リッチ曲率

2-tensor obtained as a contraction of the Riemann curvature 4-tensor on a Riemannian manifold

微分幾何学において、リッチ曲率テンソル（Ricci curvature tensor）は、グレゴリオ・リッチ＝クルバストロにちなんで名付けられた幾何学的対象であり、多様体上のリーマン計量または擬リーマン計量の選択によって決定される。これは、与えられた計量テンソルの幾何学が、通常のユークリッド空間または擬ユークリッド空間の幾何学と局所的にどの程度異なるかを示す尺度として広く考えることができる。

リッチテンソルは、空間内の測地線に沿って移動するにつれて形状がどのように変形するかを測定することによって特徴付けることができます。擬リーマン的な設定を伴う一般相対論では、これはレイショードリ方程式におけるリッチテンソルの存在によって反映されています。この理由もあって、アインシュタイン場の方程式は、時空を擬リーマン計量で記述でき、リッチテンソルと宇宙の物質内容の間には驚くほど単純な関係があると提唱しています。

計量テンソルと同様に、リッチテンソルは多様体の各接空間に対称双線型形式を割り当てる。^{[1] [2]}大まかに言えば、リーマン幾何学におけるリッチ曲率の役割は、関数解析におけるラプラシアンの役割に類推できる。この類推において、リッチ曲率が自然な副産物であるリーマン曲率テンソルは、関数の2階微分の全行列に対応する。しかし、同じ類推を描く方法は他にもある。

3次元多様体の場合、リッチテンソルは、高次元ではより複雑なリーマン曲率テンソルによって符号化されるすべての情報を含みます。この単純さにより、多くの幾何学的および解析的ツールを適用することができ、リチャード・S・ハミルトンとグリゴリー・ペレルマンの研究を通じてポアンカレ予想の解決につながりました。

微分幾何学において、リーマン多様体上のリッチテンソルの下限値を決定することで、定曲率空間形式の幾何学との比較（比較定理参照）によって、大域的な幾何学的・位相的な情報を抽出することが可能となる。これは、リッチテンソルの下限値が、1941年にマイヤーズの定理によって初めて示されたように、リーマン幾何学における長さ関数の研究に効果的に利用できるためである。

リッチテンソルの一般的な起源の一つは、共変微分とテンソルラプラシアンを交換できる場合に必ず生じるという点です。これは例えば、リーマン幾何学で広く用いられるボッホナーの公式にリッチテンソルが存在する理由を説明しています。例えば、この公式は、シン・トン・ヤウ不等式（およびその発展形であるチェン・ヤウ不等式やリー・ヤウ不等式）による勾配推定値が、ほぼ常にリッチ曲率の下限値に依存する理由を説明しています。

2007年、ジョン・ロット、カール＝テオドール・シュトゥルム、セドリック・ヴィラニは、リッチ曲率の下限はリーマン多様体の計量空間構造とその体積形式だけで完全に理解できることを決定的に証明した。^{[3]これにより、リッチ曲率と}ワッサーシュタイン幾何学および最適輸送の間に深いつながりが確立され、現在多くの研究が行われている。^[要出典]

意味

が-次元リーマン多様体または擬リーマン多様体で、レヴィ・チヴィタ接続⁠ ⁠を備えているとします。のリーマン曲率は、滑らかなベクトル場⁠ ⁠、⁠ ⁠、⁠ ⁠を取り、ベクトル場⁠ ⁠、⁠ ⁠、⁠ ⁠上のベクトル場を返す写像です。はテンソル場なので、各点⁠ ⁠に対して、（多重線型）写像が生成されます。各点に対して、写像を次のように 定義します。 ${\displaystyle \left(M,g\right)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$ $${\displaystyle R(X,Y)Z:=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle p\in M}$ $${\displaystyle \operatorname {R} _{p}:T_{p}M\times T_{p}M\times T_{p}M\to T_{p}M.}$$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle \operatorname {Ric} _{p}:T_{p}M\times T_{p}M\to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \operatorname {Ric} _{p}(Y,Z):=\operatorname {tr} {\big (}X\mapsto \operatorname {R} _{p}(X,Y)Z{\big )}.}$$

