スキューズの数

数学における未解決問題

最小のスキューズ数は何ですか?

数論において、スキューズ数は、素数関数が対数積分関数を超える最小の自然数です。その値の上限を初めて計算した南アフリカの数学者スタンレー・スキューズにちなんで名付けられました。 $x$ $\pi (x)$ $\operatorname {li} (x).$

スキューズ数の正確な値はまだわかっていませんが、との近くに交差があることはわかっています。これが最小の交差であるかどうかはわかっていません。 $\pi (x)<\operatorname {li} (x)$ $\pi (x)>\operatorname {li} (x)$ $e^{727.95133}<1.397\times 10^{316}.$

この名前は、スキューズが発見した大きな数の境界のいずれかに適用されることもあります。

スキューズの境界

スキューズの研究指導者であるJ・E・リトルウッドは、リトルウッド（1914）でそのような数（そして、そのような数の最初のもの）が存在することを証明しましたが、その値はこれまで誰も見つけていません。そして、実際に差の符号が無限回変化することを発見しました。しかし、リトルウッドの証明はそのような数を具体的に示しておらず、その値に境界さえ与えていませんでした $x$ $\pi (x)>\operatorname {li} (x),$ $\pi (x)-\operatorname {li} (x)$ $x$

スキューズの課題は、リトルウッドの存在証明を有効なものにすること、すなわち最初の符号変化に対する具体的な上限を示すことであった。ゲオルク・クライゼルによれば、これは当時、原理的にさえ自明とは考えられていなかった。^[1]

スケウス（1933）は、リーマン予想が正しいと仮定すると、 $x$ $\pi (x)<\operatorname {li} (x),$

e^{e^{e^{79}}}<10^{10^{10^{34}}}.

リーマン予想を仮定せずに、スケウス（1955）は後に以下の値が存在することを証明した。 $x$

e^{e^{e^{e^{7.705}}}}<10^{10^{10^{964}}}.

より最近の境界

これらの上限は、それ以来、リーマンゼータ関数の零点の大規模コンピュータ計算を使用することにより、大幅に引き下げられてきました。交差点の実際の値の最初の推定値は、Lehman (1966) によって与えられ、との間にはとなる連続する整数が個以上あることが示されました。リーマン予想を仮定せずに、HJJ te Riele (1987) はの上限を証明しました。より適切な推定値はBays & Hudson (2000) によって発見され、となるこの値付近のどこかに少なくとも個の連続する整数があることを示しました。Bays と Hudson は、がに近づくのはるかに小さい値をいくつか見つけました。これらの値付近に交差点がある可能性はまだ完全には排除されていないようですが、コンピュータ計算では交差点は存在しない可能性が高いことが示唆されています。Chao & Plymen (2010) は、Bays と Hudson の結果に小さな改良と修正を加えました。 Saouter & Demichel (2010) は、交差区間のより狭い区間を発見し、Zegowitz (2010) によって若干改善された。同じ出典によれば、を下回る数が存在することが示される。これはリーマン予想を仮定することに帰着できる。Stoll & Demichel (2011) は、最大 2 × 10 個の $1.53\times 10^{1165}$ $1.65\times 10^{1165}$ $10^{500}$ $x$ $\pi (x)>\operatorname {li} (x)$ $7\times 10^{370}$ $1.39822\times 10^{316}$ $10^{153}$ $\pi (x)>\operatorname {li} (x)$ $x$ $\pi (x)$ $\operatorname {li} (x)$ $x$ $\pi (x)<\operatorname {li} (x),$ $e^{727.9513468}<1.39718\times 10^{316}$ $e^{727.9513386}<1.39717\times 10^{316}$ ^{11 個}の複素零点があり、これはクロスオーバーが付近に存在する可能性があることを計算的に証明します。 $1.397162914\times 10^{316}$

