区間（数学）

数直線上の加算x + *a。xより大きく*x + aより小さいすべての数は、この開区間内にあります。

数直線の正側と負側における数値区間

数学において、 実区間とは、2つの固定された端点の間にある「隙間」のないすべての実数の集合です。各端点は実数、正または負の無限大のいずれかであり、区間が境界なく広がることを示します。実区間には、どちらの端点も含まれないことも、一方の端点のみが含まれることも、両方の端点が含まれることもありますが、無限大の端点は除きます。

例えば、 $0、1$ 、およびその間のすべての数からなる実数の集合は区間であり、 $[0, 1]と表記され、$ 単位区間と呼ばれます。すべての正の実数の集合は区間であり、 $(0, \infty)$ と表記されます。すべての実数の集合は区間であり、 $(-\infty, \infty)$ と表記されます。任意の単一の実数 $aは$ 区間であり、 $[$ $a$ $,$ $a$ $]$ と表記されます

区間は数学的解析において遍在します。例えば、連続性のイプシロン-デルタ定義には暗黙的に現れます。中間値定理は、連続関数による区間の像は区間であると主張されます。実関数の積分は区間上で定義されます。

区間演算は、入力データの不確実性や丸め誤差が存在する場合でも、数値計算の結果を確実に囲むために、実数ではなく区間を用いて計算することです。

区間は、整数や有理数などの任意の全順序集合上でも同様に定義されます。整数区間の表記法については、以下の特別なセクションで説明します。

定義と用語

区間とは、実数の部分集合であり、その部分集合の任意の2つの数の間にあるすべての実数を含みます。特に、空集合と実数全体の集合はどちらも区間です $\varnothing$ $\mathbb {R}$

区間の端点は、実数として存在する場合、その上限と下限です。[ 1 ]下限が^存在しない場合、対応する端点はであることが多いと言われています。同様に、上限が存在しない場合、対応する端点はであると言われています。 $-\infty .$ $+\infty .$

区間は、その端点と、各端点が区間に属するかどうかによって完全に決定されます。これは、実数の最小上界性の結果です。この特徴付けは、以下で説明する区間表記法によって区間を指定するために使用されます。区間表記法については、以下で説明します。

ある開区間は $(0,1)=\{x\mid 0<x<1\}$

{\begin{aligned}(a,b)&=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x<b\},\\(-\infty ,b)&=\{x\in \mathbb {R} \mid x<b\},\\(a,+\infty )&=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x\},\\(-\infty ,+\infty )&=\mathbb {R} ,\\(a,a)&=\emptyset ,\end{aligned}}

ここで、aとbは実数で、次のようになります。最後の場合、結果として得られる区間は空集合となり、 ⁠ ⁠に依存しません。開区間とは、実数上の通常の位相に対して開集合となる区間のことです。 $a$ $b$ $a<b.$ $a$

A閉区間とは、すべての端点を含む区間であり、角括弧で表されます。^[2]たとえば、 $[0, 1]$ $0$ 以上 $1$ 以下を $a$ と $b$ が実数である以下のいずれかの形式を持ち、 $a<b\colon$

{\begin{aligned}\;[a,b]&=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\},\\\left(-\infty ,b\right]&=\{x\in \mathbb {R} \mid x\leq b\},\\\left[a,+\infty \right)&=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\},\\(-\infty ,+\infty )&=\mathbb {R} ,\\\left[a,a\right]&=\{a\}.\end{aligned}}

閉区間とは、実数上の通常の位相に対して閉集合となる区間のことです

A半開区間には2つの端点があり、そのうちの1つだけを含みます。除外された端点が左側にあるか右側にあるかによって、左開区間または右開区間と呼ばれます^[3]たとえば、 $(0, 1]$ $0$ より $1$ 以下、 $[0, 1)$ $0$ 以上 $1$ 未満。半開区間は次の形式を持ちます

{\begin{aligned}\left(a,b\right]&=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x\leq b\},\\\left[a,b\right)&=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x<b\}.\\\end{aligned}}

要約すると、実数の集合は、開区間、閉区間、または半開区間である場合に限り、区間となります。上記の分類で2回出現する区間は、開区間と閉区間の両方であるとのみです。[ $\emptyset$ 4 ] $\mathbb {R}$ [ ⁵^]

A退化区間とは、単一の実数からなる集合 $[a, a] の$ 形式の区間です。^[6]真区間と呼ばれ、無限個の要素を持ちます

ある区間が、そのすべての要素よりも小さい、または大きい実数が存在する場合、左有界または右有界であると言われます。左有界と右有界の両方が存在する場合、区間は有界であると言われ、そうでない場合は非有界であると言われます。片方の端だけで有界である区間は、半有界であると言われます。空集合は有界であり、すべての実数の集合は、両端で非有界である唯一の区間です。有界区間は、一般的に有限区間とも呼ばれます。