つまり、 ⁠ ⁠ と⁠ ⁠を固定すると、ベクトル空間⁠ ⁠の任意の直交基底に対して、 ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$ ${\displaystyle T_{p}M}$ $${\displaystyle \operatorname {Ric} _{p}(Y,Z)=\sum _{i=1}\langle \operatorname {R} _{p}(v_{i},Y)Z,v_{i}\rangle .}$$

この定義が基底の選択に依存しないことを確認することは、（多重）線型代数の標準的な演習です。 ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$

抽象インデックス表記では、 $${\displaystyle \mathrm {Ric} _{ab}=\mathrm {R} ^{c}{}_{bca}=\mathrm {R} ^{c}{}_{acb}.}$$

符号規約。いくつかの情報源では を と定義し、ここでは⁠ ⁠と呼ぶことに注意。それらの情報源では を⁠ ⁠と定義する。リーマンテンソルについては符号規約が異なるが、リッチテンソルについては同じである。 ${\displaystyle R(X,Y)Z}$ ${\displaystyle -R(X,Y)Z}$ ${\displaystyle \operatorname {Ric} _{p}}$ ${\displaystyle -\operatorname {tr} (X\mapsto \operatorname {R} _{p}(X,Y)Z)}$

滑らかな多様体上の局所座標による定義

を滑らかなリーマン多様体または擬リーマン多様体とします。滑らかなチャートが与えられたとき、各⁠ ⁠に対して関数および が存在し、これらはすべての⁠ ⁠に対して を満たします。後者は、行列として表すと⁠ ⁠となることを示しています。関数は座標ベクトル場を評価することで定義され、関数は行列値関数として、行列値関数⁠ ⁠の逆関数を提供するように定義されます。 ${\displaystyle \left(M,g\right)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \left(U,\varphi \right)}$ ${\displaystyle g_{ij}:\varphi (U)\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle g^{ij}:\varphi (U)\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle i,j=1,\ldots ,n}$ $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}g^{ik}(x)g_{kj}(x)=\delta _{j}^{i}={\begin{cases}1&i=j\\0&i\neq j\end{cases}}}$$ ${\displaystyle x\in \varphi (U)}$ ${\displaystyle g^{ij}(x)=(g^{-1})_{ij}(x)}$ ${\displaystyle g_{ij}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g^{ij}}$ ${\displaystyle x\mapsto g_{ij}(x)}$

ここで、 ⁠ ⁠、⁠ ⁠、⁠ ⁠、⁠ ⁠、および1 から⁠ ⁠の間の各⁠ ${\displaystyle a}$ ⁠ について、関数をマップ⁠ ⁠として定義します。 ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{ab}^{c}&:={\frac {1}{2}}\sum _{d=1}^{n}\left({\frac {\partial g_{bd}}{\partial x^{a}}}+{\frac {\partial g_{ad}}{\partial x^{b}}}-{\frac {\partial g_{ab}}{\partial x^{d}}}\right)g^{cd}\\R_{ij}&:=\sum _{a=1}^{n}{\frac {\partial \Gamma _{ij}^{a}}{\partial x^{a}}}-\sum _{a=1}^{n}{\frac {\partial \Gamma _{ai}^{a}}{\partial x^{j}}}+\sum _{a=1}^{n}\sum _{b=1}^{n}\left(\Gamma _{ab}^{a}\Gamma _{ij}^{b}-\Gamma _{ib}^{a}\Gamma _{aj}^{b}\right)\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \varphi :U\rightarrow \mathbb {R} }$