交差間隔
年	使用される複素零点の数	〜によって	区間	与えられた連続する整数の数 $\pi (x)>\operatorname {li} (x)$
2000	10⁶	ベイズ・アンド・ハドソン	[1.39821924 × 10³¹⁶ , 1.39821925 × 10³¹⁶ ]	> 1 × 10¹⁵³
2010	10⁷	チャオとプライメン	[exp(727.951858), exp(727.952178)]	1 × 10¹⁵⁴
2010	2.2 × 10⁷	サウターとデミシェル	[exp(727.95132478), exp(727.95134682)] (RHなし) [exp(727.95133239), exp(727.95133920)] (RHありと仮定)	6.6587 × 10¹⁵²（RHなし） 1.2741 × 10¹⁵¹（RHを想定）
2010	2.2 × 10⁷	ゼゴヴィッツ	[exp(727.951324783), exp(727.951346802)] (RHなし) [exp(727.951332973), exp(727.951338612)] (RHを仮定)	6.695531258 × 10¹⁵²（RHなし） 1.15527413 × 10¹⁵²（RHを想定）

厳密に言えば、Rosser & Schoenfeld (1962) は未満にはクロスオーバーポイントが存在しないことを証明し、これを Brent (1975) によってに改良し、Kotnik (2008) によってに改良し、Platt & Trudgian (2014) によってに改良し、Büthe (2015) によってに改良しました。 $x=10^{8}$ $8\times 10^{10}$ $10^{14}$ $1.39\times 10^{17}$ $10^{19}$

この特性を確実に満たす明示的な値は知られていませんが、コンピューター計算により、この特性を満たす可能性が非常に高いいくつかの明示的な数値が示唆されます。 $x$ $\pi (x)>\operatorname {li} (x),$

の正整数の自然密度は存在しないが、ウィントナー（1941）はこれらの正整数の対数密度は存在し、正であることを示した。ルビンスタインとサーナック（1994）は、この比率が約 $\pi (x)>\operatorname {li} (x)$ 2.6 × 10 ⁻⁷は、最初の例を見つけるのにどれだけ時間がかかるかを考えると、驚くほど大きい値です。

リーマンの公式

リーマンはの明示的な公式を与えた。その主要項は（いくつかの微妙な収束の問題を無視すると） $\pi (x)$

\pi (x)=\operatorname {li} (x)-{\tfrac {1}{2}}\operatorname {li} ({\sqrt {x\,}})-\sum _{\rho }\operatorname {li} (x^{\rho })+{\text{smaller terms}}

ここで、和はリーマンゼータ関数の非自明な零点の集合全体にわたっています。 $\rho$

近似における最大の誤差項（リーマン予想が正しい場合）は負のであり、これはが通常よりも大きいことを示しています。上記の他の項はいくぶん小さく、さらに異なる、一見ランダムな複素引数を持つ傾向があるため、ほとんどの場合打ち消し合います。しかし、まれに、大きな項のいくつかがほぼ同じ複素引数を持つことがあります。その場合、それらは打ち消し合うのではなく、互いに強め合い、項を圧倒します。 $\pi (x)\approx \operatorname {li} (x)$ ${\tfrac {1}{2}}\operatorname {li} ({\sqrt {x\,}})$ $\operatorname {li} (x)$ $\pi (x)$ ${\tfrac {1}{2}}\operatorname {li} ({\sqrt {x\,}})$

スキューズ数が非常に大きい理由は、これらの小さな項が主要な誤差項よりもかなり小さいためです。これは主に、ゼータ関数の最初の複素零点の虚数部が非常に大きいため、支配的な項を圧倒するためには、多数の（数百）複素数がほぼ同じ引数を持つ必要があるためです。ランダムな複素数がほぼ同じ引数を持つ確率は、約 1 分の 1 です。これは、がよりも大きい場合がある理由と、これが起こるのがまれである理由を説明しています。また、これが発生する場所を見つけるには、リーマンゼータ関数の何百万もの高精度零点の大規模な計算が必要である理由も示しています。 $N$ $2^{N}$ $\pi (x)$ $\operatorname {li} (x),$

上記の議論は証明ではありません。リーマンゼータ関数の零点がランダムであると仮定しているからです。これは正しくありません。大まかに言えば、リトルウッドの証明はディリクレの近似定理から成り、多くの項がほぼ同じ偏角を持つ場合があることを示しています。リーマン予想が偽である場合、議論ははるかに単純になります。これは基本的に、リーマン予想を破る零点（実部が⁠より大きい）の項が $\operatorname {li} (x^{\rho })$ 1/2⁠）は最終的によりも大きくなります $\operatorname {li} (x^{1/2})$

