ベッセルポテンシャル

Mathematical potential

数学において、ベッセルポテンシャルは、リースポテンシャルに類似したポテンシャル（フリードリヒ・ヴィルヘルム・ベッセルにちなんで名付けられました）ですが、無限遠での減衰特性がより優れています。

sが正の実部を持つ複素数である場合、 s次のベッセルポテンシャルは演算子である。

${\displaystyle (I-\Delta )^{-s/2}}$

ここで、Δ はラプラス演算子であり、分数べき乗はフーリエ変換を使用して定義されます。

湯川ポテンシャルは、 3 次元空間におけるベッセルポテンシャルの特殊なケースです。 ${\displaystyle s=2}$

フーリエ空間における表現

ベッセルポテンシャルはフーリエ変換に乗算して作用する。各 ${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} ^{d}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}((I-\Delta )^{-s/2}u)(\xi )={\frac {{\mathcal {F}}u(\xi )}{(1+4\pi ^{2}\vert \xi \vert ^{2})^{s/2}}}.}$

積分表現

のとき、ベッセルポテンシャルは次のように表される。 ${\displaystyle s>0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

${\displaystyle (I-\Delta )^{-s/2}u=G_{s}\ast u,}$

ここでベッセル核は積分公式^[1]によって定義される。 ${\displaystyle G_{s}}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}\setminus \{0\}}$

${\displaystyle G_{s}(x)={\frac {1}{(4\pi )^{s/2}\Gamma (s/2)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {\pi \vert x\vert ^{2}}{y}}-{\frac {y}{4\pi }}}}{y^{1+{\frac {d-s}{2}}}}}\,\mathrm {d} y.}$

ここで はガンマ関数を表す。ベッセル核は^[2]のように表すこともできる。 ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}\setminus \{0\}}$

${\displaystyle G_{s}(x)={\frac {e^{-\vert x\vert }}{(2\pi )^{\frac {d-1}{2}}2^{\frac {s}{2}}\Gamma ({\frac {s}{2}})\Gamma ({\frac {d-s+1}{2}})}}\int _{0}^{\infty }e^{-\vert x\vert t}{\Big (}t+{\frac {t^{2}}{2}}{\Big )}^{\frac {d-s-1}{2}}\,\mathrm {d} t.}$

この最後の式は、修正ベッセル関数^[3]を使ってより簡潔に書くことができ、この関数のポテンシャルはその名前の由来となっている。

${\displaystyle G_{s}(x)={\frac {1}{2^{(s-2)/2}(2\pi )^{d/2}\Gamma ({\frac {s}{2}})}}K_{(d-s)/2}(\vert x\vert )\vert x\vert ^{(s-d)/2}.}$

漸近解析

原点においては、^[4] ${\displaystyle \vert x\vert \to 0}$

${\displaystyle G_{s}(x)={\frac {\Gamma ({\frac {d-s}{2}})}{2^{s}\pi ^{s/2}\vert x\vert ^{d-s}}}(1+o(1))\quad {\text{ if }}0<s<d,}$

${\displaystyle G_{d}(x)={\frac {1}{2^{d-1}\pi ^{d/2}}}\ln {\frac {1}{\vert x\vert }}(1+o(1)),}$

${\displaystyle G_{s}(x)={\frac {\Gamma ({\frac {s-d}{2}})}{2^{s}\pi ^{s/2}}}(1+o(1))\quad {\text{ if }}s>d.}$

特に、ベッセルポテンシャルがリースポテンシャルとして漸近的に振舞う場合。 ${\displaystyle 0<s<d}$

無限遠では、^[5] ${\displaystyle \vert x\vert \to \infty }$

${\displaystyle G_{s}(x)={\frac {e^{-\vert x\vert }}{2^{\frac {d+s-1}{2}}\pi ^{\frac {d-1}{2}}\Gamma ({\frac {s}{2}})\vert x\vert ^{\frac {d+1-s}{2}}}}(1+o(1)).}$

参照

• リースポテンシャル
• 分数積分
• ソボレフ空間
• 分数シュレーディンガー方程式
• 湯川ポテンシャル

参考文献

1. スタイン、エリアス（1970年）『特異積分と関数の微分可能性』プリンストン大学出版局。第5章 式（26）ISBN 0-691-08079-8。
2. N. Aronszajn; KT Smith (1961). 「ベッセルポテンシャルの理論 I」. Ann. Inst. Fourier . 11. 385–475, (4,2). doi : 10.5802/aif.116 .
3. N. Aronszajn; KT Smith (1961). 「ベッセルポテンシャルの理論 I」. Ann. Inst. Fourier . 11. 385–475. doi : 10.5802/aif.116 .
4. N. Aronszajn; KT Smith (1961). 「ベッセルポテンシャルの理論 I」. Ann. Inst. Fourier . 11. 385–475, (4,3). doi : 10.5802/aif.116 .
5. N. Aronszajn; KT Smith (1961). 「ベッセルポテンシャルの理論 I」. Ann. Inst. Fourier . 11 : 385–475 . doi : 10.5802/aif.116 .

• Duduchava, R. (2001) [1994]、「ベッセルポテンシャル演算子」、数学百科事典、EMSプレス
• Grafakos, Loukas (2009), 「現代フーリエ解析」 , Graduate Texts in Mathematics , vol. 250 (第2版), ベルリン, ニューヨーク: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-0-387-09434-2, ISBN 978-0-387-09433-5、MR  2463316、S2CID  117771953
• ヘドバーグ、LI (2001) [1994]、「ベッセルポテンシャル空間」、数学百科事典、EMSプレス
• Solomentsev, ED (2001) [1994]、「ベッセルポテンシャル」、数学百科事典、EMS Press
• スタイン、エリアス（1970年）、関数の特異積分と微分可能性、プリンストン、ニュージャージー州：プリンストン大学出版局、ISBN 0-691-08079-8

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