直角三角形

Triangle containing a 90-degree angle

直角がC、斜辺がc、辺がaとbである直角三角形△ ABC は、

直角三角形または直角三角形は、直交三角形または長方形三角形と呼ばれることもあり、 2辺が垂直で直角( 1 ⁄ 4回転または90度)を形成する三角形です。

直角の反対側の辺は斜辺（図の辺）と呼ばれます。直角に隣接する辺は脚（またはカテティ、単数形はカテトゥス）と呼ばれます。辺は直角に隣接する辺であり、直角と反対の（または反対側の）辺であると見なされる場合があり、辺は直角に隣接する辺であり、直角と反対の辺であると見なされます。 ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B.}$

すべての直角三角形は、長方形を対角線に沿って半分に分割したものです。長方形が正方形の場合、その直角三角形の半分は二等辺三角形で、2つの辺と2つの角は互いに合同です。長方形が正方形でない場合、その直角三角形の半分は不等辺三角形です。

底辺が円の直径であり、頂点が円上にある三角形はすべて直角三角形であり、頂点が直角で、底辺が斜辺である。逆に、任意の直角三角形の外接円は、斜辺が直径である。これがタレスの定理である。

直角三角形の 3 辺と斜辺は、ピタゴラスの定理を満たします。つまり、2 辺上の正方形の面積の合計は、斜辺上の正方形の面積です。直角三角形の 3 辺の長さがすべて整数である場合、その三角形はピタゴラス三角形と呼ばれ、その辺の長さはまとめてピタゴラスの三つ組と呼ばれます。 ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}.}$

直角三角形の辺と角度の関係は、長さと角度の計量関係を研究する三角法を定義し理解する 1 つの方法を提供します。

主な特性

サイド

ユークリッドのピタゴラスの定理の証明の図: それぞれの小さな正方形の面積は、対応する色の長方形の面積に等しい。

直角三角形の3辺はピタゴラスの定理によって関係付けられており、現代の代数記法では次のように表すことができます。

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2},}$

ここで、 は斜辺（直角の反対側の辺）の長さ、と は脚（残りの2辺）の長さです。ピタゴラスの三つ組は、この式を満たす整数値です。この定理は古代に証明され、ユークリッドの『原論』の命題I.47に挙げられています。「直角三角形において、直角を挟む辺の正方形は、直角を含む辺の正方形に等しい。」 ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a,b,c}$

エリア

他の三角形と同様に、面積は底辺の半分と高さの積に等しくなります。直角三角形では、一方の辺を底辺とすると、もう一方の辺は高さとなるため、直角三角形の面積は2辺の積の半分となります。公式として、面積は次のようになります 。 ${\displaystyle T}$

${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}ab}$

ここで、 とは三角形の辺です。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

内接円が斜辺に接する点を点とすると、半周長は次 式で与えられ、面積は次式で与えられる。 ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c),}$ ${\displaystyle |PA|=s-a}$ ${\displaystyle |PB|=s-b,}$

${\displaystyle T=|PA|\cdot |PB|=(s-a)(s-b).}$

この式は直角三角形にのみ適用されます。^[1]

高度

直角三角形の高度f

頂点から斜辺に直角となる高さを描くと、三角形は2つの小さな三角形に分割されます。これらはどちらも元の三角形に相似であり、したがって互いに相似です。このことから、

• 斜辺の高さは、斜辺の2つの線分の幾何平均（平均比例）です。 ^{[2] : 243}
• 三角形の各辺は、斜辺とその辺に隣接する斜辺の部分の平均比例関係にあります。

方程式では、

${\displaystyle f^{2}=de,}$（これは直角三角形の高度定理と呼ばれることもあります）

${\displaystyle b^{2}=ce,}$

${\displaystyle a^{2}=cd}$

ここで、図に示されている通りである。^[3]したがって ${\displaystyle a,b,c,d,e,f}$

${\displaystyle f={\frac {ab}{c}}.}$

さらに、斜辺の高さは直角三角形の脚と次の関係がある^{[4] [5]}

${\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {1}{f^{2}}}.}$

この方程式の整数値における解については、ここを参照してください。 ${\displaystyle a,b,c,f,}$

一方の辺からの高度は、もう一方の辺と一致します。これらは直角の頂点で交差するため、直角三角形の垂心（3つの高度の交点）は直角の頂点と一致します。

内接半径と外接半径

直角三角形の辺と斜辺の内接円の半径は ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle r={\frac {a+b-c}{2}}={\frac {ab}{a+b+c}}.}$