この用語の由来は、大まかに言えば、は実際には素数そのものではなく、の重み付けで素数の累乗を数えるからです。この用語は、素数の平方を考慮した2次補正にほぼ相当します。 ${\tfrac {1}{2}}\mathrm {li} (x^{1/2})$ $\mathrm {li} (x)$ $p^{n}$ ${\frac {1}{n}}$ ${\tfrac {1}{2}}\mathrm {li} (x^{1/2})$

プライムに相当するk組

素数 k 組に対して、スキューズ数の同等の定義が存在する（Tóth (2019)）。素数( k + 1)組をとすると、すべて素数となるような以下の素数の個数はとすると、そのハーディ・リトルウッド定数とするとする（第一ハーディ・リトルウッド予想を参照）。すると、( k + 1)組に対してハーディ・リトルウッド不等式に違反する最初の素数、すなわち、となる最初の素数は $P=(p,p+i_{1},p+i_{2},...,p+i_{k})$ $\pi _{P}(x)$ $p$ $x$ $p,p+i_{1},p+i_{2},...,p+i_{k}$ $\operatorname {li_{P}} (x)=\int _{2}^{x}{\frac {dt}{(\ln t)^{k+1}}}$ $C_{P}$ $p$ $P$ $p$

\pi _{P}(p)>C_{P}\operatorname {li} _{P}(p),

（もしそのような素数が存在するならば）は、 $P.$

以下の表は、素数k組の現在知られている Skewes 数を示しています。

素数k組	歪んだ数	求める
（p、p + 2）	1369391	ウルフ（2011）
（p、p + 4）	5206837	トート (2019)
（p、p + 2、p + 6）	87613571	トート (2019)
( p、p + 4、p + 6)	337867	トート (2019)
（p、p + 2、p + 6、p + 8）	1172531	トート (2019)
（p、p + 4、p + 6、p + 10）	827929093	トート (2019)
（p、p + 2、p + 6、p + 8、p + 12）	21432401	トート (2019)
（p、p +4、p +6、p + 10、p + 12）	216646267	トート (2019)
（p、p + 4、p + 6、p + 10、p + 12、p + 16）	251331775687	トート (2019)
（p、p +2、p +6、p +8、p +12、p +18、p +20）	7572964186421	プフォルトナー (2020)
( p、p +2、p +8、p +12、p +14、p +18、p +20)	214159878489239	プフォルトナー (2020)
（p、p +2、p +6、p +8、p +12、p +18、p +20、p +26）	1203255673037261	プフォルトナー／ルーン（2021）
（p、p +2、p +6、p +12、p +14、p +20、p +24、p +26）	523250002674163757	ルーン／プフェルトナー（2021）
（p、p +6、p +8、p +14、p +18、p +20、p +24、p +26）	750247439134737983	プフォルトナー／ルーン（2021）

セクシー素数のスキュー数（存在する場合）はまだ不明です $(p,p+6)$

すべての許容されるk組に対応する Skewes 番号があるかどうかも不明です。

参照

メルテンスの定理 § 符号の変化

参考文献

^ Kreisel (1951) は、AE Ingham (1932) と JE Littlewood (1948) の「証明は『非構成的』であると考えられていた、あるいは証明を構成的にするには『新しいアイデア』の証明が必要であると考えられていた」という記述を引用している

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外部リンク

デミシェルズ、パトリック。「素数計数関数と関連する主題」（PDF）。デミシェル。 2006年9月8日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。2009年9月29日閲覧
アシモフ、I. (1976). 「串刺し！」. 『大小さまざまな事柄について』. ニューヨーク: エース・ブックス. ISBN 978-0441610723。

[1] Kreisel (1951) は、AE Ingham (1932) と JE Littlewood (1948) の「証明は『非構成的』であると考えられていた、あるいは証明を構成的にするには『新しいアイデア』の証明が必要であると考えられていた」という記述を引用している