有界区間は、その直径（端点間の絶対差に等しい）が有限であるという意味で、有界集合です。直径は、区間の長さ、幅、測度、範囲、またはサイズと呼ばれることがあります。非有界区間のサイズは通常、 $+\inftyと定義され、空区間のサイズは$ $0$ （または未定義のまま）と定義されます

$端点a$ と $b$ を持つ有界区間の中心（中点）は( a + b $)$ $/$ $2$ $で$ $あり$ 、その半径は長さの半分 $|$ $a$ $-$ $b$ $|/2$ です。これらの概念は、空区間または有界でない区間では定義されません

区間は、最小値（他のすべての要素よりも小さい要素）を含まない場合にのみ左開区間であると言われ、最大値を含まない場合は右開区間であり、どちらも含まない場合は開区間です。例えば、区間 $[0, 1)$ $= {$ $x$ $| 0 \leq$ $x$ $< 1}$ は左閉区間であり、右開区間です。空集合とすべての実数全体の集合は開区間と閉区間の両方ですが、非負実数全体の集合は右開区間ですが左開区間ではありません。開区間は、実数直線の標準位相における開集合であり、開集合の基底を形成します。

区間は、最小要素を持つか左非有界である場合は左閉区間、最大値を持つか右非有界である場合は右閉区間と呼ばれます。左閉かつ右閉である場合は、単に閉区間と呼ばれます。したがって、閉区間はその位相における閉集合と一致します

区間 $I$ の内部とは、 $区間 I$ に含まれる最大の開区間であり、また、区間 $I$ の端点ではない区間の集合でもあります。 $区間 I$ $の$ 閉包とは、区間 $I$ を含む最小の閉区間であり、また、有限の端点を加えた集合 $Iでもあります。$

$任意の実数集合X$ について、 $X$ の区間包囲または区間スパンは、 $X$ を含む唯一の区間であり、 $X$ を含む他の区間を真に含みません。

区間 $I$ が区間J の部分集合である場合、区間 Iは区間 $J$ の部分区間です。区間 $I$ $が区間$ $J$ の真部分集合である $場合$ 、区間I $は区間$ $J$ の真部分区間です

しかし、「区間」と「区間」という用語には矛盾した用語法があり、文献では本質的に正反対の2つの意味で使用されており、これらの用語の使用時に曖昧さが生じています。『数学百科事典』^[7]では、区間（修飾語なし）を両端点を除外する（つまり開区間）ものと定義し、区間を両端点を含む（つまり閉区間）ものと定義しています。一方、ルーディンの『数学解析の原理』^{[8]では、[}a , b ]の形式の集合を区間、( a , b )の形式の集合を区間と呼んでいます。これらの用語は古い著作に見られる傾向があり、現代のテキストでは、端点が含まれているかどうかにかかわらず、区間（開、閉、または半開で修飾される）という用語がますます好まれています。

区間の表記法

$a$ と $b$ を含む $a$ と $b$ の間の数値の区間は、しばしば $[a, b]$ と表記されます。2つの数値は区間の端点と呼ばれます。数値を小数点コンマで表記する国では、曖昧さを避けるためにセミコロンを区切り文字として使用することがあります。

端点の包含または除外

端点の1つを集合から除外することを示すには、対応する角括弧を丸括弧に置き換えるか、逆にすることができます。どちらの表記法も国際規格 ISO 31-11で説明されています。したがって、集合構築表記法では、

{\begin{aligned}(a,b)={\mathopen {]}}a,b{\mathclose {[}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x<b\},\\[5mu][a,b)={\mathopen {[}}a,b{\mathclose {[}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x<b\},\\[5mu](a,b]={\mathopen {]}}a,b{\mathclose {]}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x\leq b\},\\[5mu][a,b]={\mathopen {[}}a,b{\mathclose {]}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\}.\end{aligned}}

各区間 $(a, a)$ 、 $[a, a)$ 、 $(a, a]は$ 空集合を表し、 $[a, a]$ は単集合 ${a}を表します。a$ $> b$ $の$ 場合、通常、4つの表記法すべてが空集合を表すものとされます