ここで、とを⁠ ⁠の 2 つの滑らかなチャートとします。を上記のようにチャートで計算した関数とし、を上記のようにチャート⁠ ⁠で計算した関数とします。次に、連鎖律と積分則を使った計算により、 が⁠ ⁠の⁠ ⁠番目の方向に沿った 1 階微分であることを確認できます。これは、次の定義が⁠ ⁠の選択に依存しないことを示しています。任意の⁠ ⁠に対して、によって双線形写像を定義します。ここで、 およびは、 ⁠ ⁠の座標ベクトル場に対する、 およびにおける接ベクトルの成分です。 ${\displaystyle \left(U,\varphi \right)}$ ${\displaystyle \left(V,\psi \right)}$ ${\displaystyle U\cap V\neq \emptyset }$ ${\displaystyle R_{ij}:\varphi (U)\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \left(U,\varphi \right)}$ ${\displaystyle r_{ij}:\psi (V)\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \left(V,\psi \right)}$ $${\displaystyle R_{ij}(x)=\sum _{k,l=1}^{n}r_{kl}\left(\psi \circ \varphi ^{-1}(x)\right)D_{i}{\Big |}_{x}\left(\psi \circ \varphi ^{-1}\right)^{k}D_{j}{\Big |}_{x}\left(\psi \circ \varphi ^{-1}\right)^{l},}$$ ${\displaystyle D_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \left(U,\varphi \right)}$ ${\displaystyle p\in U}$ ${\displaystyle \operatorname {Ric} _{p}:T_{p}M\times T_{p}M\rightarrow \mathbb {R} }$ $${\displaystyle (X,Y)\in T_{p}M\times T_{p}M\mapsto \operatorname {Ric} _{p}(X,Y)=\sum _{i,j=1}^{n}R_{ij}(\varphi (x))X^{i}(p)Y^{j}(p),}$$ ${\displaystyle X^{1},\ldots ,X^{n}}$ ${\displaystyle Y^{1},\ldots ,Y^{n}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \left(U,\varphi \right)}$

上記の正式なプレゼンテーションは、次のスタイルで省略するのが一般的です。

を滑らかな多様体とし、gをリーマン計量または擬リーマン計量とする。局所滑らかな座標において、クリストッフェル記号を定義する。 ${\displaystyle M}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{ij}^{k}&:={\frac {1}{2}}g^{kl}\left(\partial _{i}g_{jl}+\partial _{j}g_{il}-\partial _{l}g_{ij}\right)\\R_{jk}&:=\partial _{i}\Gamma _{jk}^{i}-\partial _{k}\Gamma _{ji}^{i}+\Gamma _{ip}^{i}\Gamma _{jk}^{p}-\Gamma _{jp}^{i}\Gamma _{ik}^{p}.\end{aligned}}}$$

が (0,2)-テンソル場を定義することは直接確認できます。特に、とが⁠ ⁠上のベクトル場である場合、任意の滑らかな座標に対して、 $${\displaystyle R_{jk}={\widetilde {R}}_{ab}{\frac {\partial {\widetilde {x}}^{a}}{\partial x^{j}}}{\frac {\partial {\widetilde {x}}^{b}}{\partial x^{k}}},}$$ ${\displaystyle R_{ij}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle M}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}R_{jk}X^{j}Y^{k}&=\left({\widetilde {R}}_{ab}{\frac {\partial {\widetilde {x}}^{a}}{\partial x^{j}}}{\frac {\partial {\widetilde {x}}^{b}}{\partial x^{k}}}\right)\left({\widetilde {X}}^{c}{\frac {\partial x^{j}}{\partial {\widetilde {x}}^{c}}}\right)\left({\widetilde {Y}}^{d}{\frac {\partial x^{k}}{\partial {\widetilde {x}}^{d}}}\right)\\&={\widetilde {R}}_{ab}{\widetilde {X}}^{c}{\widetilde {Y}}^{d}\left({\frac {\partial {\widetilde {x}}^{a}}{\partial x^{j}}}{\frac {\partial x^{j}}{\partial {\widetilde {x}}^{c}}}\right)\left({\frac {\partial {\widetilde {x}}^{b}}{\partial x^{k}}}{\frac {\partial x^{k}}{\partial {\widetilde {x}}^{d}}}\right)\\&={\widetilde {R}}_{ab}{\widetilde {X}}^{c}{\widetilde {Y}}^{d}\delta _{c}^{a}\delta _{d}^{b}\\&={\widetilde {R}}_{ab}{\widetilde {X}}^{a}{\widetilde {Y}}^{b}.\end{aligned}}}$$

