sum }$

特殊なケース

2つ未満の数を合計することも可能です。

• 和に被加数が1つある場合、評価された和は です。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$
• 和に被加数がない場合は、評価された和は0です。これは、0が加算の恒等式であるためです。これは空和として知られています

これらの退化したケースは通常、和の表記法が特殊なケースで退化した結果を与える場合にのみ使用されます。例えば、上記の定義で の場合、和には1つの項しかありません。 の場合、項はありません。 ${\displaystyle n=m}$ ${\displaystyle n=m-1}$

代数的和

「代数的和」という語句は、正または負の符号を持つ項の和を指します。正の符号を持つ項は加算され、負の符号を持つ項は減算されます。例：+1 −1

歴史

和の表記法の起源は1675年に遡り、ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツがヘンリー・オルデンブルクへの手紙の中で、微分和を表す記号（ラテン語：calculus summatorius）を提案し、それがS字型になった。^{[11] [12] [13]}この記号が積分に改名されたのは、後にヨハン・ベルヌーイとのやり取りの中で起こった。^[13] 1755年、和の記号Σはレオンハルト・オイラーの微分積分学説の中で証明されている。^{[14] [15]}オイラーは のような式でこの記号を使用している。シグマ記法の使用は、後にラグランジュなどの数学者によって証明され、ラグランジュは1772年にと と表記しました。 ^{[14] [16]}フーリエとCGJヤコビも1829年にシグマ記法を表記しましたが、^[14]フーリエは のように下限と上限を含めました。^{[17] [18]}シグマ記法以外に、大文字のSは1823年に級数の和の記号として証明されており、これは明らかに広く普及していました。^[14] ${\textstyle \int }$ ${\textstyle \sum (2wx+w^{2})=x^{2}}$ ${\textstyle \sum }$ ${\textstyle \sum ^{n}}$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }e^{-i^{2}t}\ldots }$

正式な定義

和は、関数と2つの自然数を取り、次のように演算子として再帰的に定義できます。

${\displaystyle \sum :(\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }\times \mathbb {N} \times \mathbb {N} )\mapsto \mathbb {R} }$、つまり

${\displaystyle \sum _{i=a}^{b}g(i)=0}$、に対して ${\displaystyle b<a}$

${\displaystyle \sum _{i=a}^{b}g(i)=g(b)+\sum _{i=a}^{b-1}g(i)}$、に対して ${\displaystyle b\geqslant a}$

測度論記法

測度論と積分論の記法では、 和は定積分として表すことができます

${\displaystyle \sum _{k\mathop {=} a}^{b}f(k)=\int _{[a,b]}f\,d\mu }$

ここではからまでの整数の部分集合であり、 は整数上の計数測度です。 ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \mu }$

差分積分

区間[ m , n ]内の整数上で定義された関数fが与えられると、次の式が成り立ちます

${\displaystyle f(n)-f(m)=\sum _{i=m}^{n-1}(f(i+1)-f(i)).}$

これはテレスコープ級数として知られており、差分積分学における微積分学の基本定理の類似物です。これは次のように述べています。

${\displaystyle f(n)-f(m)=\int _{m}^{n}f'(x)\,dx,}$

ここで

${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$

はfの導関数です

上記の式の適用例は次のとおりです。

${\displaystyle n^{k}=\sum _{i=0}^{n-1}\left((i+1)^{k}-i^{k}\right).}$

二項定理を用いると、これは次のように書き直すことができます。

${\displaystyle n^{k}=\sum _{i=0}^{n-1}{\biggl (}\sum _{j=0}^{k-1}{\binom {k}{j}}i^{j}{\biggr )}.}$

上記の式は、次のように定義される差分演算子の反転によく使用されます。 ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle \Delta (f)(n)=f(n+1)-f(n),}$

ここで、 fは非負整数上で定義された関数である。したがって、そのような関数fが与えられた場合、問題はfの逆差分を計算することである。f は、 となる関数である。つまり、この関数は定数の加算を除いて定義され、^{[19]として選択することができる。} ${\displaystyle F=\Delta ^{-1}f}$ ${\displaystyle \Delta F=f}$ ${\displaystyle F(n+1)-F(n)=f(n).}$

${\displaystyle F(n)=\sum _{i=0}^{n-1}f(i).}$

このような和には常に閉じた形式の表現があるわけではありませんが、ファウルハーバーの公式は、の場合に閉じた形式を提供し、線形性により、 nのすべての多項式関数に対して適用されます。 ${\displaystyle f(n)=n^{k}}$

定積分による近似

このような近似の多くは、和と積分の間の次の関係によって得ることができ、これは任意の増加関数fに対して成り立ちます。

${\displaystyle \int _{s=a-1}^{b}f(s)\ ds\leq \sum _{i=a}^{b}f(i)\leq \int _{s=a}^{b+1}f(s)\ ds.}$

および任意の減少関数fに対して：

${\displaystyle \int _{s=a}^{b+1}f(s)\ ds\leq \sum _{i=a}^{b}f(i)\leq \int _{s=a-1}^{b}f(s)\ ds.}$

