数学の可能性
数学 において 、 リースポテンシャル は、発見者であるハンガリーの数学者 マルセル・リースにちなんで名付けられた ポテンシャル です。ある意味で、リースポテンシャルはユークリッド空間における ラプラス作用素 の冪の逆を定義します。リースポテンシャルは、一変数の リーマン・リウヴィル積分を 多変数に一般化したものです 。
意味 0 < α < nの場合、 R n 上の 局所積分可能な関数 f の リースポテンシャル I α f は次のように定義される関数である。
（ 私 α f ） （ × ） ＝ 1 c α ∫ R n f （ y ） | × − y | n − α d y {\displaystyle (I_{\alpha }f)(x)={\frac {1}{c_{\alpha }}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\frac {f(y)}{|xy|^{n-\alpha }}}\,\mathrm {d} y} 1
ここで定数は
c α ＝ π n / 2 2 α Γ （ α / 2 ） Γ （ （ n − α ） / 2 ） 。 {\displaystyle c_{\alpha }=\pi ^{n/2}2^{\alpha }{\frac {\Gamma (\alpha /2)}{\Gamma ((n-\alpha )/2)}}.} この 特異積分は、 fが 無限大で十分に急速に減衰する、具体的には f ∈ L p ( R n ) かつ 1 ≤ p < n / α を満たす場合に定義される。ソボレフによる古典的な結果は、 f の減衰率と I α f の減衰率 は不等式（ ハーディ・リトルウッド・ソボレフ不等式 ）
の形で関係しているというものである。
‖ 私 α f ‖ p ∗ ≤ C p ‖ f ‖ p 、 p ∗ ＝ n p n − α p 、 た 1 < p < n α {\displaystyle \|I_{\alpha }f\|_{p^{*}}\leq C_{p}\|f\|_{p},\quad p^{*}={\frac {np}{n-\alpha p}},\quad \forall 1<p<{\frac {n}{\alpha }}} p = 1の場合、 結果は（Schikorra、Spector、Van Schaftingen 2014）によって拡張されました。
‖ 私 α f ‖ 1 ∗ ≤ C p ‖ R f ‖ 1 。 {\displaystyle \|I_{\alpha }f\|_{1^{*}}\leq C_{p}\|Rf\|_{1}.} ここで はベクトル値 リース変換 です。より一般的には、演算子 I α は 、0 < Re α < n となる 複素数 αに対して明確に定義されます 。 R f ＝ D 私 1 f {\displaystyle Rf=DI_{1}f}
リースポテンシャルは、より一般的には、 畳み込みの 弱い意味 で次のように定義できる。
私 α f ＝ f ∗ K α {\displaystyle I_{\alpha}f=f*K_{\alpha}} ここで Kα は 局所積分関数である。
K α （ × ） ＝ 1 c α 1 | × | n − α 。 {\displaystyle K_{\alpha }(x)={\frac {1}{c_{\alpha }}}{\frac {1}{|x|^{n-\alpha }}}.} したがって、リースポテンシャルは、 f が コンパクトに支えられた超関数であるときはいつでも定義できる 。この点に関して、 コンパクトな支えを持つ正の ボレル測度 μのリースポテンシャルは、 ポテンシャル理論 において主に興味深い。 なぜなら、 I α μ はμ の支えから離れた （連続な） 劣調和関数となり、 R n の全体にわたって 下半連続と なるからである。
フーリエ変換 を考慮すると、 リースポテンシャルは フーリエ乗数 であることがわかる。 [1] 実際、
K α ^ （ ξ ） ＝ ∫ R n K α （ × ） e − 2 π 私 × ξ d × ＝ | 2 π ξ | − α {\displaystyle {\widehat {K_{\alpha }}}(\xi )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}K_{\alpha }(x)e^{-2\pi ix\xi }\,\mathrm {d} x=|2\pi \xi |^{-\alpha }} そして 畳み込み定理 により、
私 α f ^ （ ξ ） ＝ | 2 π ξ | − α f ^ （ ξ ） 。 {\displaystyle {\widehat {I_{\alpha }f}}(\xi )=|2\pi \xi |^{-\alpha }{\hat {f}}(\xi ).} リースポテンシャルは 、例えば、 急速に減少する 連続関数に対して、次のような 半群の性質を満たす。
私 α 私 β ＝ 私 α + β {\displaystyle I_{\alpha }I_{\beta }=I_{\alpha +\beta }} 提供された
0 < 再 α 、 再 β < n 、 0 < 再 （ α + β ） < n 。 {\displaystyle 0<\operatorname {Re} \alpha ,\operatorname {Re} \beta <n,\quad 0<\operatorname {Re} (\alpha +\beta )<n.} さらに、 0 < Re α < n –2 の場合、
Δ 私 α + 2 ＝ 私 α + 2 Δ ＝ − 私 α 。 {\displaystyle \Delta I_{\alpha +2}=I_{\alpha +2}\Delta =-I_{\alpha }.} このクラスの関数については、
リム α → 0 + （ 私 α f ） （ × ） ＝ f （ × ） 。 {\displaystyle \lim _{\alpha \to 0^{+}}(I_{\alpha }f)(x)=f(x).}
参照
注記
参考文献 Landkof, NS (1972), Foundations of modern potential theory , Berlin, New York: Springer-Verlag , MR 0350027 Riesz, Marcel (1949)、「L'intégrale de Riemann-Liouville et le problème de Cauchy」、 Acta Mathematica 、 81 : 1–223 、 doi : 10.1007/BF02395016 、 ISSN 0001-5962、 MR 0030102 。 Solomentsev, ED (2001) [1994]、「リースポテンシャル」、 数学百科事典 、 EMSプレス Schikorra, Armin; Spector, Daniel; Van Schaftingen, Jean (2014), Rieszポテンシャルの-型推定 , L 1 {\displaystyle L^{1}} arXiv : 1411.2318 , doi : 10.4171/rmi/937, S2CID 55497245 スタイン、エリアス （1970年）、 関数の特異積分と微分可能性 、プリンストン、ニュージャージー州： プリンストン大学出版局 、 ISBN 0-691-08079-8 サムコ、ステファン G. (1998)、「リースポテンシャル演算子の逆行列への新しいアプローチ」 (PDF) 、 分数計算と応用解析 、 1 (3): 225– 245 