最後の行には、双線形写像 Ric が明確に定義されていることの証明が含まれており、これは非公式表記法で記述する方がはるかに簡単です。

定義の比較

上記の2つの定義は同一です。座標アプローチにおけると を定義する式は、レヴィ・チヴィタ接続を定義する式、およびレヴィ・チヴィタ接続を介したリーマン曲率を定義する式と完全に一致しています。前述のリーマンテンソルの「重要な性質」が成立するためにはハウスドルフであることが必須であるため、局所座標を直接用いた定義の方が好ましいと言えるでしょう。対照的に、局所座標アプローチでは滑らかなアトラスのみが必要です。また、局所アプローチの根底にある「不変性」の考え方を、スピノル場などのより特殊な幾何学的オブジェクトを構築する方法と結び付けることもやや容易です。 ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}}$ ${\displaystyle R_{ij}}$ ${\displaystyle M}$

導入部で定義した複雑な式は、次のセクションのものと同じです。唯一の違いは、 ⁠ ⁠であることが分かりやすいように項がグループ化されていることです。 ${\displaystyle R_{ij}}$ ${\displaystyle R_{ij}=R_{ji}}$

プロパティ

リーマン曲率テンソルの対称性からわかるように、リーマン多様体のリッチテンソルは、すべての⁠ ⁠に対してであるという意味で対称です。 $${\displaystyle \operatorname {Ric} (X,Y)=\operatorname {Ric} (Y,X)}$$ ${\displaystyle X,Y\in T_{p}M}$

したがって、線型代数的に、単位長さのベクトルすべてについてこの量を知ることで、リッチテンソルが完全に決定されることが分かります。単位接ベクトルの集合上のこの関数は、リッチ曲率とも呼ばれます。これは、リッチ曲率を知ることがリッチ曲率テンソルを知ることと等価だからです。 ${\displaystyle \operatorname {Ric} (X,X)}$ ${\displaystyle X}$

リッチ曲率はリーマン多様体の断面曲率によって決まりますが、一般に情報量は少なくなります。実際、 がリーマン -多様体上の単位長さのベクトルである場合、 は⁠ ⁠を含むすべての 2-平面にわたる断面曲率の平均値のちょうど倍になります。このような 2-平面の -次元族が存在するため、次元 2 と 3 においてのみ、リッチテンソルが完全な曲率テンソルを決定します。注目すべき例外は、多様体がユークリッド空間の超曲面として事前に与えられている場合です。ガウス-コダッツィ方程式を介して完全な曲率を決定する2 番目の基本形式自体はリッチテンソルによって決定され、超曲面の主方向もリッチテンソルの固有方向です。この理由から、テンソルはリッチによって導入されました。 ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \operatorname {Ric} (\xi ,\xi )}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle (n-2)}$

第二ビアンキ恒等式から分かるように、 はスカラー曲率であり、局所座標では⁠ ⁠と定義されます。これはしばしば縮約第二ビアンキ恒等式と呼ばれます。 $${\displaystyle \operatorname {div} \operatorname {Ric} ={\frac {1}{2}}dR,}$$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle g^{ij}R_{ij}}$

直接的な幾何学的意味

リーマン多様体⁠ ⁠の任意の点の近傍では、測地線正規座標と呼ばれる優先局所座標を定義できます。これらは計量に適合しており、 を通る測地線は原点を通る直線に対応し、 からの測地線距離は原点からのユークリッド距離に対応します。これらの座標では、計量テンソルはユークリッド計量によって、正確には ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \left(M,g\right)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}+O\left(|x|^{2}\right).}$$

実際、通常の座標系における放射状測地線に沿ったヤコビ場に適用された計量のテイラー展開をとると、 $${\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}-{\frac {1}{3}}R_{ikjl}x^{k}x^{l}+O\left(|x|^{3}\right).}$$