どちらの表記も、数学における括弧や角括弧の他の用法と重複する場合があります。たとえば、表記 $(a, b)$ は、集合論における順序付きペア、解析幾何学と線型代数における点またはベクトルの座標、または（場合によっては）代数における複素数を表すためによく使用されます。そのため、ブルバキは開区間を表すために $]$ $a$ $,$ $b$ $[$ という表記を導入しました。^[9]表記 $[$ $a$ $,$ $b$ $]$ も、特にコンピュータサイエンスにおいて、順序付きペアを表すために使用されることがあります

イヴ・ティレなどの一部の著者は $、] a, b [を区間$ $(a, b)$ の補集合、つまり $a以下または$ $b$ 以上のすべての実数の集合を表すために使用します。

無限端点

文脈によっては、区間は拡張実数の部分集合、つまりすべての実数に $-\infty$ と $+\infty$ を加えた集合として定義されることがあります。

この解釈では、 $[-\infty, b]$ 、 $[-\infty, b]$ 、 $[a, +\infty]$ 、 $[a, +\infty]$ という表記はすべて意味を持ち、明確に区別されます。特に、 $(-\infty, +\infty)は$ すべての通常の実数の集合を表し、 $[-\infty, +\infty]$ は拡張実数を表します。

通常の実数の文脈においても、その方向に境界がないことを示すために無限の端点を使用する場合があります。たとえば、 $(0, +\infty)は$ 正の実数の集合であり、と表記されます。文脈は上記の定義や用語の一部に影響します。たとえば、区間 $(-\infty, +\infty)$ = は通常の実数の領域では閉じていますが、拡張実数の領域では閉じていません。 $\mathbb {R} _{+}.$ $\mathbb {R}$

整数区間

$a$ と $bが$ 整数の場合、⟦a , b⟧、または[ $a..b] 、$ ${a..b}、あるいは単にa..b$ $という$ $表記$ $は$ $、$ a $と$ $b$ $の$ $間$ の $すべて$ の整数の区間を示すために使用されることがあります $。$ $[$ $a..b$ $]$ $という$ 表記は一部のプログラミング言語で使用されます。たとえば、 Pascalでは、部分範囲型 $を$ 正式に定義するために使用され、配列の有効なインデックスの下限と上限 $を$ 指定するために最も頻繁に使用されます。

整数区間を解釈する別の方法は、省略記法を用いた列挙によって定義された集合として解釈することです

有限の下限または上限を持つ整数区間は、常にその端点を含みます。したがって、端点の除外は、 $a .. b - 1$ 、 $a + 1 .. b$ 、または $a + 1 .. b - 1と書くことで明示的に表すことができます。$ $[a .. b)$ や $[a .. b [$ のような代替括弧表記は、整数区間ではほとんど使用されません。^[要出典]

特性

区間は、まさに連結された部分集合です。したがって、からへの任意の連続関数による区間の像もまた区間となります。これは中間値定理の1つの定式化です。 $\mathbb {R} .$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$

区間は、の凸部分集合でもあります。部分集合の区間包は、の凸包でもあります $\mathbb {R} .$ $X\subseteq \mathbb {R}$ $X.$

区間の閉包は、区間とその有限端点の集合との和集合であり、したがって区間でもある。（後者は、位相空間のすべての連結部分集合の閉包が連結部分集合であるという事実からも導かれる。）言い換えれば、^{[10]となる。}

\operatorname {cl} (a,b)=\operatorname {cl} (a,b]=\operatorname {cl} [a,b)=\operatorname {cl} [a,b]=[a,b],

\operatorname {cl} (a,+\infty )=\operatorname {cl} [a,+\infty )=[a,+\infty ),

\operatorname {cl} (-\infty ,a)=\operatorname {cl} (-\infty ,a]=(-\infty ,a],

\operatorname {cl} (-\infty ,+\infty )=(-\infty ,\infty ).

区間の集合の交差は常に区間である。2つの区間の和集合が区間となるのは、それらの区間が空でない交差を持つ場合、または一方の区間の開端点が他方の区間の閉端点である場合のみである。例えば、 $(a,b)\cup [b,c]=(a,c].$

を距離空間と見なすと、その開球は開有界区間 $($ $c$ $+$ $r$ $,$ $c$ $-$ $r$ $)$ であり、その閉球は閉有界区間 $[$ $c$ $+$ $r$ $,$ $c$ $-$ $r$ $]$ である。特に、実数直線における計量位相と順序位相は一致しており、これは実数直線の標準位相である。 $\mathbb {R}$

