オイラー類

Characteristic class of oriented, real vector bundles

数学、特に代数位相幾何学において、オイラー類は向き付けられた実ベクトル束の特性類である。他の特性類と同様に、ベクトル束がどの程度「ねじれているか」を測る。滑らかな多様体の接束の場合、オイラー類は古典的なオイラー特性の概念を一般化する。このことから、レオンハルト・オイラーにちなんで名付けられた。

この記事全体を通して、基底空間上の階数の有向実ベクトル束が取り上げられます。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle X}$

正式な定義

オイラー類は整コホモロジー群の元である ${\displaystyle e(E)}$

${\displaystyle H^{r}(X;\mathbf {Z} ),}$

以下のように構築される。の向きはコホモロジーの生成子の連続的な選択に相当する。 ${\displaystyle E}$

${\displaystyle H^{r}(\mathbf {R} ^{r},\mathbf {R} ^{r}\setminus \{0\};\mathbf {Z} )\cong {\tilde {H}}^{r-1}(S^{r-1};\mathbf {Z} )\cong \mathbf {Z} }$

各繊維の零補集合に対する相対的な値。トム同型写像から、これは配向クラスを誘導する。 ${\displaystyle \mathbf {R} ^{r}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{r}\setminus \{0\}}$

${\displaystyle u\in H^{r}(E,E\setminus E_{0};\mathbf {Z} )}$

零切断の補集合に対するコホモロジーにおける包含関係 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E\setminus E_{0}}$ ${\displaystyle E_{0}}$

${\displaystyle (X,\emptyset )\hookrightarrow (E,\emptyset )\hookrightarrow (E,E\setminus E_{0}),}$

を零セクションとして含む場合、写像を誘導する ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle H^{r}(E,E\setminus E_{0};\mathbf {Z} )\to H^{r}(E;\mathbf {Z} )\to H^{r}(X;\mathbf {Z} ).}$

オイラー類 e ( E )はこれらの写像の合成によるuの像である。

プロパティ

オイラー類は、特性類の公理である以下の特性を満たします。

• 関数性:が別の有向実ベクトル束であり、が連続で向きを保存する写像 で覆われている場合、 となります。特に、です。 ${\displaystyle F\to Y}$ ${\displaystyle f\colon Y\to X}$ ${\displaystyle F\to E}$ ${\displaystyle e(F)=f^{*}(e(E))}$ ${\displaystyle e(f^{*}(E))=f^{*}(e(E))}$
• ホイットニー 和公式：が別の有向実ベクトル束である場合、それらの直和のオイラー類は次のように与えられる。 ${\displaystyle F\to X}$ ${\displaystyle e(E\oplus F)=e(E)\smile e(F).}$
• 正規化:がゼロのないセクションを持つ場合、 となります。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle e(E)=0}$
• 方向:が反対方向の場合、 となります。 ${\displaystyle {\overline {E}}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle e({\overline {E}})=-e(E)}$

「正規化」はオイラー類の特徴的な性質であることに注意してください。オイラー類は、が非消滅断面を持たないという意味で、非消滅断面の存在を阻害します。 ${\displaystyle e(E)\neq 0}$ ${\displaystyle E}$

また、他の特性類とは異なり、オイラー類はバンドルの階数に依存する次数に集中している：。対照的に、スティフェル・ホイットニー類はの階数とは独立してに存在する。これは、後述するようにオイラー類が不安定であるという事実を反映している。 ${\displaystyle e(E)\in H^{r}(X)}$ ${\displaystyle w_{i}(E)}$ ${\displaystyle H^{i}(X;\mathbb {Z} /2)}$ ${\displaystyle E}$

属セクションの消失点

オイラー類は、次のようにの切断の消失軌跡に対応する。 が次元の有向滑らかな多様体であるとする。が零切断を横切る滑らかな切断であるとする。 が の零軌跡であるとする。すると、は の余次元部分多様体であり、 はホモロジー類を表し、は のポアンカレ双対である。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \sigma \colon X\to E}$ ${\displaystyle Z\subseteq X}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [Z]\in H_{d-r}(X;\mathbf {Z} )}$ ${\displaystyle e(E)}$ ${\displaystyle [Z]}$

自己交差

たとえば、 がコンパクト部分多様体である場合、におけるの法線バンドルのオイラー類は、におけるの自己交差と自然に同一視されます。 ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$

他の不変量との関係

問題のバンドルEが、コンパクトで向き付けられたr次元多様体の接バンドルである特殊なケースでは、オイラー類は多様体のトップコホモロジーの元であり、これは基本ホモロジー類上のコホモロジー類を評価することによって整数と自然に同一視される。この同一視のもとで、接バンドルのオイラー類は多様体のオイラー特性に等しい。特性数の言語において、オイラー特性はオイラー類に対応する特性数である。

このように、オイラー類は接束以外のベクトル束へのオイラー特性の一般化である。同様に、オイラー類はベクトル束の他の特性類の原型であり、各「トップ」特性類は以下のようにオイラー類に等しい。

2つをモッドアウトするとマップが生成される

${\displaystyle H^{r}(X,\mathbf {Z} )\to H^{r}(X,\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} ).}$

この写像の下のオイラー類の像は、最上位のスティフェル・ホイットニー類 w _r ( E ) である。このスティフェル・ホイットニー類は「向きを無視したオイラー類」と見ることができる。

複素階数dの任意の複素ベクトル束E は、実階数 2 dの向き付けられた実ベクトル束Eとみなすことができる。E のオイラー類は、最高次元のチャーン類によって与えられる。 ${\displaystyle e(E)=c_{d}(E)\in H^{2d}(X)}$