これらの座標では、計量体積要素はpで次の展開を持ちます。 これは、計量​​の行列式の平方根を展開することによって得られます。 $${\displaystyle d\mu _{g}=\left[1-{\frac {1}{6}}R_{jk}x^{j}x^{k}+O\left(|x|^{3}\right)\right]d\mu _{\text{Euclidean}},}$$

したがって、リッチ曲率がベクトル⁠ ⁠の方向で正の場合、から発する長さの測地線分の密集した族によって掃引され、 ⁠ ⁠付近の小さな円錐内部で初速度が⁠ ⁠ である円錐領域は、少なくとも が十分に小さい場合、ユークリッド空間の対応する円錐領域よりも体積が小さくなります。同様に、リッチ曲率が与えられたベクトル⁠ ⁠の方向で負の場合、多様体内のそのような円錐領域は、ユークリッド空間よりも体積が大きくなります。 ${\displaystyle \operatorname {Ric} (\xi ,\xi )}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \xi }$

リッチ曲率は、本質的に⁠ ⁠ を ${\displaystyle \xi }$含む平面の曲率の平均です。したがって、最初は円形（または球形）の断面で放出された円錐が楕円（楕円体）に歪んだ場合、主軸に沿った歪みが互いに打ち消し合うと体積の歪みが消える可能性があります。そうすると、リッチ曲率は⁠ ⁠に沿って消えます。物理的な応用では、消えない ${\displaystyle \xi }$断面曲率の存在は、必ずしも局所的な質量の存在を示すものではありません。世界線の円錐の最初は円形の断面が、体積を変えずに後に楕円形になった場合、これは他の場所にある質量による潮汐効果によるものです。

アプリケーション

リッチ曲率は一般相対性理論において重要な役割を果たしており、アインシュタインの場の方程式の重要な項となっています。

リッチ曲率は、1982年にリチャード・S・ハミルトンによって初めて導入されたリッチフロー方程式にも現れます。この方程式では、リーマン計量の特定の1パラメータ族が、幾何学的に定義された偏微分方程式の解として選別されます。調和局所座標において、リッチテンソルは^[4]のように表すことができます。ここで、は計量テンソルの成分、はラプラス・ベルトラミ演算子です。この事実が、計量に対する熱方程式の自然な拡張としてリッチフロー方程式を導入する動機となっています。熱は固体中を伝わり、物体が一定温度の平衡状態に達するまで広がる傾向があるため、多様体が与えられれば、リッチフローはアインシュタイン計量、つまり一定曲率の「平衡」リーマン計量を生み出すことが期待されます。しかし、多くの多様体はそのような計量をサポートできないため、このような明確な「収束」像は達成できません。リッチフローの解の性質に関する詳細な研究は、主にハミルトンとグリゴリー・ペレルマンによって行われ、リッチフローに沿って発生する収束の失敗に対応する「特異点」の種類が、3次元位相に関する深い情報を符号化していることを示している。この研究の集大成は、 1970年代にウィリアム・サーストンによって初めて提唱された幾何化予想の証明であり、これはコンパクト3次元多様体の分類と考えることができる。 $${\displaystyle R_{ij}=-{\frac {1}{2}}\Delta \left(g_{ij}\right)+{\text{lower-order terms}},}$$ ${\displaystyle g_{ij}}$ ${\displaystyle \Delta }$

ケーラー多様体上では、リッチ曲率は多様体の第一チャーン類（捩れを法とする）を決定する。しかし、リッチ曲率は、一般リーマン多様体上では類似の位相的解釈を持たない。

グローバル幾何学と位相幾何学

正のリッチ曲率を持つ多様体に関する大域的結果の短いリストを以下に示します。リーマン幾何学の古典的な定理も参照してください。簡単に言うと、リーマン多様体の正のリッチ曲率は強い位相的影響を持ちますが、（少なくとも3次元の場合）負のリッチ曲率は位相的影響を持ちません。（リッチ曲率は、リッチ曲率関数が非ゼロの接ベクトルの集合上で正である場合に正であると言われます。）擬リーマン多様体についてもいくつかの結果が知られています。 ${\displaystyle \operatorname {Ric} (\xi ,\xi )}$ ${\displaystyle \xi }$