区間 $I$ の任意の元 $xは、$ $I$ を3つの互いに素な区間 $I$ ₁、 $I$ ₂、 $I$ ₃に分割する。それぞれ、 $Iの$ $x$ 未満の元、単一元、および $x$ より大きい元である。部分 $I$ ₁と $I$ _3は、 $x が$ $I$ の内部にある場合のみ、空でない（内部が空でない）である。これは三分法原理の区間版である。 $[x,x]=\{x\},$

二項区間

二項区間は、端点がとで、が整数である有界実区間です。文脈に応じて、いずれかの端点が区間に含まれる場合と含まれない場合があります。 ${\tfrac {j}{2^{n}}}$ ${\tfrac {j+1}{2^{n}}},$ $j$ $n$

二項区間には以下の特性があります。

二項区間の長さは常に2の整数乗です。
各二項区間は、長さの2倍の二項区間が1つだけ含まれます。
各二項区間は、長さの半分の2つの二項区間によって張られます。
2つの開いた二項区間が重なる場合、そのうちの1つは他方の区間の部分集合です。

したがって、二項区間は無限二分木の構造を反映した構造を持ちます。

二項区間は、適応メッシュ細分化、マルチグリッド法、ウェーブレット解析など、数値解析のいくつかの分野に関連しています。このような構造を表す別の方法は、p進解析（ $p$ $= 2$ の場合）です。^[11]

一般化

ボール

開有限区間は、中心がで半径がである1次元開球です。閉有限区間は対応する閉球であり、区間の2つの端点は0次元球面を形成します。次元ユークリッド空間に一般化すると、球とは中心からの距離が半径よりも小さい点の集合です。2次元の場合、球は円板と呼ばれます。 $(a,b)$ ${\tfrac {1}{2}}(a+b)$ ${\tfrac {1}{2}}(b-a).$ $[a,b]$ $\{a,b\}$ $n$

半空間を（明確に定義された中心や半径を持たない）一種の退化した球体と見なすと、半空間は半有界区間に類似したものと見なすことができ、その境界面は有限端点に対応する（退化した）球面となります。

多次元区間

有限区間は1次元の超長方形（の内部）です。実座標空間に一般化された、軸に沿った超長方形（またはボックス）は、有限区間の直積です。これは長方形であり、これは直方体（「ボックス」とも呼ばれます）です。 $\mathbb {R} ^{n},$ $n$ $n=2$ $n=3$

開端点、閉端点、無限端点の混在を許容する任意の区間の直積は、次元区間と呼ばれることもあります。^[^要出典^] $n$ $I=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}$ $n$

このような区間の面は、非退化区間因子を有限端点からなる退化区間に置き換えた結果です。の面は、それ自体とその面のすべての面で構成されます。の角は、の単一の点からなる面です^[^要出典^] $I$ $I_{k}$ $I_{k}.$ $I$ $I$ $I$ $\mathbb {R} ^{n}.$

凸多面体

任意の有限区間は、半有界区間の交差として構成できます（交差が空の場合、実数直線全体を意味します）。また、任意の数の半有界区間の交差は、（空である可能性もある）区間です。次元アフィン空間に一般化すると、（任意の方向の）半空間の交差は、凸多面体（の内部）であり、2次元の場合は凸多角形です。 $n$

領域

開区間とは、実数の連結な開集合である。位相空間全般に一般化して、空でない連結な開集合は定義域と呼ばれる。

複素区間

複素数の区間は、複素平面の領域（長方形または円形）として定義できる。^[12]

半集合と順序付き集合における区間

定義

区間の概念は、任意の半順序集合、またはより一般的には任意の順序付き集合において定義できます。順序付き集合と2つの要素について、同様に区間を定義します^[13]^{：11、定義11} $(X,\lesssim )$ $a,b\in X,$

(a,b)=\{x\in X\mid a<x<b\},

[a,b]=\{x\in X\mid a\lesssim x\lesssim b\},

(a,b]=\{x\in X\mid a<x\lesssim b\},

[a,b)=\{x\in X\mid a\lesssim x<b\},

(a,\infty )=\{x\in X\mid a<x\},

[a,\infty )=\{x\in X\mid a\lesssim x\},

(-\infty ,b)=\{x\in X\mid x<b\},

(-\infty ,b]=\{x\in X\mid x\lesssim b\},

(-\infty ,\infty )=X,

ここで、実際には、単一の端点または端点のない区間は、より大きな順序付き集合における2つの端点を持つ区間と同じです。 $x<y$ $x\lesssim y\not \lesssim x.$

{\bar {X}}=X\sqcup \{-\infty ,\infty \}

-\infty <x<\infty \qquad (\forall x\in X)