タレスの定理によれば、斜辺は外接円の直径なので、外接円の半径は斜辺の長さの半分になります。

${\displaystyle R={\frac {c}{2}}.}$

したがって、円周半径と内接半径の合計は、脚の合計の半分になります。^[6]

${\displaystyle R+r={\frac {a+b}{2}}.}$

片方の脚は内接円で表され、もう片方の脚は

${\displaystyle a={\frac {2r(b-r)}{b-2r}}.}$

特徴づけ

辺、半周、面積、最長辺の反対側の高度、外接半径 、内接半径、外接半径、中線を持つ三角形が直角三角形となるのは、以下の6つのカテゴリのいずれか1つが真である場合に限ります。したがって、これらの各カテゴリは、任意の直角三角形が持つ性質でもあります。 ${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle a\leq b<c}$ ${\textstyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle h_{c}}$ ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle r,}$ ${\displaystyle r_{a},r_{b},r_{c}}$ ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle m_{a},m_{b},m_{c}}$

辺と半周

• ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}\quad ({\text{Pythagorean theorem}})}$
• ${\displaystyle (s-a)(s-b)=s(s-c)}$
• ${\displaystyle s=2R+r.}$^[7]
• ${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=8R^{2}.}$^[8]

角度

• ${\displaystyle A}$それらは相補的である。^[9] ${\displaystyle B}$
• ${\displaystyle \cos {A}\cos {B}\cos {C}=0.}$^{[8] [10]}
• ${\displaystyle \sin ^{2}{A}+\sin ^{2}{B}+\sin ^{2}{C}=2.}$^{[8] [10]}
• ${\displaystyle \cos ^{2}{A}+\cos ^{2}{B}+\cos ^{2}{C}=1.}$^[10]
• ${\displaystyle \sin {2A}=\sin {2B}=2\sin {A}\sin {B}.}$

エリア

• ${\displaystyle T={\frac {ab}{2}}}$
• ${\displaystyle T=r_{a}r_{b}=rr_{c}}$
• ${\displaystyle T=r(2R+r)}$
• ${\displaystyle T={\frac {(2s-c)^{2}-c^{2}}{4}}=s(s-c)}$
• ${\displaystyle T=|PA|\cdot |PB|,}$内接円の最長辺における接点はどこにあるか^[11] ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle AB.}$

内径と外径

• ${\displaystyle r=s-c=(a+b-c)/2}$
• ${\displaystyle r_{a}=s-b=(a-b+c)/2}$
• ${\displaystyle r_{b}=s-a=(-a+b+c)/2}$
• ${\displaystyle r_{c}=s=(a+b+c)/2}$
• ${\displaystyle r_{a}+r_{b}+r_{c}+r=a+b+c}$
• ${\displaystyle r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}}$
• ${\displaystyle r={\frac {r_{a}r_{b}}{r_{c}}}.}$^[12]

高度と中央値

直角三角形の直角から斜辺までの高さは、斜辺を分割した線分の長さの幾何平均です。ピタゴラスの定理を、辺が( p  +  q , r , s  )、( r , p , h  )、( s , h , q  )の3つの三角形に適用すると、
${\displaystyle {\begin{aligned}(p+q)^{2}\;\;&=\quad r^{2}\;\;\,+\quad s^{2}\\p^{2}\!\!+\!2pq\!+\!q^{2}&=\overbrace {p^{2}\!\!+\!h^{2}} +\overbrace {h^{2}\!\!+\!q^{2}} \\2pq\quad \;\;\;&=2h^{2}\;\therefore h\!=\!{\sqrt {pq}}\\\end{aligned}}}$

• ${\displaystyle h_{c}={\frac {ab}{c}}}$
• ${\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}=6R^{2}.}$^{[6] : Prob. 954、p. 26}
• 1 つの中線の長さは、外接半径に等しくなります。
• 最も短い高さ（最も角度が大きい頂点からの高さ）は、その高さが対辺（最も長い辺）を分割する線分の幾何平均です。これが直角三角形の高さ定理です。