1. マイヤーズの定理(1941) は、リッチ曲率が完全リーマンn多様体上で下から⁠ ⁠ ${\displaystyle (n-1)k>0}$で有界である場合、多様体の直径は⁠ ⁠ ${\displaystyle \leq \pi /{\sqrt {k}}}$を持つことを述べています。被覆空間の議論により、正のリッチ曲率を持つコンパクト多様体は有限の基本群を持たなければならないことがわかります。Cheng (1975) は、この設定では、直径の不等式における等式は、多様体が定曲率⁠ ⁠の球面と等長である場合にのみ発生することを示しました。 ${\displaystyle k}$
2. ビショップ・グロモフ不等式は、完備- 次元リーマン多様体が非負のリッチ曲率を持つ場合、測地球体の体積はユークリッド -空間における同じ半径の測地球体の体積以下になることを述べています。さらに、 が多様体における中心と半径を持つ球体の体積を表し、 がユークリッド - 空間における半径の球体の体積を表す場合、関数は非増加です。これはリッチ曲率の任意の下限値（非負値だけでなく）に一般化でき、グロモフのコンパクト性定理の証明における重要なポイントです。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle v_{p}(R)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle V(R)=c_{n}R^{n}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle v_{p}(R)/V(R)}$
3. チーガー・グロモルの分割定理は、を持つ完全リーマン多様体が直線、つまり任意の⁠ ⁠に対して となる測地線を含む場合、その多様体は積空間 に等長であることを述べている。したがって、正のリッチ曲率を持つ完全多様体は、最大で1つの位相端を持つことができる。この定理は、非負リッチテンソルを持つ（計量シグネチャ⁠ ⁠の）完全ローレンツ多様体に対しても、いくつかの追加の仮定の下で成立する。 ^[5] ${\displaystyle \left(M,g\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {Ric} \geq 0}$ ${\displaystyle \gamma :\mathbb {R} \to M}$ ${\displaystyle d(\gamma (u),\gamma (v))=\left|u-v\right|}$ ${\displaystyle u,v\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times L}$ ${\displaystyle \left(+--\ldots \right)}$
4. ハミルトンのリッチフローに対する第一収束定理は、系として、リーマン計量で正のリッチ曲率を持つコンパクト3次元多様体は、3次元球面をSO(4)の離散部分群で適切に不連続に作用する商で除算したものだけであるという結果を得た。彼は後にこれを拡張し、非負リッチ曲率も許容した。特に、単連結な可能性のあるのは3次元球面自体だけである。

これらの結果、特にマイヤーズとハミルトンの結果は、正のリッチ曲率が強い位相的意味を持つことを示している。対照的に、曲面の場合を除いて、負のリッチ曲率は現在では位相的意味を持たないことが知られている。ローカンプ（1994）は、2次元以上の多様体は負のリッチ曲率の完全リーマン計量を許容することを示した。2次元多様体の場合、リッチ曲率の負性はガウス曲率の負性と同義であり、非常に明確な位相的意味を持つ。負のガウス曲率のリーマン計量を許容しない2次元多様体は非常に少ない。

共形再スケーリングにおける挙動

計量が共形因子⁠ ⁠を乗じて変更される場合、新しい共形関連計量のリッチテンソルは^[6]で与えられ、ここでは（正のスペクトル）ホッジラプラシアン、つまりヘッセ行列の通常のトレースの反対です。 ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle e^{2f}}$ ${\displaystyle {\tilde {g}}=e^{2f}g}$ $${\displaystyle {\widetilde {\operatorname {Ric} }}=\operatorname {Ric} +(2-n)\left[\nabla df-df\otimes df\right]+\left[\Delta f-(n-2)\|df\|^{2}\right]g,}$$ ${\displaystyle \Delta ={\star }d{\star }d}$

