Gモジュール

Algebraic structure

トーラスは、円群の積に同型なアーベル群にすることができます。このアーベル群はクラインの4群 -加群であり、群は各座標方向（ここでは単位元で交差する赤と青の矢印で示されています）において鏡映作用をします。

数学において、群 が与えられたとき、G加群とは 上のアーベル群構造と両立して作用する上のアーベル群である。この広く応用可能な概念は、Gの表現の概念を一般化したものである。群（コ）ホモロジーは、一般の 加群を研究するための重要なツールセットを提供する。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G}$

G加群という用語は、より一般的なR加群の概念にも使用され、そのR加群は線形に作用します (つまり、加群の自己同型群として作用します)。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle R}$

定義と基礎

を群とする。左-加群は^[1]のアーベル群と左群作用から成り、 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \rho :G\times M\to M}$

${\displaystyle g\cdot (a_{1}+a_{2})=g\cdot a_{1}+g\cdot a_{2}}$

およびにおけるすべての に対して、およびにおけるすべてのに対して であり、 はを表す。右-加群も同様に定義される。左-加群が与えられれば、を定義することで右 -加群に変換できる。 ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle a_{2}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g\cdot a}$ ${\displaystyle \rho (g,a)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle a\cdot g=g^{-1}\cdot a}$

関数が群準同型かつ-同変である場合、その関数は - 加群の射影(または -線型写像、または-準同型)と呼ばれます。 ${\displaystyle f:M\rightarrow N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle G}$

左（右） -加群とその射の集合は、それぞれアーベル圏（）を形成する。この圏（ ）は、左（右） -加群の圏、すなわち群環上の加群と同一視できる。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G{\textbf {-Mod}}}$ ${\displaystyle {\textbf {Mod-}}G}$ ${\displaystyle G{\text{-Mod}}}$ ${\displaystyle {\text{Mod-}}G}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} G}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$

-加群の部分加群は、 の作用の下で安定な部分群、すなわち、すべてのおよびに対して安定な部分群である。の部分加群が与えられたとき、商加群は作用 を持つ商群である。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A\subseteq M}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g\cdot a\in A}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M/A}$ ${\displaystyle g\cdot (m+A)=g\cdot m+A}$

例

• 群 が与えられたとき、アーベル群 は自明な作用を持つ -加群です。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g\cdot a=a}$
• を整数の2元2次形式全体の集合とし、 （上の2×2特殊線型群）とする。定義 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f(x,y)=ax^{2}+2bxy+cy^{2}}$ ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle G={\text{SL}}(2,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle (g\cdot f)(x,y)=f((x,y)g^{t})=f\left((x,y)\cdot {\begin{bmatrix}\alpha &\gamma \\\beta &\delta \end{bmatrix}}\right)=f(\alpha x+\beta y,\gamma x+\delta y),}$

どこ

${\displaystyle g={\begin{bmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{bmatrix}}}$

は行列の乗算である。そしてはガウスによって研究された -加群である。^[2]実際、 ${\displaystyle (x,y)g}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle g(h(f(x,y)))=gf((x,y)h^{t})=f((x,y)h^{t}g^{t})=f((x,y)(gh)^{t})=(gh)f(x,y).}$

• が体上の表現である場合、 は-加群です(加法に関してアーベル群です)。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle G}$

位相群

が位相群でがアーベル位相群である場合、位相G -加群は作用写像が連続である（積位相が 上でとられる） -加群である。 ^[3] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\times M\rightarrow M}$ ${\displaystyle G\times M}$

言い換えれば、位相的- モジュールは、通常の関係、、およびを満たす連続写像を伴うアーベル位相群です。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G\times M\rightarrow M}$ ${\displaystyle g(a+a')=ga+ga'}$ ${\displaystyle (gg')a=g(g'a)}$ ${\displaystyle 1a=a}$

注記

1. カーティス、チャールズ・W. ;ライナー、アーヴィング(1988) [1962].有限群と結合代数の表現論. ジョン・ワイリー・アンド・サンズ. ISBN 978-0-470-18975-7。
2. Kim, Myung-Hwan (1999)、「Integral Quadratic Forms and Lattices: Proceedings of the International Conference on Integral Quadratic Forms and Lattices」、1998 年 6 月 15 ～ 19 日、ソウル国立大学、韓国、アメリカ数学会。
3. D. Wigner (1973). 「位相群の代数的コホモロジー」. Trans. Amer. Math. Soc . 178 : 83–93 . doi : 10.1090/s0002-9947-1973-0338132-7 .

参考文献

• ワイベル, チャールズ・A. (1994).ホモロジー代数入門. ケンブリッジ大学高等数学研究第38巻. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-4-8632-2165第6章 978-0-521-55987-4MR  1269324. OCLC 36131259  .

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