外接円と内接円

• 三角形は半円に内接することができ、その一辺は直径全体と一致する（タレスの定理）。
• 外心は最も長い辺の中点です。
• 最も長い辺は外接円の直径である ${\displaystyle (c=2R).}$
• 外接円は9点円に接する。^[8]
• 垂心は外接円上に位置する。^[6]
• 内心と垂心の間の距離は等しい。^[6] ${\displaystyle {\sqrt {2}}r}$

三角比

鋭角に対する三角関数は、直角三角形の辺の比として定義できます。与えられた角度に対して、その角度と、その角度を基準として上記の定義に従って対辺、隣接辺、斜辺とラベル付けされた辺を持つ直角三角形を作成できます。これらの辺の比は、選択された特定の直角三角形には依存せず、与えられた角度のみに依存します。なぜなら、このようにして作成されたすべての三角形は相似だからです。与えられた角度αに対して、対辺、隣接辺、斜辺をそれぞれ とと とラベル付けすると、三角関数は次のようになります。 ${\displaystyle O,}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle H,}$

${\displaystyle \sin \alpha ={\frac {O}{H}},\,\cos \alpha ={\frac {A}{H}},\,\tan \alpha ={\frac {O}{A}},\,\sec \alpha ={\frac {H}{A}},\,\cot \alpha ={\frac {A}{O}},\,\csc \alpha ={\frac {H}{O}}.}$

直角三角形の辺の比としての双曲関数の表現については、双曲扇形の双曲三角形を参照してください。

特殊な直角三角形

三角関数の値は、特定の角度を持つ直角三角形を用いることで、特定の角度に対して正確に評価することができます。例えば、30-60-90の三角形は、任意の角度の倍数に対して三角関数を評価するために使用できます。また、二等辺三角形（45-45-90）は、任意の角度の倍数に対して三角関数を評価するために使用できます。 ${\displaystyle {\tfrac {1}{6}}\pi ,}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\pi .}$

ケプラーの三角形

と を2つの正の数の調和平均、幾何平均、算術平均とし、直角三角形の辺がとで斜辺がそれぞれあるとすると^[13] ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a>b.}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A,}$

${\displaystyle {\frac {A}{H}}={\frac {A^{2}}{G^{2}}}={\frac {G^{2}}{H^{2}}}=\phi ,\qquad {\frac {a}{b}}=\phi ^{3},}$

黄金比はです。この直角三角形の辺は等比数列になっているため、これはケプラーの三角形です。 ${\displaystyle \phi ={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {5}}{\bigr )}}$

タレスの定理

三角形の直角の中線

タレスの定理によれば、円の直径を 、円上の任意の点を とすると、 は で直角を持つ直角三角形となります。逆の定理は、直角三角形の斜辺はその外接円の直径と等しいことを述べています。したがって、外接円の中心は直径の中点にあるため、直角の頂点を通る中線は半径となり、外接半径は斜辺の長さの半分になります。 ${\displaystyle BC}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle A.}$

中央値

直角三角形の中線については次の公式が成り立ちます。

${\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}=5m_{c}^{2}={\frac {5}{4}}c^{2}.}$

直角三角形の斜辺上の中線は斜辺の半分に等しいため、三角形を 2 つの二等辺三角形に分割します。

中央線と脚は^{[6]を満たす：p.136、#3110} ${\displaystyle m_{a}}$ ${\displaystyle m_{b}}$

${\displaystyle 4c^{4}+9a^{2}b^{2}=16m_{a}^{2}m_{b}^{2}.}$

オイラー線

直角三角形では、オイラー直線は斜辺に中線を含みます。つまり、オイラー直線は直角頂点とその反対側の辺の中点の両方を通ります。これは、直角三角形の垂心（高さの交点）が直角頂点にあたり、外心（辺の垂直二等分線の交点）が斜辺の中点にあたるためです。

不平等

直角三角形では、内接円の直径は斜辺の半分より小さく、より強い意味では斜辺の倍以下である^{[14] ：p.281} ${\displaystyle ({\sqrt {2}}-1).}$