特に、リーマン多様体内の点が与えられた場合、リッチテンソルが⁠ ⁠でゼロになるような、与えられた計量に共形な計量を見つけることは常に可能です。ただし、これは点単位の主張に過ぎないことに注意が必要です。通常、共形再スケーリングによって多様体全体でリッチ曲率が同じようにゼロになるようにすることは不可能です。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle p}$

2次元多様体の場合、上記の式は、が調和関数である場合、共形スケーリングによってリッチテンソルは変化しないことを示しています（ただし、でない限り、計量に対するトレースは変化します） 。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g\mapsto e^{2f}g}$ ${\displaystyle f=0}$

トレースフリーリッチテンソル

リーマン幾何学および擬リーマン幾何学において、リーマン多様体または擬リーマン多様体のトレースフリー・リッチテンソル（トレースレス・リッチテンソルとも呼ばれる）は、 ⁠ ⁠のリッチ曲率とスカラー曲率を表す、で定義されるテンソルです。このオブジェクトの名前は、そのトレースが自動的に消えるという事実を反映しています：⁠ ⁠。しかし、これはリッチテンソルの「直交分解」を反映するため、非常に重要なテンソルです。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \left(M,g\right)}$ $${\displaystyle Z=\operatorname {Ric} -{\frac {1}{n}}Rg,}$$ ${\displaystyle \operatorname {Ric} }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} _{g}Z\equiv g^{ab}Z_{ab}=0}$

リッチテンソルの直交分解

次の、それほど重要ではない特性は $${\displaystyle \operatorname {Ric} =Z+{\frac {1}{n}}Rg.}$$

右側の 2 つの項が互いに直交していることは、すぐには分かりません。 $${\displaystyle \left\langle Z,{\frac {1}{n}}Rg\right\rangle _{g}\equiv g^{ab}\left(R_{ab}-{\frac {1}{n}}Rg_{ab}\right)=0.}$$

これと密接に関係する（しかし直接証明できる）同一性は、 $${\displaystyle \left|\operatorname {Ric} \right|_{g}^{2}=|Z|_{g}^{2}+{\frac {1}{n}}R^{2}.}$$

トレースフリーリッチテンソルとアインシュタイン計量

発散を取り、縮約されたビアンキ恒等式を用いると、⁠ ⁠が成り立つことがわかります。したがって、n ≥ 3かつ が連結であるならば、 が消滅することはスカラー曲率が一定であることを意味します。すると、以下の式は同値であることがわかります。 ${\displaystyle Z=0}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}dR-{\frac {1}{n}}dR=0}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Z}$

• ${\displaystyle Z=0}$
• ${\displaystyle \operatorname {Ric} =\lambda g}$何らかの数字 ${\displaystyle \lambda }$
• ${\displaystyle \operatorname {Ric} ={\frac {1}{n}}Rg}$

リーマン写像の設定では、上記の直交分解は、 がこれらの条件と同値であることを示しています。対照的に、擬リーマン写像の設定では、条件は必ずしも⁠ ⁠を意味するわけではないため、これらの条件は⁠ ⁠を意味すると言えるに過ぎません。 ${\displaystyle R^{2}=n\left|\operatorname {Ric} \right|^{2}}$ ${\displaystyle |Z|_{g}^{2}=0}$ ${\displaystyle Z=0}$ ${\displaystyle R^{2}=n\left\vert \operatorname {Ric} \right\vert _{g}^{2}}$

特に、トレースフリーのリッチテンソルが消失することは、数 に対する条件によって定義されるアインシュタイン多様体の特徴です。一般相対性理論では、この方程式は、が宇宙定数を持つアインシュタインの真空場の方程式の解であると述べています。 ${\displaystyle \operatorname {Ric} =\lambda g}$ ${\displaystyle \lambda .}$ ${\displaystyle \left(M,g\right)}$

ケーラー多様体

ケーラー多様体 上では、 ${\displaystyle X}$リッチ曲率が正準直線束の曲率形式を決定します。^[7] 正準直線束は、正則ケーラー微分束の上の外部冪です。 $${\displaystyle \kappa ={\textstyle \bigwedge }^{n}~\Omega _{X}.}$$