ポンチャギンクラスのトップへの広場

ポンチャギン類は、 E : の複素化のチャーン類として定義されます。 ${\displaystyle p_{r}(E)}$ ${\displaystyle p_{r}(E)=c_{r}(\mathbf {C} \otimes E)}$

複素化は向き付けられた束として に同型である。オイラー類を比較すると、 ${\displaystyle \mathbf {C} \otimes E}$ ${\displaystyle E\oplus E}$

${\displaystyle e(E)\smile e(E)=e(E\oplus E)=e(E\otimes \mathbf {C} )=c_{r}(E\otimes \mathbf {C} )\in H^{2r}(X,\mathbf {Z} ).}$

Eのランクrが偶数の場合、のトップ次元ポンチャギン類はどこになりますか。 ${\displaystyle e(E)\smile e(E)=c_{r}(E)=p_{r/2}(E)}$ ${\displaystyle p_{r/2}(E)}$ ${\displaystyle E}$

不安定

特性類は、階数1の自明バンドルが成り立つとき安定である。他のほとんどの特性類とは異なり、オイラー類は不安定である。実際、 である。 ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c(E\oplus {\underline {R}}^{1})=c(E)}$ ${\displaystyle {\underline {R}}^{1}}$ ${\displaystyle e(E\oplus {\underline {R}}^{1})=e(E)\smile e({\underline {R}}^{1})=0}$

オイラー類は分類空間 BSO( k ) におけるコホモロジー類によって表現される。オイラー類の不安定性は、それが包含の下での類の引き戻しではないことを示している。 ${\displaystyle e\in H^{k}(\mathrm {BSO} (k))}$ ${\displaystyle H^{k}(\mathrm {BSO} (k+1))}$ ${\displaystyle \mathrm {BSO} (k)\to \mathrm {BSO} (k+1)}$

これは、オイラー類がバンドル（接バンドルの場合は多様体）の次元に依存する次数を持つ類であることから直感的にわかります。オイラー類は の要素であり、 はバンドルの次元です。一方、他の類は固定された次元を持ちます（たとえば、最初のスティフェル・ホイットニー類は の要素です）。 ${\displaystyle H^{d}(X)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle H^{1}(X)}$

オイラー類が不安定であるという事実は「欠陥」と見るべきではない。むしろ、オイラー類は「不安定な現象を検出する」ことを意味する。例えば、偶数次元球面の接束は安定的に自明であるが、自明ではない（球面の通常の包含は自明な法線束を持つため、球面の接束と自明な直線束を加えたものはユークリッド空間の接束であり、自明である に制限される）。したがって、他の特性類は球面に対してはすべて消えるが、オイラー類は偶数次元球面に対しては消えず、非自明な不変量を与える。 ${\displaystyle S^{n}\subseteq \mathrm {R} ^{n+1}}$ ${\displaystyle S^{n}}$

例

球体

n球面 S ⁿのオイラー特性は次の通りである。

${\displaystyle \chi (\mathbf {S} ^{n})=1+(-1)^{n}={\begin{cases}2&n{\text{ even}}\\0&n{\text{ odd}}.\end{cases}}}$

したがって、偶球面の接束には非零切断は存在しない（これはヘアリーボール定理として知られている）。特に、偶球面の接束は非自明である。つまり、平行化可能多様体ではなく、リー群構造を許容しない。 ${\displaystyle S^{2n}}$

奇球面S ^{2 n −1} ⊂ R ^{2 n}の場合、どこにも消滅しない断面は次のように与えられる。

${\displaystyle (x_{2},-x_{1},x_{4},-x_{3},\dots ,x_{2n},-x_{2n-1})}$

これはオイラー類が消えることを示しています。これは単に円上の通常の切断のn 個のコピーです。

偶数球のオイラー類は に対応するので、2 つのバンドルのホイットニー和のオイラー類は、2 つのバンドルのオイラー類のカップ積であるという事実を使用して、任意の偶数次元球に対して、接バンドル自体とヌルバンドル以外の接バンドルのサブバンドルは存在しないことがわかります。 ${\displaystyle 2[S^{2n}]\in H^{2n}(S^{2n},\mathbf {Z} )}$

球面の接束は安定的に自明ではあるが自明ではないため、他のすべての特性類は球面の接束上で消え、オイラー類は球面の接束の非自明性を検出する唯一の通常のコホモロジー類である。さらなる結果を証明するには、二次コホモロジー演算またはK 理論を使用する必要があります。

丸

円柱は、自然な射影によって円上の線束となる。これは自明な線束であるため、零点のない切断を持ち、したがってオイラー類は0である。また、円の接束と同型である。オイラー類が0であるという事実は、円のオイラー標数が0であるという事実に対応する。 ${\displaystyle \mathrm {R} ^{1}\times S^{1}\to S^{1}}$

参照

• ヴァンデルモンド多項式
• トム同型性
• 一般化されたガウス・ボネ定理

その他のクラス

• チャーンクラス
• ポンチャギン級
• スティフェル・ホイットニー級

参考文献

• ボット、ラウル、トゥ、ローリング・W. (1982).代数的位相幾何学における微分形式. シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 0-387-90613-4。{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• ブレドン、グレン・E. (1993).位相幾何学. シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 0-387-97926-3。
• ミルナー、ジョン・W.、スタシェフ、ジェームズ・D. (1974). 『特性クラス』 プリンストン大学出版局. ISBN 0-691-08122-0。

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Euler_class&oldid=1289466700"