は、新しい最小要素と最大の要素（たとえあったとしても）を追加することによって定義されます。これらはの部分集合です。の場合、は拡張された実数直線と見なすことができます。 $X.$ $X=\mathbb {R}$ ${\bar {\mathbb {R} }}$

順序理論における凸集合と凸成分

順序付き集合の部分集合が（順序）凸である場合、すべてのとすべてのに対してが成り立ちます。実数直線の場合とは異なり、順序付き集合の凸集合は区間である必要はありません。例えば、有理数の全順序付き集合では、集合は $A\subseteq X$ $(X,\lesssim )$ $x,y\in A$ $x\lesssim z\lesssim y$ $z\in A.$ $(\mathbb {Q} ,\leq )$

\mathbb {Q} =\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{2}<2\}

凸ですが、の区間ではありませんには2の平方根がないからです $\mathbb {Q} ,$ $\mathbb {Q} .$

を順序付き集合とし、をとする。に含まれるの凸集合は包含に関してposetを形成する。この poset の最大元はの凸成分と呼ばれる^[14]^：定義5.1^[15]^：727ツォルンの補題により、に含まれるの任意の凸集合はの何らかの凸成分に含まれるが、そのような成分は一意である必要はない。全順序集合では、そのような成分は常に一意である。つまり、全順序集合の部分集合の凸成分は分割を形成する。 $(X,\lesssim )$ $Y\subseteq X.$ $X$ $Y$ $Y.$ $X$ $Y$ $Y,$

特性

実区間の特徴付けの一般化が次式で表される。線型連続体の空でない部分集合の場合、以下の条件は同値である。^[16]^{：153、定理24.1} $I$ $(L,\leq ),$

集合は区間である。 $I$
集合は順序凸である $I$
集合は、順序位相が備わっているとき、連結部分集合である。 $I$ $L$

格子の部分集合に対して、以下の条件は同値である。 $S$ $L,$

集合は部分格子であり、かつ（順序）凸集合である。 $S$
となるイデアルとフィルターが存在する。 $I\subseteq L$ $F\subseteq L$ $S=I\cap F.$

応用

一般位相において

すべてのティコノフ空間は、閉単位区間の積空間に埋め込み可能である。実際、濃度を基底とするすべてのティコノフ空間は、区間のコピーの積に埋め込み可能である。 ^[17]^{：p. 83、定理2.3.23} $[0,1].$ $\kappa$ $[0,1]^{\kappa }$ $\kappa$

凸集合と凸成分の概念は、順序位相を備えたすべての全順序集合が完全に正規^[15]、さらには単調に正規^[14]であることの証明に用いられる。

位相代数

区間は平面上の点と関連付けることができ、したがって区間の領域は平面上の領域と関連付けることができます。一般的に、数学における区間は、実数とそのそれ自身の直積から得られる順序付きペア $(x, y)に対応し、多くの場合、$ $y$ $>$ $x$ と仮定されます。数学的構造の目的上、この制約は無視され、^[18] $y$ $-$ $x$ $< 0$ となる「逆区間」が許容されます。この場合、すべての区間 $[$ $x$ $,$ $y$ $]$ の集合は、それ自身との直和によって形成される位相環と同一視され、加算と乗算は成分ごとに定義されます。 $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ $\mathbb {R}$

直和代数には、{[ x ,0]: x∈R }と{[0, y ]: y∈R }という2つのイデアルがあります。この代数の単位元は、凝縮された区間 $[1,1]$ です。区間 $[$ $x$ $,$ $y$ $]$ がどちらのイデアルにも含まれない場合、その逆元は $[1/$ $x$ $,1/$ $y$ $]$ です。通常の位相を持つ区間代数は、位相環を形成します。この環の単位群は、軸（この場合はイデアル）によって決定される4つの象限で構成されます。この群の単位元成分は象限Iです。 $(\mathbb {R} \oplus \mathbb {R} ,+,\times )$

すべての区間は、その中点を中心とした対称区間とみなすことができます。1956年にM・ウォーマスによって発表された再構成では、「均衡区間」の軸 $[x, -x] が$ 、点に縮約される区間の軸 $[x, x]$ とともに使用されています。直和の代わりに、区間環はM・ウォーマスとDH・レーマーによって、次の同一視を通して双曲数と同一視されています^{[19] 。} $R\oplus R,$

z={\tfrac {1}{2}}(x+y)+{\tfrac {1}{2}}(x-y)j,

ここで $j^{2}=1.$

環同型に相当するこの平面の線形写像は、極分解などの通常の複素数演算といくつかの類似点を持つ乗法構造を平面に提供します。

参照

参考文献

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参考文献

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外部リンク

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