より一般的な近似については、オイラー・マクローリンの公式を参照してください。

加数が指数の積分可能な関数によって与えられる（または補間できる）加法の場合、その加法は対応する定積分の定義で生じるリーマン和として解釈できます。したがって、例えば

${\displaystyle {\frac {b-a}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}f\left(a+i{\frac {b-a}{n}}\right)\approx \int _{a}^{b}f(x)\ dx,}$

右辺は定義により左辺の極限であるため、次の式が成り立つと予想できます。ただし、与えられた加法に対してnは固定されており、 fに関する追加の仮定なしに上記の近似の誤差についてはほとんど何も言えません。大きく振動する関数の場合、リーマン和はリーマン積分から任意に離れる可能性があることは明らかです。 ${\displaystyle n\to \infty }$

恒等式

以下の公式は有限和を含みます。無限和、または三角関数やその他の超越関数を含む式の有限和については、数学級数の一覧を参照してください。

一般的な恒等式

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}C\cdot f(n)=C\cdot \sum _{n=s}^{t}f(n)\quad }$（分配法則）^[20]

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)\pm \sum _{n=s}^{t}g(n)=\sum _{n=s}^{t}\left(f(n)\pm g(n)\right)\quad }$（交換法則と結合法則）^[20]

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=s+p}^{t+p}f(n-p)\quad }$（インデックスシフト）

${\displaystyle \sum _{n\in B}f(n)=\sum _{m\in A}f(\sigma (m)),\quad }$有限集合Aから集合Bへの一対一射 σについて（インデックス変更）。これは前述の式を一般化したものである

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=s}^{j}f(n)+\sum _{n=j+1}^{t}f(n)\quad }$（結合法則を用いた和の分割）

${\displaystyle \sum _{n=a}^{b}f(n)=\sum _{n=0}^{b}f(n)-\sum _{n=0}^{a-1}f(n)\quad }$（前の式の変形）

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=0}^{t-s}f(t-n)\quad }$（最初の項から最後の項までの和は、最後の項から最初の項までの和に等しい）

${\displaystyle \sum _{n=0}^{t}f(n)=\sum _{n=0}^{t}f(t-n)\quad }$（上記の式の特殊なケース）

${\displaystyle \sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}\sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}a_{i,j}=\sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}\sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}a_{i,j}\quad }$（再び、交換法則と結合法則）

${\displaystyle \sum _{k\leq j\leq i\leq n}a_{i,j}=\sum _{i=k}^{n}\sum _{j=k}^{i}a_{i,j}=\sum _{j=k}^{n}\sum _{i=j}^{n}a_{i,j}=\sum _{j=0}^{n-k}\sum _{i=k}^{n-j}a_{i+j,i}\quad }$（交換法則と結合法則の別の応用）

${\displaystyle \sum _{n=2s}^{2t+1}f(n)=\sum _{n=s}^{t}f(2n)+\sum _{n=s}^{t}f(2n+1)\quad }$（偶数添字の場合、和を奇数部と偶数部に分割）

${\displaystyle \sum _{n=2s+1}^{2t}f(n)=\sum _{n=s+1}^{t}f(2n)+\sum _{n=s+1}^{t}f(2n-1)\quad }$（奇数添字の場合、和を奇数部と偶数部に分割）

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}\log _{b}f(n)=\log _{b}\prod _{n=s}^{t}f(n)\quad }$（積の対数は、因数の対数の和である）

${\displaystyle C^{\sum \limits _{n=s}^{t}f(n)}=\prod _{n=s}^{t}C^{f(n)}\quad }$（和の指数は、加数の指数の積である）

${\displaystyle \sum _{m=0}^{k}\sum _{n=0}^{m}f(m,n)=\sum _{m=0}^{k}\sum _{n=m}^{k}f(n,m),\quad }$からの任意の関数について。 ${\textstyle f}$ ${\textstyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$

等差数列のべき乗と対数

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c=nc\quad }$iに依存しないすべてのcについて

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i=\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}\qquad }$（最初のn個の自然数からなる最も単純な等差数列の和。）^{[19] ：52}

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(2i-1)=n^{2}\qquad }$（最初の奇数の自然数の和）

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}2i=n(n+1)\qquad }$（最初の偶数の自然数の和）

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log i=\log(n!)\qquad }$（対数の和は積の対数です）

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{2}=\sum _{i=1}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {n^{3}}{3}}+{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{6}}\qquad }$（最初の平方の和。正方錐数を参照。）^{[19] ：52}

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{3}={\biggl (}\sum _{i=0}^{n}i{\biggr )}^{2}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}={\frac {n^{4}}{4}}+{\frac {n^{3}}{2}}+{\frac {n^{2}}{4}}\qquad }$（ニコマコスの定理）^{[19] ：52}

より一般的には、ファウルハーバーの公式は ${\displaystyle p>1}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}={\frac {n^{p+1}}{p+1}}+{\frac {1}{2}}n^{p}+\sum _{k=2}^{p}{\binom {p}{k}}{\frac {B_{k}}{p-k+1}}\,n^{p-k+1},}$