直角三角形の脚と斜辺 ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle c,}$

${\displaystyle c\geq {\frac {\sqrt {2}}{2}}(a+b)}$

等号の場合のみ等しくなる。^{[14] : p.282, p.358}

斜辺からの高さを次のように 表すとすると ${\displaystyle h_{c},}$

${\displaystyle h_{c}\leq {\frac {\sqrt {2}}{4}}(a+b)}$

二等辺三角形の場合のみ等しくなる。^{[14] : p.282}

その他の特性

頂点から発する長さの線分が斜辺を長さの線分に三等分する場合、^{[2] ：pp. 216–217} ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}c,}$

${\displaystyle p^{2}+q^{2}=5\left({\frac {c}{3}}\right)^{2}.}$

直角三角形は、1つや3つではなく、2つの明確に区別される内接正方形を持つ唯一の三角形です。^[15]

任意の2つの正の数とが与えられ、と を斜辺を 持つ直角三角形の2つの内接正方形の辺とすると、 ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle h>k.}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle c.}$

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}+{\frac {1}{h^{2}}}={\frac {1}{k^{2}}}.}$

これらの辺と内接円の半径は同様の式で関係付けられます。 ${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\frac {1}{r}}=-{\frac {1}{c}}+{\frac {1}{h}}+{\frac {1}{k}}.}$

直角三角形の周囲の長さは、内接円と3つの外接円の半径の合計に等しくなります。

${\displaystyle a+b+c=r+r_{a}+r_{b}+r_{c}.}$

参照

• 鋭角三角形と鈍角三角形（斜三角形）
• テオドロスの螺旋
• 三角長方形球面三角形

参考文献

1. Di Domenico, Angelo S.、「面積を含む三角形の性質」、Mathematical Gazette 87、2003年7月、323-324頁。
2. Posamentier, Alfred S.、およびSalkind, Charles T. Challenging Problems in Geometry、ドーバー、1996年。
3. ウェントワース p. 156
4. Voles, Roger、「 の整数解」、Mathematical Gazette 83、1999年7月、269–271。 ${\displaystyle a^{-2}+b^{-2}=d^{-2}}$
5. リチニック、ジェニファー、「逆ピタゴラスの定理」、数学ガゼット92、2008年7月、313-317。
6. Crux Mathematicorum」で提案された不等式、[1]。
7. “Triangle right iff s = 2R + r, Art of problem solving, 2011”. 2014年4月28日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2012年1月2日閲覧。
8. Andreescu, Titu および Andrica, Dorian、「Complex Numbers from A to...Z」、Birkhäuser、2006 年、109 ～ 110 ページ。
9. 「直角三角形の性質」。2011年12月31日時点のオリジナルよりアーカイブ。2012年2月15日閲覧。
10. CTK Wiki Math,ピタゴラスの定理の変形、2011、[2] 2013年8月5日にWayback Machineにアーカイブ。
11. Darvasi, Gyula (2005年3月)、「直角三角形の性質の逆」、The Mathematical Gazette、89 (514): 72– 76、doi : 10.1017/S0025557200176806、S2CID  125992270。
12. Bell, Amy (2006)、「Hansenの直角三角形定理、その逆定理と一般化」（PDF）、Forum Geometricorum、6：335–342、2008年7月25日時点のオリジナルよりアーカイブ（PDF）
13. Di Domenico, A.、「黄金比 - 直角三角形 - と算術平均、幾何平均、調和平均」、Mathematical Gazette 89、2005年7月、261ページ。また、Mitchell, Douglas W.、「89.41に関するフィードバック」、第90巻、2006年3月、153-154ページ。
14. ポサメンティエ, アルフレッド・S.、レーマン, イングマール. 『三角形の秘密』プロメテウス・ブックス, 2012年.
15. ベイリー、ハーバート、デテンプル、デュアン、「角度と三角形に内接する正方形」、数学マガジン71(4)、1998年、278-284。

• ワイスタイン、エリック・W.「直角三角形」。MathWorld。
• ウェントワース、ジョージア州 (1895). 『幾何学の教科書』. ギン社.

外部リンク

• 直角三角形の計算機
• 高度な直角三角形計算機

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