上の計量に対応するレヴィ・チヴィタ接続は、⁠ ⁠上の接続を生じます。この接続の曲率は、 によって定義される2-形式です 。ここで、 はケーラー多様体の構造によって決定される接バンドル上の複素構造写像です。リッチ形式は閉じた2-形式です。そのコホモロジー類は、実定数因子を除いて、標準バンドルの最初のチャーン類であり、したがって、 の位相と複素構造のホモトピー類のみに依存するという意味で、の位相不変量です（コンパクト⁠ ⁠の場合） 。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \kappa }$ $${\displaystyle \rho (X,Y)\;{\stackrel {\text{def}}{=}}\;\operatorname {Ric} (JX,Y)}$$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

逆に、リッチ形式はリッチテンソルを次のように決定する。 $${\displaystyle \operatorname {Ric} (X,Y)=\rho (X,JY).}$$

局所正則座標では、リッチ形式は次のように与えられる。ここで∂はドルボー演算子であり、 ${\displaystyle z^{\alpha }}$ $${\displaystyle \rho =-i\partial {\overline {\partial }}\log \det \left(g_{\alpha {\overline {\beta }}}\right)}$$ $${\displaystyle g_{\alpha {\overline {\beta }}}=g\left({\frac {\partial }{\partial z^{\alpha }}},{\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}^{\beta }}}\right).}$$

リッチテンソルがゼロであれば、標準バンドルは平坦なので、構造群は局所的に特殊線型群⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathrm {SL} (n;\mathbb {C} )}$の部分群に還元できます。しかし、ケーラー多様体はすでに⁠ ⁠にホロノミーを持っているので、リッチ平坦ケーラー多様体の（制限付き）ホロノミーは⁠ ⁠に含まれます。逆に、2次元リーマン多様体の（制限付き）ホロノミーが⁠ ⁠に含まれる場合、その多様体はリッチ平坦ケーラー多様体です。^[8] ${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (n)}$

アフィン接続への一般化

リッチテンソルは任意のアフィン接続に一般化することができ、射影幾何学（非パラメータ化測地線に関連する幾何学）の研究において特に重要な役割を果たす不変量です。 ^[9]がアフィン接続を表す 場合、曲率テンソルは任意のベクトル場⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠に対してによって定義される (1,3)-テンソルです。リッチテンソルはトレースとして定義されます。 ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle R}$ $${\displaystyle R(X,Y)Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$ $${\displaystyle \operatorname {ric} (X,Y)=\operatorname {tr} {\big (}Z\mapsto R(Z,X)Y{\big )}.}$$

このより一般的な状況では、接続に対して 局所的に平行体積形式が存在する場合にのみ、リッチテンソルは対称になります。

離散リッチ曲率

離散多様体上のリッチ曲率の概念は、グラフやネットワーク上で定義されており、辺の局所的な発散特性を定量化している。オリヴィエのリッチ曲率は、最適輸送理論を用いて定義されている。^[10]異なる（そしてより古い）概念であるフォーマンのリッチ曲率は、位相論的議論に基づいている。^[11]

参照

• リーマン多様体の曲率
• スカラー曲率
• リッチ計算
• リッチ分解
• リッチ平坦多様体
• クリストッフェルの記号
• 一般相対性理論の数学入門

脚注

1. ベッセ 1987, 43ページ
2. ここでは、多様体が唯一のレヴィ・チヴィタ接続を持つと仮定する。一般のアフィン接続では、リッチテンソルは対称である必要はない。
3. ロット＆ヴィラニ 2006
4. Chow & Knopf 2004、補題3.32
5. ギャロウェイ 2000
6. ベッセ 1987, 59ページ
7. モロイアヌ 2007年、第12章
8. 小林＆野水 1996, IX, §4
9. 野水＆佐々木 1994
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参考文献

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外部リンク

• Z. Shen、C. Sormani「非負リッチ曲率を持つ開多様体の位相」（概説）
• G. Wei、「下側リッチ曲率境界を持つ多様体」（概説）

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