ここで、はベルヌーイ数、は二項係数です。 ${\displaystyle B_{k}}$ ${\displaystyle {\binom {p}{k}}}$

指数における和の指数

以下の和において、aは1とは異なると仮定します。

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}a^{i}={\frac {1-a^{n}}{1-a}}}$（等差数列の和）

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}{\frac {1}{2^{i}}}=2-{\frac {1}{2^{n-1}}}}$（ a = 1/2の特別な場合）

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}ia^{i}={\frac {a-na^{n}+(n-1)a^{n+1}}{(1-a)^{2}}}}$（aに等差数列のaに関する微分を掛けたもの）

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=0}^{n-1}\left(b+id\right)a^{i}&=b\sum _{i=0}^{n-1}a^{i}+d\sum _{i=0}^{n-1}ia^{i}\\&=b\left({\frac {1-a^{n}}{1-a}}\right)+d\left({\frac {a-na^{n}+(n-1)a^{n+1}}{(1-a)^{2}}}\right)\\&={\frac {b(1-a^{n})-(n-1)da^{n}}{1-a}}+{\frac {da(1-a^{n-1})}{(1-a)^{2}}}\end{aligned}}}$

（等比等比数列の和）

二項係数と階乗

二項係数を含む和の恒等式は非常に多く存在します（『具体数学』では、基本的な手法だけを扱った章が1つあります）。最も基本的なもののいくつかを以下に示します。

二項定理を含む

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}a^{n-i}b^{i}=(a+b)^{n},}$二項定理

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}=2^{n},}$a = b = 1の特別な場合

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i}=1}$p = a = 1 − bの特別な場合で、これは二項分布の和を表します。 ${\displaystyle 0\leq p\leq 1,}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i{n \choose i}=n(2^{n-1}),}$二項定理のaに関する微分のa = b = 1における値

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\frac {n \choose i}{i+1}}={\frac {2^{n+1}-1}{n+1}},}$二項定理のaに関する不定積分のa = b = 1における値

順列数を含む

以下の和において、はnのk順列の数です。 ${\displaystyle {}_{n}P_{k}}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{}_{i}P_{k}{n \choose i}={}_{n}P_{k}(2^{n-k})}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{}_{i+k}P_{k+1}=\sum _{i=1}^{n}\prod _{j=0}^{k}(i+j)={\frac {(n+k+1)!}{(n-1)!(k+2)}}}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i!\cdot {n \choose i}=\sum _{i=0}^{n}{}_{n}P_{i}=\lfloor n!\cdot e\rfloor ,\quad n\in \mathbb {Z} ^{+}}$ここで、およびは床関数を表します。 ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$

その他

${\displaystyle \sum _{k=0}^{m}{\binom {n+k}{n}}={\binom {n+m+1}{n+1}}}$

${\displaystyle \sum _{i=k}^{n}{i \choose k}={n+1 \choose k+1}}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i\cdot i!=(n+1)!-1}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{m+i-1 \choose i}={m+n \choose n}}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}^{2}={2n \choose n}}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\frac {1}{i!}}={\frac {\lfloor n!\;e\rfloor }{n!}}}$

調和数

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}=H_{n}\quad }$（n番目の調和数）

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i^{k}}}=H_{n}^{(k)}\quad }$（一般化された調和数）

成長率

以下は便利な近似値です（シータ表記を使用）。

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{c}\in \Theta (n^{c+1})}$実数cが-1より大きい場合

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}\in \Theta (\log _{e}n)}$（調和数を参照）

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c^{i}\in \Theta (c^{n})}$実数cが1より大きい場合

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\in \Theta (n\cdot \log(n)^{c})}$非負の実数cの場合

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}\in \Theta (n^{d+1}\cdot \log(n)^{c})}$非負の実数c、d の場合

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}\cdot b^{i}\in \Theta (n^{d}\cdot \log(n)^{c}\cdot b^{n})}$非負の実数b > 1、c、dの場合

参照

• 大文字π記法
• アインシュタイン記法
• アイバーソン括弧
• 反復二項演算
• カハンの和算アルゴリズム
• 積（数学）
• 部分和
• シグマ § Unicode

注記

1. 詳細は三角数を参照してください。
2. 和算法と和を含む算術演算の詳細な解説については、 Graham, Ronald L.、Knuth, Donald E.、Patashnik, Oren (1994). "Chapter 2: Sums". Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science (2nd ed.). Addison-Wesley Professional. ISBN を参照してください。 978-0201558029。
3. 虚数単位と混同する可能性がない文脈において ${\displaystyle i}$
4. ダミー変数の名前は（定義上）重要ではありませんが、混乱のリスクがある場合は、通常、整数を表すためにアルファベットの真ん中の文字（から）を使用します。例えば、解釈に疑いの余地がない場合でも、を含む上記の式で ではなくを見ると、多くの数学者にとって少し混乱を招く可能性があります。 ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

参考文献

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参考文献

• Cajori, Florian (1929). A History Of Mathematical Notations Volume II. Open Court Publishing. ISBN 978-0-486-67766-8。 {{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)

外部リンク

• ウィキメディア・コモンズにおける総和に関連するメディア

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